integrasi numerik dengan menggunakan metode monte carlo

I N T E G R A S IN U M E R I K
INTEGRASINUMERIK
DENGANMENGGUNAKAN
METODEMONTECARLO
OLeh, Or.Drs. lKhoe Nao.tung ,-M,]1.'
Abstruct
Spprox.Lmate integrals bg generating a larga numfor ol random numbers
and taking ss oul spproxLmstion the sueraga usluB ol tts functions..IhLs
approach to approxi,matlng intagrals is cqlLad the .Ilonte carlo approsch.
ona ol tha most uselul approach as a model ol complexes exparimant.
,.llonte carLo approach rsing the random sampling for probabiListtc euent.
not for exact result but approxlms,te result.'this ptper trg to dlscrts hom to
pnerate the pseudo-random numbers. and hom to approximate the defintte
intagrals.
Pendahuluan
Pada dasamya Metode Monte carlo dipergunakanurtuk menjawab
pertanyaan-perlanyaan
berikut: Bagaimanakah
kemurgkinansuatukeladianatau
kombinasikejadian-kejadian
yang timbul padasmtu proses?Atau padafrekuensi
yang keberapakah
suatukejadiandiikuti kejadian-ke.iadian
yang lain sehubungan
denganaltematif-altematif
yang ada.Jugarnisalnyakemungkinanrusaknyaproses
tertenfu.
Pembangkit bilangan acak
Pendekatan
integrasidenganmetodeini tidak mementingkanke "eksak"an
hasil,tetapicukup rnendekatihasil eksaknya.Hal ini dikarenakanmetodeMonte
Carlo menggunakanbilanganrandom(acak),tetapiperlu diingat bahwabilangan
acak ini tidak dihasilkansepertikita melemparmaLauang logamataupemutaran
rodakuis berangka.Bilanganacakini dihasilkandariprosesaritmatikadeterministik
*
'Ietap
'l'eknik
nga.iar
Stat'Pe
Fakultas
I J n i v e r s i t aK
s r i s t e nK r i d a W a c a n a J, a k a r t a .
Dircktur PusatPendidikanKomputcr Widyaloka. .lakarta
Meditek
59
I N T E G R A S IN U M E R I K
arlinyasekumpulan
bilanganyangmempunyaivariasihargastatistiktertentusecara
yang disebutdengankeacakan.
bersamaan
Tipc mekanismenya
adalahsebagaiberikut:
..(l)
{,,r:rx' (modN)
denganr danN tertentudanx disebutdenganseecl(benih)dari sederetan
bilangan
"acak" x. Metode yang sering digunakansebagaipembangkitbilangarradatah
modelmultiplikatil Dengankomputerdesimaldidapatkan
:
: / 4, (modl0') \, = I ..(2)
X,,,1
Yangbiasadigunakanolehpembangkitkomputerbineradalah:
(mod2') xn= I
x,,,,: (8t- 3) >q,
dengant yang cukup besar.Beberapapembangkitmempmyai elemenpertambahan
denganjalan sebagaiberikut:
x',,,: (r \, + s)(rnodN).
LJntuklebih lebih memahamikeacakan,sederetan
bilanganx harusmelalui
sekumpulantes statistik.Bilangantersebutharusterdistribusipadainterval(0.N).
lmrusmempunyai bilanganharapanke atasatauke bawahputarankedu,a(13. 69,
putaranketiga (09. 17,21,73) dan seterusnya.Seringkali
97, dan seterusnya),
sederetankeacakan yang baik (artinya benar-benaracak) tetapi terbuat dari
perumu$n tefientudikalakansederetan
bilangankeacakansemu.
Sebagaicontoh putaran kedua sederetanbilangan denganperkalian 13
modulusl0 dibuatdenganperkalianl3 dandiambil duanilai puluhanterakhirakan
didapatkanbilangandenganduadigit yaitu :
0 1 ,1 3 ,6 9 , 9 7 , 6 19,3 . . .
