BAB V

Bab 6 ● Ruang Hasilkali Dalam
81
Bab 6
RUANG HASIL KALI DALAM
Ruang hasil kali dalam merupakan ruang vektor yang
dilengkapi dengan operasi hasil kali dalam. Seperti halnya ruang
vektor, ruang hasilkali dalam bermanfaat dalam beberapa metode
optimasi, seperti metode least square dalam peminimuman error
dalam berbagai bidang rekayasa.
5.1 HASIL KALI DALAM
Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan u , v ∈ V maka
notasi < , > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi
keempat aksioma sebagai berikut:
(i) < u , v > = < v , u >
(Simetris)
(ii) < u + v , w > = < u , w > + < v , w >
(Aditivitas)
(iii) untuk suatu k∈R, berlaku
(Homogenitas)
< k u , v > = < u, k v > = k < u, v >
(iv) < u , u > ≥ 0 , untuk setiap u dan
< u, u > = 0 ⇔ u = 0
(Positifitas)
Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam dinamakan
ruang hasilkali dalam (RHD). Jika V merupakan suatu ruang
hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor
u
u
dinyatakan oleh
yang didefinisikan oleh :
u = < u, u >
1
2
≥0
Contoh 6.1 :
Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( R n )
Bab 6 ● Ruang Hasilkali Dalam
82
Misalkan, u , v ∈ Rn maka
< u , v >= u1v1 + u 2 v 2 + ... + u n v n
maka
u = < u, u >
1
2
≥0
= (u12 + u22 + …..+un2) 1/2
Contoh 6.2 :
Misalnya W ⊆ R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil
kali berbentuk :
< u , v > = 2u1v1 + u2v2 + 3u3v3, ∀ u , v ∈ W
Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam ( RHD).
Jawab :
Misalnya u , v , w ∈ W
(i) < u , v > = 2u1v1 + u2v2 + 3u3v3
= 2 v1u1 + v2 u2+ 3 v3u3
= < v ,u >
(terbukti simetris)
(ii) < u + v , w > = < (u1+v1 , u2+v2, u3+v3), (w1 , w2 , w3)>
= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2) w2 + 3(u3+v3) w3
= 2u1w1 + 2v1w1 + u2w2 + v2w2 + 3u3 w3 + 3v3w3
= 2u1w1+u2 w2 + 3u3w3+ 2v1w1 + v2w2 + 3v3w3
= < u , w > + < v , w > (terbukti aditivitas)
(iii) untuk suatu k∈R,
< k u , v > = <(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)>
= 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3
= k.2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3
= k < u, v >
< k u , v > = <(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)>
= 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3
= 2u1kv1 + u2kv2 + 3u3kv3
= < u, k v >
(terbukti homogenitas)
(iv) < u, u > = 2u12 + u22 + 3u32
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
83
Jelas bahwa < u , u > ≥ 0, untuk setiap u , dan
< u , u > = ⎯0 ⇔ u = ⎯0 terbukti memenuhi sifat
positifitas.
Contoh 6.3:
Tunjukan bahwa < u , v > = u1v1 + 2u2v2 – 3u3v3
merupakan hasil kali dalam
Jawab :
bukan
Misalkan u = (u1, u2, u3) ∈ W
Perhatikan < u , u > = u12 + 2u22 – 3u32
Jelas bahwa saat : 3u32 > u12 + 2u22 maka < u , u > < 0
Ini menunjukan tidak memenuhi sifat positifitas
Jadi < u , v > = u1v1 + 2u2v2 – 3u3v3 bukan merupakan
hasil kali dalam.
Contoh 6.4 :
Diketahui < u , v > = ad + cf
dimana u = (a, b, c) dan v = (d, e, f),
Apakah < u , v > merupakan hasil kali dalam?
Jawab :
1. Sifat Simetris
<u ,v >
= ad + cf = da + fc
=< v , u >………………………….(terpenuhi)
2. Sifat Aditivitas
Misalkan w = ( g, h, i )
< u + v , w > = <( a + d, b + e, c + f ), ( g, h, i )>
= ( a + d )g + ( c + f )i
= (ag + ci ) + (dg + fi )
= < u , w > + < w , v > …….….(terpenuhi)
Bab 6 ● Ruang Hasilkali Dalam
84
3. Sifat Homogenitas
<k u , v > = ( kad + kcf)
= k (ad + cf)
= k < u , v >…………..………………(terpenuhi)
4. Sifat Positivitas
< u, u > = ( a2 + c2) ≥ 0
Tetapi ada u ≠ 0 sedemikian hingga < u , u > = 0
Karena saat u = ( 0, 2, 0 ) diperoleh < u , u > = 0.
