2 Power set → P ( S ) adalah set dari semua subset dari set S = 2n elemen. Resume Kuliah Matematika Diskrit Lanjut (EC6001) 10. DR. Ir. Yoga Priyana → P ( S ) dari set {0,1, 2} adalah P ({0,1, 2} ) = {∅ , {0} ,{1} ,{ 2} ,{0,1} ,{0, 2} ,{1, 2} ,{ 0,1, 2}} Contoh : Tanggal 24 Agustus 2006 11. 1. SET adalah kelompok obyek-obyek dengan sifat serupa (Cantour). Obyek = elemen = anggota Ordered collection n-tuple atau kumpulan terurut. Posisi sangat menentukan dan tidak dapat diubah. 2 (dua) n-tuple sama jika dan hanya jika setiap pasang elemen-elemennya sama. → Set mengandung (contain) elemen-elemen atau anggota-anggota. Contoh : V = {a , i , u, e , o} 12. 2. 2 (dua) set dikatakan sama jika dan hanya jika elemen-elemennya sama → {1, 3, 5} = {3, 5,1} 3. Cara penulisan set → SET BUILDER (elemen-elemen dengan ciri-ciri sama (common)). { A = {1, 2} ; B = {a , b} → } A × B = {(1, a ) , (1, b ) , ( 2, a ) , ( 2, b )} . dapat dipertukarkan namun urutannya dapat dipertukarkan n-tuple → Dua definisi : 13. a∈ A a ∉ A → a bukan elemen A Empty Set = Null Set = ∅ , { }. { Contoh : ∅ = x x > x } A⊆ B → {(1, b ) , ( 2, b ) , (1, a ) , ( 2, a )} Operasi Set a. Union (∪) → A ∪ B → set yang berisi semua elemen A dan B atau DAN B atau { x x ∈ A ∨ x ∈ B} U x adalah bilangan positif. B ∅ ⊆ S atau empty set adalah subset dari setiap set. 6. Isi elemen ini tidak A1 × A2 × .................... × An A 5. dimana B × A = {( a ,1) , ( a , 2 ) , ( b,1) , ( b, 2 )} Penggambaran SET dalam bentuk grafik (Venn) → U = Semesta (Universe). 2 ( a, b ) a ⊆ A, b ⊆ B Contoh : A = x x .................. 4. Product Cartesian dari A dan B → A × B ≠ B × A → set ordered pairs set A adalah subset set B, jika dan hanya jika elemen set A adalah elemen set B. Contoh : {1, 3, 5} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6} b. Intersection (∩) → A ∩ B → set yang berisi elemen A { x x ∈ A ∧ x ∈ B} set A adalah proper subset dari set B karena A ≠ B (subset sejati). 7. A⊂ B → 8. S dikatakan finite set bila terdapat n elemen yang berbeda dimana n adalah integer tidak negatif. n adalah kardinalitas dari S dinotasikan dengan S . c. 9. Disjoint bila A ∩ B = ∅ S dikatakan infinite set bila ia not finite. Arwin@23206008 Arwin@23206008 3 d. 4 { } Difference atau pengurangan → A − B = x x ∈ A ∧ x ∉ B 15. Union dari sekumpulan set adalah set yang mengandung elemen-elemen yang merupakan anggota dari sedikitnya satu set dalam kumpulan set tersebut. Dinotasikan dengan n A1 ∪ A2 ∪ ......... ∪ An = U Ai i =1 e. { } Komplemen (bukan anggota dari) → A = x x ∉ A atau U − A 16. Intersection dari sekumpulan set adalah set yang mengandung elemen-elemen yang merupakan anggota dari semua set dalam kumpulan set tersebut. Dinotasikan dengan n A1 ∩ A2 ∩ ......... ∩ An = I Ai i =1 f. { } Symmetric Difference → A ⊕ B = x x ∈ A ∧ x ∉ B ∨ x ∉ A ∧ x ∈ B . A = {1, 3, 5} ; B = {1, 2, 3} → Contoh : A ⊕ B = {5, 2} 17. Representasi komputer Set adalah dalam bentuk urutan bilangan biner. {1, 3, 5, 7, 9} = 1010101010 → 18. Contoh : 1 merepresentasikan elemen yang ada dan 0 untuk yang sebaliknya. Operasi set dalam representasi komputer. Contoh : {1, 3, 5, 7, 9} = 1010101010; {1, 2, 3, 4, 5} = 1111100000 . 14. a. Union → 1010101010 ∨ 1111100000 = 1111101010 ↔ {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} b. Intersection → 1010101010 ∧ 1111100000 = 1010100000 ↔ {1, 3, 5} Set Identities Identitas A∪∅ = A A∩U = A A∪U = U A∩∅ = ∅ A∪ A = A A∩ A = A ( A) = A A∪ B = B ∪ A A∩ B = B ∩ A A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) A∪ B = A∩ B A∩ B = A∪ B Nama 19. Hukum Identitas Urutan proses Matematika Diskrit yakni Permutasi → Fungsi → Pigeon Nest → Partial Order Set → Lattice Theory → Aljabar Boolean → Group → Coding Theory Hukum Dominasi 20. Permutasi dan kombinasi. Relasi set (antar set dan antar elemen di dalam set). Hukum Idempotent 21. Hukum Komplementasi f ⊆ R ⊆ A× B Hukum Komutatif Tanggal 31 Agustus 2006 Hukum Asosiatif 1. Permutasi dan Kombinasi Hukum Distributif A = {1, 2, 3} , berapa banyak subset dengan 2 elemen yang dapat dibentuk ? Hukum De Morgan Arwin@23206008 Arwin@23206008 5 → 6 A1 = {1, 2} = { 2,1} A2 = {1, 3} = {3,1} C rn ⇒ Prn = C rn r ! A3 = { 2, 3} = {3, 2} ⇓ C rn = Berapa barisan (sequence) dengan panhang 2 elemen yang dapat dibentuk ? 1 1 2 → 2 3 2 3 1 3 1 2. n! Prn ( n − r ) ! n! = = r! r! r !( n − r ) ! Bilangan Bulat dan Pembagian • Teorema 1 : m dan n bilangan bulat tak negatif dan n ≠ 0 , dapat ditulis m = qn + r untuk q dan r bilangan bulat tak negatif dan 0 ≤ r < n . 3 2 m adalah yang dibagi; n adalah pembagi; q adalah hasil bagi; r adalah sisa. Bila r = 0 maka dikatakan bahwa “ n membagi m ” dituliskan dengan n m . Jadi A = n elemen, berapa barisan dengan panjang r dapat dibentuk dimana r < n ? n m bila ada bilangan bulat a sehingga m = an . Bila r ≠ 0 maka dikatakan bahwa “ n tidak membagi m ” dituliskan dengan n | m . • Permutasi yang dapat dibuat dari anggota-anggota set dengan n elemen bila diambil sebanyak Teorema 2 : ambil a , b dan c bilangan bulat. 9 Jika a b dan a c , maka a ( b + c ) 9 Jika a b dan a c , dimana b > c , maka a ( b − c ) 9 Jika a b atau a c , maka a bc 9 Jika a b dan b c maka a c r adalah : P = n. ( n − 1) ................................ ( n − r + 1) n r = n. ( n − 1) ................................ ( n − r + 1)( n − r ) ......1 = ( n − r ) ......1 sehingga Prn = Bukti : a c → bilangan bulat → k2 → c = ak2 n! ( n − r )! Berapa banyak subset dengan n elemen dapat dibentuk dari set dengan n elemen ? Subset r elemen → a b → bilangan bulat → k1 → b = ak1 Maka : Prr = r ! Arwin@23206008 ( b + c ) = ak1 + ak2 = a ( k1 + k2 ) → a (b + c) = ak Arwin@23206008 7 • 8 Bilangan bulat positif P yang hanya dapat dibagi dengan 1 atau P (inclusive !) disebut Contoh : Bilangan Prima. 10,17, 21 → gcd (10,17 ) = 1 gcd (10, 21) = 1 m = 2 P − 1 bilangan Prima Mersenne ! ( P adalah bilangan prima dan m adalah bilangan maka 10,17, 21 adalah “pairwise relatively prime” gcd (17, 21) = 1 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43 bulat positif) cryptography(RSA) Bagaimana dengan bilangan 11 ? bila P = 3 maka m = 23 − 1 = 7 → benar, bila P = 5 maka m = 25 − 1 = 31 → benar, lalu dimanakah posisi 11, 13, 17, 23 dan 29 ? • Algoritma Euclidean → sisa perhitungan dibagi oleh sisa berikutnya hingga diperoleh sisa = 0. Sisa terakhir sebelum sisa = 0 adalah gcd . m = P P ................. P a1 1 an n a2 2 dengan P1 P2 ......... Pn = bilangan prima dan a1a2 .........an = • bilangan bulat tak positif. min a ,b min a ,b gcd ( a , b ) = p1 ( 1 1 ) ................... pk ( k k ) . Contoh : 12 = 22 .3 = 2.2.3 Contoh : • gcd (190, 34 ) = 2 GCD (greatest common divisor) min (1,1) min (1,0 ) .5 = 2 .5 .17 .19 1 .17 min ( 0 ,1) .19 min (1,0 ) 0 Bilangan k terbesar ( d ) disebut pembagi persekutuan 190 : 2 = 95 : 5 = 19 → 190 = 2.5.19 terbesar. Contoh : gcd ( 24, 36 ) = 1, 2, 3, 4, 6, (12 ) → gcd = d • 0 =2 Jika a dan b bilangan bulat positif; kalau k a dan k b dikatakan k adalah pembagi persekutuan (common divisor). 0 34 : 2 = 17 → 34 = 2.17 Teorema : 9 Jika d = gcd ( a , b ) , maka d = sa + tb untuk s dan t bilangan bulat. 9 Jika c adalah common divisor dari a dan b , maka c d . • LCM (least common multiple) Jika a , b dan k bilangan bulat positif; bila a k dan b k , dikatakan bahwa k adalah “common multiple” dari a dan b , untuk bilangan k yang terkecil (sebut c ), maka • Bila a dan b bilangan bulat positif dan gcd ( a , b ) = 1 , maka a dan b dikatakan k disebut lcm dari a dan b → lcm ( a , b ) = c . “relatively prime” Contoh : 10 dan 17 → relatively prime; 10 dan 21 → relatively prime • Bila a1a2 .........an bilangan-bilangan bulat positif, dikatakan “pairwise relatively prime” ( ) bila gcd ai , a j = 1 untuk 1 ≤ i < j ≤ n . • Teorema : a dan b bilangan bulat positif; gcd ( a , b ) .lcm ( a , b ) = a .b • max a ,b max a ,b lcm ( a , b ) = p1 ( 1 1 ) ................... pk ( k k ) Contoh : lcm (190, 34 ) = 2 max(1,1) max (1, 0 ) .5 .17 max( 0 ,1) .19 max(1,0 ) = 21.51.171.191 = 3.230 Arwin@23206008 Arwin@23206008 9 10 Maka joint A dan B ditulis A ∧ B adalah matriks C = cij dengan elemen-elemen 190 : 2 = 95 : 5 = 19 → 190 = 2.5.19 34 : 2 = 17 → 34 = 2.17 3. seperti tersebut di atas. Contoh : Matriks • ⎡1 ⎢0 A= ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣0 Matriks Boolean adalah matriks dengan elemen “0” dan “1”. ⎡1 0 1 ⎤ A = ⎢⎢ 0 1 1 ⎥⎥ → ⎣⎢ 1 1 0 ⎥⎦ A = ( mxn ) B = ( nxp ) A = ( mxn ) B = ( mxn ) A. B = ( mxp ) A + B = ( mxn) ) • Operasi-operasi pada Matriks Boolean 9 1 0⎤ 0 1 ⎥⎥ → 0 1⎥ ⎥ 1 0⎦ ⎡1 ⎢0 A∧ B = C = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0⎤ 0 1 ⎥⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎦ Boolean Product Bila • 0 1⎤ ⎡1 ⎢1 1 1 ⎥⎥ ; B=⎢ ⎥ ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ 0 0⎦ ⎣1 A = ( mxp ) ) = ⎡⎣ aij ⎤⎦ B = ( pxn) ) = ⎡⎣ bij ⎤⎦ ( ) ( ) ( cij = ai1 ∧ b1 j ∨ ai 2 ∧ b2 j ........... ∨ aip ∧ b pj ) Maka A e B = C = ⎡⎣ cij ⎤⎦ adalah matriks dengan elemen-elemen seperti tersebut di atas. “Joint of A and B” ⎡1 1 0⎤ ⎢1 0 1⎥ ⎥e Ae B = ⎢ ⎢0 0 1⎥ ⎢ ⎥ 1 1 0 1⎣ 4 2 4 3 ⎦ A = ( mxn) ) = ⎡⎣ aij ⎤⎦ ⎪⎧ 1 bila aij = 1 atau bij = 1 cij = ⎨ B = ( mxn) ) = ⎡⎣ bij ⎤⎦ ⎪⎩ 0 bila aij dan bij = 0 T Maka joint A dan B ditulis A ∨ B adalah matriks C = cij dengan elemen-elemen ( 4 x 3) ⎡1 1 0 1⎤ ⎢ 1 1 ⎥ 0 1⎥ = ⎢ ⎢0 1 ⎥ 1 0⎦ ⎢ 4 43 ⎣11 4412 ( 3 x 4) ⎡1 1 ⎢1 0 ⎢ ⎢⎣ 0 1 1 44 2 0 1⎤ 1 1 ⎥⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 1⎦ 4 43 ( 4 x 4) seperti tersebut di atas. 4. Relasi Contoh : • ⎡1 ⎢0 A= ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣0 9 0 1 1 0 1⎤ ⎡1 ⎢1 1 ⎥⎥ ; B=⎢ ⎢0 0⎥ ⎥ ⎢ 0⎦ ⎣1 1 0 0 1 0⎤ 1 ⎥⎥ → 1⎥ ⎥ 0⎦ ⎡1 ⎢1 A∨ B = C = ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1 1 1 1 1 1⎤ 1 ⎥⎥ 1⎥ ⎥ 0⎦ Relasi R dari set A ke set B adalah subset A × B Contoh : A = { Ahmad Albar, Sundari Sukoco, Erni Johan, Titik Puspa} B = {Rock, Keroncong, Pop} “Meet of A and B” A = ( mxn) ) = ⎡⎣ aij ⎤⎦ B = ( mxn) ) = ⎡⎣ bij ⎤⎦ ⎪⎧ 1 bila aij dan bij = 1 cij = ⎨ ⎩⎪ 0 bila sebaliknya Arwin@23206008 Arwin@23206008 11 12 R = {(1, a ) , (1, c ) , ( 2, b ) , ( 2, c ) , ( 3, c ) , ( 4, a ) , ( 4, b ) , ( 4, c )} atau 1Ra; 1 Rb ⎧⎪(1, a ) , (1, b ) , (1, c ) , ( 2, a ) , ( 2, b ) , ( 2, c ) , ⎫⎪ A× B = ⎨ ⎬ ⎩⎪( 3, a ) , ( 3, b ) , ( 3, c ) , ( 4, a ) , ( 4, b ) , ( 4, c ) ⎭⎪ • Set-set yang timbul dari Relasi → R: A→ B ⇒ } Relasi set → relative set of x . R ( x ) = y ∈ B x R y , contoh : R (1) = {a , b} • Bila A1 ⊆ A maka R adalah relative set of A . R ( A1 ) = { y ∈ B x R y untuk ∀x ∈ A1} R ⊆ A× B 9 Domain R adalah set dari elemen A yang mempunyai relasi ke B . 