Sebuahcontohklasik denganmenggunakan
metodeMonte Carlo kita dapat
menenflrkanharga (prrbandinganantarakeliling lingkarandengandianretemya)
dalamarri probabilitas.Awal abadkesembilanbelasGeorgede Bu/fon,Naturalis
Perancismenggunakanjaruun halus yang panjangnyaa dilemparkansembarang
pada papan yang sama jaraknya dengan garis paralel. Kemungkinanjarum
memotongsalah satu garis adalah Zalnb. di mana b adalah jarak dari garis
60
Meditek
INTEGRAS
NIU M E R I K
paralel. Apa yang didapat cukup menakjubkantemyata besamyan dapat
ditentukansebesar
3,1415926....Dalamgeometrielementerpendekatan
dari keliling
pada poligon teraturteftutup dalam lingkarandari .ie.fari0.5. Apa yang didapat
Bullbn mengandrurg
arti n'rakinbesardari lemparan.
makanilai perbandinganyarig
melaluigaris semakinmendekati2a/nb. Karenanilai n sekarangdiketahuimaka
n :3.1519 (utuk 5000lemparan)dan rnendekati
3.155(unhrk3204 lernparan)
dalampertengahan
abadke sembilanbelas.
Dalambentukumumny4\,,r : r x,,modQll); r dan N harusdipilih bulat
positifdanmemenuhitiga kriteria:
l. [-intuksetiapmulai benih arval.hasil dcretanyang tampakharusbebas
dari variabelacakyang lebih seragamdi antara0 dan l.
2. Untuk setiap benih awal, variabel bilangan dapat dibentuk sebelum
pengulangan
rnenjadibesar.
3. Nilainya dapatmudahdihitungdengar.r
komputerdigital (efisien).
Sebagaicontoh yang mudah.suatusistemkomputeryang menggturakan
empat digit bilangan, katakanlah 3571. dan angka itu dikuadratkanalian
rnenghasilkan
12752041.
empatangkatengahnya.
dalam hal ini 7520diambildan
diset untuk ernpatangkalagi, dikuadratkandidapatkan56550400diarnbil empat
angka tengahnyalagi yaitu 5504 dan seterusny4te4adilahsuatu deretanyang
mengandungbilangan empat digit dari keacakansemu yang bergura dalam
keperluanpraktis.
Dalam berbagaibahasakomputer biasanyabilangan acak sudah ada
temrasuk di dalamnya dan dapat dibangkitkarl sebagai contoh. bahasa
pemrogamanPseudoprogram
Basicmenggunakanduaperintah:
RANDOMIZE
IJ = RND
Hasil dari instmksirandomizeadalahpermintaanuntuk menggunakaninpul
denganbenih x. nilai dari RND akanmewakilibilangan keacakansemuyang
berikutrya. Sebagaicontoh, berikut ini adalah pro$am turtuk menghasilkan
cetakandari hargadesimalkeacakansemu( 10p,seudtrcrndom).
RANDOMIZE
-fO
F O Rt - I
l0
U=RND
Meditek
6l
I N T E C R A S IN U M E R I K
PRIN'f
U
NEXT
Perhitungan Integrasi
integralmerupakansalahsatuhasilaplikasidasardari bilangan
Perhitungan
integasi..fikag(x) sebuahfturgsimakakita dapat
randomyangdisebutpendekatan
rnenghihngintegal dari :
0 : J,|g(x) dx
acakharusterdistribusisecaraseragam
Unhrknrenghitungnilai 0 bilar-rgan
antara(0.1) dandapatkita tuliskan0 sebagai:
0 : E[e(u)]
[)i manat]. . . . [J* adalahvariabclacakyiurgbebasdan seragamdalam
daerahjangkarnn (0,1). nilainya rnengikutivariabelacak g(U'), . . . g(UJ yang
bebasdanvariabelacakterdishibusiidentikmempunyairata-rataOolehdalil r-urtuk
bilanganbesaryangmengikuti.Denganprobabilitasl didapatkan:
L
t
i=l
.,,.