Aksioma terakhir tidak terpenuhi.
Jadi < u , v > = ad + cf bukan merupakan hasil kali
dalam.
5.2 HIMPUNAN ORTONORMAL
DAN PROSES GRAMM- SCHMIDT
Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam
dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vector yang
berbeda dalam himpunan tersebut adalah orthogonal (saling tegak
lurus). Sebuah himpunan orthogonal yang setiap vektornya
memiliki panjang (normnya) satu dinamakan himpunan
ortonormal.
Agar lebih memudahkan dalam pemahaman, misalkan
T = {c1 , c 2 ,..., c n } pada suatu RHD.
1. T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika :
Semua vektor didalam T yaitu < c i , c j > = 0
Untuk setiap i ≠ j ,
i, j = 1,2,3,…n
2. T dikatakan himpunan ortonormal jika :
T merupakan himpunan ortogonal dan untuk setiap c i ∈ T,
maka ci = 1 (setiap vektor di T merupakan vektor satuan)
Contoh 6.5 :
⎧ 1
1. A = ⎨ ⎛⎜ ⎞⎟
⎜ ⎟
⎩ ⎝ 0 ⎠,
⎛ -1 ⎞ ⎫
⎜⎜
⎟⎟ ⎬
⎝ 0 ⎠⎭
Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal.
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
85
⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫
2. B = ⎪⎨ ⎜ ⎟ ⎜
⎟⎟ ⎬
⎜ ⎟ ⎜
⎪⎩ ⎝ 0 ⎠ , ⎝ - 1 ⎠ ⎭
Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal.
Misal S = { d1 , d 2 , K d n } merupakan basis bagi suatu RHD V dan
merupakan himpunan ortonormal, maka S dinamakan Basis
Ortonormal.
Jika S = {v1 , v 2 ,..., v n } adalah basis ortonormal untuk ruang hasil
kali dalam V, dan u adalah sembarang vektor di ruang vektor V,
maka :
(6.1)
u = k1v1 + k 2 v 2 + ... + k n v n
Perhatikan bahwa, untuk suatu i ∈ 1, 2, … n, maka berlaku :
< u , vi > = < k1v1 + k 2 v2 + ... + k n v n , vi >
Dengan menggunakan sifat aditifitas dan homogenitas hasilkali
dalam maka
< u , vi >= k1 < v1 , vi > +k 2 < v2 , vi > +... + ki < vi , vi > +...k n < vn , vi >
Karena S merupakan himpunan ortonormal, yaitu
< vi , vi > = 1 untuk setiap i
dan
< vi , v j >= 0 untuk setiap i ≠ j
Jadi, untuk setiap i berlaku < u , vi >= k i
Sehingga kombinasi linear (6.1) dapat ditulis dalam bentuk :
u =< u , v1 > v1 + < u , v 2 > v 2 + ...+ < u , v n > v n
Contoh 6.6 :
Tentukan kombinasi linear vektor
⎛1⎞
a = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2⎠
pada RHD Euclides berupa bidang yang dibangun oleh
Bab 6 ● Ruang Hasilkali Dalam
86
⎛ 1 ⎞
⎜
2⎟
u =⎜
⎟
⎜ 1 ⎟
2⎠
⎝
⎛ 1
⎞
2 ⎟
⎟
⎜− 1 ⎟
2
⎝
⎠
dan v = ⎜⎜
Jawab :
Terlihat bahwa vektor pembangun bidang merupakan
basis ortonormal bagi bidang tersebut, sehingga kombinasi
linear dapat ditulis menjadi :
a =< a , u > u + < a , v > v
⎛1⎞
a = ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ 2⎠
a= 1 2 u
⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞
⎛1⎞ ⎛ 1 2 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ 1 ⎟⎟ u + ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ v
⎝ 2⎠ ⎝ − 2 ⎠
⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠
+ (− 1 2 ) v
Misal S = { c1 , c 2 , K c n } merupakan basis bagi suatu
RHD V dan bukan merupakan himpunan Ortonormal, maka S
dapat ditransformasi menjadi Basis Ortonormal dengan suatu
proses yang dinamakan proses Gramm-Schmidt.
