A. Kompetensi Dasar dan Indikator 1.1 Menyadari kebesaran Tuhan

BAB 2
PENJUMLAHAN VEKTOR
A. Kompetensi Dasar dan Indikator
1.1 Menyadari kebesaran Tuhan yang menciptakan dan mengatur alam jagad raya melalui
pengamatan fenomena alam fisis dan pengukurannya.
2.1 Menunjukkan perilaku ilmiah (memiliki rasa ingin tahu; objektif; jujur; teliti; cermat;
tekun; hati-hati; bertanggung jawab; terbuka; kritis; kreatif; inovatif dan peduli
lingkungan) dalam aktivitas sehari-hari sebagai wujud implementasi sikap dalam
melakukan percobaan , melaporkan, dan berdiskusi.
Indikator:
2.1.1 Menunjukkan sikap ingin tahu dalam belajar
2.1.2 Menunjukkan sikap jujur dalam belajar
2.1.3 Menunjukkan sikap teliti dalam belajar
2.1.4 Menunjukkan sikap tanggung jawab dalam belajar
2.2 Menghargai kerja individu dan kelompok dalam aktivitas sehari - hari sebagai wujud
implementasi melaksanakan percobaan dan melaporkan hasil percobaan.
2.2.1 Menunjukkan sikap kerjasama dalam belajar
3.2 Menerapkan prinsip penjumlahan vektor (dengan pendekatan geometri).
Indikator:
3.2.1 Menjelaskan cara penjumlahan vektor dengan metode segitiga
3.2.2 Melukiskan penjumlahan vektor dengan metode segitiga
3.2.3 Menjelaskan cara penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang
3.2.4 Melukiskan penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang
3.2.5 Menjelaskan cara penjumlahan vektor dengan metode poligon
3.2.6 Melukiskan penjumlahan vektor dengan metode poligon
3.2.7 Menjelaskan cara penjumlahan vektor dengan metode analisis
3.2.8 Melukiskan penjumlahan vektor dengan metode analisis
3.2.9 Menerapkan persamaan penjumlahan dua buah vektor yang membentuk sudut
untuk menyelesaikan masalah dalam soal.
3.2.10 Menentukan arah resultan vektor
3.2.11 Menyebutkan tiga penerapan vektor dalam kehidupan hari-hari
4.1 Menyajikan hasil pengukuran besaran fisis dengan menggunakan peralatan dan teknik
yang tepat untuk penyelidikan ilmiah.
Indikator:
4.1.1 Mengolah data percobaan resultan gaya.
4.1.2 Menemukan bahwa nilai penjumlahan vektor dapat dihitung dengan menggunakan
rumus kosinus menggunakan metode jajargenjang.
4.1.3 Melukiskan hasil percobaan resultan gaya dengan metode jajargenjang.
4.1.4 Menyimpulkan hasil percobaan resultan gaya.
4.2 Merencanakan dan melaksanakan percobaan untuk menentukan resultan vektor
Fisika Kelas X
Penjumlahan
Vektor
Indikator:
4.2.1 Melakukan percobaan resultan gaya.
B. Materi Pembelajaran
 Fakta
1. Seorang pemanah menarik anak panah dari busurnya.
2. Ketika penerjun payung menjatuhkan diri dari pesawat.
3. Perahu menyebrangi sungai.
Gambar 2.1 Seorang pemanah menarik anak panah dari busurnya dan ketika penerjun payung
menjatuhkan diri dari pesawat.