9 Range R adalah set dari elemen B yang mempunyai relasi dengan elemen A . • Contoh : A = {1, 2, 3, 4} ; B = {a , b, c , d , e} dimana R = {(1, a ) , (1, b ) , ( 2, e ) , ( 3, a ) , ( 3, c )} maka Dom R = {1, 2, 3} ; { • Contoh : A1 = {1, 3} ⇒ R ( A1 ) = {a , b, c} Teorema : R : A → B; A1 , A2 ⊆ A , maka : o Jika A1 ⊆ A2 maka R ( A1 ) ⊆ R ( A2 ) o R ( A1 ∪ A2 ) = R ( A1 ) ∪ R ( A2 ) o R ( A1 ∩ A2 ) = R ( A1 ) ∩ R ( A2 ) Range R = {a , b, c , e} Contoh : • Relasi pada set A adalah R : A → A ⇒ R ⊆ A× A • Relasi juga dapat direpresentasikan dengan Matriks Boolean atau Digraph. A = {1, 2, 3, 4} ; B = {a , b, c , d , e} a ⎡1 ⎢0 MR = ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣0 • b c d R = {(1, a ) , (1, b ) , ( 2, e ) , ( 3, a ) , ( 3, c )} e A1 = {1, 2} A2 = {1, 3} A3 = {1, 2, 3} 1 0 0 0⎤ 1 0 0 0 1 ⎥⎥ 2 0 1 0 0⎥ 3 ⎥ 0 0 0 0⎦ 4 Relasi pada set A → didefinisikan sebagai R = a ⎡1 ⎢0 MR = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 Maka : A1 ∪ A2 = {1, 2, 3} = A3 M R square. Contoh : A = {a , b, c , d } . Relasi R : A → A R ( A1 ) ∪ R ( A2 ) = {a , b, c , e} = R ( A3 ) A1 ∩ A2 = {1} {( a, a ) , ( a , b ) , ( a , c ) , ( b, c ) , ( c, c ) , ( b, d ) , ( d , d )} , maka : b c R ( A1 ) ∩ R ( A2 ) = {a , b} R ( A1 ∩ A2 ) = {a , b} d 1 1 0⎤ a 0 1 1 ⎥⎥ b 0 1 0⎥ c ⎥ 0 0 1⎦ d Tanggal 7 September 2006 1. Matriks R ( A1 ) = {a , b, e} R ( A2 ) = {a , b, c} R ( A3 ) = {a , b, c , e} Relasi (continued ….) Digraph Arwin@23206008 Arwin@23206008 13 R: A→ B ⊆ 14 A× B 5. Path dalam Relasi dan Digraph Set-set yang dengan relasi R adalah : • Dom ( R ) = { x ∈ A x R y} → Dom ( R ) ⊆ A R : A → A . Sebuah path dengan panjang n dalam R dari a ke b adalah sebuah elemen hingga π = a1 x1 , x2 , ......................., xn −1 , b yang bermula dari a dan berakhir di b Ran ( R ) = { y ∈ B x R y} → Ran ( R ) ⊆ B sehingga a R x1 , x1 R x2 , .........................., xn− 2 R xn −1 , xn−1 R b 2. R -relative set of x = { x ∈ B x R y} Contoh : A1 = { y ∈ B x R y untuk x ∈ A} dengan A1 ⊆ A A = {1, 2, 3, 4, 5} ; R : A → A = {(1, 2 ) , ( 2, 2 ) , ( 2, 3) , ( 2, 4 ) , ( 2, 5 ) , ( 4, 3) , ( 5,1) , ( 5, 4 )} A1 ⊆ A2 → R ( A1 ) ⊆ R ( A2 ) R ( A1 ∪ A2 ) ⊆ R ( A1 ) ∪ R ( A2 ) Matriks Digraph R ( A1 ∩ A2 ) ⊆ R ( A1 ) ∩ R ( A2 ) 3. ⎡0 ⎢0 ⎢ M R = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣ 1 Relasi R : A → B dimana : A = {a , b, c , d } ; R = {( a , a ) , ( b, b ) , ( a , c ) , ( b, c ) , ( c , c ) , ( b, d ) , ( d , d )} a ⎡1 ⎢0 MR = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 b c d 0 1 0⎤ a 1 1 1 ⎥⎥ b 0 1 0⎥ c ⎥ 0 0 1⎦ d 1 0 0 0⎤ 1 1 1 1 ⎥⎥ 0 0 0 0⎥ ⎥ 0 1 0 0⎥ 0 0 1 0 ⎦⎥ Maka : π 1 = 1, 2, 5, 4, 3 atau 1R 2, 2 R5, 5 R 4, 4 R3 = 4 , dapat disingkat dengan 1R 4 3 Matriks • R n adalah x R n y yang berarti terdapat path dengan panjang n dari x ke y . • R ∞ adalah connectivity relation. x R∞ y bermakan ada path dari x ke y . Digraph Contoh : 4. “Restriction of R to B ” adalah R ∩ ( B × B ) dengan R : A → A, B ⊆ A Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; R : A → A = {(1, 2 ) , (1, 3) , ( 2, 2 ) , ( 2, 4 ) , ( 2, 5 ) , ( 3, 4 ) , ( 4, 5 ) , ( 5, 6 )} A = {a , b, c , d , e , f } ; B = {a , b, c} Digraph Matriks R = {( a , a ) , ( a , c ) , ( b, c ) , ( a , e ) , ( b, e ) , ( c , e )} ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 MR = ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣0 Manakah “restriction of R to B ” ? ( B × B ) = {( a , a ) , ( a , b ) , ( a , c ) , ( b, a ) , ( b, b ) , ( b, c ) , ( c, a ) , ( c, b ) , ( c, c )} 0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0 0 0 0 1⎥ ⎥ 0 0 0 0 0⎦ 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 maka : R ∩ ( B × B ) = {( a , a ) , ( a , b ) , ( b, c )} Arwin@23206008 Arwin@23206008 15 16 Tentukan R 2 pada A ! Contoh : R 2 = {(1, 2 ) , (1, 4 ) , (1, 5 ) , ( 2, 2 ) , ( 2, 4 ) , ( 2, 5 ) , ( 2, 6 ) , ( 3, 5 ) , ( 4, 6 )} A = {3, 2,1} . R relasi " ≤ " sehingga R = {(1,1) , (1, 2 ) , (1, 3) , ( 2, 2 ) , ( 2, 3) , ( 3, 3)} , maka : Matriks M R2 ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣0 ⎡1 1 1⎤ M R = ⎢⎢0 1 1⎥⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ 0⎤ 1 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ 0 0 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0 0 0⎦ 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 • Symmetric, Asymmetric dan Antisymmetric disebut “symmetric” bila a R b → b R a R: A→ A M R2 = M R e M R ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣0 1 1 0 0 0⎤ 1 0 1 1 0 ⎥⎥ 0 0 1 0 0⎥ ⎥e 0 0 0 1 0⎥ 0 0 0 0 1⎥ ⎥ 0 0 0 0 0⎦ disebut “asymmetric” bila a R b → b R a ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣0 1 1 0 0 0⎤ ⎡0 1 0 1 1 0 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 0 0 1 0 0⎥ ⎢0 ⎥=⎢ 0 0 0 1 0⎥ ⎢0 0 0 0 0 1⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0⎦ ⎣0 1 0 1 1 0⎤ 1 0 1 1 0 ⎥⎥ 0 0 0 1 0 ⎥ terbukti ! ⎥ 0 0 0 0 1⎥ 0 0 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0 0 0⎦ disebut “antisymmetric” bila a R b dan b R a • → a=b Transitive dan Intransitive R: A→ A adalah “transitive” bila a R b dan b R c → a Rc Contoh : 6. Digraph R A = {1, 2, 3, 4} ; R = {(1, 2 ) , (1, 3) , ( 4, 2 )} ∞ ⎡0 1 1 ⎧(1, 2 ) , (1, 3) , (1, 4 ) , (1, 5 ) , (1, 6 ) , ⎫ ⎢0 0 1 ⎪ ⎪ ⎢ , , , , , , , , 2 3 2 4 2 5 2 6 )( )( ) ⎪( ) ( ⎪ ⎢0 0 0 ⎪ ⎪ ∞ R = ⎨( 3, 4 ) , ( 3, 5 ) , ( 3, 6 ) , ⎬ → M R∞ = ⎢ ⎪ ⎪ ⎢0 0 0 ⎪( 4, 5 ) , ( 4, 6 ) , ⎪ ⎢0 0 0 ⎪( 5, 6 ) ⎪ ⎢ ⎩ ⎭ ⎣0 0 0 7. 