Misal B = {w1 , w2 , ... , wn } merupakan basis ortonormal hasil proses
Gramm-Schmidt dari basis S.
1. Misalkan w1 merupakan perubahan dari vektor c1 maka
c
w1 = 1 , dimana w1 = 1 .
c1
2. Misal w2 adalah hasil perubahan dari c2 . Agar dapat
memahami lebih jauh, berikut adalah ilustrasi
pembentukan vektor w2 Vektor c2 diproyeksikan pada
pada vektor w1 , terlihat pada gambar bahwa hasil proyeksi
berupa vektor p1 . Selanjutnya ambil komponen c2 yang
tegak lurus terhadap w1 , yaitu
w2 ,
q1 . Sehingga diperoleh
yaitu vektor yang searah dengan q1 dan normnya
sama dengan satu.
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
87
Berikut ini adalah ilustrasi perhitungan nilai vektor yang
ada pada gambar diatas :
q1
c2
w2
w1
p1
Gambar 6.1 Ilustrasi gram Schmidt di Bidang
p1 merupakan proyeksi vektor c2 terhadap w1 (vektor
ortonormal), sehingga :
< c2 , w1 > w1
p1 = proy w1 c 2 =
=< c 2 , w1 > w1
w1
q1 merupakan komponen c2 yang tegak lurus
terhadap w1 maka
q1 = c 2 − p1
Karena
Akhirnya diperoleh vektor w2 , yaitu :
w2 =
q1
q1
atau
w2 =
c 2 − < c 2 , w1 > w1
c 2 , < c 2 , w1 > w 2
Bab 6 ● Ruang Hasilkali Dalam
88
3. Misalkan w3 adalah hasil perubahan dari c3 . Agar dapat
memahami lebih jauh, berikut adalah ilustrasi
pembentukan vektor w3 adalah sebagai berikut :
c3
q2
w3
w1
w2
p2
W
Gambar 6.1 Ilustrasi gram Schmidt di Ruang
Vektor c3
diproyeksikan
pada pada bidang W =
span( w1 , w2 ), artinya W dibangun oleh dua vektor yang
ortonormal. Terlihat pada gambar bahwa hasil proyeksi
berupa vektor p 2 . Ambil komponen c3 yang tegak lurus
terhadap bidang W, yaitu q 2 . Selanjutnya diperoleh w3 ,
yaitu vektor yang searah dengan q 2 dan normnya sama
dengan satu.
Berikut ini adalah ilustrasi perhitungan nilai vektor
yang ada pada gambar diatas :
p 2 merupakan proyeksi vektor c3 terhadap bidang W
yang dibangun oleh dua vektor ortonormal w1 dan w2 ,
sehingga :
p 2 = proyW c3 =< c3 , w1 > w1 + < c3 , w2 > w2
Karena q 2 merupakan komponen c3 yang tegak lurus
terhadap W maka
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
89
q 2 = c3 − p 2
Akhirnya diperoleh vektor w3 , yaitu
q
w3 = 2
q2
atau
c − < c3 , w1 > w1 + < c3 , w2 > w2
w3 = 3
c3 − < c3 , w1 > w1 + < c3 , w2 > w2
Secara
umum,
proses
Gramm
Schmidt
untuk
mentransformasi basis S = { c1 , c 2 , K c n } pada suatu
RHD V menjadi basis ortonormal B = {w1 , w2 , ... , wn }.
wi =
ci − < ci , w1 > w1 + ...+ < ci , wi −1 > wi −1
,
ci − < ci , w1 > w1 + ...+ < ci , wi −1 > wi −1
untuk setiap i = 1, 2, 3, … n.
Contoh 6.7 :
Diketahui R3 merupakan ruang vektor dengan hasil kali
dalam Euclides. Misalkan
⎧
⎛1⎞
⎛ 0⎞
⎛ 0 ⎞⎫
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎪
⎪
B = ⎨u1 = ⎜1⎟, u 2 = ⎜ 1 ⎟, u 3 = ⎜ 0 ⎟⎬
⎜1⎟
⎜1⎟
⎜ 1 ⎟⎪
⎪
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠⎭
⎩
merupakan basis pada ruang vektor tersebut.
