SATUAN ACARA PENGAJARAN

SATUAN ACARA PENGAJARAN
Mata Kuliah
: Rangkaian Listrik II
Kode Mata Kuliah
: EES13253
Waktu Pertemuan
: 1x3x50 menit
Pertemuan ke
:6
A. Tujuan Instruksional
1. Umum
Mahasiswa dapat memahami rangkaian peralihan beban R-L
2. Khusus
Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-L
melalui analisis matematis
B. Pokok Bahasan
Analisa peralihan rangkaian listrik beban R-L
C. Sub Pokok Bahasan
1. Rangkaian R-L seri analisa orde I homogen
D. Kegiatan Belajar Mengajar
Tahap
Pendahuluan
Penyajian
Penutup
Kegiatan Pengajar
1. Meriview kembali materi
minggu sebelumnya
2. Menjelaskan manfaat
mempelajari rangkaian
peralihan beban R-L.
3. Menjelaskan secara
matematis, rumusan yang
digunakan.
4. Latihan soal
5. Menuliskan jawaban
mahasiswa di papan tulis.
6. Menjelaskan rumusan dari
maing-masing komponen
rangkaian.
7. Menjelaskan tugas yang
harus dilakukan
mahasiswa dalam
penggunaan rumusan.
8. Menutup pertemuan
a. Menunjuk beberapa
mahasiswa untuk
menyajikan hasil
latihan yang diberikan.
b. Mengundang
komentar/pertanyaan
dari mahasiswa.
c. Memberikan penilaian
berupa koreksi dan
analisa yang benar.
Kegiatan
Mahasiswa
Memperhatikan
materi.
Memperhatikan
Dan mencatat
Menjawab,
memberikan
sumbang saran.
Media dan alat
pengajaran
Note Book
LCD
Papan Tulis
Note Book
LCD
Papan Tulis
Memperhatikan
dan mencatat
Berlatih secara
individual dari
tugas yang
diberikan.
Menyajikan
jawaban dari
latihan yang
diberikan
Memberikan
komentar atau
pertanyaan
Memperhatikan
dan mencatat
komentar
pengajar tentang
Note Book
LCD
Papan Tulis
41
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
d. Memberikan
gambaran umum
untuk perkuliahan
berikutnya.
analisa yang
benar.
E. Evaluasi
1. Instrumen yang digunakan :
Tes lisan secara acak atau bergilir untuk menilai pemahaman
mahasiswa terhadap materi yang diberikan.
2. Instrumen ini digunakan minggu berikutnya setelah mahasiswa
memahami materi.
F.
Referensi
1. Budiono Mismail, Rangkaian Listrik
2. BL. Theraja, Hand Book Of Electrical Technology
3. Joseph A. Edminister, Rangkaian Listrik
4. Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 1,
Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995
5. Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 2,
Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995
6. William H.Hayt,Jr & Jack E. Kemmerly, Rangkaian Listrik Jilid
1(terjemahan Pantur Silaban), Penerbit Erlangga, Jakarta, 1991
Rencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan (RKBM)
Minggu
keVI
Pokok Bahasan
(Topik)
Analisa Peralihan
Rangkaian Listrik
Substansi
Rangkaian R-L seri analisa
orde I homogen
Beban R-L Seri
Metode
Ceramah
Diskusi
Latihan Soal
42
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
BAB VI
ANALISA PERALIHAN RANGKAIAN LISTRIK
BEBAN R-L
Tujuan Umum:
ƒ Mahasiswa dapat memahami konsep rangkaian peralihan /transien beban R-L
Tujuan Khusus:
ƒ Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-L
ƒ Mahasiswa menghitung rangkaian peralihan melalui analisis persamaan
differensial orde I
6.1. Rangkaian R-L (hubung seri)
1. Rangkaian R-L Dengan Persamaan Differensial Orde I
Analisa :
Rangkaian peralihan R-L disebut juga dengan analisa peralihan orde I,
dimana pengertian orde I adalah karena persamaan differensial (matematis)
rangkaian dalam analisa tersebut berupa persamaan differensial orde I.
Persamaan umum :
dy
+ P (t ) y = Q (t )
dt
Analisa I :
¾ Untuk t < 0 (saklar berhubung pada posisi 1), terjadi pada saat sebelum
transien/peralihan dalam waktu yang cukup lama.
43
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Gambar rangkaian adalah sebagai berikut :
Pada sumber DC → induktor merupakan elemen hubung singkat (short circuit)
Karena saklar masih berada pada posisi 1, limit t < 0 atau t (0 -)
Arus yang mengalir :
i (0-) =
V
R
¾ Untuk t > 0 (saklar pada posisi 2), saat terjadi arus transien rangkaian menjadi :
Atau
44
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Berlaku hukum Kirchoff II (HK. Tegangan Kirchoff) dimana :
∑V = 0
VL + VR = 0
VL = L
di (t )
dt
VR = i . R
™ Nilai i (t) solusi umum
L
L
di (t )
+ i (t ) R = 0
dt
↔ VL = - VR
di (t )
= − i (t ) . R
dt
di (t )
R
= − dt
i (t )
L
∫
di (t )
R
= ∫ − dt
i (t )
L
Ln i(t) =
Ln i(t) =
Ln
−
−
R
+ C → C = Ln k
L
R
t + Ln k
L
i (t ) − Rt
=
k
C
i (t )
− R .t
=e L
k
Maka solusi umum : i(t) = K .C
−R .t
L
™ Nilai (t) Solusi Khusus
Ingat sifat induktor :
45
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Arus tidak akan berubah secara tiba-tiba
iL (0-) = iL (0) = iL (0+)
iL (0-) = i (0) =
V
= iL (0+ )
R
Maka, harga khusus i(t)
iL (t) =
−R
V
. e L .t
R
Tegangan Induktor VL (t)
Pada t > 0
VL = L
di (t )
dt
= L
dV
.e
−R
L
.t
R
dt
− R .t
L
V d .e
= L .
R
dt
= L
V − R − R L .t
.
.e
R L
VL = − V e
−R
L
.t
46
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Gambar Grafik dari i (t) dan VL
i (t ) =
t < 0 = t (0 − )
V −R L .t
.e
R
VL (t ) = −V . e
−R .t
L
-V
Contoh Soal :
Sebuah rangkaian RL seri dengan harga R = 50 Ω, L = 10 H, disupplay dengan
tegangan 100 volt, pada saat saklar S ditutup, tentukan :
a) Persamaan untuk i(t), VR(t) dan VL (t)
b) Besar arus pada saat t = 0,5 S
c) Waktu (t) pada saat VR (t) = VL (t)
d) Buktikan bila t = L
R
, harga i = 63 % dari i maks.
Solusi :
a) i(t) = V
⎛1 . e − R L t ⎞⎟
R ⎜⎝
⎠
= 100
−150
⎛
⎞
1 . e 10 t ⎟
⎜
50 ⎝
⎠
(
= 2 1 −e
−5 t
)
VR (t) = i (t). R
(
= 2 1− e
−5 t
) . 50
=100 - 100e-5t Volt
VL (t) = V . e
−R
L
t
47
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
= 100 . e
−5 t
Volt
b) i (t) pada saat t = 0,5 dt
(
)
)
= 2 (1 − e
= 2 (1 − 2,718 )
i (t ) = 2 1 − e −5 . 0,5
−2 , 5
−2 , 5
= 2 (1 – 0,082)
= 1,835 A
c) t pada VR (t) = VL (t)
VR (t) = 100 – 100 e-5t
VL (t) = 100 e-5t, dimana :
100 – 100 e-5t = 100 e-5t
(
)
100 1 − e −5t = 100 . e −5t
1 − e −5t = e −5t
-2 e-5t = -1
e-5t = ½
-5t = -0,693
t=
0,693
5
= 0,1386 dt
d) Buktikan t = L
i (t ) = V
=V
=V
R
, Harga i = 63% I maks
⎛⎜1 . e − R L t ⎞⎟
R⎝
⎠
R
(1 − e )
R
(1 − 0,3678)
−7
= 100
50
(1 − 0,3678)
= 2 (1 − 0,3678) ⇒ 1,264 A, maka :
48
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
I max = V
R
= 100
50
= 2A
Imax pada saat i = 63%
= 63% . 2
= 0,63 . 2
= 1,264 A
49
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
SATUAN ACARA PENGAJARAN
Mata Kuliah
Kode Mata Kuliah
Waktu Pertemuan
Pertemuan ke
: Rangkaian Listrik II
: EES13253
: 1x3x50 menit
:7
A. Tujuan Instruksional
1. Umum
Mahasiswa dapat memahami rangkaian peralihan beban R-L
2. Khusus
Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-L
melalui analisis matematis
B. Pokok Bahasan
Analisa peralihan rangkaian listrik beban R-L
C. Sub Pokok Bahasan
1. Rangkaian R-L paralel analisa orde I homogen
2. Rangkaian R-L analisa orde I tak homogen
D. Kegiatan Belajar Mengajar
Tahap
Pendahuluan
Penyajian
Penutup
Kegiatan Pengajar
1. Meriview kembali materi
minggu sebelumnya
2. Menjelaskan manfaat
mempelajari rangkaian
peralihan beban R-L.