1 1 1⎤ 1 1 1 ⎥⎥ 1 1 1⎥ ⎥ 0 1 1⎥ 0 0 1⎥ ⎥ 0 0 0⎦ 1 0 0 0 1 0 0 1 0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦ transitive ? Tidak ! A = ( a , b, c ) ; R = {( a , a ) , ( a , b ) , ( a , c ) , ( b, c ) , ( c , c )} ⎡1 1 1⎤ M R = ⎢⎢0 0 1⎥⎥ transitive ? Ya ! Buktikan ! ⎢⎣0 0 1⎥⎦ Sifat-sifat Relasi • ⎡0 ⎢0 MR = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 Reflexive dan Irreflexive R : A → A disebut “reflexive” bila ( a , a ) ∈ R ∀a ∈ A → matriks diagonal = 1 disebut “irreflexive” bila ( a , a ) ∈R ∀a ∈ A → matriks diagonal = 0 Arwin@23206008 ⎡1 1 1⎤ M R2 = M R → ⎢⎢0 0 1⎥⎥ e ⎢⎣0 0 1⎥⎦ a, a a, a a, b a, c a, b → a, a a, c → a, c b, c → a , c c, c → a, c b, c c , c → b, c ⎡1 1 1⎤ ⎡1 1 1⎤ ⎢ 0 0 1⎥ = ⎢0 0 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ terbukti ! Arwin@23206008 17 8. 18 • Relasi Ekivalen Relasi yang reflexive, symmetric dan transitive Complementary relation Bila R : A → B maka R : A → B dengan a R b jika a R b → b R a Contoh : Contoh : A = {1, 2, 3, 4} ; B = {a , b, c} A = {1, 2, 3, 4} ; R : A → A = {(1,1) , (1, 2 ) , ( 2,1) , ( 2, 2 ) , ( 3, 4 ) , ( 4, 3) , ( 3, 3) , ( 4, 4 )} R : A → B = {(1, a ) , (1, c ) , ( 2, b ) , ( 3, a )} ↓ R : A → B = {(1, b ) , ( 2, a ) , ( 2, c ) , ( 3, b ) , ( 3, c ) , ( 4, a ) , ( 4, b ) , ( 4, c )} R ekivalen 9. Partisi dan Relasi Ekivalen • Sebuah Partisi adalah kumpulan dari subset-subset dari sebuah set yang masing- masingnta tak kosong dan disjoint. • Inversion A1 = {a , b, c , d } A2 = {a , c , e , f , g , h} R −1 : B → A dengan b R −1 a jika dan hanya jika a R b A = {a , b, c , d , e , f , g , h} → A3 = {a , c , e , g} Contoh : Lihat set di atas, maka R −1 : B → A = A4 = {b, d } A5 = { f , h} partisi adalah vertex tidak bersentuhan. Maka Ρ = { A3 , A4 , A5 } adalah partisi dari A . 11. Teorema-teorema • • Teorema 1 : Ambil Ρ adalah partisi dari A . Definisi relasi R pada A adalah a R b jika dan hanya Jika R ⊆ S , maka R −1 ⊆ S −1 Jika R ⊆ S , maka S ⊆ R jika a dan b anggota dari partisi yang sama, maka R → ekivalen. Contoh : A = {1, 2, 3, 4} ; Ρ = {( a ,1) , ( a , 3) , ( b, 2 ) , ( c,1)} Jika ( R ∩ S ) , maka R −1 ∩ S −1 −1 Jika ( R ∪ S ) , maka R −1 ∪ S −1 −1 {{1, 2, 3} , {4}} maka ( ) Jika ( R ∪ S ) , maka R ∩ S Jika R ∩ S , maka R ∪ S R = {(1,1) , (1, 2 ) , (1, 3) , ( 2,1) , ( 2, 2 ) , ( 2, 3) , ( 3,1) , ( 3, 2 ) , ( 3, 3) , ( 4, 4 )} • 10. Operasi pada Relasi Teorema 2 : R dan S , relasi pada A adalah Jika R reflexive, maka R −1 juga demikian Karena Relasi adalah set dari pasangan berurut maka semua operasi set juga dapat diberlakukan R reflexive jika dan hanya jika R irreflexive pada relasi. Bila R reflexive maka demikian juga R ∩ S dan R ∪ S Arwin@23206008 Arwin@23206008 19 • 20 R ∪ Δ = {( a , a ) , ( a , b ) , ( a , c ) , ( b, b ) , ( b, c ) , ( c , c ) , ( c , d ) , ( d , d )} Teorema 3 : R relasi pada A R −1 = {( b, a ) , ( c , a ) , ( c , b ) , ( d , c )} R simetri jika dan hanya jika R = R R antisimetri jika dan hanya jika R ∩ R ⊆ relasi satuan, relasi satuan. → M R = 1 2. R asimetri jika dan hanya jika R ∩ R = ∅ • Teorema 4 : Teorema 5 : Komposisi Relasi. f : A → B dan g : B → C maka g D f : A → C Contoh : A = {1, 2, 3, 4} , relasi R pada A adalah R = {(1, 2 ) , (1,1) , (1, 3 ) , ( 2, 4 ) , ( 3, 2 )} dan S , R dan S relasi pada A relasi pada A adalah S = Jika R simetri, demkian pula dengan R −1 dan R • R ∪ R −1 = {( a , b ) , ( b, a ) , ( a , c ) , ( c , a ) , ( b, c ) , ( c , b ) , ( c , d ) , ( d , c )} V adalah {(1, 4 ) , (1, 3 ) , ( 2, 3 ) , ( 3,1) , ( 4,1)} , maka : Jika R dan S simetri, demikian pula R ∩ S dan R ∪ S . S D R = {(1, 3 ) , (1, 4 ) , (1,1) , ( 2,1) , ( 3, 3 )} R dan S relasi pada A dan (R∩ S) R D S = {(1, 2 ) , ( 2, 2 ) , ( 3, 2 ) , ( 3,1) , ( 3, 3 ) , ( 4, 2 ) , ( 4,1) , ( 4, 3 )} 2 …….. Tanggal 28 September 2006 1. Closure. Ada sebuah relasi R sebarang. Kita menginginkan suatu sifat tertentu pada R tersebut. Jadi perlu kita tambahkan elemen-elemen (tuple-tuple) pada R tersebut sehingga sifat yang diinginkan terpenuhi. Relasi yang baru terbentuk dengan penambahan elemen tersebut, sebut R1 , ini disebut dengan CLOSURE dari R bila elemen yang kita tambahkan seminimal mungkin. a. A = {1, 2, 3} dan R = {(1,1) , (1, 2 ) , ( 2,1) , (1, 3 ) , ( 3,1)} . Agar R bersifat Reflexive harus ditambahkan elemen-elemen seminimal mungkin yakni ( 2, 2 ) dan ( 3, 3 ) menjadi R1 = {(1,1) , (1, 2 ) , ( 2,1) , ( 2, 2 ) , (1, 3 ) , ( 3,1) , ( 3, 3 )} sehingga berdampak pada R ⊆ R1 . R1 adalah reflexive closure untuk relasi R . b. Representasi matriks adalah sebagai berikut : ⎡0 ⎢0 MS = ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1 R pada set A dan R tidak reflexive. R1 = R ∪ Δ dimana Δ adalah relasi “=”. Agar R1 symmetric maka R1 = R ∪ R −1 maka R1 adalah symmetric closure dari R . Contoh : A = {a , b, c , d } ; R = {( a , b ) , ( b, c ) , ( a , c ) , ( c , d )} ; Δ = {( a , a ) , ( b, b ) , ( c , c ) , ( d , d )} Arwin@23206008 M SDR ⎡1 ⎢1 =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 1 1⎤ ⎡1 ⎢0 0 1 0 ⎥⎥ ; MR = ⎢ ⎢0 0 0 0⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 1 1 0⎤ ⎡1 ⎢1 0 0 1 ⎥⎥ ; M R: S = ⎢ ⎢0 1 0 0⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 0 1 1⎤ 0 0 0 ⎥⎥ sedangkan 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦ 0 1 1⎤ 0 0 0 ⎥⎥ maka M R: S = M S D R 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦ Dengan cara yang sama akan ditemukan bahwa M S : R = M RD S Arwin@23206008 21 ⎡0 ⎢0 MR = ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1 3. 