{:t!
E(gO) ):0 untuknilaik yangbesar.k
hasildari :
Sebagaicontohrnengl-ritung
J,lx dx
perkalianI 3 modulo 10 duadigit (01.
Kita mencobadenganmenggunakan
13. 69. 97 ...)makanilai integasidiatasdapatdihiturg sebagai:
* r o . o t+ 0 , 1 3+ 0 . 6 9+ 0 . 9 7+ 0 . 6 1 ) : 0 . 4 8
di atasjika dituliskandalarnbentukumunnya sebagaiberikut:
Prosedursederhana
fl e(*)d,:,ii st.l
62
Meditek
INTEGRAS
NIU M E R I K
I'lasilpembangkitacakdanhasilintcgraldi atasdapatkita tabelkandankita
sketsagrafiknyamasing-masing
denganmenggunakan
perkalian13, 17. l9 modulo
l0 berdigit2 (lihatGambar1.2dan3).
E'.,-"-
perdd<atan irtegr4i N/ONTE CARLO
x dx.
nilairandomperkalianl3 danhasilintegrasi
Gambar 1. Menunjukkanhasilpembangkitan
PadaGambar I terdapathasil dari integrasix dx. denganperkalianangka 13
padan:20, untukn yang
diambilduadigit terakhir.Hasil yang eksak didapatkan
pemilihansampling
karena
deviasi,
hal
ini
disebabkan
lebih besarkembali terdapat
keacakanyang harusmemenuhikriteria keacakansemuyang baik. Itulah sebabnya
kita tidak dapatmenemukansuatuhasil yang eksaksetelah dilakukan sekiankali
iterasi.
Meditek
63
I N T E G R A S IN U M E R I K
Integrasi
ke. : menunlukkan
banyalcrya
bilatgiur
n proses: mentu{ukkanperkaliankuadratnya
Random: hasilacak.r-nengambil
duadigit tcrakhirdariproses
hasilyangdidapatdarinurus(7).
Hasil : merupakan
PenGkahn krteqrasiN/onteCark)
G a m b a r 2 . M e n u n j u k k a r r h a s i l p e m b a n g k i l raannndi loarir p c r k a l ilaTnd a n h a s i ln t e g r a sxid x
PadaGambar2, bilanganacakclibentrkdari pcrkalian17,terlihattnencapai
nilai eksakpadapukrzmke 20 (bilangiuracakberulangpadaputaranke 2l) sama
halnyapadaperkaliar13.
PadaGantbar3 bilanganacakdibentukdaripcrkalian19,nilaieksaktcriacli
padaputaranke l0 dar-r20 (bilangarracakbcnrlangpadaputarankc I I dan2l). .lika
64
Mcditek
I N T E G R A S IN U M E R I K
semuyangbaik,makanilai
keacakarr
kita menemukansuatubilanganacakdengzur
prendekatan
akanlebihmendekatihasileksaknya.
NhiFlarrtrn
rrorilp.,nuu"ng;;;,,",
Gambar 3. Menuniukkan
randomperkalia.l9 danhasitintegrasix dx
Dalam pendekatandilakukan pembentukansejumlah bilangan acak.
perhitunganintegasi di atas adalah dengan rata-ratadari nilai yang terbenhrk.
Pencapaianpendekataninilah yang disebut dengan metode pendekatanMonte
untuk menghiturg hasil
Carlo. Di bawah ini adalahalgoritma Pseucloprogratn
MonteCarlo.
