Vektor dan Matriks

VEKTOR
Vektor adalah sesuatu yang mempunyai besaran atau panjang dan arah. Vektor dapat
dinyatakan secara geometris sebagai segmen – segmen garis terarah atau panah – panah di
ruang-2 atau ruang-3 dengan arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah
menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik awal (initial point) dari vektor dan
ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point).
Suatu vektor dinyatakan dengan huruf kecil tebal
misalnya a,k,v,w dan x. Bila
membahas vektor maka bilangan menyatakan skalar.Semua skalar merupakan bilangan real
dan dinyatakan dengan huruf kecil biasa misalnya a,k,v,w dan x. Sebagai contoh dalam
gambar 1 , titik awal vektor v adalah A dan titik terminalnya adalah B, maka dapat

dituliskan v  AB
B
v
A
Vektor – vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekuivalen.
Vektor – vektor dianggap sama walaupun vektor – vektor tersebut diletakkan pada
kedudukan yang berbeda – beda. Jika v dan w ekuivalen maka dituliskan v  w .
Definisi : Jika v dan w adalah sebarang dua vektor maka jumlah v + w adalah vektor
yang ditentukan sebagai berikut : Tempatkanlah vektor w sehingga titik awalnya
berimpit dengan titik terminal v. Vektor v + w dinyatakan oleh panah dari titik awal v
terhadap titik terminal w.
1
w
w
v
v+w
v+w
v
v
w+v
w
Definisi : Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, pengurangan w dari v didefinisikan
sebagai v – w = v + (-w).
Untuk mendapatkan selisih v – w tanpa menggambarkan –w maka tempatkanlah
v dan w sehingga titik awalnya berimpit; vektor dari titik terminal w ke titik terminal v
adalah vektor v-w.
v-w
-w
v
v
w
v-w
w
Definisi : Jika v adalah vektor taknol dan k bilangan riil taknol (skalar),maka hasil kali
kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v dan yang arahnya
sama seperti arah v jika k  0 dan berlawanan dengan arah v jika k  0 . Kita
definisikan kv  0 jika k  0 atau v  0 .
Perhatikan bahwa vektor
 1v
mempunyai panjang yang sama seperti v tetapi
diarahkan berlawanan.Jadi tak lain dari negatif v yaitu : 1v  v .
NORMA DAN ILMU HITUNG VEKTOR
2
Teorema : Jika u,v dan w adalah vektor – vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k serta l
adalah skalar maka berlaku hubungan berikut ini :
a. u + v = v + u
b. (u + v)+ w = u +(v + w)
c. u + 0 = 0 + u = u
d. u + (-u) = 0
e. k(lu) = (kl)u
f. k(u + v) = ku + kv
g. (k+l)u = ku + lu
h. 1u = u
Panjang sebuah vektor v sering dinamakan norma v dan dinyatakan dengan v . Dari
teorema Phytagoras diperoleh bahwa norma vektor v  v1 ,v2  di ruang-2 adalah
v  v12  v22
Misalkan v  v1 , v2 , v3  adalah vektor di ruang-3. Dengan menggunakan penerapan
teorema Pythagoras maka akan diperoleh :
v
2
 OR  RP 
2
2
 OQ  OS   RP 
2
2
2
 v12  v 22  v32
Dengan demikian diperoleh v  v12  v22  v32
Jika P1 x1 , y1 , z1  dan P2 x2 , y 2 , z 2  adalah dua titik di ruang-3, maka jarak d antara

kedua titik tersebut adalah norma vektor P1 P2 . Karena P1 P2  x2  x1 , y 2  y1 , z 2  z1 
maka d 
x2  x1 2   y2  y1 2  z 2  z1 2
Demikian juga jika P1 x1 , y1  dan P2 x2 , y 2  adalah titik – titik di ruang-2 maka jarak
diantara kedua titik tersebut diberikan oleh d 
x2  x1 2   y2  y1 2
3
Definisi : Jika u dan v adalah vektor – vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan  adalah
sudut diantara u dan v maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis
(Euclidean inner product) u ∙ v didefinisikan sebagai berikut :
 u v cos 
u v  
0

jika u  0 dan v  0
jika u  0 dan v  0
HASIL KALI SILANG
Definisi : Jika u  (u1 , u 2 , u3 ) dan v  v1 , v2 , v3  adalah vektor di ruang-3 maka hasil
kali silang u  v adalah vektor yang didefinisikan oleh :
u  v  u 2 v3  u3 v2 , u3 v1  u1v3 , u1v2  u 2 v1 
u
Atau dalam notasi determinan u  v   2
 v2
u3
v3
,
u1 u 3 u1 u 2 