0 1 1⎤ ⎡1 ⎢0 0 1 0 ⎥⎥ ; MS = ⎢ ⎢0 0 0 0⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 22 1 1 0⎤ ⎡0 ⎢0 0 0 1 ⎥⎥ ; M R: S = ⎢ ⎢1 1 0 0⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣1 1 0 0⎤ 1 0 0 ⎥⎥ 1 1 0⎥ ⎥ 1 1 0⎦ Transitive closure R ∞ . A = {1, 2, 3, 4} ; R = {(1, 2 ) , ( 2, 3 ) , ( 3, 4 ) , ( 2,1)} → (1,1) , (1, 3 ) , ( 2, 2 ) , ( 2, 4 ) R ∞ = {(1,1) , (1, 2 ) , (1, 3 ) , (1, 4 ) , ( 2,1) , ( 2, 2 ) , ( 2, 3 ) , ( 2, 4 ) , ( 3, 4 )} R ⊆ R∞ → 1 0 0⎤ ⎡1 0 1 0⎥⎥ ⎢⎢0 = 0 0 1 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 0 1 0⎤ 1 0 1 ⎥⎥ → M R4 = M R 2 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦ M R5 = M R4 : R ⎡1 ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 1 0⎤ ⎡0 1 0 1 ⎥⎥ ⎢⎢1 x 0 0 0⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 1 0 0⎤ ⎡0 0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎢1 = 0 0 1⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 1 0 1⎤ 0 1 0 ⎥⎥ → M R5 = M R3 dst. 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦ M R∞ = M R ∨ M R2 ∨ ................. akan diperoleh : ⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 4. 1 0 0⎤ 0 1 0 ⎥⎥ → 0 0 1⎥ ⎥ 0 0 0⎦ tidak transitive. Agar bersifat transitive, lakukan perkalian ⎡0 ⎢1 =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 1 0 0⎤ ⎡0 0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎢1 x 0 0 1 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 R ∪ R 2 = M R2 ⎡1 ⎢0 ∨ MR = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 M R3 = M R2 : R ⎡1 ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 1 0 0 ⎤ ⎡1 0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎢0 ∨ 0 0 1 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 0 1 0⎤ ⎡0 1 0 1 ⎥⎥ ⎢⎢1 ∨ 0 0 0⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 1 0 1⎤ ⎡1 ⎢1 0 1 0 ⎥⎥ ∨ .... = ⎢ ⎢0 0 0 0⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 1 1 1⎤ 1 1 1 ⎥⎥ → transitive 0 0 1⎥ ⎥ 0 0 0⎦ Algoritma Warshall a. Langkah 1 – Wk diperoleh dari Wk −1 dengan mentransfer semua “1”. b. Langkah 2 – Daftar posisi-posisi dalam kolom k dari Wk −1 dimana entry-nya adalah “1”, demikian pula dengan posisi-posisi baris k dari Wk −1 dimana entry-nya adalah “1”. hingga level tertentu dan joint-kan dengan matriks pada level yang lebih rendah : M R 2 = M R: R 1 0 1 ⎤ ⎡0 0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎢1 x 0 0 0⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 transitive Representasi graph untuk relasi R di atas adalah : ⎡0 ⎢1 MR = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 M R4 = M R 3 : R ⎡0 ⎢1 =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 1 0 0 ⎤ ⎡1 0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 = 0 0 1⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 0 1 0⎤ ⎡0 1 0 1 ⎥⎥ ⎢⎢1 ∨ 0 0 0⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 0 1 0⎤ ⎡0 1 0 1 ⎥⎥ ⎢⎢1 x 0 0 0⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 0 1 0⎤ 1 0 1 ⎥⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦ 1 0 0 ⎤ ⎡1 0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎢1 = 0 0 1 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 1 0 0⎤ ⎡0 0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎢1 = 0 0 1 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0⎦ ⎣0 c. Langkah 3 – Letakkan “1” pada posisi ( j , i ) yang diperoleh pada langkah 2 Contoh : Matriks pada contoh sebelumnya. ↓ ⎡0 ⎢1 W0 = M R = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 1 1 0⎤ 1 1 1 ⎥⎥ 0 0 1⎥ ⎥ 0 0 0⎦ 1 0 0⎤ ← 0 1 0 ⎥⎥ terdapat “1” pada baris 1 (2) dan kolom 1 (2). 0 0 1⎥ ⎥ 0 0 0⎦ ↓ ⎡0 ⎢1 W1 = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 1 0 1⎤ 0 1 0 ⎥⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦ Arwin@23206008 1 1 0 0 0 1 0 0 0⎤ 0 ⎥⎥ ← terdapat “1” pada baris 2 (1, 2, 3) dan kolom 2 (1, 2). 1⎥ ⎥ 0⎦ Arwin@23206008 23 24 ↓ 5. Tanggal 5 Oktober 2006 ⎡1 ⎢1 W2 = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 1 1 0⎤ terdapat “1” pada baris 3 (4) dan kolom 3 (1, 2). 1 1 0 ⎥⎥ 0 0 1⎥ ← ⎥ 0 0 0⎦ ⎡1 ⎢1 W3 = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 1 1 0 0 W4 = W3 → Fungsi. 1 1 0 0 1. Prinsip Sangkar Merpati Contoh : Ambil n + 1 bilangan bulat sebarang maka sekurang-kurangnya ada 2 yang selisihnya ↓ dapat dibagi n . 1⎤ terdapat “1” pada kolom 4 (1, 2, 3). 