1.
Konsep
Besaran vektor
Besaran vektor adalah besaran yang nilai besar dan mempunyai arah. Contoh dari
besaran vektor adalah perpindahan, gaya, kecepatan, dsb.
2. Penjumlahan vektor
Penjumlahan vektor berbeda dengan penjumlahan biasa. Perbedaan tersebut karena
vektor memiliki besar dan arah. Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan metode
segitiga, jajargenjang, pologon, dan analisis.
 Prinsip
1. Penjumlahan vektor berbeda dengan penjumlahan biasa.
2. Cara untuk menggambarkan penjumlahan vektor, yaitu dengan metode segitiga,
jajargenjang, poligon, dan analisis.
3. Menentukan Resultan (R) dari dua vektor yang arahnya sembarang dan membentuk
sudut, dapat menggunakan rumus kosinus.
Fisika Kelas X
Penjumlahan
Vektor
RANGKUMAN MATERI
VEKTOR
Pengerti
an
Vektor
Pengurai
an
Vektor
Vektor Sejajar
Dan
Berlawanan
Notasi
Dan
Gambar
Vektor
Besar
Vektor
Vektor
Satuan
Operasi
Penjumlahan
Vektor
Penjumlaha
n Vektor
Perkalian
Vektor
Perkalia
n Dot
Perkalian
Cross
Penjumlahan Dua Buah
Vektor yang Membentuk
Sudut
Penjumlahan Vektor
dengan Metode Geometri
Penjumlahan Vektor
dengan Metode Segitiga
Penjumlahan Vektor
dengan Metode
Jajargenjang
Penjumlahan Vektor
dengan Metode Poligon
Penjumlahan Vektor
dengan Metode Analisis
3
Fisika Kelas X
Penjumlahan
Vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR
Gambar 2.2 Vektor yang digunakan untuk Sistem Navigasi
Pesawat Terbang
Apakah vektor itu? Apa penerapan vektor dalam kehidupan di dunia ini? Sebenarnya
banyak penerapan vektor dalam kehidupan sehari hari, diantaranya adalah orang memanah,
dan perahu yang berlayar detengah laut. Namun, tahukah kalian bahwa ternyata vektor
memberikan manfaat yang besar dalam kehidupan. Dalam navigasi, vektor berpengaruh besar
terhadap keberadaan suatu lokasi ditinjau dari tempat yang bergerak (kendaraan atau lainnya).
Teknologi ini disebut Global Positioning System (GPS). Dimana sistem ini memberitahukan
lokasi di permukaan bumi walaupun tempatnya bergerak. Sehingga, suatu kendaraan dapat
diketahui keberadaannya dan dimana lokasi tujuannya. Karena itu, vektor sangat berperan
penting dalam navigasi, contohnya adalah vektor yang digunakan untuk Sistem Navigasi
Pesawat Terbang.
Banyak manfaat yang diberikan dari pembelajaran vektor. Untuk memahami vektor
lebih lanjut dan bagaimana operasi penjumlahan vektor, perhatikan penjabaran berikut ini.
A
A.
Operasi Penjumlahan Vektor
Seperti operasi aljabar, dua atau lebih vektor dapat kita operasikan. Operasi vektor ini
antara lain penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Namun ada sedikit perbedaan antara
operasi aljabar dengan operasi vektor. Untuk memahaminya, perhatikan cerita berikut.
Seseorang melakukan perjalanan dari kota A menuju kota C yang berada di sebelah
barat laut kota A. Ia mengambil jalan memutar lewat kota B yang berada di sebelah barat kota
A dan disebelah selatan kota C. Perjalanan orang tersebut dari kota A ke kota C dapat
digambarkan dalam bentuk vektor. Jika jarak antarkota diketahui, kita juga bisa menghitung
perpindahan orang tersebut dengan operasi penjumlahan vektor. Bagaimana bentuk
penjumlahan vektor ini? Untuk lebih jelasnya simaklah penjelasan di bawah ini!
4
Fisika Kelas X
Penjumlahan
Vektor
1.
1
Penjumlahan Vektor
Berdasarkan cerita di atas, misalkan jarak dari kota A ke kota B (kita sebut AB) adalah
80 km dan jarak dari kota kota B ke kota C (kita sebut BC) adalah 60 km. Berapakah besar
perpindahan orang tersebut dari kota A ke kota C?
Gambar 2.3 Perjalanan
seseorang dari kota A ke
kota B dilanjutkan ke
kota C jika digambarkan
dengan vektor
Untuk menghitung perpindahan orang dari kota A
menuju kota C, sama juga kita menghitung panjang AC
pada segitiga siku-siku ABC. Padahal kita tahu bahwa
perpindahan
termasuk besaran vektor, sehingga