Dengan proses Gram Schmidt transformasikan basis
tersebut menjadi basis Ortonormal!
Jawab :
Langkah 1.
Bab 6 ● Ruang Hasilkali Dalam
90
v1 =
u1
u1
⎛
⎜
⎜
(
1, 1, 1) ⎜
=
=⎜
3
⎜
⎜
⎜
⎝
1 ⎞
⎟
3⎟
1 ⎟
⎟
3⎟
1 ⎟
⎟
3⎠
Langkah 2.
v2 =
u 2 − proyv1 u 2
u 2 − proyv1 u 2
Sementara itu,
u2 − proyv1 u 2 = u 2 − u 2 , v1 v1
2 ⎛ 1
1
1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
,
,
3⎝ 3
3
3⎠
⎛ 2 1 1⎞
= ⎜− , , ⎟
⎝ 3 3 3⎠
= (0, 1, 1) −
Karena itu, u 2 − proy v1 u 2 =
4
9
+ 19 + 19 =
6
3
sehingga :
⎛
⎜−
⎜
⎜
v2 = ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2 ⎞
⎟
6⎟
1 ⎟
⎟
6 ⎟
1 ⎟
⎟
6 ⎠
Langkah 3.
v3 =
u3 − proy W u3
,
u3 − proy W u3
dimana W merupakan bidang yang dibangun oleh v1 dan
v2 .
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
91
u3 − proy W u3 = u3 − u3 , v1 v1 − u3 , v2 v2
1 ⎛ 1 1 1 ⎞
1 ⎛ 2 1 1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ −
⎜⎜ −
⎟⎟
= (0, 0,1) −
,
,
,
,
3⎝ 3 3 3⎠
6⎝
6 6 6⎠
1 1⎞
⎛
= ⎜ 0, − , ⎟
2 2⎠
⎝
sehingga :
⎛ 0 ⎞
⎜
⎟
v3 = ⎜ − 12 ⎟
⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ 2 ⎠
Dengan demikian,
⎧⎛
⎪⎜
{v1, v2 , v3} = ⎨⎜
⎪⎜⎜
⎩⎝
1
3
1
3
1
3
⎞ ⎛ − 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫
⎟ ⎜ 6⎟ ⎜
⎟⎪
⎟, ⎜ 16 ⎟, ⎜ − 12 ⎟⎬
⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎪
⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎭
merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3
dengan hasil kali dalam Euclides.
Contoh 6.8 :
⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫
Diketahui bidang yang dibangun oleh ⎪⎜ 0 ⎟, ⎜ 1 ⎟⎪ merupakan
⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎬
⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪
⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭
subruang dari RHD Euclides R 3 . Tentukan proyeksi
⎛1⎞
orthogonal dari vektor u = ⎜⎜1⎟⎟ pada bidang tersebut.
⎜1⎟
⎝ ⎠
Bab 6 ● Ruang Hasilkali Dalam
92
Jawab :
⎛ 0⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
Diketahui v1 = ⎜ 0 ⎟ , v 2 = ⎜ 1 ⎟
⎜1⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
membangun subruang pada
RHD tersebut.
Jelas bahwa {v1 , v 2 } merupakan basis bagi subruang pada
RHD tersebut, karena v1 dan
v2
saling bebas linear
(terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan).
Basis tersebut akan ditransformasikan menjadi basis
ortonormal.