,
v1 v3 v1 v2 
Teorema : Jika u,v dan w adalah sebarang vektor di ruang-3 dan k adalah sebarang
skalar maka :
a. u  v = - (v  u)
b. u  (v + w) = (u  v) + (u  w)
c. (u + v)  w = (u  w) + (v  w)
d. k(u  v) = (ku)  v = u  (kv)
e. u  0 = 0  u = 0
f. u  u = 0
RUANG VEKTOR
Definisi : Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel-n-terorde (ordered-ntuple) adalah sebuah urutan n bilangan riil a1 , a2 ,..., an  . Himpunan semua tupel-nterorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan R n
4
Definisi : Jika u  u1 , u 2 ,..., u n  dan v  v1 , v2 ,..., vn  adalah sebarang vektor pada R n ,
maka hasil kali dalam euclidis (Euclidean inner product) u  v kita definisikan dengan
u  v  u1v1  u 2 v2  ...  u n vn
Norma Euclidis (panjang Euclidis) vektor u  u1 , u 2 ,..., u n  pada
u  u  u 
12
R n adalah
 u12  u 22  ...  u n2 .
Jarak Euclidis di antara titik u  u1 , u 2 ,..., u n  dan titik v  v1 , v2 ,..., vn  pada R n
didefinisikan oleh d u, v   u  v 
u1  v1 2  u2  v2 2  ...  u n  vn 2
Vektor vektor yang mempunyai panjang yang sama dan arah yang sama disebut ekivalen.
Jika v dan w ekivalen, maka kita menuliskann V = W.
Dua buah vektor dikatakan sama, jika panjang dan arahnya sama, Jadi vektor tidak
tergantung kepada letaknya, tetapi tergantung pada panjang dan arahnya.
OPERASI OPERASI PADA VEKTOR
1.
PENJUMLAHAN VEKTOR
Misal penjumlahan vektor V dan W kita mengenal 2 metode :
a. METODE JAJARAN GENJANG
w
V
Vektor hasil (resultan) didapat dari diagonal jajaan genjang yang dibentuk oleh V
serta W setelah titik awal ditempatkan berimpit.
5
b. METODE SEGITIGA
Resultant diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor (misal
W) pada titik ujung vektor yang lainnya, maka resultant adalah vektor bertitik
awal V, dan bertitik ujung dititik W.
V+W
W
V
2.
W
V
V+W
PERKALIAN SKALAR
Jika K suatu skalar bilangan riil dan V suatu vektor maka perkalian skalar KV
menghasilkan suatu vektor yang panjangnya IKI kali panjang V, dan arahnya sama
dengan arah V bila K positif atau berlawanan dengan V bila K negative. Bila K = 0
maka KV = 0, disebut vektor nol yaitu vektor yang titik awal dan titik ujungnnya
berhimpit.
Contoh :
(1).
V = (1, -2) dan W = (7,6)
Maka v + w = (1,-2) +(7,6) = (8,4) dan 4 V =4(1, -2) = (4, -8)
Karena V – W = V + - (W),
Maka V – W = = V + (- W) = (1 – 7, -2 -6) = (- 6, -8)
(2).
V = (1, -3, 2) dan W = (4, 2, 1)
Maka V +W = (1,--3, 2) + (4, 2, 1) = (5, 2, 3)
Dan 2 V = 2 (1 , -3, 2) = (2, -6, 4)
Maka V – W = V + (- W) = (-3, -5, 1)
6
RUANG BERDIMENSI SATU (R1)
Setiap bilangan riil dapat diawali oleh sebuah titik pada suatu garis lurus, yang
membentuk susunan koordinat di dalam ruang berdimensi 1, ditulis R1 misal pilih O
sebagai titik awal susunan koordinat dan suatu titik E dimana panjang OE = 1 Satuan
R
P
O
E
Titik O mewakili bilangan nol, Titik E mewakili bilangan satu.
RUANG BERDIMENSI DUA (R2)
Setiap bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu bidang rata, yang
membuat susunan koordinat di dalam ruang berdimensi dua, ditulis R2 Masing masing
garis disebut sumbu koordinat.
O
E
C
RUANG BERDIMENSI TIGA (R3)
Setiap triple bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik didalam ruang berdimensi
tiga ditulis R3 dengan membentuk suatu susunan koordinat yaitu mengambil 3 garis
lurus.(tidak sebidang ) yang berpotongan di titik awal O .
7
VEKTOR DI DALAM RN
Perhatikan susunan koordinat yang tegak lurus (Orthogonal) disebut pula
susunan koordinat courtesian di R2.Suatu vektor disebut satuan bila panjangnya = 1
Y2
E2
o
E1
X1
e1 = OE1 yang titik awalnya O (0,0) dan titik ujungnya E1 (1,0), e2 = OE2 yang titik
awalnya O (0,0) dan titik ujungnya E2 (0,1)
ditulis
e1 = 1e1 + Oe2
e2 = O e1 + 1e2
Disingkat menjadi
e1 = ( 1, O)
e2 = ( O, 1)
Vektor a yang titik awalnya O (0,0) dan titik ujungnya titik A (a1, a2), Vektor a disebut
Vektor posisi (radius vektor) dari titik A.
8
MATRIKS
1.1 Definisi
Suatu matriks adalah himpunan bilangan – bilangan y menurut bentuk empat persegi
panjang dan ditempatkan di dalam tanda ( ) atau [ ] seperti :
 a11

