7. Statistika Kuantum

7. Statistika Kuantum
Pada bagian ini akan didiskusikan pembahasan sistem dengan interaksi antar molekul
lemah (‘gas ideal’) secara mekanika kuantum.
• Formulasi problem statistik
• Fungsi distribusi kuantum
• Klasifikasi Sistem Partikel
• Fermion dan Boson pada Fisika Partikel
• Statistik Maxwell-Boltzmann
• Statistik foton
• Statistik Bose-Einstein
• Statistik Fermi-Dirac
• Radiasi benda hitam
• Konduksi elektron dalam metal
7.1. Partikel Identik dan Simetri yang Diperlukan
Gas terdiri dari N partikel dalam volume V:
Sebut:
Qi koordinat gabungan (posisi dan spin) partikel ke-i
si keadaan kuantum partikel ke-i
Keadaan seluruh gas:
{s1, s2, s3,....}
dengan fungsi gelombang pada keadaan ini:
Ψ = Ψ[ s1 , s 2 , s3 ,..] (Q1 , Q2 , Q3 ,....QN )
M. Hikam, Statistika Kuantum
68
7.1.1. Klasifikasi Sistem Partikel
Beberapa kasus:
A. Kasus “Klassik” (Statistik Maxwell Boltzmann)
Dalam kasus ini (Statistik MB)
¾ partikel dapat dibedakan (distinguishable)
¾ berapa pun jumlah partikel dapat menempati keadaan tunggal s yang sama
¾ tidak ada simetri yang dibutuhkan ketika dua partikel ditukar
B. Deskripsi Mekanika Kuantum
• Simetri jelas dibutuhkan ketika terjadi pertukaran partikel
• Partikel secara intrinsik tidak dapat dibedakan (indistinguishible)
• Dapat terjadi pembatasan untuk menempati keadaan tertentu
Karena keadaan simetri ini, keadaan kuantum erat hubungannya dengan spin partikel:
(a) Spin bulat (integral spin)
(b) Spin setengah (half integral spin)
Dengan demikian statistika mekanika kuantum terbagi dua:
(a) Partikel dengan Spin bulat (Statistik Bose-Einstein)
¾ Setiap partikel memiliki momentum angular spin total (diukur dalam unit h )
bilangan bulat: 0, 1, 2, 3, 4,...
¾ Fungsi gelombang total bersifat simetri, yakni
Ψ(. . . Qj. . . Qi . . . ) = Ψ(. . . Qi . . .Qj. . .)
¾ Tidak dapat dibedakan → setiap pertukaran partikel tidak menghasilkan keadaan
baru
(b) Partikel dengan Spin kelipatan ½ (Statistik Fermi-Dirac)
¾ Setiap partikel memiliki momentum angular spin total (diukur dalam unit h )
kelipatan ½ yakni 1 2 , 3 2 ,....
¾ Fungsi gelombang total bersifat antisimetri, yakni
Ψ(. . . Qj . . . Qi . . .) = − Ψ(. . . Qi . . .Qj. . . )
¾ Tidak dapat dibedakan
→ Karena sifat antisimetri dan partikel indistinguishable maka dua atau lebih partikel
tidak mungkin pada keadaan yang sama.
→ Prinsip eksklusi Pauli
M. Hikam, Statistika Kuantum
69
Resumé:
Klassik
Maxwell-Boltzmann
Distinguishable
Tak ada simetri
Tak ada batasan jumlah
menempati satu keadaan
Kuantum
Bose-Einstein
indistinguishable,
spin: 0,1,2,3,4,...
Simetri
Tak ada batasan jumlah
menempati satu keadaan
contoh:
Foton, He4
Fermi-Dirac
indistinguishable
spin: 1 2 , 3 2 ,....
antisimetri
Prinsip eksklusi Pauli
contoh:
Elektron, He3
Dalam perkembangan lebih lanjut generalisasi dari fermion dan boson dinamakan
anyon, disini spin tidak selalu kelipatan ganjil atau genap dari 1/2. Fenomena
ini teramati cukup jelas di condensed matter, namun tidak akan dibahas di
kuliah Fisika Statistik.
7.1.2. Kaitan Fermion dan Boson pada Fisika Partikel
Dalam kaitan dengan Fisika Partikel, Boson (dari Bose-Einstein) adalah partikel interaksi
–yakni pembawa interaksi/gaya menurut teori Medan Kuantum– , sementara Fermion
(dari Fermi-Dirac) adalah partikel materi, Fermion lebih ‘padat’.