3. Menjelaskan secara
matematis, rumusan yang
digunakan.
4. Latihan soal
5. Menuliskan jawaban
mahasiswa di papan tulis.
6. Menjelaskan rumusan dari
maing-masing komponen
rangkaian.
7. Menjelaskan tugas yang
harus dilakukan
mahasiswa dalam
penggunaan rumusan.
8. Menutup pertemuan
a.Menunjuk beberapa
mahasiswa untuk
menyajikan hasil latihan
yang diberikan.
b.Mengundang
komentar/pertanyaan dari
mahasiswa.
c.Memberikan penilaian
berupa koreksi dan
Kegiatan
Mahasiswa
Memperhatikan
materi.
Memperhatikan
Dan mencatat
Menjawab,
memberikan
sumbang saran.
Media dan alat
pengajaran
Note Book
LCD
Papan Tulis
Note Book
LCD
Papan Tulis
Memperhatikan
dan mencatat
Berlatih secara
individual dari
tugas yang
diberikan.
Menyajikan
jawaban dari
latihan yang
diberikan
Memberikan
komentar atau
pertanyaan
Memperhatikan
dan mencatat
komentar
Note Book
LCD
Papan Tulis
50
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
analisa yang benar.
d.Memberikan gambaran
umum untuk Ujian Tengah
Semester.
pengajar tentang
analisa yang
benar.
E. Evaluasi
1. Instrumen yang digunakan :
Tes lisan secara acak atau bergilir untuk menilai pemahaman
mahasiswa terhadap materi yang diberikan.
2. Instrumen ini digunakan minggu berikutnya setelah mahasiswa
memahami materi.
F.
1.
2.
3.
4.
Referensi
Budiono Mismail, Rangkaian Listrik
BL. Theraja, Hand Book Of Electrical Technology
Joseph A. Edminister, Rangkaian Listrik
Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 1,
Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995
5. Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 2,
Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995
6. William H.Hayt,Jr & Jack E. Kemmerly, Rangkaian Listrik Jilid
1(terjemahan Pantur Silaban), Penerbit Erlangga, Jakarta, 1991
Rencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan (RKBM)
Minggu
keVII
Pokok Bahasan
(Topik)
Analisa Peralihan
Beban R-L Paralel
Substansi
Rangkaian R-L paralel
analisa orde I homogen
Rangkaian R-L analisa
orde I tak homogen
Metode
Ceramah
Diskusi
Latihan Soal
51
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
6.2. Rangkaian R-L Hubung Paralel
Pada posisi ini, switch berada pada posisi 1 dalam waktu yang cukup lama t (0-),
pada t = 0 mulai bergerak dari posisi 1 ke 2
Tentukan : i(t) dan VL(t) untuk t < 0 dan t > 0
Solusi Umum
Untuk menyelesaikan rangkaian ini, referensi adalah pada t=0 (switch dari 1 ke 2)
™ Pada saat t < 0 (saklar pada posisi 1) → t (0-)
i=∞
⇒
i(0-) =
R2
. I 0 ................................................................................................(1)
R1 + R2
persamaan ini merupakan persamaan pada kondisi t < 0, maka persamaan
menjadi
i (0-) =
R2
. I 0 ............................................................................................. (2)
R1 + R2
™ Pada saat t > 0 (saklar pada posisi 2)
52
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
berlaku hukum Kirchoff II (∑ k = 0)
VR1 + VR2 + VL = 0
VR1 = i (t) . R2
VR2 = i (t) . R2
VL = L
di
dt
di
(t ) = 0
dt
i (t) R1 + i (t) R2 + L
Persamaan Differensial orde I homogen
L
di (t )
= − i (t ) . R1 − i (t ) . R2
dt
L
di (t )
= − i (t ) ( R1 + R2 )
dt
di (t )
( R + R2 )
. dt
=− 1
i (t )
L
∫
(R + R2 ) .t dt
di (t )
= ∫− 1
i (t )
L
Ln i (t ) = −
Ln i (t ) = −
(R1 + R2 ) .t + C
L
(R1 + R2 ) .t + Ln k
L
(R + R )
Ln i (t )
= − 1 2 .t
L
k
i (t )
− ( R1 + R 2 )
L
=e
k
i (t ) = k . e
. t
− ( R1 + R 2 )
L
. t
........................................................................................ ( 3)
Solusi Khusus
Untuk mencari solusi khusus, maka dicari nilai dari konstanta k dengan cara
mencari nilai arus pada kondisi awal (t < 0), harus diingat sifat dari induktor, yaitu :
arus tidak dapat berubah secara tiba-tiba
( )
i1 0− = i (0) = i (0+ )
= K. e
−
( R1
+ R2 )
L
. t
53
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
= K =
( )
i 0+ =
R2
. I0
R1 + R2
−
R2
. I0 . e
R1 + R2
( R1
+ R2 )
L
. t
VL (t) = .......?
VL (t) = L
di (t )
dt
(R1
⎛ R
−
2
⎜
.I .e
= L.d
⎜ R1 + R2 0
⎝
−
+ R2
2
). L ⎞
(R1 + R2 ) . t
= L
R2
. I 0 d .e
R1 + R2
= L
(R + R2 ) . e
R2
. I0 − 1
R1 + R2
L
= − R2 . I 0 . e
−
( R1
+ R2 )
L
⎟
⎟
⎠
2
dt
−
( R1
+ R2 )
2
. t
. t
Grafik i (t) dan VL (t)
R2
. I0
R1 + R
0
− R2 . I 0 . e
− ( R1 + R2 )
L
. t
54
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
6.3. Rangkaian R-L dengan Persamaan Differensial Tak Homogen
Pada t < 0
a) Pada saat t < 0, saklar S terbuka
i (t) = 0
V (t) = 0
b) Pada saat t = 0, saklar S ditutup
VR = i (t) R
VL = L
di (t )
dt
Menurut Hk. Kirchoff II, ∑ V = 0
- V + VR + VL = 0
VR + VL = V
i (t) R + L
di (t )
= Vt
dt
merupakan P.D Orde I tak homogen
dy
+ P (t ) = q (t ) , sehingga
dt
L
di (t )
+ i (t ) R = V (t )
dt
Hitung harga i (t) dan VL (t)
Analisa
di (t )
+ i (t ) R = VL (t )
dt
di (t ) i (t ) . R V (t )
+
=
dt
L
L
L
55
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
P (t) = R
L
Q (t) = V
L
Solusi Umum
Y . e J P (t )
= ∫ e J P ( t ) Q (t ) + C
dt
dimana :
Y = i (t)
Dimana :
i (t ) . e
ρ . R L dt
i (t ) . e
i (t ) e
R
R
L
L
=∫e
. t
=V
=V
i (t ) . e
R +t
L
i (t ) = V
i (t ) = V
R .t
L
= ∫e
t
V
R
R
L
L
e
∫e
.e
R
L
+C .e
+Ke
R
ρ R L dt
.V
R
R
t
t
L
L
. t
L
+C
+C
+C
+C
+C
−R
−R
L
.V
L
L
. t
, maka
t
Solusi Khusus :
Digunakan kondisi awal, dimana t = 0 dan i(t) = 0
0=
V
+K
R
K=
V
R
i (t ) = V
i (t ) = V
R
−V
R
.e
−R
L
.t
, maka :
⎛⎜1 − e − R L t ⎞⎟
R⎝
⎠
56
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Nilai VL(t) :
di (t )
dt
VL = L
= L dV
. ⎛1 − e
R ⎜⎝
−R
d ⎛⎜1− e
⎝
V
= L
R
dt
−R t
L
= L
L
t
⎞⎟
⎠
⎞⎟
⎠
V R −R L t
. .e
R L
= V .e
−R t
L
= VL (t)
Analisa II
Digunakan solusi natural dan perkiraan :
a) Solusi natural (anggap persamaan homogen / Q(t) = 0 → in
b) Solusi perkiraan → ip, dimana :
i (t) = in (t) + ip (t)
a) Solusi Natural
L
di n (t )
+ in (t ) R = 0
dt
→ Setelah dilakukan integrasi, didapat
in (t) = K e
−ρ
L
t
b) Solusi Perkiraan ip(t)
Nilai ip(t) = Konstan
di p(t )
=0
dt
57
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
L
di p(t )
+ ip (t ) R = V
dt
0 + ip (t) R = V
ip (t) =
V
R
i (t) = in (t) + ip (t)
= K e
i (t ) = V
−R
L
t
+V
R
maka :
⎛⎜1 − e − R L t ⎞⎟
R⎝
⎠
58
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
SATUAN ACARA PENGAJARAN
Mata Kuliah
Kode Mata Kuliah
Waktu Pertemuan
Pertemuan ke
: Rangkaian Listrik II
: EES13253
: 1x3x50 menit
:8
A. Tujuan Instruksional
1. Umum
Mahasiswa dapat memahami tentang Rangkaian Listrik II dan hal
yang terkait secara umum
2. Khusus
Untuk melakukan evaluasi terhadap sejauh mana pemahaman
mahasiswa terhadap materi yang telah dipelajari dari minggu 1
sampai 7
B. Pokok Bahasan
Evaluasi tengah semester
C. Sub Pokok Bahasan
Ujian Tengah Semester
D. Kegiatan Belajar Mengajar
Tahap
Kegiatan Pengajar
Pendahuluan
Menjelaskan peraturan yang
harus ditaati selama ujian
berlangsung.