1 ⎥⎥ 1⎥ ⎥ 0⎦ ← Misal : n = 10 tidak ada perubahan lagi. 5 7 5 1 6 1 7 0 9 1 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 7 15 21 26 31 37 40 59 101 217 n + 1 bilangan; maka bilangan tersebut akan masuk pada salah satu dari n kelas kongruen. f : A → B . Contoh : fungsi Nilai sebagai berikut : a mod b → sisa bila a dibagi b a ≡ b mod n → a mod m = b mod n atau a − b dapat dibagi n - f tidak onto - surjection - f -nya surjective Contoh : Angie mempunyai waktu 3 minggu untuk mempersiapkan diri guna mengikuti turnamen tennis. Dia memutuskan untuk berlatih tiap hari selama 3 minggu dengan sekurang-kurangnya memainkan 1 set dan sebanyak-banyaknya 3 set, tetapi secara keseluruhan dalam 3 minggu tersebut tidak lebih dari 36 set yang dimainkan. Tunjukkan bahwa terdapat periode (hari berturut-turut) dimana dia memainkan pasti 21 set. - onto = surjective Jawab : Set latihan : a1 , a2 , ........................, a21 dimana 1 ≤ ai ≤ 3; 1 ≤ i ≤ 21 maka : - one-to-one dan onto one-to-one correspondence bijective A= B Arwin@23206008 Hari ke Jumlah Set Total ∑ set 1st 2nd 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ||| | || ||| | | ||| || | || 3 1 2 3 1 1 3 2 1 2 3 4 6 9 10 11 14 16 17 19 1 3 6 7 8 11 13 14 16 3 4 5 8 10 11 13 1 2 5 7 8 10 3 4 6 7 9 Arwin@23206008 25 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 1 2 1 3 2 1 1 2 1 2 | | || || | ||| || | || | || 20 21 23 24 27 29 30 31 33 34 36 26 17 18 20 21 0 2 3 6 8 9 10 12 13 15 14 15 17 18 21 11 12 14 15 18 20 21 ⎛1 1A = ⎜ ⎝1 ⎛1 P1 = ⎜ ⎝1 10 11 13 14 17 19 20 21 2 3⎞ ⎟ 2 3⎠ 2 3⎞ ⎟ 3 2⎠ ⎛1 P2 = ⎜ ⎝2 ⎛1 P3 = ⎜ ⎝2 2 3⎞ ⎟ 1 3⎠ 2 3⎞ ⎟ 3 1⎠ ⎛1 P4 = ⎜ ⎝3 ⎛1 P5 = ⎜ ⎝3 2 3⎞ ⎟ 1 2⎠ 2 3⎞ ⎟ 2 1⎠ P4 = {(1, 3 ) , ( 2,1) , ( 3, 2 )} → P4−1 = {( 3,1) , (1, 2 ) , ( 2, 3 )} = {(1, 2 ) , ( 2, 3 ) , ( 3,1)} ⎛1 2 3⎞ P4−1 = ⎜ ⎟ = P3 ⎝2 3 1⎠ Kesimpulan : Permutation product-nya adalah : Hari latihan adalah hari 1 s.d. 12, 2 s.d. 14, 4 s.d 15, 5 s.d 17 dan 6 s.d 18. 2. ⎛1 2 3⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 2 3⎞ P2 o P3 = ⎜ ⎟ o⎜ ⎟=⎜ ⎟ = P1 ⎝ 2 1 3⎠ ⎝ 2 3 1⎠ ⎝ 1 3 2⎠ Fungsi bijection : one-to-one dan onto, A = B . f :A→B (lakukan dari belakang ke depan atau P3 → P2 ) f : A → A . Permutasi dapat direpresentasikan dengan fungsi bijection. 3. A = {a1 , a2 , .................., an } . r elemen dari A yang berbeda b1 , b2 , ..................., br Permutasi P : A → A adalah p ( b1 ) = b2 , p ( b2 ) = b3 , ............., p ( br −1 ) = b, p ( br ) = b1 p ( x ) = x untuk x ∈ A dan x ∉ {b1 , b2 , ..........., br } disebut dengan cyclic permutation atau cycle dan dinyatakan dengan ( b1 , b2 , ........, br ) {( a , c ) , ( b, a ) , ( c, b ) , ( d , d ) , ( e, e )} {( a, a ) , ( b, b ) , ( c, c ) , ( d , d ) , ( e, e )} ⎛ a A = {a , b, c , d , e} → ⎜ ⎝ p (a ) b c d p (b) p (c ) p (d ) e ⎞ ⎟ p (e ) ⎠ b c d b c d e⎞ ⎟ e⎠ ; Contoh : A = {1, 2, 3} maka P33 = ⎛a P2 = ⎜ ⎝c b c d a b d ⎛1 2 3 4 5⎞ P =⎜ ⎟ = (1, 3, 5 ) → cycle ⎝3 2 5 4 1⎠ Penulisan cycle tidak secara eksplisit menyatakan set-nya, kecuali bila : (1, 3, 5 ) Maka ⎛a P1 = ⎜ ⎝a Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5} → A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ⎛1 2 3 4 5 6 7 8 9⎞ ⎜ ⎟ = (1, 3, 5 ) set-nya perlu dinyatakan. ⎝ 3 2 5 4 1 6 7 8 9⎠ e⎞ ⎟ e⎠ Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⎛1 2 3 4 5 6⎞ ⎟ → cycle dengan panjang 4 ⎝ 3 2 5 1 4 6⎠ ( 4,1, 3, 5 ) = ⎜ 3! 1.2.3 = = 6 dan diperoleh : ( 3 − 3 ) ! 0! ⎛1 2 3 4 5 6⎞ ⎟ → cycle dengan panjang 3 ⎝1 2 5 4 6 3⎠ ( 5, 6, 3 ) = ⎜ Arwin@23206008 Arwin@23206008 27 28 ⎛1 2 3 4 5 6⎞ ⎟ ⎝ 3 2 4 1 6 5⎠ ⎛1 2 3 4 5 6⎞ ( 5, 6, 3 ) o ( 4,1, 3, 5 ) = ⎜ ⎟ ⎝ 5 2 6 1 4 3⎠ ( 4,1, 3, 5 ) o ( 5, 6, 3 ) = ⎜ Contoh : A = {1, 3, 4, 6,12} dan R : relasi dapat membagi, maka : tidak sama. ⎪⎧(1,1) , (1, 3 ) , (1, 4 ) , (1, 6 ) , (1,12 ) , ( 3, 3 ) , ( 3, 6 ) , ( 3,12 ) , ⎪⎫ R=⎨ ⎬ ⎩⎪( 4, 4 ) , ( 4,12 ) , ( 6, 6 ) , ( 6,12 ) , (12,12 ) ⎭⎪ Pada umumnya c1 o c2 ≠ c2 o c1 . 4. 1 3 4 6 12 ⎡1 ⎢0 ⎢ M R = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣⎢0 2 cycle dari set A disebut disjoint jika tidak ada elemen A yang muncul bersama pada kedua cycle. Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⎛1 2 3 4 5 6⎞ ⎟ ; ⎝ 2 4 3 1 5 6⎠ ( 4,1, 2 ) = ⎜ ⎛1 2 3 4 5 6⎞ ⎟ ⎝ 1 2 5 4 6 3⎠ ( 5, 6, 3 ) = ⎜ ⎛1 2 3 4 5 6⎞ ⎟ ⎝ 2 4 5 1 6 3⎠ ⎛1 2 3 4 5 6⎞ ( 5, 6, 3 ) o ( 4,1, 2 ) = ⎜ ⎟ ⎝ 2 4 5 1 6 3⎠ 1 1 1 1⎤ 1 0 1 1 ⎥⎥ 0 1 0 1⎥ ⎥ 0 0 1 1⎥ 0 0 0 1 ⎥⎦ 1 3 4 → 6 12 perhatikan segitiga atas. Elemen-elemennya reflexive, antisymmetric dan transitive. ( 4,1, 2 ) o ( 5, 6, 3 ) = ⎜ 7. Relasi c1 o c2 = c2 o c1 bila c1 dan c2 disjoint. A = {1, 2, 3} ; R = ≤ = {(1,1) , (1, 2 ) , (1, 3 ) , ( 2, 2 ) , ( 2, 3 ) , ( 3, 3 )} R = ≥ = {(1,1) , ( 2,1) , ( 2, 2 ) , ( 3,1) , ( 3, 2 ) , ( 3, 3 )} 5. Cycle dengan panjang 2 disebut dengan transposisi. Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⎛1 2 3 4 5 6⎞ (1, 2 ) = ⎜ ⎟ ; ⎝ 2 1 3 4 5 6⎠ ⎛1 2 3 4 5 6⎞ ( 2, 6 ) = ⎜ ⎟ ⎝1 6 3 4 5 2⎠ ⎡ 1 1 1⎤ M R ≤ = ⎢⎢0 1 1⎥⎥ ⎣⎢0 0 1⎥⎦ Permutasi dapat ditentukan dari product of transposition sebagai berikut : Contoh : ⎛1 2 3 4 5 6⎞ ⎟ ⎝1 2 5 4 6 3⎠ 1 2 3 4 5 6⎞ ⎛1 2 3 4 5 6⎞ ⎛ ( 3, 6 ) o ( 3, 5 ) = ⎜ ⎟ o⎜ ⎟ ⎝ 1 2 6 4 5 3⎠ ⎝1 2 5 4 3 6⎠ ⎛1 2 3 4 5 6⎞ =⎜ ⎟ ⎝1 2 5 4 6 3⎠ A = {1, 2, 3, 4,12} R = dapat membagi ( 3, 5, 6 ) = ⎜ ; ⎧⎪(1,1) , (1, 2 ) , (1, 3 ) , (1, 4 ) , (1,12 ) , ( 2, 2 ) , ( 2, 4 ) , ⎫⎪ P = ( A,|) maka : R = ⎨ ⎬ ⎪⎩( 2,12 ) , ( 3, 3 ) , ( 3,12 ) , ( 4, 4 ) , ( 4,12 ) , (12,12 ) ⎪⎭ sama. (1, 3, 5, 4 ) = (1, 3 ) o (1, 5 ) o (1, 4 ) 6. ⎡1 0 0 ⎤ M R≥ = ⎢⎢1 1 0 ⎥⎥ ⎣⎢1 1 1 ⎥⎦ → Partially Ordered Set (Poset) Sebuah set A dan relasi R pada A yang mempunyai sifat reflexive, antisymmetric dan Hilangkan loop path transitive disebut dengan Poset. Digraph Arwin@23206008 Arwin@23206008 29 30 