 a 21
A=  

 

a m1
a12
a13
a 22
a 23




am2
am3
 a1n 

 a2n 
 

 

 a mn 
atau
 a11

 a 21
A 

 
a
 m1
a12
a 22

a13
a 23






am2
a m3


a1n 

a2n 
 

 
a mn 
a11 sampai a mn disebut elemen – elemen dari matriks dan dinyatakan elemen umum a ij
dimana i dan j merupakan indeks dengan i indeks yang pertama berjalan dari 1 sampai m
dan j indeks yang kedua berjalan dari 1 sampai n. Suatu matriks biasanya dinyatakan
dengan huruf besar A atau aij  .
1.2 Pengertian Baris dan Kolom
Elemen – elemen yang disusun dengan arah mendatar seperti a11 a12
a13  a1n
disebut baris sedangkan elemen – elemen yang disusun dengan arah vertikal disebut
kolom seperti :
a11
a 21
a31

a m1
Susunan elemen – elemen : a11 a12 a13  a1n disebut baris pertama. Susunan elemen –
elemen a 21 a 22 a 23  a 2 n disebut baris kedua dan seterusnya. Terlihat bahwa untuk
baris pertama indeks pertama dari a ij selalu sama dengan 1. Dengan demikian i  1 .
Indeks pertama dari baris kedua selalu sama dengan 2. Dengan demikian i  2 dan
seterusnya untuk baris ke- m indeks pertama selalu sama dengan m . Dengan demikian
indeks pertama dari a ij selalu menunjukkan baris.
9
Susunan elemen – elemen a11 disebut kolom pertama
a 21
a31

a m1
Susunan elemen – elemen a12 disebut kolom kedua
a 22
a32

am2
Terlihat bahwa untuk kolom pertama indeks kedua dari a ij selalu sama dengan 1 dan untuk
kolom kedua indeks yang kedua selalu sama dengan 2. Dengan demikian maka indeks
yang kedua dari a ij selalu menunjukkan kolom, misal a23 artinya elemen a berada pada
baris 2 dan kolom 3.
1.3 Type Dari Suatu Matriks
Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks bertipe m n (dibaca m
kali n). Matriks yang banyaknya baris dan kolom sama disebut matriks bujur sangkar
(square matrix). Suatu matriks bujur sangkar yang mempunyai n baris dan n kolom disebut
matriks ber ” order” n. Suatu matiks yang hanya mempunyai 1 baris saja seperti:
B = [ b1 b2  bn],
disebut dengan vektor baris atau matriks baris. Sedang dengan order kolom n = 1, disebut
matriks kolom atau vector kolom dengan bentuk :
 c1 
 
 c2 
C =  c3 
 
 
 