Penyajian
Memberikas soal UTS
Penutup
Mengumpulkan lembaran
jawaban ujian
Kegiatan
Mahasiswa
Memperhatikan.
Media dan alat
pengajaran
Menyelesaikan
soal UTS sesuai
dengan waktu
yang diberikan
Soal ujian
E. Evaluasi
Rencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan (RKBM)
Minggu
Pokok Bahasan
Substansi
ke(Topik)
VIII
Mid Semester
Ujian Tengah Semester
Metode
Soal Uraian
Terbatas,
Esay
59
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
YAYASAN PENDIDIKAN TEKNOLOGI PADANG
INSTITUT TEKNOLOGI PADANG
UJIAN MID SEMESTER GANJIL
TAHUN AKADEMIK 2009/20010
ITP
MULAILAH UJIAN DENGAN BERDO’A KEPADA ALLAH SWT
Mata Kuliah
Hari/Tgl
Jam
: Rangkaian Listrik III
: Senin/ 30-11-2009
: 08.00 – 09.30
Dosen
: Arfita Yuana Dewi, M.T
Lokal
: Multi Media
Sifat Ujian : Tutup Buku
Bekerjalah dengan membaca terlebih dahulu Basmalah dan selesaikan dengan
keyakinan sendiri tanpa bantuan orang lain.
Soal 1
Sebuah rangkaian RL seri dengan harga R = XX Ω, L = 15 H, disupply dengan
tegangan 110 volt, pada saat saklar S ditutup, tentukan :
a) Persamaan untuk i(t), VR(t) dan VL (t)
b) Besar arus pada saat t = 0,7 detik
Soal 2
I (t)
20 Ω
Grafik
15 A
Tentukan : I(t) & buat
XX Ω
8H
Ctt : XX = 2 angka terakhir No. BP
60
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
SATUAN ACARA PENGAJARAN
Mata Kuliah
Kode Mata Kuliah
Waktu Pertemuan
Pertemuan ke
: Rangkaian Listrik II
: EES13253
: 1x3x50 menit
:9
A. Tujuan Instruksional
1. Umum
Mahasiswa dapat memahami rangkaian peralihan beban R-C
2. Khusus
Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-C
melalui analisis matematis Persamaan Differensial orde II
B. Pokok Bahasan
Analisa peralihan rangkaian listrik beban R-C
C. Sub Pokok Bahasan
1. Rangkaian R-C seri analisa orde I homogen
2. Rangkaian R-C analisa orde I tak homogen
D. Kegiatan Belajar Mengajar
Tahap
Pendahuluan
Penyajian
Penutup
Kegiatan Pengajar
1. Meriview kembali
pembahasan UTS minggu
sebelumnya
2. Menjelaskan manfaat
mempelajari rangkaian
peralihan beban R-C.
3. Menjelaskan secara
matematis, rumusan yang
digunakan.
4. Latihan soal
5. Menuliskan jawaban
mahasiswa di papan tulis.
6. Menjelaskan rumusan dari
maing-masing analisis
rangkaian.
7. Menjelaskan tugas yang
harus dilakukan
mahasiswa dalam
penggunaan rumusan.
8. Menutup pertemuan
e. Menunjuk beberapa
mahasiswa untuk
menyajikan hasil
latihan yang diberikan.
f. Mengundang
komentar/pertanyaan
dari mahasiswa.
g. Memberikan penilaian
Kegiatan
Mahasiswa
Memperhatikan
materi.
Memperhatikan
Dan mencatat
Menjawab,
memberikan
sumbang saran.
Media dan alat
pengajaran
Note Book
LCD
Papan Tulis
Note Book
LCD
Papan Tulis
Memperhatikan
dan mencatat
Berlatih secara
individual dari
tugas yang
diberikan.
Menyajikan
jawaban dari
latihan yang
diberikan
Memberikan
komentar atau
pertanyaan
Memperhatikan
dan mencatat
komentar
Note Book
LCD
Papan Tulis
61
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
berupa koreksi dan
analisa yang benar.
h. Memberikan
gambaran umum
untuk perkuliahan
berikutnya.
pengajar tentang
analisa yang
benar.
E. Evaluasi
1. Instrumen yang digunakan :
Tes lisan secara acak atau bergilir untuk menilai pemahaman
mahasiswa terhadap materi yang diberikan.
2. Instrumen ini digunakan minggu berikutnya setelah mahasiswa
memahami materi.
F.
Referensi
1. Budiono Mismail, Rangkaian Listrik
2. BL. Theraja, Hand Book Of Electrical Technology
3. Joseph A. Edminister, Rangkaian Listrik
4. Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 1,
Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995
5. Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 2,
Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995
6. William H.Hayt,Jr & Jack E. Kemmerly, Rangkaian Listrik Jilid
1(terjemahan Pantur Silaban), Penerbit Erlangga, Jakarta, 1991
Rencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan (RKBM)
Minggu
keIX
Pokok Bahasan
(Topik)
Analisa Peralihan
Beban R-C
Substansi
Rangkaian R-C seri
analisa orde I homogen
Rangkaian R-C analisa
orde I tak homogen
Metode
Ceramah
Diskusi
Latihan Soal
62
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
BAB VII
ANALISA PERALIHAN RANGKAIAN LISTRIK
BEBAN R-C
Tujuan Umum:
ƒ Mahasiswa dapat memahami konsep rangkaian peralihan /transien beban R-C
Tujuan Khusus:
ƒ Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-C
ƒ Mahasiswa menghitung rangkaian peralihan melalui analisis persamaan
differensial orde II
7.1. Rangkaian Beban R-C
Analisa rangkaian transien /peralihan beban R-C seperti diilustrasikan pada
rangkaian di bawah ini :
Mula – mula saklar S pada posisi 1, dalam waktu yang cukup lama, pada
saat t = 0, S dipindahkan ke posisi 2, tentukan V(t) dan i (t) setelah S dipindahkan.
Dalam melakukan analisa rangkaian R-C, tetap menggunakan persamaan
differensial orde I, yaitu :
a.
Persamaan Differensial Homogen
b.