trlendekatan
RANDOMIZE
INPUTK
S:O
Meditek
65
I N T E G R A S IN U M E R I K
F O RI : I T OK
U _ RNI-)
s: g+ g(U)
NEXT
PRIN-fSiK
dari :
pendekatan
yangtefcetakmerupakanha^sil
I largake|-rara1
I,1g(x)<lx
t: g(x) dx. pendekatan
Bila kita menginginkan perhifturgar 0
=
dapatdibuat detrgal substitusi y= 1x-a)i(b-a).dy cly'(b-a)dan
perhitungannya
dihrlis:
clapat
(b-a)dY: h(Y)dY
e : I; g(a+(b-a)y)
Di mananilaih(y): (b-a)g(a+(b-a)y)
0 sccarakontinudilakukandengancara
dapatmencaripendekatan
LJnturli
prcmbangkitkrur
bilanganacakdan mengambilnilai ra[a-ratadari h yangdievaluasi
padabilangarrandomnYa.
Dengancarayangsamakita dapatmerrghiturg:
e : J; g(x)dx
dariy:
Dengansubstitusi
suatuidentitas:
l(x+l): dy: -d;/(x+l)t: -y'dx urtuk mendapatkan
o:il h0)dy
dimana:
hry):ql
bilangan acak kita unhrk dapat
pembang]<itrui
Depgarr nrenggturalizur
fiurgsi
menghitungpendekatanintegrasilipat nrulti clirnensi'Anggaplahg adalah
:
tlcngann dimerrsiargumen.Kita akandapatmenghitturg
6(>
Meditek
I N T E C R A SN
I UMERTK
0 : I; fi ... fi B(x,,...,
\,) ttx,dx,...d4,
Krurcidari pendekatan
Monte Carloadalahdenganmemperkirakan
terlcleli
dalamsuatudaerah.iangkauan
tertentu.dengan0 dapatdinyatakandalamekspektasi
sebagaiberikutberikut:
0:E(g(U,,...,U,,))
Di manaur-- u,, bebasdan seragamdaramjangka,an(0.1) padavariabcr
acak. .lika kita ingin rnembangkitkank sebagai himpunan bebas, yang
nrasing-nrasing
terdiri dari n variabelbebasciimseragamdalam jangkauan
10.1J
a k a nk i t a d a P a t l i a n '
,,'.'...,,'r
[,]r,.. . . . [ ],,r
ur'.....[ ],,1
Di nranakurnpulanbilanganacakg(Ui,.... .t-J',,).
i : 1,...,k semuanya
bebasclan
variabelacakterdistribusimerata.identikdenganrata-rata
hargaperkiraaan
yaitu:
A
U,,'Yk
L s(U,'....
Kesimpulan
l. MetodependekatanintegrasiMonte Carlo tidak bcrtujuantntuk mencarinilai
eksakdari integral,tetapihanyamendekatihargaeksaknyasaja.Pendekatinakan
Iebihbaik untuk nilai acakdengankeacakanscmLryangsesuaidannilai n yang
besar.
2. MetodeMonte Carlo ini dapatmenghitungpendekatan
integrasidengandirnensi
n. Serta dapat diselesaikandengancepat dan murah dengeu-r
mcnggunakan
mikrokomputer.
3. Karenamenggunakan
bilanganacak.nretodcMonteCarloini banyakcligr-urakap
dalarn trerbagaidisiplin ilmu, antara lain studi tentanstumbukanclcktron
Meditek
67
NUMERIK
INTEGRASI
denganphoton,hamburandari neuton. simulasieliminasi biaya bangunandan
operasiperalatannya.
Kepustakaan
1.Ross,SheldonM; A coursein Simulation,MacMillan PublishingCornpany.
NewYork.1991.
2. Scheid Francis;. Numerical Analysis, Schaum Series, McGraw Hill.
Singapore.1989.
3. Btnden, Ricard L., FairesJ. Douglas.;Numerical Analysis,4th edition
PWS-KENTPublishingCompany,Boston1989.
4. Rice,JohnR.; NumericalMethods,&fware andAnnlysis.2edMcgraw-Hill.
1985.
Singapore,
5. Miller Irwin. FreundJohn E.:Probabilityund Statisticsfor Engineers,3ed.
PrenticeHall lntemational.New Jenev 1985.
68
Meditek