c m 
Macam-Macam Matriks :
a) Matriks Nol adalah matriks yang semua unsurnya bernilai 0, seperti :
10
0 0 0 
A  0 0 0
0 0 0
b) Matriks bujur sangkar (MBS) adalah sebuah matriks dimana m = n
(banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom).
Contoh : misal matriks 33, adalah:
 a11
A = a 21
a31
a12
a 22
a32
a13 
a 23 
a33 
Diagonal yang terdiri dari a11, a22, dan a33 adalah diagonal utama matriks.
MBS banyak digunakan pada penyelesaian sistem persamaan linier, dalam
sistem ini jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan tak diketahui (kolom)
harus sama untuk mendapatkan penyelesaian tunggal.
c) Matriks diagonal adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen kecuali
diagonal utama adalah 0, dan berbentuk:
a11
0
A= 
0

0
0
0
a 22
0
0
0
a 33
0
0 
0 
0 

a 44 
d) Matriks saklar, adalah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama besar
tetapi bukan nol atau satu.
e) Matriks identitas, adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal
utama bernilai 1 atau dapat juga disebut matriks satuan, seperti bentuk berikut
ini:
1
0
I= 
0

0
0 0 0
1 0 0
0 1 0

0 0 1
11
f) Matriks segitiga atas (MSA), adalah matriks yang semua elemen dibawah
diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:
a11 a12
0 a
22
A= 
0
0

0
0
a13 a14 
a23 a24 
a33 a34 

0 a44 
g) Matriks segitiga bawah (MSB), adalah matriks yang semua elemen diatas
diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:
 a11
a
A =  21
a 31

a 41
0
a 22
0
0
a 32
a 42
a 33
a 43
0 
0 
0 

a 44 
h) Matriks simetris, bila aij = aji, misalnya matriks simetris 33:
5 1 2
A = 1 3 7 
2 7 8 
i) Matriks simetris diagonal nol, bila aij = -aji, misalnya matriks simetris 33
yang semua unsur diagonalnya aji = 0.
 0 1  2
A =  1 0  7 
 2 7 0 
j) Matriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan 0, kecuali
pada satu jalur yang berpusat pada diagonal utama, bentuknya sebagai berikut:
 a11
a
A =  21
0

0
a12
a 22
0
a 23
a 32
0
a 33
a 43
0 
0 
, disebut juga dengan matriks tridiagonal.
a 34 

a 44 
12
k) Matriks transpose, adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris
menjadi kolom dan kolom menjadi baris (notasinya AT).
 a11

 a 21
Untuk matriks: A =  

 

a m1
a12
a13
a 22
a 23




am2
am3
 a1n 

 a2n 
 ,

 

 a mn 
 a11 a21

 a12 a22
T
T
maka transposenya (A ) adalah A =  


 


a1n a2 n
a31  am1 

a32  am 2 

 


 

a3n  amn 
Hukum – hukum yang berlaku :
a.  A  B   AT  B T
T
 
b. AT
T
A
c. k  A  k  AT dengan k = scalar
T
d.  AB   B T AT
T
l) Matriks ortogonal adalah matrik bujur sangkar yang memenuhi aturan:
[A]T . [A] = [A] [A]T = [I]
Aljabar Matriks
MBS dapat dikenakan suatu operator matematika seperti penjumlahan, pengalian,
dan pengurangan.
a) Kesamaan dua matriks
Definisi : Dua matriks A dan B dikatakan sama bila elemen-elemen matriks A
sama dengan elemen-elemen matriks B dan ukuran keduanya adalah
sama, aij = bji untuk semua nilai i dan j.
13
2 3 1 
Contoh : A  5 4 6
3 2 7
2 3 1 
B  5 4 6
3 2 7
4 8 0
C  5 8 6
6 2 7
Dari contoh di atas diperoleh bahwa A  B , A  C , B  C
b) Penjumlahan dan pengurangan matriks
Definisi : Bila A = [aij] dan B = [bij] merupakan dua matriks dengan dimensi
mn, maka untuk operasi penjumlahan atau pengurangan (A  B)
dari kedua matriks tersebut, adalah sama dengan matriks C = [cij]
dengan dimensi mn, dimana setiap elemen matriks C adalah jumlah
(selisih) dari elemen-elemen yang berkaitan dari A dan B.
C = A  B = [aij  bij] = [cij]
Contoh :
1 2 3
Jika A = 
 dan B =
0 1 4 
 2 3 0
  1 2 5