Persamaan Differensial Tak homogen
Analisa
¾ Untuk t < 0, (saklar pada posisi 1)
+
I
R1
R=~
⇒
-
63
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Dari bentuk rangkaian, berlaku :
V (t) = I . R1 ................................................................................................. (1) atau
V (0-) = I . R1 ................................................................................................ (2)
¾ Untuk t > 0, (saklar pada posisi 2)
∑V = 0
VR2 + Vc (t) = 0
I (t) R2 + Vc (t) = 0 .................................................................................... (3) maka
i (t ) = ic (t ) = C
d Vc (t )
............................................................................... (4)
dt
Substitusikan Persamaan (4) ke Persamaan (3)
R2 .
C dVc
+ Vc (t ) = 0 .................................................................................. (5)
dt
R2 .
C dVc (t )
= − Vc (t )
dt
d Vc
−1
dt
=
dt
R2 c
∫
d Vc (t ) − 1
=
Vc
R2 c
Ln Vc (t ) =
Ln
∫ dt
−1
t + Ln k
R2 c
Vc (t )
1
=
t , maka
k
R2 C
64
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Vc (t ) = k . e
−1
R 2c
. t
Untuk konstanta k, dilihat posisi saklar pertama, nilainya = I . R1, ingat sifat
kapasitor : tegangan tidak dapat berubah secara tiba-tiba atau :
( )
Vc (0 ) = k
( )
Vc 0− = Vc (0) = Vc 0+
+
= I R1, maka :
Vc (t ) = I . R1 . e
−1
R2
. c.t
Arus ke kapasitor :
i (t ) = ic (t ) = C
dVc (t )
dt
d ⎛⎜ I . R1. e
⎝
= C
dt
−1
= C . I . R1.
= C. I . R1.
= −
de
−1
r2 c
R2
. t
⎞
⎟
⎠
. c .t
dt
− 1 − 1R 2 c t
e
R2 c
−1
R1
I e R2
R2
c t
Grafik i (t) dan V (t)
I . R1
V (t)
t
− R1
.I
R2
65
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Contoh Soal :
Tentukan :
a) Ic (t) dan Vc (t)
b) Grafik Ic (t) dan Vc (t) terhadap waktu
c) Konstanta waktu/time constant untuk t >0
Solusi :
Ic (t) = 0
i2 = i3
i3 =
1KΩ
x 10 mA
1 KΩ + 800 + 200
=
1 KΩ
x 100 mA
1 + 0,8 + 0,2 KΩ
= ½ x 10
= 5 mA
Maka :
VAB = Vc (0-)
= I3 . R3
= 5 . 0,8
= 4 volt
66
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Untuk t < 0 :
Ic (t) + i2 + i3 = 0
C
dVc (t ) Vc (t ) Vc (t )
+
+
=0
dt
R2
R3
C
d Vc (t ) ⎡ 1
1⎤
+ ⎢ + ⎥ Vc (t ) = 0
dt
⎣ R2 R3 ⎦
C
1 ⎞
d Vc (t )
⎛ 1
=−⎜
+
⎟ Vc (t )
dt
⎝ R 2 R3 ⎠
⎛ R .R ⎞
3
⎟⎟ Vc (t )
= − ⎜⎜ 2
R
+
R
3 ⎠
⎝ 2
=
∫
⎛ R .R ⎞
dVc (t )
= − ⎜⎜ 2 3 ⎟⎟ 1 / Cdt
Vc
⎝ R2 + R3 ⎠
⎛ R2 . R3 ⎞
dVc (t )
⎟⎟ ∫ dt
= − ⎜⎜
Vc
⎝ C (R2 + R3 ) ⎠
⎡ R2 . R3 ⎤
Ln Vc (t ) = − ⎢
⎥ t + Ln k , maka :
⎣ C (R2 + R3 ) ⎦
Vc (t ) = K . e
⎛ R 2 . R3 ⎞
⎟⎟1 / C t
− ⎜⎜
⎝ R 2 + R3 ⎠
67
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Untuk konstanta K diambil nilai saklar pada posisi pertama t < 0, ingat sifat
kapasitor :
Vc (t ) = Vc (0) =Vc (0+ ) = 4 volt , maka :
Vc (t ) = 4 . e
⎡ R 2 . R3 ⎤
−⎢
⎥ t
⎣ R 2 + R3 ⎦
=4.e
= 4. e
= 4.e
⎡
⎤
1, 2 . 0 ,8
−⎢
⎥ t
⎢⎣ 5 x10 − 6 (1, 2 + 0 ,8 ) ⎥⎦
⎡
⎤
0 , 96
−⎢
⎥ t
−6
. 2 ⎦⎥
⎣⎢ 5 x 10
−96 x 10 3 t
,
sehingga :
a) Untuk Ic (t)
Ic (t ) = C
d Vc (t )
dt
d . 4e −96 x 10
= 5 x10 .
dt
3
−6
−6
= 5 x10 . 4 − 96 x10 . e
= − 1,92 e
3
−96 x 10 3 t
t
−96 x 10 3 t
A
b) Grafik Ic (t) dan Vc (t)
4 Volt
4 e −96 x 10
3
t
t
1,92 . e −96 x 10
3
t
-1,92
68
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
c) Time Constant untuk rangkaian R-C didasarkan pada persamaan eksponensial
tegangan :
Vc (t ) = k . e
−1
RC
t
Dari bentuk umum fungsi eksponensial, dapat disimpulkan konstanta waktu
dalam bentuk (τ), dimana τ = R.C
τ = Reg . C, berdasarkan soal :
⎡ R2 . R3 ⎤
⎥C
⎣ R2 + R3 ⎦
τ= ⎢
⎡ 1,2 . 0,8 ⎤
−6
⎥ . 5 x 10
⎣1,2 + 0,8 ⎦
= ⎢
⎡ 1200 . 800 ⎤
−6
⎥ . 5 x10
⎣1200 + 800 ⎦
= ⎢
= 24 x 10-4 dt
69
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
SATUAN ACARA PENGAJARAN
Mata Kuliah
Kode Mata Kuliah
Waktu Pertemuan
Pertemuan ke
: Rangkaian Listrik II
: EES13253
: 3x3x50 menit
: 10
A. Tujuan Instruksional
1. Umum
Mahasiswa dapat memahami rangkaian peralihan beban R-L-C
2. Khusus
Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-LC melalui analisis matematis Persamaan Differensial orde II
B. Pokok Bahasan
Analisa peralihan rangkaian listrik beban R-L-C
C. Sub Pokok Bahasan
1. Rangkaian R-L-C orde II keadaan over damped
D. Kegiatan Belajar Mengajar
Tahap
Pendahuluan
Penyajian
Penutup
Kegiatan Pengajar
1. Meriview kembali materi
minggu sebelumnya
2. Menjelaskan manfaat
mempelajari rangkaian
peralihan beban R-L-C.
3. Menjelaskan secara
matematis, rumusan yang
digunakan untuk ketiga
keadaan.
4. Latihan soal
5. Menuliskan jawaban
mahasiswa di papan tulis.
6. Menjelaskan rumusan dari
maing-masing analisis
rangkaian.
7. Menjelaskan tugas yang
harus dilakukan
mahasiswa dalam
penggunaan rumusan.
8. Menutup pertemuan
a. Menunjuk beberapa
mahasiswa untuk
menyajikan hasil latihan
yang diberikan.
b. Mengundang
komentar/pertanyaan dari
mahasiswa.
c. Memberikan penilaian
berupa koreksi dan
Kegiatan
Mahasiswa
Memperhatikan
materi.
Memperhatikan
dan mencatat
Media dan alat
pengajaran
Note Book
LCD
Papan Tulis
Note Book
LCD
Papan Tulis
Menjawab,
memberikan
sumbang saran.
Memperhatikan
dan mencatat
Berlatih secara
individual dari
tugas yang
diberikan.
Note Book
LCD
Papan Tulis
Menyajikan
jawaban dari
latihan yang
diberikan
Memberikan
komentar atau
pertanyaan
Memperhatikan
dan mencatat
komentar
70
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
analisa yang benar.
d. Memberikan gambaran
umum untuk perkuliahan
berikutnya.
pengajar tentang
analisa yang
benar.