perpindahan dari A ke C dapat dihitung dengan dalil
phytagoras.
Dari cerita tersebut , dapat diambil kesimpulan
bahwa penjumlahan vektor berbeda dengan penjumlahan
biasa. Dalam penjumlahan aljabar biasa 80 km + 60 km, hasilnya 140 km. Untuk
penjumlahan vektor, 80 km + 60 km hasilnya belum tentu 140 km. Perbedaan penjumlahan
aljabar biasa dengan dengan penjumlahan vektor disebabkan karena selain mempunyai besar,
vektor mempunyai arah.
Ada beberapa cara untuk menggambarkan penjumlahan vektor, yaitu dengan metode
segitiga, jajargenjang, poligon, dan analisis. Bagaimankah kita menggambarkan penjumlahan
vektor dengan metode metode segitiga, jajargenjang, poligon, dan analitis.
2
2.
a
Penjumlahan Vektor dengan Metode Geometri
Penjumlahan Vektor dengan Metode Segitiga
Gambar 2.4 Vektor a, b, c,
dan d
Jika diketahui vektor a, b, c, dan d seperti
Gambar 2.3, maka cara menggambarkan hasil vektor a
+ c dengan metode segitiga dapat mengikuti langkah
berikut.
1. Gambarlah vektor a .
2. Gambarlah vektor c dengan titik tangkap atau
pangkalnya berada di ujung vektor a .
3. Gambarlah sebuah vektor dimulai dari titik
tangkap atau pangkal vektor a dan berakhir di
ujung vektor c . Vektor ini merupakan vektor hasil
penjumlahan a + c atau disebut resultan vektor
yang dilambangkan dengan R .
Gambar 2.4 Langkah
menjumlahkan vektor dengan
metode segitiga
a.b
5
Penjumlahan Vektor dengan Metode Jajargenjang
Fisika Kelas X
Penjumlahan
Vektor
Jika diketahui vektor a, b, c, dan d seperti
Gambar 2.3, maka cara menggambarkan hasil vektor a
+ c dengan metode jajargenjang dapat mengikuti
langkah berikut.
1. Gambarlah vektor a.
2. Gambarlah vektor c dengan titik tangkap atau
pangkalnya berimpit dengan titik tangkap vektor a.
3. Buatlah garis yang sejajar vektor a yang dimulai
dari ujung vektor c , kemudian buatlah garis yang
sejajar vektor c yang dimulai dari ujung vektor a
sehingga membentuk sebuah jajargenjang.
4. Buatlah sebuah vektor yang dimulai dari titik
tangkap kedua vektor dan berakhir di perpotongan
garis pada langkah nomor 3. Vektor ini merupakan
resultan dari penjumlahan a + c .
Gambar 2.5 Langkah
menjumlahkan vektor
dengan metode
jajargenjang.
c Penjumlahan Vektor dengan Metode Poligon
Jika diketahui vektor a, b, c, dan d seperti
Gambar 2.3, maka cara menggambarkan hasil vektor a +
c + b + d dengan metode poligon dapat mengikuti
langkah berikut.
1. Gambarlah vektor a.
2. Gambarlah vektor c dengan titik tangkap atau
pangkalnya berada di ujung vektor a.
3. Gambarlah vektor b dengan titik tangkap atau
pangkalnya berada di ujung vektor c.
4. Gambarlah vektor d dengan titik tangkap atau
pangkalnya berada di ujung vektor b.
5. Gambarlah sebuah vektor yang dimulai dari titik
tangkap atau pangkal vektor a dan berakhir di ujung
vektor d . Vektor ini merupakan resultan dari
penjumlahan vektor a + c + b + d.
Gambar 2.6 Langkah
menjumlahkan vektor dengan
metode poligon.
dPenjumlahan Vektor dengan Metode Analisis
Fisika Kelas X
6
Penjumlahan
Vektor
Untuk menggambarkan penjumlahan vektor
dengan metode analisis, kita harus bisa menggambarkan
penguraian vektor terlebih dahulu. Vektor dapat
diuraikan ke dalam komponen-komponennya, baik
komponen pada sumbu x maupun sumbu y.
1. Gambarlah bidang koordinat kartesius. Kemudian,
gambar vektor a, b dan c pada bidang koordinat
tersebut dengan pangkal vektor berada di pusat
koordinat.
2. Uraikan vektor a, b dan c ke dalam komponen
sumbu x dan sumbu ( a x , a y b x , b y , c x , c y )
3. Jumlahkan semua komponen vektor pada sumbu x (
 R x ) dan sebuah komponen pada sumbu y (
Ry ) .
Dari Gambar 2.7 kita bisa menuliskan dalam bentuk
persamaan:
R
R
Gambar 2.7 Langkah
menjumlahkan vektor dengan
metode poligon.
x
 ax  cx
y
 ay cy
Dari kedua persamaan tersebut, besar dan arah resultan
vektor dapat dicari dengan persamaan:

R


( R x ) 2  ( R y ) 2

 R
tan  
R
y
x
Gambar berikut ini menunjukkan pengurangan vektor yang geometri dengan
menggunakan metode jajargenjang dan metode poligon (segitiga).
-B
A
B
-B
R=A-B
A
Cara segitiga
R=A-B
-B
A
Cara jajargenjang
Gambar 2.8 Pengurangan vektor menggunakan cara
geometri
3Penjumlahan Dua Buah Vektor yang Membentuk Sudut
Fisika Kelas X
7
Penjumlahan
Vektor
Tinjau dua buah vektor masing-masing A dan B yang mempunyai titik pangkal yang
berhimpit. Sudut yang dibetuk oleh dua buah vektor tersebut adalah  dan sudut antara
vektor resultan (R) dengan vektor A adalah  , seperti pada Gambar 1.5 di bawah.
Gambar 2.9 Menentukan resultan dua buah vektor secara analitis
Cara menentukan Resultan (R) dari dua vektor yang arahnya sembarang dan membentuk
sudut, dapat menggunakan rumus kosinus.
Menurut aturan cosinus sebagai berikut.




R 2  A 2  B 2  2 A B cos (180   )




R 2  A 2  B 2  2 AB (  cos  )




R 2  A 2  B 2  2 AB cos 

R 



A 2  B 2  2 AB cos 
Dengan:
R = besar vektor resultan R
A = Besar vektor A
B = Besar vektor B
 = sudut apit antara A dan B
Persamaan di atas berlaku untuk R = A + B, sedangkan untuk R = A – B, berlaku persaman
berikut.

R
R
Contoh Soal


A2  B 2  2


A2  B 2  2

AB cos (180 o   )

AB cos 
Dua buah
vektor
gayamemiliki
F1 dan F2besar
masing-masing
4 N dan
N, memiliki
titik pangkal
Sebuah
vektor
dan arah. besarnya
Arah resultan
(R)5dapat
ditentukan
oleh sudut
 merupakan
berimpit.
resultan
vektor
ini jika sudut
apityang
antara
kedua vektor
antara
R danHitunglah
A atau Rnilai
dandan
B. arah
Misalkan
sudut
sudut
dibentuk
R dan A,
0
maka
tersebut
dengan
adalah
menggunakan
60 .
aturan sinus pada segitiga akan diperoleh:


B
Diketahui: R

sin 
F1 = 4 sin(
N; 180 F2 )= 5 N;


B gaya
MencariRresultan

sin 
sin 
α = 600;