Maka:
2  3 3  0  3 5 3
 1 2
A+B= 
 = 

0  (1) 1  2 4  5  1 3 9
2  3 3  0  1  1 3 
 1 2
AB= 
 = 

0  (1) 1  2 4  5  1  1  1
1 2 3  2 3 0 1 2 3  4 7 6 
A+B+A= 
 + 
 = 

 + 
0 1 4  1 2 5 0 1 4  1 4 13
c) Perkalian Matriks dengan Skalar
Definisi : Hasil perkalian scalar k dengan matriks A dinyatakan sebagai kA
yaitu matriks yang didapat dari A dengan jalan mengalikan setiap
elemen dari A dengan k.
Bentuk umumnya :
 a11 a12
A  a 21 a 22
a31 a32
a13 
a 23 
a33 
 ka11 ka12
kA  ka21 ka22
ka31 ka32
ka13 
ka23 
ka33 
14
Contoh :
1  2 
A

4 5 
 3  1 3 2
3A  

3  4 3  5 
 3  6


12 15 
d) Perkalian matriks
Definisi : Bila A  aij  suatu matriks bertipe / berordo m  p  dan matriks
B  bij  suatu matriks bertipe  p  n  maka perkalian matriks A dan
B didefinisikan sebagai suatu matriks C bertipe m  n  dengan
elemen – elemen C ij yang sama dengan jumlah perkalian elemen –
elemen di baris ke-i dari A dengan elemen – elemen di kolom ke-j
dari B.
Contoh soal:
 2  2
2  2 10  10
Jika A = 
dan g = 5, maka C = gA = 5 

 = 

4 3 
4 3  20 15 
Perkalian dua matriks A dan B dapat dilakukan bila cacah kolom A sama dengan
cacah baris B, dan kedua matriks disebut dengan conformable.
Perkalian suatu matriks 1m, yaitu A = [ a11 a12  a1m] dengan matriks m1
yaitu:
 b11 
 
 b21 
B =  b31  adalah sebuah matriks C berukuran 11, yang berbentuk:
 
  
 
bm1 
C = [a11b11 + a12b21 +  + a1mbm1] atau
15
[a11 a12
 b11 
 
 b21 
 a1m]  b31  = [a11b11 + a12b21 +  + a1mbm1]
 
  
 
bm1 
Operasi perkalian adalah baris dengan kolom, tiap elemen dari baris dikalikan
dengan elemen dari kolom dan kemudian dijumlahkan.
Contoh soal:
1 
[2 3 4]  2 = [2(1) + 3(2) + 4(3)] = [2 + (6) + 12] = [8]
 3 
Perkalian antara matriks mp, yaitu A = [aij] dan matriks pn, yaitu B = [bij]
adalah matriks mn, yaitu C = [cij] dengan nilai cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj =
p
 aikbkj.
k 1
Dimana untuk i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n
Contoh soal:
 2 1 4
A= 
, B=
  1 3 2
2
1
 1 3  dan X =


 4  1
 x1 
x 
 2
 x 3 
2(2)  1(3)  4(1)  17 3
 2(1)  1(1)  4(4)
AB = 
 = 

 1(1)  3(1)  2(4)  1(2)  3(3)  2(1)  4 5
1(1)  2(3)
1(4)  2(2)   0 7 8 
 1(2)  2(1)

BA =   1(2)  3(1)
 1(1)  3(3)  1(4)  3(2) =  5 8 2 
4(2)  (1)(1) 4(1)  (1)(3) 4(4)  (1)2   9 1 14
 x1 
 2 1 4    2 x1  x 2  4 x3 
AX = 