v
w1 = 1
v1
=
=
(1 , 0 ,1)
(1)2 + (0)2 + (1)2
(1 , 0 ,1)
2
1 ⎞
⎛ 1
,0 ,
= ⎜⎜
⎟⎟
2⎠
⎝ 2
w2 =
v 2 − v 2 , w1 w1
v 2 − v 2 , w1 w1
Perhatikan bahwa :
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
93
1 ⎞
⎛ 1
⎟⎟ >
,0 ,
v2 , w1 = < (0 ,1 ,1) ⎜⎜
2⎠
⎝ 2
1
=0+0+
2
1
=
2
Sehingga:
v 2 , w1 w1 =
1 ⎛ 1
1 ⎞ ⎛1
1⎞
⎟⎟ = ⎜ , 0 , ⎟
⎜⎜
,0 ,
2⎠
2⎝ 2
2⎠ ⎝2
1⎞
⎛1
v2 − v2 , w1 w1 = (0 ,1 ,1) − ⎜ , 0 , ⎟
2⎠
2
⎝
1⎞
⎛ 1
= ⎜ − ,1 , ⎟
2⎠
⎝ 2
2
⎛1⎞
⎛ 1⎞
2
v 2 − v 2 , w1 w1 = ⎜ − ⎟ + (1) + ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝ 2⎠
=
w2 =
1
1
+1+ =
4
4
2
6 1
=
6
4 2
v2 − v2 , w1 w1
v2 − v2 , w1 w1
1⎞
⎛ 1
⎜ − ,1 , ⎟
2
2⎠
⎝
=
1
6
2
⎛ 1
2 1 ⎞
⎟⎟
= ⎜⎜ −
,
,
6
6
6⎠
⎝
Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ 1 ⎞
⎟
1 ⎞ ⎜−
⎟ ⎜
6⎟
2⎟ ⎜ 2 ⎟
0 ⎟,⎜
⎟
1 ⎟ ⎜ 6 ⎟
1 ⎟
⎟
⎜
2⎠ ⎜
⎟
⎝ 6 ⎠
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
Bab 6 ● Ruang Hasilkali Dalam
94
⎛1⎞
⎜ ⎟
Proyeksi Orthogonal Vektor u = ⎜1⎟ pada bidang w adalah:
⎜1⎟
⎝ ⎠
Pr oy W u
= u , w1 w1 + u , w2 w2
Perhatikan bahwa :
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟ >
u , w1 = < (1 ,1 ,1) ⎜⎜
,0 ,
2⎠
⎝ 2
1
1
2
=
+0 +
=
= 2
2
2
2
Sehingga
1 ⎞
⎛ 1
u , w1 w1 = 2 ⎜
,0 ,
⎟ = (1 , 0 ,1)
2⎠
⎝ 2
⎛ 1
2 1 ⎞
⎟⎟ >
,
,
< u , w2 > = < (1 ,1 ,1) ⎜⎜ −
6
6
6⎠
⎝
1
2
1
2
=−
+
+
=
6
6
6
6
⎛ 1 ⎞
⎜−
⎟
6⎟
⎜
2 ⎜ 2 ⎟
u , w2 w2 =
=
6 ⎜ 6 ⎟
⎜
⎟
⎜ 1 ⎟
⎜
⎟
⎝ 6 ⎠
⎛ 2⎞
⎜− ⎟
⎜ 6⎟
⎜ 4 ⎟=
⎜ 6 ⎟
⎜ 1 ⎟
⎟
⎜
⎝ 6 ⎠
⎛ 1⎞
⎜− ⎟
⎜ 3⎟
⎜ 2 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎜ 1 ⎟
⎟
⎜
⎝ 3 ⎠
Dengan demikian,
Pr oy W u
= u , w1 w1 + u , w2 w2
⎛2⎞
=
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟
⎜− ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎛1⎞ ⎜ 3 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ =⎜ 2⎟
⎜ 0⎟ + ⎜
⎟ ⎜ 3⎟
⎜1⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 4 ⎟
1
⎝ ⎠
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎝ 3 ⎠ ⎝3⎠
Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya
95
Latihan Bab 6
1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam
a. < u , v > = u12v1 + u2v22 di R2
b. < u , v > = u1v1 + 2u2v2 – u3v3 di R3
c. < u , v > = u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3
2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 )
adalah orthogonal dalam ruang Euclides !
⎛ − 1⎞
⎛1 ⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
u1 = ⎜ 1 ⎟ , u1 = ⎜ 2 ⎟ } basis bagi
⎜ 0 ⎟
⎜1 ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
R3 dengan hasil kali dalam Euclides. Gunakan proses
Gram Schmidt untuk mentransformasikan basis tersebut
menjadi basis ortonormal !
⎛1⎞
⎜ ⎟
3. Diketahui {u1 = ⎜ 1 ⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
4. W
merupakan subruang ruang hasilkali dalam euclides di
⎛1⎞
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
ℜ3 yang dibangun oleh ⎜ 1 ⎟ dan ⎜ 0 ⎟ . Tentukan
⎜0⎟
⎜ − 1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ − 1⎞
⎜ ⎟
proyeksi orthogonal ⎜ 1 ⎟ pada W !
⎜ 2⎟
⎝ ⎠