12 9. Sebuah Poset sekurang-kurangnya mempunyai 1 maximal element dan 1 minimal element. Sebuah elemen a ∈ A disebut greatest element jika x ⊆ a∀x ∈ A . Sebuah elemen a ∈ A disebut 4 3 least element jika a ⊆ x∀x ∈ A . Jadi sebuah Poset mempunyai sebanyak-banyaknya 1 greates element dan 1 least element. Contoh : A = {2, 4, 6, 8,12,18, 24, 36, 72} ; → 2 R = dapat membagi 1 Hilangkan transitive path Hilangkan tanda panah dan jadilah Elemen 2 dan 3 tidak comparable Hash diagram yang menyatakan P = ( A,|) Bila setiap pasang elemen dalam suatu Poset adalah comparable, maka Poset tersebut disebut dengan linearly ordered atau linear order atau chain. Contoh : A = {1, 2, 3, 4,12} 10. P = ( A, ≤ ) dan B ⊆ A . a ∈ A disebut upper bound dari B jika b ≤ a ∀b ∈ B . a ∈ A disebut lower bound dari B jika a ≤ b ∀b ∈ B . Contoh : B = {24,12} 8. Sebuah elemen a ∈ A disebut maximal element jika tidak ada elemen c ∈ A hingga a < c . Sebuah elemen a ∈ A disebut minimal element jika tidak ada elemen c ∈ A hingga c < a . Contoh : A = {2, 3, 4, 6,12,18, 24, 36} ; R = dapat dibagi Poset tanpa greatest dan least elements. Arwin@23206008 Least upper bound (lub) adalah 24 dan greates lower bound (glb) adalah 12. Arwin@23206008 31 32 Tanggal 6 Oktober 2006 Tanggal 12 Oktober 2006 1. 1. Perhatikan gambar berikut ini : B⊆ A Distributive Lattice, contoh : Ambil elemen a , b, c B1 = {a , b} ; B2 = {c , d , e} a ∧ (b ∨ c ) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c ) glb B1 tidak ada, lub B1 = c glb B2 = c , lub B2 = h (?) a∧I = a = ∨ a O a Sifat : distributif B1 tidak mempunyai lower bound dan mempunyai upper bound c , d , e , f , g , h Ambil elemen a , b, c a ∧ (b ∨ c ) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c ) B2 mempunyai lower bound a , b, c dan a∧I mempunyai upper bound f , g , h = ≠ a ∨ b O b Sifat : tidak distributif B⊆ A B = {6, 7,10} Ambil elemen a , b, c a ∧ (b ∨ c ) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c ) upper bound {10,11} maka lub 10 lower bound {4,1} maka glb 4 a∧I = a ≠ ∨ O O O Sifat : tidak distributif 2. 2. Teorema : Sebuah lattice, L , non distributive jika dan hanya jika mengandung sublattice yang isomorphic dengan salah satu dari lattice di atas, yakni : Lattice Sebuah lattice adalah sebuah Poset dimana setiap subset dengan 2 elemen {a , b} , mempunyai “lub” dan “glb”, kita tuliskan LUB {a , b} dengan a ∨ b (joint) dan I GLB {a , b} dengan a ∧ b (meet). Contoh : A = {1, 2, 4, 5,10, 20} ; R = dapat membagi maka : ⎧⎪(1,1) , (1, 2 ) , (1, 4 ) , (1, 5 ) , (1,10 ) , (1, 20 ) , ( 2, 2 ) , ( 2, 4 ) , ( 2,10 ) , ( 2, 20 ) , ⎫⎪ R=⎨ ⎬ ⎪⎩( 4, 4 ) , ( 4, 20 ) , ( 5, 5 ) , ( 5,10 ) , ( 5, 20 ) , (10,10 ) , (10, 20 ) , ( 20, 20 ) ⎪⎭ Arwin@23206008 a b c O Arwin@23206008 33 3. 34 Lattice hingga dengan greatest element I dan least element O dimana a ∈ L . Sebuah elemen a ' ∈ L disebut komplemen a jika a ∨ a ' = I dan a ∧ a ' = O didapat pula bahwa O ' = I dan I ' = O . Contoh : 4. Finite Boolen Algebra. ( Contoh : S = {a , b, c} ; P ( S ) , ⊆ ) ( dan T = {2, 3, 5} ; P (T ) , ⊆ maka : {a,b,c} {2,3,5} {b,c} {3,5} ⇔ {5} {2,5} a' = c b' = c a∧c =O b∧c =O a∨c = I ) isomorphic {3} {2,3} {c} {a,c} {b} {a,b} b∨c = I ∅ {2} ∅ {a} f : S → T didefinisikan sebagai berikut : ({a}) = {2} ({b}) = {3} f ({c} ) = {5} S = {a , b, c} ⎧⎪∅, {a} , {b} , {c} , {a , b} , ⎫⎪ P(S) = ⎨ ⎬ ⎩⎪{a , c} , {b, c} , {a , b, c} ⎭⎪ {a} ' = {b, c} = A {a} ∨ {b, c} = {a , b, c} {a} ∧ {b, c} = ∅ ∅ 15 5 10 3 6 2 1 f f ({∅}) = {∅} ({a , b, c}) = {2, 3, 5} ∅ = 000 {a , b} = 110 {a} = 100 {a , c} = 101 {b} = 010 {b, c} = 011 {c} = 001 {a , b, c} = 111 D20 = ({1, 2, 4, 5,10, 20} ,|) 30 f f ⎧1; if a ∈ S fA = ⎨ ⎩0; if a ∉ S 2∧5 =1 tidak komplemen 2 ∨ 5 = 10 4∧5 = O 4∨5 = I ({a , b}) = {2, 3} ({a , c}) = {2, 5} f ({b, c} ) = {3, 5} f f 4' = 5 5' = 4 5. Lattice Bn . Jika x = a1 , a2 , ............, an dan y = b1 , b2 , ............., bn elemen dari Bn , maka : a. D30 = ({1, 2, 3, 5, 6,10,15, 30} ,|) ∅ a≤b jika dan hanya jika ak ≤ bk (sehingga bilangan 0 dan 1) untuk k = 1, 2, ............., n 1' = 30 2' = 15 3' = 10 b. x ∧ y = c1c2 .......cn dengan ck = min {ak , bk } . Contoh : 010 ∧ 101 = 000 c. x ∨ y = c1c2 .......cn dengan ck = max {ak , bk } . Contoh : 010 ∨ 101 = 111 d. x mempunyai sebuah komplemen x ' = y1 y2 ....... yn dengan yk = 0 bila xk = 1 dan 5' = 6 yk +1 = 1 bila xk = 0 . Contoh : 010' = 101 Bila lattice-nya distributif, maka setiap elemen mempunyai sebuah komplemen yang unik. Arwin@23206008 Arwin@23206008 35 36 6. Teorema : Ambil n = p1 p2 ........ pn , dengan pi bilangan-bilangan prima yang berbeda, maka Dn adalah sebuah aljabar Boolean. Contoh : 2 | 210 6 | 210 210 = 2.3.5.7 → D210 0 1 ( P ( S ) , ⊆) ≅ B n Contoh : D6 = n=3 2 66 = 2.3.11 → dengan S = n 30 | 210 3 | 210 10 | 210 70 | 210 dstnya 5 | 210 21 | 210 105 | 210 7 | 210 35 | 210 210 | 210 {1, 2, 3,11, 22, 33, 66} ({1, 2, 3, 6} ,|) ≅ isomorphic ≅ isomorphic D66 D6 B2 7. f : D6 → B2 B3 Teorema : Suatu rumus yang mendekatkan ∪, ∩ atau yang berlaku untuk subset-subset sebarang dari sebuat set S akan tetap berlaku untuk elemen sebarang dari sebuah aljabar Boolean L f (1) = 00 f ( 3 ) = 10 f ( 2 ) = 01 f ( 6 ) = 11 jika ∧ disubstitusikan untuk ∩ dan ∨ untuk ∪ . Contoh : L aljabar Boolean sebarang dan X , Y dalam L maka : D20 = ({1, 2, 4, 5,10, 20} ,|) diperoleh bahwa D20 ≠ 2 maka D20 bukan aljabar Boolean. n D30 = ({1, 2, 3, 5, 6,10,15, 30} ,|) diperoleh bahwa D30 = 2n maka D30 aljabar Boolean, B3 ( X ') ' = X ( X ∧ Y ) = X '∨ Y ' ( X ∨ Y ) = X '∧ Y ' dimana n = 3 . Bagaimana dengan A = {1, 2, 3, 6,12, 24, 36, 72} dimana P ( A,|) ? ( 010 ∧ 011) = ( 010 ) '∨ ( 01 = 101 ∨ 100 = 101 Setiap Dm mempunyai kemungkinan menjadi aljabar Boolean. Untuk melihat suatu set adalah aljabar Boolean, gunakan aturan di atas. 8. Arwin@23206008 ( L, ⊆ ) ⇔ ( P ( S ) , ⊆ ) adalah aljabar Boolean bila memiliki sifat-sifat 1 – 14 (hal. 219-220). Arwin@23206008 37 38 Contoh : c ' = a, b → c∧a =O c∨a= I c∧b=O c∨b= I B2 = B × B B1 Karena c ' tidak unik yakni a , b maka lattice ini bukan aljabar Boolean. 9. Contoh : Tunjukkan jika a bilangan bulat positif dan p 2 | n dengan p bilangan prima adalah aljabar Boolean. 1=∅ 6 = {2, 3} 35 = {5, 7} B4 = B × B × B × B 2 = {2} 10 = {2, 5} 30 = {2, 3, 5} 210 = 2.3.5.7 → 3 = {3} 14 = {2, 7} 42 = {2, 3, 7} 210 = {2, 3, 5, 7} 5 = {5} 15 = {3, 5} 70 = {2, 5, 7} 7 = {7} 21 = {3, 7} 105 = {3, 5, 7} S = {2, 3,5,7} = P ( S ) 10. 12. Pelajari aljabar Boolean hal. 223-237. 13. Group → Himpunan dan Operasi (harus punya sifat Tertutup) Contoh : * = + , Z + = { x | x bilangan positif } Jika | n → n = p 2Q bilangan bulat positif. p juga membagi n . bn bukan aljabar Boolean 3* 5 = 3 + 5 = 8 → 8∈ Z+ maka D elemen Dn . Contoh : A = {0,1} n = 40 → D40 = ? D40 = 23 .5 11. ∧ = meet 2 | 40 2 | 20 ∧ 0 1 0 0 0 ∨ 0 1 0 0 1 1 1 0 1 2 | 10 5 * a b c d Karena ada pangkat, maka bukan aljabar Boolean. a a c b d b b c b a Teorema : Untuk n ≥ 1, Bn = B × B × ................ × B sebanyak n kali merupakan product Poset. A = {a , b, c , d } c c d b c d a a b b 1 1 Bukan komutatif karena a*b = c b*a = b Arwin@23206008 * a b c a b a c c d b d b a d c b b a c d d a c d Komutatif karena symmetric pada diagonalnya Arwin@23206008 39 40 Himpunan penjumlahan pada bilangan bulat positif Z + = {0,1, 2,............................} Tanggal 16 Nopember 2006 A* A → A 1. (1 + 2 ) + 3 = 1 + ( 2 + 3 ) Group dan Semigroup. Misalkan suatu mesin penjual dengan pilihan koin 200 dan 500. ( Permen karet - 400 (200, 200) → permen karet A = {200,500} Permen biasa - 700 (200, 500) → permen biasa B = {karet , biasa , coklat } Permen coklat - 1000 (500, 200) → permen biasa + contoh : 1 + 2 = 3 → 3 ∈ A − asosiatif (tidak peduli urutan pengerjaannya) ) Maka : Z ,* adalah semigroup. 2. (500, 500) → permen coklat e ∈ A sehingga e * x = x * e dimana x∀x ∈ A , maka e disebut elemen identitas (satuan). 0 ∈ Z + elemen identitas untuk operasi + Contoh : f : A× A → B 0+5=5+0 5 + 6 = 6 + 5 − komutatif Onto bila setiap elemen dalam Range tercover oleh elemen dari Domain 3. y ∈ A dimana y * x = x * y = e maka y adalah invers x , dituliskan dengan x −1 4. Flow chart group dan semigroup. 5. Himpunan bilangan bulat Z dan operasi +. Buktikan bahwa ( Z , + ) adalah abelian group ! Definisi : Operasi biner → fungsi Tabel multiplikasi menyatakan sebuah operasi biner Koin yang dimasukkan Barang yang dikeluarkan f 200 500 (200, 200) Karet 200 Karet Biasa (200, 500) Biasa 500 Karet Coklat (500, 200) Biasa (500, 500) Coklat Himpunan dan sebuah operasi biner pada elemen-elemen himpunan tersebut sehingga sifat operasi tersebut tertutup (pada satu himpunan) dan asosiatif disebut semigroup → himpunan ( A,*) 2 → −2 − invers 0 → elemen identitas Warna rambut : orang asing (sifat → tertutup, f : A × A → A ) Gelap Gelap Terang Gelap ( 2 + ( −5 ) ) + 10 = 7 2 + ( ( −5 ) + 10 ) = 7 − asosiatif Warna Gelap Terang Gelap Terang ( −5 ) + 7 = 7 + ( −5 ) − komutatif Arwin@23206008 maka ( Z , + ) adalah abelian group. Arwin@23206008 41 42 Sedangkan ( Z , • ) bukan abelian group. * a b a a b b b a 8. a*b = b*a a * a = a; b * a = b a * b = b; a * a = a a * a −1 = a b * b −1 = a ⎛1 f2 = ⎜ ⎝2 ⎛1 f3 = ⎜ ⎝3 − komutatif (a * a ) * b = a * (a * b) Lihat dan pelajari contoh 18 hal. 312 dan contoh 6 hal. 331. − asosiatif − identitas 2 3⎞ ⎟ 3 1⎠ 2 3⎞ ⎟ 1 2⎠ ⎛1 2 3⎞ f1 = ⎜ ⎟ ⎝1 2 3⎠ − invers ⎛1 2 3⎞ f1 o f 2 = ⎜ ⎟ ⎝2 3 1⎠ Group permutasinya adalah A = { f1 , f 2 , f 3 , g1 , g2 , g3 } ( A, o) permutation group bersifat - tertutup Elemen invers adalah dirinya sendiri a*a = a b*b = a 6. A = {a1 , a2 ,....................., an } . - asosiatif - elemen satuan A * adalah himpunan dari string yang dibangun dari elemen- elemen A sehingga A* = {a1 , a2 , a1a2 , a2 a2 } . ⎛1 2 3⎞ f2 = ⎜ ⎟ ⎝1 3 2⎠ - invers Operasi • (penggandengan) “concatenation” pada elemen-elemen A * menghasilkan : a3 • a 2 a2 = a 3 a 2 a2 α = a1a2 a2 a2 β = a1a2 a3 a3 a1 γ = a1a2 a3 α gβ = a1a2 a2 a2 a1a2 a3 a3 a1 ( A*,g) adalah semigroup → free semigroup generated by A λ gβ = β β gλ = β dimana λ adalah string kosong Maka A* = {λ , a1 , a2 ,........., a1a1 , a2 a2 ,............} dapat menjadi monoid namun tidak abelian karena α gβ ≠ β gα 7. Himpunan A boleh mempunyai himpunan bagian ( B ⊆ A ) . Contoh : a , b ∈ B dan a * b ∈ B maka ( B ,* ) semigroup karena mempunyai sifat asosiatif. Misal : A = {1, 2, 3,...........} dan B = {1,4} dimana * adalah perkalian biasa, bila ( A,* ) semigroup maka ( B ,* ) adalah subsemigroup dan monoid dimana e = 1 . Arwin@23206008 Arwin@23206008