  x2  = 
 1 3 2  x   x1  3x 2  2 x3 
 3
Beberapa hukum yang berlaku dalam aljabar matriks :
a.  A  1  A
16
b. A  B  A   B 
c.  A  B   C  A  B  C 
d. A  0  A
e. A   A  0
f. A  B  B  A
g. k  A  B   kA  kB
h. k1  k 2 A  k1 A  k 2 A
i. k1  k 2 A  k1 k 2  A
j. 1  A  A dan 0  A  0
17
DETERMINAN
Definisi. Suatu fungsi determinan dinyatakan sebagai det. Suatu determinan dari A yang
diberi notasi det  A atau A adalah kumpulan elemen – elemen yang tersusun menurut
baris dan kolom sehingga berbentuk bujur sangkar yang mempunyai nilai sama dengan
jumlah semua perkalian elementer dengan memperhatikan tanda.
Bentuk Umum :
A
a11
a12
a 21 a 22
 a11a 22  a12 a 21
Contoh :
A
2 3
 2  1  3  4  10
4 1
Sifat-sifat determinan
a) Apabila semua unsur dalam suatu baris (kolom) det  A  0 maka det  A  0
Contoh :
2 4 1
det  A   2 3 5 = 0
0
2 0 4
det  A  3 0 1
0 0
=0
5 0 2
b) Apabila semua unsur suatu baris (kolom) dari det  A dikalikan dengan scalar k
sehingga menjadi B maka B  k det  A
Contoh :
det  A 
2 3
 2  4  3 1  8  3  5
1 4
Baris pertama dalam matiks A dikalikan dengan 3 menjadi :
det B  
6 9
 6  4  9  1  24  9  15 = 3 det  A
1 4
c) Apabila det B  diperoleh dari determina(A) dengan cara menukar letak
sembarang dua baris (kolom) maka det B    det  A
18
det  A 
1 1
2 3
= 1 → ditukar baris det  A 
= –1
2 3
1 1
→ ditukar kolom det  A 
1 1
= –1
3 2
d) Apabila unsur – unsur dua baris (kolom) dari det  A adalah identik maka
det  A  0 .
1 2 4
det  A  1 2 4 = 0
1 1 3
det  A  2 2 5 = 0
3 5 6
Ada 2 baris yang sama
4 4 6
Ada 2 kolom yang sama
e) Apabila unsur – unsur suatu baris (kolom) dari determinan A sebanding dengan
unsur- unsur baris (kolom) yang lain maka det  A  0
det  A 
3 4
0
3 4
3 1 2
det B   6 2 4  0  Baris kedua diperoleh dari elemen baris pertama
1 1 2
dikali dengan 2.
f) Apabila det B  diperoleh dari det  A dengan menambahkan unsur – unsur
pada baris (kolom) B dengan k kali unsur – unsur baris (kolom) A maka
det B   det  A
Contoh :
2 3
det  A  
4
4 8
Perhitungan nilai determinan
a) Metode Sarrus
Metode ini hanya berlaku untuk menghitung harga determinan tingkat atau orde
tiga saja.
19
a11 a12 a13 a11 a12
a 21 a 22 a 23 a 21 a 22
D=
a 31 a 32
a 33 a 31 a 32
D = (a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32) – (a13 . a22 . a31) –
(a11 . a23 . a32) – (a12 . a21 . a33)
Contoh soal:
[A] =
1
2
4
1
3
1
2
4
1
→→
1
2
4
1
3
1
2
4
1
1 2
1 3
2 4
= (1.(– 3).1) + (2.1.(– 2)) + ((– 4).1.4) – ((– 4).(– 3).(–2)) – (1.1.4) – (2.1.1)
= (– 3) + (– 4) + (– 16) + 24 – 4 – 2
= – 5.
b) Metode minor (ekspansi)
Jika di dalam suatu determinan tingkat atau orde n, elemen-elemen pada baris
ke-i dan kolom ke-j diambil (dihapus) terdapat suatu determinan tingkat (m–1),
simbol yang ditulis Mij.
Contoh soal:


1). A = 



1 2 3 0 
 2 4  4 1 
3 5
1 1 

1 3 0 2 
 1 2 0 
→ → Minor (M23) =   3 5 1 
 1  3 2 
 2 3 0 
→ → Minor (M41) =  4  4 1 
 5
1 1 
a11
2). D =
a12
a13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32
a 33
Harga determinannya adalah:
D = [(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)] –
[(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 . a21 . a33)]
20
= [a11(a22 . a33 – a23 . a32)] – [a12 (a21 . a33 – a23 . a31)] +
[a13 (a21 . a32 – a22 . a31)]
= a11
a 22
a 23
a 32
a 33
– a12
a 21 a 23
a 31 a 33
+ a13
a 21 a 22
a 31 a 32
= (a11 . M11) – (a12 . M12) + (a13 . M13)
Invers Matriks
Invers dari matriks A  a jk  bertipe n  n  dinyatakan sebagai A 1 dan merupakan
matriks bertipe n  n  juga dengan sifat bahwa : A  A1  A1  A  I dengan I adalah
matriks identitas yang bertipe n  n  . Suatu matriks A yang mempunyai inverse maka
disebut matriks non singular dan jika tidak mempunyai inverse maka disebut matriks
singular.
Contoh :
3  2 6 
1) Menggunakan determinan, hitung [A] bila [A] = 4 1
1 
2 1  2
-1
Penyelesaian:
Nilai determinan A = |A| = –17.
Dengan algoritma [A]-1 =
1
adj [A]
A
1 1 
A11 (baris 1 dan kolom 1 ditutup) = (+1) 
 = –3
1  2
4 1 
4 1
 2 6 
A12 = (–1) 
= 10, A13 = (+1) 
= 2, A21 = (–1) 
 =2


 1  2
 2  2
2 1
3 6 
A22 = (+1) 
 = –18, A23 = (–1)
 2  2
 3  2
  2 6
2 1  = –7, A31 = (+1)  1 1 = – 8




 3 6
A32 = (–1) 
 = 21, A33 = (+1)
4 1
 3  2
4 1  = 11


 A11 A12
[A] = A 21 A 22
A 31 A 32
2
 3 10
 2  18  7


 8 21 11 
A13 
A 23  → → [A] =
A 33 
21
 3 2  8
→ → [A] =  10  18 21 
 2  7 11 
T
 3 2  8
 312
1 
1

-1
[A] =
adj [A] → → [A] =
10  18 21  → → = 1017

A
17
 2  7 11 
 117
-1
2
17
18
17
7
17



11 
17 
8
17
21
17
Metode Invers Matriks
Persamaan umum:
a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1
a21 x1+ a22 x2 +  + a2n xn = b2
:
:
an1 x1 + an2 x2 +  + ann xn = bn
dapat ditulis dalam bentuk matriks, menjadi sebagai berikut:
 a11 a12  a1n   x1   b1 

   
a21 a22  a2 n   x2  b2  atau AX = B

 

  

   
an1 an 2  ann   xn  bn 
dengan:
A adalah matriks koefisien nn.
X adalah kolom vektor n1 dari bilangan tak diketahui.
B adalah kolom vektor n1 dari konstanta.
Nilai pada vektor kolom X dapat dicari dengan cara mengalikan kedua ruas persamaan
dengan matriks inversi, yaitu A1AX = A1B, karena A1A = I, maka nilai-nilai dari
elemen X = A1B,
Contoh soal:
Diketahui suatu persamaan, yaitu: 2x + y = 4
2x + 3y = 8
2 1  x   4
B
Maka persamaan diatas dapat ditulis = 
+   =   →A+X=B→X=

A
2 3  y  8 
A
X
B
22
2 1
1  3  1  3 4  1 4 
1
-1

Untuk nilai A = 
→
[A]
=
adj
[A]
=
= 

1 
4  2 2   1
A
2 3
2
 2
x 
Sehingga nilai   dapat dicari yaitu:
 y
 1   4  1 
3
4
 4
8  =  2  ,

1
1
 2

2   
Jadi nilai x = 1 dan y = 2.
PENGGUNAAN DETERMINAN DALAM SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Perhatikan sistem persamaan linear berikut ini :
a1 x  b1 y  c1
(1)
a2 x  b2 y  c2
(2)
Apabila persamaan 1 dikalikan b2 dan persamaan 2 dikalikan b1 maka akan diperoleh:
a1b2 x  b1b2 y  c1b2
a 2 b1 x  b1b2 y  c 2 b1

a1b2  a2 b1 x  c1b2  c2 b1
c1
c
c b  c 2 b1
x 1 2
 2
a1
a1b2  a 2 b1
a2
b1
b2
x

b1

b2
Dengan cara yang sama diperoleh :
a1
a c  a 2 c1 a 2
y 1 2

a1
a1b2  a 2 b1
a2
c1
c2
y

b1

b2
23