E. Evaluasi
1. Instrumen yang digunakan :
Tes lisan secara acak atau bergilir untuk menilai pemahaman
mahasiswa terhadap materi yang diberikan.
2. Instrumen ini digunakan minggu berikutnya setelah mahasiswa
memahami materi.
F.
Referensi
1. Budiono Mismail, Rangkaian Listrik
2. BL. Theraja, Hand Book Of Electrical Technology
3. Joseph A. Edminister, Rangkaian Listrik
4. Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 1,
Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995
5. Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 2,
Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995
6. William H.Hayt,Jr & Jack E. Kemmerly, Rangkaian Listrik Jilid
1(terjemahan Pantur Silaban), Penerbit Erlangga, Jakarta, 1991
Rencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan (RKBM)
Minggu
keX
Pokok Bahasan
(Topik)
Analisa Peralihan
Beban R-L-C
Substansi
Rangkaian R-L-C orde II
keadaan over damped
(Teredam lebih)
Metode
Ceramah
Diskusi
Latihan Soal
71
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
BAB VIII
Analisa Peralihan Rangkaian RLC
Tujuan Umum:
ƒ Mahasiswa dapat memahami rangkaian peralihan /transien beban R-L-C
Tujuan Khusus:
ƒ Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-L-C
ƒ Mahasiswa menghitung rangkaian peralihan melalui analisis persamaan
differensial orde II
Analisa peralihan pada rangkaian RLC akan melibatkan persamaan
differensial orde ke 2. Dalam menyelesaikan persamaan differensial orde 2
diperlukan 2 kondisi awal yaitu :
- Kondisi awal induktor (L)
- Kondisi awal kapasitor (C)
sehingga disini dikenal :
- saat sebelum terjadi perubahan rangkaian :
IL (0-) dan Vc (0-)
- saat setelah terjadi perubahan rangkaian
IL (0+) dan Vc (0+)
dari sifat kapasitor dan induktor, juga berlaku disini yaitu :
IL (0-) = IL (0+)
Vc (0-) = Vc (0+)
Pada rangkaian berikut ini, dapat dilihat
bahwa, mula-mula saklar s berada
pada posisi 1 dalam waktu yang cukup lama, pada t = 0, saklar dipindahkan ke
posisi 2.
Tentukan i (t) setelah s dipindahkan ke posisi 2.
1 S t=0
R
VR
+
-
2
Vt
Vc
72
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Analisa :
Pada t < 0 (saklar pada posisi 1 )
Sebelum saklar dipindahkan
Karena saklar terhubung ke 1 dalam waktu yang cukup lama, mengakibatkan
muatan pada kapasitor mencapai kejenuhan sehingga :
I (t) = 0
(1)
VC (t) = v
(2)
Juga berlaku untuk saat sebelum saklar S dipindahkan ke posisi 2, (t = 0-), berlaku:
I (0-) = 0
(3)
Vc (0-) = V
(4)
Pada t > 0 (setelah saklar s dipindahlan)
(t = 0+)
rangkaian
R
VR
Vt
L
C
Vc
Menurut hukum kirchoff II ( Σv = 0)
VR + VL + VC = 0
(5)
Atau :
R i (t ) + L
di (t ) 1
+
dt
C
∫ i (t ) dt = 0
(6)
Bila persamaan (6) didifferensialkan dan disederhanakan :
R
di
d 2i 1
+L
+ i=0
dt
dt
C
d 2i R di
1
+
+
i=0
dt
L dt LC
(7)
73
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Dan menurut hukum kirchoff arus dalam rangkaian juga berlaku :
IR (t) = IL (t) = IC (t)
= I(t)
(8)
Persamaan (7) merupakan persamaan differensial orde II homogen. Untuk solusi
dari persamaan (6), diambil pemisalan :
i (t) = k1 es1t + k2 es2t
(9)
S1 dan S2 merupakan akar-akar karakteristik yang didapat dari persamaan :
R
1
S+
=0
L
LC
S2 +
(10)
Nilai akar-akar karakteristik dapat dihitung :
2
R
1
⎛ R ⎞
S1 = −
+ ⎜ ⎟ −
= −α + β
2L
LC
⎝ 2L ⎠
(11)
2
R
1
⎛ R ⎞
− ⎜ ⎟ −
= −α − β
S2 = −
2L
LC
⎝ 2L ⎠
(12)
Disini :
2
R
α=
2L
β=
1
⎛ R ⎞
⎜ ⎟ −
LC
⎝ 2L ⎠
diketahui :
ω0 =
1
LC
(13)
ω0 = frekuensi natural
Berdasarkan perbandingan nilai α terhadap ω0, ada 3 kasus yang dapat terjadi,
yaitu :
1. Keadaan teredam lebih (α > ω0)
2. Keadaan teredam kritis (α = ω0)
3. Keadaan teredam kurang (α < ω0)
I. Keadaaan teredam lebih (“over damped”)
Dalam keadaaan ini, nilai α > ω0, mana β > 0
(akar adalah real, dan tidak sama)
74
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Sehingga :
i (t) = K1 e ( −α
atau :
i (t) = e
−αt
+ β)t
[k
+ k 2 e ( −α
e βt + k2 e − βt
1
− β)t
]
(14)
Harga k1 dan k2 dapat diperoleh dari kondisi awal dari rangkaian.
Kondisi awal dari induktor
i (0-) = i (0+) = i (t) = 0
0= e
− 0α 0 +
[k e
β 0+
1
+ k2 e − β 0
+
]
0 = k 1 + k 2 → k 1 = - k2
(15)
Kondisi awal kapasitor (dimana Vc (t) = V
Dari persamaan (6) diperoleh :
R i (0 + ) + L
L
L
di
dt
di
dt
t = 0+
di
dt
t = 0+
di
dt
+v = 0
t = 0+
+v = 0
= −v
=
t = 0+
−v
L
(16)
Bila persamaan (14) didiferensialkan :
di
= ki (−α + β ) e(−α
dt
+ β )t
+ k2 (− α − β ) e(−α − β )t
untuk t = 0+
= k1 (−α +
β ) . e (−α + β ) 0 + k 2 (−α + β ) . e ( −α − β ) 0
= k1 (−α +
β ) + k 2 (−α − β )
+
+
(17)
substitusikan persamaan (15) dan (16) ke persamaan (17)
75
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
di
= k1 (−α + β ) + k 2 (−α − β )
dt
−
v
= k1 (−α + β ) − k1 (−α − β )
L
−
v
= 2 k1 β
L
k1 =
k 2 = - k1
v
2Lβ
(18)
Dengan cara yang sama dimana k1 = - k2 didapat :
k2 = −
v
2Lβ
Sehingga solusi lengkap dari arus pada kondisi teredam lebih (“over damped”)
i (t ) =
v
. e ( −α
2 Lβ
+ β )t
−
v
e( −α
2 Lβ
⎛
v
⎜⎜ i (t ) =
. e − αt e β t − e − β t
2 Lβ
⎝
(
− β)t
)⎞⎟⎟
(19)
⎠
Dengan :
α=
R
2L
2
1
⎛ R ⎞
⎟ −
LC
⎝ 2L ⎠
β= ⎜
76
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
SATUAN ACARA PENGAJARAN
A.
Mata Kuliah
: Rangkaian Listrik II
Kode Mata Kuliah
: EES13253
Waktu Pertemuan
: 1x3x50 menit
Pertemuan ke
: 11
Tujuan Instruksional
1. Umum
Mahasiswa dapat memahami rangkaian peralihan beban R-L-C
2. Khusus
Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-LC melalui analisis matematis Persamaan Differensial orde II
B. Pokok Bahasan
Analisa peralihan rangkaian listrik beban R-L-C
C. Sub Pokok Bahasan
1. Rangkaian R-L-C orde II keadaan critically damped
D. Kegiatan Belajar Mengajar
Tahap
Pendahuluan
Penyajian
Penutup
Kegiatan Pengajar
1. Meriview kembali materi
minggu sebelumnya
2. Menjelaskan manfaat
mempelajari rangkaian
peralihan beban R-L-C.
3. Menjelaskan secara
matematis, rumusan yang
digunakan untuk ketiga
keadaan.
4. Latihan soal
5. Menuliskan jawaban
mahasiswa di papan tulis.