B
 sinresultan
sin   arah

Mencari
terhadap F1
R
Dengan menggunakan persamaan tersebut, maka besar sudut  dapat diketahui.
Jadi, nilai vektor adalah N dengan arah 33,67o terhadap vektor F1.
Fisika Kelas X
Penjumlahan
8
Vektor
4Penerapan Vektor dalam Kehidupan
No
Gambar
Penjelasan
1
Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik
anak panah dari busurnya, sebenarnya arah gerak
anak panah merupakan penjumlahan vektor gaya
tarik tali dari kedua unjung busur tersebut.
2
Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal,
tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi
jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya
yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3
Sistem vektor yang dikalibrasikan dengan
komputer navigasi pesawat, pilot dapat memantau
arah tujuan pendaratan pesawat. Jadi, tidak pernah
sebuah pesawat nyasar ke lain tempat. Alat
navigasi ini disebut dengan Radar. Radar inilah
yang sebenarnya merupakan alat untuk
9
mengetahui kecepatan pesawat. Karena pada radar
dilengkapi oleh besarnya kecepatan dan arah yang
sesuai dengan konsep besaran vektor.
Fisika Kelas X
Penjumlahan
Vektor
No
Gambar
Penjelasan
4
Dalam sains komputer vektor digunakan untuk
pembuatan grafis. Dalam software komputer
seperti AutoCAD, Google SketchUp dll, terdapat
penghitungan vektor yang terkomputerisasi.
Program tersebut berfungsi sebagai penggambar
rancangan bangunan 3D sebelum membangun
bangunan sebenarnya. Dalam progeam tersebut
terdapat tiga sumbu, sumbu X, sumbu Y dan
sumbu Tegak (3 dimensional).
5
Saat perahu menyebrangi sungai, makan kecepatan
perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan
gerak perahu dan kecepatan air.
10
Fisika Kelas X
Penjumlahan
Vektor
LATIHAN SOAL PENJUMLAHAN VEKTOR
Gambar berikut untuk menjawab soal nomor 2, 4, 6, dan 8.
1. Jelaskan cara menggambarkan penjumlahan vektor dengan metode segitiga!
2. Tentukan resultan
 
a  b dengan metode segitiga!
3. Jelaskan cara menggambarkan penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang!
4. Tentukan resultan
a  d dengan metode jajargenjang!
5. Jelaskan cara menggambarkan penjumlahan vektor dengan metode poligon!
6. Tentukan resultan
a  b  c dengan metode poligon!
7. Jelaskan cara penjumlahan vektor dengan metode analisis !
8. Gambarkan resultan
a  b  c  d dengan metode analisis !
9. Dua buah gaya masing-masing 10 N dan 15 N membentuk sudut 60o. Tentukan besar resultan
kedua gaya tersebut!
10. Dua buah vektor, masing-masing besarnya 8 N dan 6 N. Tentukan sudut yang
dibentuk oleh titik pangkalnya jika resultan gaya bernilai 124 N!


11. Dua buah vektor gaya F1 dan F2 masing-masing besarnya 4 N dan 5 N, memiliki titik
pangkal berimpit. Tentukan arah resultan vektor ini jika sudut apit antara kedua vektor
tersebut adalah 60o!
12. Jelaskan 3 penerapan vektor dalam kehidupan yang kalian ketahui!
11
Fisika Kelas X
Penjumlahan
Vektor
DAFTAR PUSTAKA
Nufus dan Furqon. 2009. Fisika SMA/MA Kelas X BSE. Jakarta: Pustaka Insan Madani.
Sunardi dan Siti. 2013. Fisika untuk SMA/MA Kelas X Peminatan Kurikulum 2013. Bandung:
Penerbit Yrama Widya.
Widodo, Tri. 2009. Fisika SMA/MA Kelas X BSE. Jakarta: Mefi Caraka.
Fisika Kelas X
Penjumlahan
Vektor