6. Menjelaskan rumusan dari
maing-masing analisis
rangkaian.
7. Menjelaskan tugas yang
harus dilakukan
mahasiswa dalam
penggunaan rumusan.
8. Menutup pertemuan
a.Menunjuk beberapa
mahasiswa untuk
menyajikan hasil latihan
yang diberikan.
b.Mengundang
komentar/pertanyaan dari
mahasiswa.
c.Memberikan penilaian
berupa koreksi dan
analisa yang benar.
d.Memberikan gambaran
Kegiatan
Mahasiswa
Memperhatikan
materi.
Memperhatikan
dan mencatat
Media dan alat
pengajaran
Note Book
LCD
Papan Tulis
Note Book
LCD
Papan Tulis
Menjawab,
memberikan
sumbang saran.
Memperhatikan
dan mencatat
Berlatih secara
individual dari
tugas yang
diberikan.
Note Book
LCD
Papan Tulis
Menyajikan
jawaban dari
latihan yang
diberikan
Memberikan
komentar atau
pertanyaan
Memperhatikan
dan mencatat
komentar
pengajar tentang
analisa yang
77
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
umum untuk perkuliahan
berikutnya.
benar.
E. Evaluasi
1. Instrumen yang digunakan :
Tes lisan secara acak atau bergilir untuk menilai pemahaman
mahasiswa terhadap materi yang diberikan.
2. nstrumen ini digunakan minggu berikutnya setelah mahasiswa
memahami materi.
F.
Referensi
1. Budiono Mismail, Rangkaian Listrik
2. BL. Theraja, Hand Book Of Electrical Technology
3. Joseph A. Edminister, Rangkaian Listrik
4. Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 1,
Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995
5. Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 2,
Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995
6. William H.Hayt,Jr & Jack E. Kemmerly, Rangkaian Listrik Jilid
1(terjemahan Pantur Silaban), Penerbit Erlangga, Jakarta, 1991
Rencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan (RKBM)
Minggu
Pokok Bahasan
Substansi
ke(Topik)
XI
Kondisi Teredam Kritis Rangkaian R-L-C orde II
keadaan critically
damped
Metode
Ceramah
Diskusi
Latihan Soal
78
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
II. Keadaan teredam Kritis (“critically damped”)
Tentukan i (t) setelah s dipindahkan ke posisi 2.
R
1 S t=0
VR
2
+
-
Vt
Vc
Analisa :
Pada t < 0 (saklar pada posisi 1 )
Sebelum saklar dipindahkan
Karena saklar terhubung ke 1 dalam waktu yang cukup lama, mengakibatkan
muatan pada kapasitor mencapai kejenuhan sehingga :
I (t) = 0
VC (t) = v
Juga berlaku untuk saat sebelum saklar S dipindahkan ke posisi 2, (t = 0-), berlaku:
I (0-) = 0
Vc (0-) = V
Pada t > 0 (setelah saklar s dipindahlan)
(t = 0+)
Rangkaian :
R
VR
Vt
L
C
Vc
Menurut hukum kirchoff II ( Σv = 0)
VR + VL + VC = 0
Atau :
R i (t ) + L
di (t ) 1
+
dt
C
∫ i (t ) dt = 0
79
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Bila persamaan (6) didifferensialkan dan disederhanakan :
di
d 2i 1
R +L
+ i=0
dt
dt
C
d 2i R di
1
+
+
i=0
dt
L dt LC
Dan menurut hukum kirchoff arus dalam rangkaian juga berlaku :
IR (t) = IL (t) = IC (t)
= I(t)
Persamaan ini merupakan persamaan differensial orde II homogen. Untuk solusi
dari persamaan (6), diambil pemisalan :
i (t) = k1 es1t + k2 es2t
S1 dan S2 merupakan akar-akar karakteristik yang didapat dari persamaan :
S2 +
R
1
S+
=0
L
LC
Nilai akar-akar karakteristik dapat dihitung :
2
R
1
⎛ R ⎞
+ ⎜ ⎟ −
S1 = −
= −α + β
2L
LC
⎝ 2L ⎠
2
S2 = −
R
1
⎛ R ⎞
− ⎜ ⎟ −
= −α − β
2L
LC
⎝ 2L ⎠
Disini :
2
R
α=
2L
β=
1
⎛ R ⎞
⎜ ⎟ −
LC
⎝ 2L ⎠
diketahui :
ω0 =
1
LC
ω0 = frekuensi natural
Dalam keadaan teredam kritis, dimana α = ω0 atau β = 0 (akar real dan sama)
Dimana :
i (t) = e
−α t
(k1 + k2t )
(20)
untuk menentukan nilai konstanta dari k1 dan k2, digunakan kondisi awal
80
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Kondisi awal induktor
i (0− ) = i (0+ ) = i (t ) = 0
0= e
−α 0 +
(k1 + k2 . 0 + )
(21)
k1 = 0
(22)
sehingga persamaan (20) menjadi :
i (t ) = e −α t (0 + k2 t )
= k2 t e
− αt
(23)
Kondisi Awal kapasitor (dimana Vc (t) = V)
Persamaan :
R.i (0+ ) + L
0+L
di
dt
di
dt
di
dt t
+v=0
= 0+
= −v
t = 0+
=
t = 0+
−v
L
(24)
Pesamaan (23) didiferensialkan :
i (t ) = k 2 . t e −αt
di
= d (k2 + e −αt )
dt
= k2 d (t e-αt)
Misalkan :
d(U.V) = U V’ + V U’
U=t
V= e
U’ = 1
−αt
V ' = − α e −αt
d (t. e-αt) = - t α e-αt + e-αt
Sehingga :
(
di/dt = k2 − t . α e
− αt
+ e − αt
)
di
= k 2 . e − αt − k 2 α t e − αt
dt
(25)
81
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
untuk t = 0+ (t > 0)
di
dt
y = 0+
di
dt
t = 0
= k2 e −α
0+
− k 2 α 0 . e −α 0
= k2
(26)
Substitusikan persamaan (24) ke persamaan (26)
−
V
= k2
L
K2 = -
V
L
(27)
Maka, solusi lengkap untuk keadaan teredam kritis adalah :
i (t ) = −
V
. t . e − αt
L
(28)
82
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
SATUAN ACARA PENGAJARAN
Mata Kuliah
Kode Mata Kuliah
Waktu Pertemuan
Pertemuan ke
: Rangkaian Listrik II
: EES13253
: 1x3x50 menit
: 12
A.Tujuan Instruksional
1. Umum
Mahasiswa dapat memahami rangkaian peralihan beban R-L-C
2. Khusus
Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban
R-L-Cmelalui analisis matematis Persamaan Differensial orde II
B.Pokok Bahasan
Analisa peralihan rangkaian listrik beban R-L-C
C.Sub Pokok Bahasan
1. Rangkaian R-L-C orde II keadaan under damped
D.Kegiatan Belajar Mengajar
Tahap
Pendahuluan
Penyajian
Penutup
Kegiatan Pengajar
1. Meriview kembali materi
minggu sebelumnya
2. Menjelaskan manfaat
mempelajari rangkaian
peralihan beban R-L-C.
3. Menjelaskan secara
matematis, rumusan yang
digunakan untuk ketiga
keadaan.
4. Latihan soal
5. Menuliskan jawaban
mahasiswa di papan tulis.
6. Menjelaskan rumusan dari
maing-masing analisis
rangkaian.
7. Menjelaskan tugas yang
harus dilakukan
mahasiswa dalam
penggunaan rumusan.
8. Menutup pertemuan
A. Menunjuk beberapa
mahasiswa untuk menyajikan
hasil latihan yang diberikan.
B. Mengundang
komentar/pertanyaan dari
mahasiswa.
C. Memberikan penilaian
berupa koreksi dan analisa
yang benar.
D.
Memberikan gambaran
Kegiatan
Mahasiswa
Memperhatikan
materi.
Memperhatikan
dan mencatat
Media dan alat
pengajaran
Note Book
LCD
Papan Tulis
Note Book
LCD
Papan Tulis
Menjawab,
memberikan
sumbang saran.
Memperhatikan
dan mencatat
Berlatih secara
individual dari
tugas yang
diberikan.
Menyajikan
jawaban dari
latihan yang
diberikan
Memberikan
komentar atau
pertanyaan
Memperhatikan
dan mencatat
komentar
pengajar tentang
Note Book
LCD
Papan Tulis
83
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
umum untuk perkuliahan
berikutnya.
analisa yang
benar.
E. Evaluasi
3. Instrumen yang digunakan :
Tes lisan secara acak atau bergilir untuk menilai pemahaman
mahasiswa terhadap materi yang diberikan.
4. Instrumen ini digunakan minggu berikutnya setelah mahasiswa
memahami materi.
F.
Referensi
1. Budiono Mismail, Rangkaian Listrik
2. BL. Theraja, Hand Book Of Electrical Technology
3. Joseph A. Edminister, Rangkaian Listrik
4. Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 1,
Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995
5. Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 2,
Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995
6. William H.Hayt,Jr & Jack E. Kemmerly, Rangkaian Listrik Jilid
1(terjemahan Pantur Silaban), Penerbit Erlangga, Jakarta, 1991
Rencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan (RKBM)
Minggu
keXII
Pokok Bahasan
(Topik)
Kondisi Teredam
Kurang
Substansi
Rangkaian R-L-C orde II
keadaan under damped
Metode
Ceramah
Diskusi
Latihan Soal
84
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
II. Keadaan Teredam Kurang (“Under Damped”)
Dalam keadaan teredam kurang, α < ω0, sehingga β akan bernilai imajiner
Maka :
Solusi umum arus dalam keadaan teredam kurang adalah :
i (t ) = k1 e( −α
+ jβ ) t
+ k2 . e( −α
− jβ ) t
(29)
i (t ) = eαt (k1 . e − jβt + k 2 . e jβt )
= e
αt
[k1 (cos β t
− j sin β t ) + k2 (cos β t + j sin β t )]
[(k1 + k2 ) cos βt + j (k1 − k2 ) sin βt ]
αt
= e [C1 cos β t + C2 . sin β t ]
αt
= e
(30)
Untuk mencari konstanta C1 dan C2, digunakan kondisi awal :
¾ Kondisi awal induktor
i (t ) = i (0+ ) = i (t ) = 0
α0
= C1
[C1 cos β 0 + sin β 0]
(31)
maka persamaan (29) disubstitusikan ke persamaan (31)
i (0− ) = i (t ) = i (0+ ) = 0
0 = C1
C1 = 0
(32)
Substitusikan persamaan (30) ke persamaan (32)
i (t ) = eαt (0+ C2 sin βt )
= C2 . e
. sin βt
nt
(33)
¾ Kondisi awal kapasitor (Vc (t) = V)
Maka:
R1 (0+ ) + L
0+L
di
dt
di
dt
+V =0
t = 0
= −V
t = 0
=−
t = 0+
di
dt
V
L
(34)
85
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Differensiasikan Persamaan (33)
i (t ) = C2 e 2t sin βt
di
= C2 d (eαt sin βt )
dt
[
αt
= C2 e
β cos βt + sin βt . α . eαt ]
di
= C2 α e βt sin βt + C2 β . eαt cos βt
dt
(35)
untuk t = 0+
di
dt
= C2 α eα 0 sin β 0 + C2 βeα 0 (0 β β 0)
t = 0
= C2 . β
Substitusikan persamaan (34) ke persamaan (36)
−
V
= C2 β
L
C2 =
−V
Lβ
(37)
Maka solusi lengkap dari “under damped”
i (t ) = −
V
. eαt . sin βt
Lβ
(38)
86
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Contoh Soal :
Saklar berada pada posisi 1 dalam waktu yang cukup lama (t < 0)
Hitung :
1. Persamaan (it) untuk t > 0
2. arus iL (t), iL (t)
3. Tegangan VL (t) pada t > 0
Solusi
Untuk t < 0 (saklar pada posisi 1)
Rangkaian :
Jadi, karena muatan C dalam keadaan jenuh :
I (t)
=0
Vc (t) = 8 volt
maka i (0-) = 0
Vc (0)
= 8 volt
Untuk t > 0 (posisi saklar pada posisi 2)
87
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Gunakan hukum kirchoff II
di 1
+
i dt = 0
dt C ∫
I (t) R + L
4 i (t ) + i
4 i (t ) +
4
1
di
+
dt 1
20
∫ i dt = 0
di
+ 20 ∫ i dt = 0
dt
di d 2i
+
+ 20 i = 0
dt
dt
d 2i
di
+4
+ 20 i = 0 ( pada orde II )
dt
dt
∴Solusi umum P.D Orde II Homogen
i (t ) = k1 . e s1 t + k2 . e s 2 t
s1 s2 = akar-akar karakteristik, didapat dari :
d2
=3
dt
s 2 + (−4) + 20 = 0
S1 =
− 4 + (4) 2 − 4 . 20
= −2 + β
2
S2 =
− 4 − (4) 2 − 4 . 20
= −α − β
2
∴ Solusi lengkap Under damped
i (t ) =
−V αt
e sin βt
Lβ
Dari soal :
S1, 2 =
− 4 ± 16 − 80
= −α ± β
2
=
− 4 ± − 64
2
=
−4 ± J8
= − 2 ± J 4 = −α ± β
2
88
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
maka : α = 2
β=4
i (t ) =
− 8 − 2t
. e sin 4t = − 2 . e 2t sin 4t
1. 4
VL (t ) = L
di (t )
d (− 2 . e 2t sin 4t )
=1
dt
dt
− 2 d . e 2t sin 4t
=
1
89
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
SATUAN ACARA PENGAJARAN
Mata Kuliah
: Rangkaian Listrik II
Kode Mata Kuliah
: EES13253
Waktu Pertemuan
: 1x3x50 menit
Pertemuan ke
: 13
A. Tujuan Instruksional
1. Umum
Mahasiswa dapat memahami respon fungsi tangga dan fungsi pulsa
satuan
2. Khusus
Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-L
melalui respon fungsi tangga dan pulsa satuan.
B. Pokok Bahasan
Respon fungsi tangga dan pulsa satuan
C. Sub Pokok Bahasan
1. Respon terhadap Rangkaian R-L dan R-C
D. Kegiatan Belajar Mengajar
Tahap
Pendahuluan
Penyajian
Penutup
Kegiatan Pengajar
1. Menjelaskan manfaat
mempelajari rangkaian
peralihan melalui respon
fungsi tangga dan pulsa
satuan.
2. Menjelaskan secara
matematis, rumusan yang
digunakan.
3. Latihan soal
4. Menuliskan jawaban
mahasiswa di papan tulis.
5. Menjelaskan rumusan dari
maing-masing analisis
rangkaian.
6. Menjelaskan tugas yang
harus dilakukan
mahasiswa dalam
penggunaan rumusan.
7. Menutup pertemuan
a. Menunjuk beberapa
mahasiswa untuk
menyajikan hasil latihan
yang diberikan.
b. Mengundang
komentar/pertanyaan dari
mahasiswa.
c. Memberikan penilaian
berupa koreksi dan
analisa yang benar.
Kegiatan
Mahasiswa
Memperhatikan
materi.
Media dan alat
pengajaran
Note Book
LCD
Papan Tulis
Memperhatikan
Dan mencatat
Note Book
LCD
Papan Tulis
Menjawab,
memberikan
sumbang saran.
Memperhatikan
dan mencatat
Berlatih secara
individual dari
tugas yang
diberikan.
Menyajikan
jawaban dari
latihan yang
diberikan
Note Book
LCD
Papan Tulis
Memberikan
komentar atau
pertanyaan
Memperhatikan
dan mencatat
komentar
90
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
d. Memberikan gambaran
umum untuk perkuliahan
berikutnya.
pengajar tentang
analisa yang
benar.
E. Evaluasi
1. Instrumen yang digunakan :
Tes lisan secara acak atau bergilir untuk menilai pemahaman
mahasiswa terhadap materi yang diberikan.
2. Instrumen ini digunakan minggu berikutnya setelah mahasiswa
memahami materi.
F.
Referensi
1. Budiono Mismail, Rangkaian Listrik
2. BL. Theraja, Hand Book Of Electrical Technology
3. Joseph A. Edminister, Rangkaian Listrik
4. Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 1,
Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995
5. Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 2,
Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995
6. William H.Hayt,Jr & Jack E. Kemmerly, Rangkaian Listrik Jilid
1(terjemahan Pantur Silaban), Penerbit Erlangga, Jakarta, 1991
Rencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan (RKBM)
Minggu
Pokok Bahasan
Substansi
ke(Topik)
Respon terhadap
XIII
Respon Fungsi
Rangkaian R-L, R-C
Tangga dan Pulsa
Metode
Ceramah
Diskusi
Latihan Soal
Satuan Beban R-L
dan R-C
91
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
BAB IX
RESPON FUNGSI TANGGA DAN
FUNGSI PULSA SATUAN
Tujuan Umum:
ƒ Mahasiswa dapat memahami respon rangkaian peralihan /transien pada
fungsi tangga dan fungsi pulsa satuan
Tujuan Khusus:
ƒ Mahasiswa dapat melakukan analisis respon fungsi tangga satuan dan pulsa
satuan
ƒ Mahasiswa menghitung rangkaian peralihan melalui fungsi tangga dan pulsa
satuan
Fungsi tangga satuan (unit step function) tanpa dimensi dirumuskan sebagai
berikut :
⎧0, untuk t < 0
⎩1, untuk t > 0
U (t) = ⎨
(1)
Secara grafis, fungsi tangga satuan dapat digambarkan :
U (t)
t
0
Fungsi tangga satuan
Sedangkan fungsi pulsa satuan (unit impulse function) tanpa dimensi dapat
dirumuskan oleh :
⎧0, untuk t ≠ 0
⎩1, untuk t ≈ 0
∂ (t) = ⎨
92
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Secara grafis, fungsi pulsa satuan dapat digambarkan :
∂ (t)
t
0
Fungsi pulsa satuan
Dari sifat fungsi tangga satuan, identik dengan penutupan saklar pada t = 0.
Sedangkan sifat dari fungsi pulsa satuan identik dengan perubahan sesaat pada
saat t = 0
Proses peralihan pada rangkaian listrik, terhadap respon fungsi tangga satuan
akan terjadi pada rangkaian :
2. R – L
3. R – C
4. R – L – C
1. Respon Terhadap Rangkaian R – L
R1
R2
Is = V(t)
Pada rangkaian ini is (t) = U (t)
IL (0-) = 0
Tentukan IL (t)
Analisa :
⎧0, untuk t < 0
⎩1, untuk t > 0
¾ Is (t) = u (t) ⎨
[
¾ t < 0, karena IL IL
(1)
]
(0− ) , maka berarti pada L tidak bermuatan, maka IL(t) = 0
............................
(2)
¾ t > 0, menurut hukum kirchoff arus (Σi = 0)
93
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
di L (t )
dt
x R2
di L (t )
R2 is (t ) = ( R2 + R1 ) iL (t ) + L
dt
is (t ) = iL (t ) + R1 . iL (t ) + L
(3)
¾ Untuk t > 0, is akan berharga 1, sehingga persamaan (3) menjadi :
di L (t )
dt
R2 = (R2 + R1) iL (t ) + L
(4)
Persamaan (4) merupakan PD tak homogen, maka solusi dihomogenkan terlebih
dahulu.
L
di l (t )
+ ( R2 + R1 ) iL (t ) = 0
dt
di L (t )
( R + R1 )
=− 2
dt
L
ln iL (t ) = −
(5)
∫ dt
( R2 + R1 )
t + C , dimana C = Ln k
L
ln iL (t )
( R + R1 )
=− 2
t
ln k
L
i ln (t ) = k .e −
( R2 + R1 )
t
L
(6)
untuk solusi perkiraan iL p (t) dianggap :
iL P (t) = konstanta
(7)
substitusikan persamaan (7) ke persamaan (4)
i2 = (R2 + R1) k + L . 0
k=
R2
( R2 + R1 )
(8)
sehingga solusi perkiraan (iL P(t)) =
R2
( R1 + R2 )
(9)
Solusi Umum pada fungsi tangga satuan t > 0 didapat :
IL (t) = iL n (t) + iL P (t)
= k. e −
R2
( R2 + R1 ) t
+
2
R2 + R1
(10)
94
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
untuk solusi khusus, ditentukan nilai k denganmensubstitusikan arus awal
iL (0-) = iL (0+)
=0
R2
( R2 + R1 ) t
+
L
( R2 + R1 )
iL (0=) = k. e −
0=k. e
0+
+
R2
R2 + R1
Maka :
K=
− R2
R2 + R1
(11)
Sehingga :
Solusi Khusus
Pada fungsi tangga satuan t > 0 adalah :
R2
R2
−
iL (t ) =
.e
( R2 + R1 ) R2 + R1
is = u (t)
VL =
− ( R2 + R1 ) t
x u (t )
2
L di L (t )
dt
2. Respon terhadap rangkaian RC
R1
I (t)
C
R2
Vs = V(t)
V (t)
Pada rangkaian ini Vs = U(t)
Tentukan V (t)
Analisa :
0, untuk t < 0
Vs = V(t) = 1, untuk t > 0
95
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
1
t
0
Untuk t > 0
Vs − V V
dv
=
+C
R1
R2
dt
(12)
karena pada t > 0 , Vs = 1, maka :
1−V V
dv
=
+C
1
1
R1
R2
dt
x =
dv ⎛ V
V ⎞ 1 C R1. C
⎟.
+ ⎜⎜ +
dt ⎝ R1 R2 ⎟⎠ C
(13)
atau :
dv ⎛ R1 + R2 ⎞
1
⎟⎟ . k =
+ ⎜⎜
dt ⎝ R1 . R2 . C ⎠
R1 . C
(14)
persamaan (14) merupakan PD tak homogen, maka solusinya :
Solusi natural (Vn)
dvn ⎛ R1 + R2 ⎞
⎟⎟ Vn = 0
+ ⎜⎜
dt
⎝ R1 . R2 . C ⎠
dengan metode integrasi, maka didapat nilai Vn(t)
− ( R1 + R 2 )
Vn = k . e
R1 . R 2 . C
t
(15)
Solusi perkiraan (Vp)
dvp ⎛ R1 + R2 ⎞
1
⎟⎟ Vp =
, maka :
+ ⎜⎜
dt
R1 . C
⎝ R1 . R2 . C ⎠
Vp =
R2
R1 + R2
(16)
96
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
dari persamaan (15) dan persamaan (16) didapat solusi umum :
V (t) = Vn (t) + Vp (t)
− ( R1 + R 2 )
= k .e
R1 . R 2 . C
t
+
R2
R1 + R2
(17)
Untuk menentukan nilai k, dilihat dari kondisi awal dari kapasitor :
V (0-) = V (0+) = 0, maka :
Persamaan (15) 0 = k . e
k=
0+
R2
R1 + R2
+
R2
R1 + R2
(18)
sehingga solusi khusus tangga satuan
R2
R2
−
V (t ) =
e
R1 + R2 R1 + R2
− ( R1 + R 2 )
R1 + R 2
t
(19)
sehingga solusi seluruh nilai t adalah :
− ( R1 + R 2 )
⎡ R
R1
R1 + R 2 . C
2
−
V (t ) = ⎢
e
⎢⎣ R1 + R2 R1 + R2
. t
⎤
⎥ Vt
⎥⎦
(20)
97
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Tabel. Sifat dari komponen pasif rangkaian listrik
98
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T
Rumus Trigonometri
1. Sin (-θ) = - Sin θ
2. Cos (-θ) = - Cos θ
π⎞
⎛
3. Sin ⎜ ω + ⎟ = Cos ω t
2⎠
⎝
π⎞
⎛
4. Cos ⎜ ω − ⎟ = Sin ω t
2⎠
⎝
5. Sin (ωt + π ) = - Sin ω t
6. Cos (ωt + π ) = - Cos ω t
7. Sin (α + β ) = Sin α Cos β + Cos α Sin β
8. Cos (α + β ) = Cos α Cos β - Sin α Sin β
9. Sin 2θ = 2 Sin θ Cosθ
10. Cos 2θ = Cos2 θ - Sin2 θ
11. Sin 2 θ =
1 − Cos 2θ
2
12. Cos2 θ =
1 + Cos 2θ
2
99
Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T