Model Standar Fisika partikel meramalkan adanya lima Boson fundamental yaitu
- Foton
- Gluon (ada 8 tipe)
- Boson-Z
- Boson-W (ada dua macam yakni W- dan W+)
- Boson Higgs (terkonfirmasi 99,9999% pada tanggal 4 juli 2012 di CERN)
Tanggal 4 Juli 2012: partikel Higgs dijumpai pada tingkat 5 sigma di wilayah massa
sekitar 126 GeV. Itu berarti kepastian penemuan partikel baru mencapai 99,9999%. "Ini
memang partikel baru. Kami tahu itu boson dan itu boson terberat yang pernah
ditemukan," kata Joe Candela, jurubicara CERN
M. Hikam, Statistika Kuantum
70
Lebih lanjut, beberapa fisikawan percaya bahwa ada kemungkinan boson bernama
graviton yang berkaitan dengan gravitasi.
Boson-boson komposit dapat juga terjadi; hal ini terbentuk dengan kombinasi jumlah
genap beberapa fermion. Contoh, atom carbon-12 terdiri dari 6 proton dan 6 netron,
semuanya fermion. Inti atom carbon-12, oleh karena itu, merupakan boson komposit.
Meson, di lain pihak, adalah partikel yang terbuat secara eksak dari 2 quark, oleh karena
itu meson juga boson komposit.
Sebagaimana yang sudah disebutkan sebelumnya, Fermion adalah partikel yang
mempunyai nilai spin kuantum setengah bilangan bilangan. Tidak seperti boson, fermion
memenuhi prinsip eksklusi Pauli yang berarti fermion-fermion tidak mungkin berada
pada bilangan kuantum yang sama. Sementara boson dipandang sebagai partikel
perantara gaya-gaya di alam, fermion dipandang sebagai partikel “lebih padat” atau
partikel-materi.
Terdapat dua famili partikel-materi fundamental yang merupakan fermion yaitu quark
dan lepton, keduanya merupakan partikel elementer yang tidak bisa dipecah (sejauh yang
diketahui oleh saintis) menjadi partikel lebih kecil. Elektron merupakan lepton, namun
Model Standar Fisika Partikel menunjukkan adanya tiga generasi partikel, masing-masing
lebih berat dari sebelumnya. (Tiga generasi partikel ini diprediksi dengan teori sebelum
mereka ditemukan dengan eksperimen, ini contoh yang sangat bagus bagaimana teori
meramalkan eksperimen dalam teori medan kuantum.)
Pada tiap generasi terdapat dua flavor quark. Tabel berikut menunjukkan 12 tipe fermion
fundamental, semuanya telah dapat diobservasi.
Table: Famili Partikel Elementer untuk Fermion
First
Generation
Second
Generation
Third
Generation
Quarks
Up Quark
3 MeV
Charm Quark
1.2 GeV
Top Quark
174 GeV
Down Quark
7 MeV
Strange Quark
120 MeV
Bottom Quark
4.3 GeV
Leptons
Electron
Neutrino
Muon Neutrino
Tau Neutrino
Electron
0.5 MeV
Muon
106 MeV
Tau
1.8 GeV
Catatan: neutrion mempunyai massa kecil sekali (praktis tidak punya massa).
Tentu saja terdapat fermion komposit terbuat dari jumlah ganjil fermion menjadikan
partikel baru, seperti proton dan neutron.
Pada perkembangan Model Standar Fisika Partikel, telah menjadi jelas bahwa gaya-gaya
(Fisikawan lebih suka dengan istilah interaksi) dalam Fisika dapat dipecah menjadi empat
fundamental:
¾ Electromagnetism
¾ Gravity
M. Hikam, Statistika Kuantum
71
¾ Weak nuclear force
¾ Strong nuclear force
Gaya elektromagnetik dan interaksi inti lemah pada tahun 1960 disatukan oleh Sheldon
Lee Glashow, Abdus Salam, dan Steven Weinberg menjadi gaya tunggal disebut
electroweak force. Gaya ini dikombinasi dengan quantum chromodynamics (yang
mendefinisikan gaya inti kuat) adalah yang dimaksud oleh para Fisikawan ketika
berbicara tentang Model Standar Fisika Partikel.
Salah satu elemen kunci Model Standar Fisika Partikel adalah gauge theory yang berarti
terdapat tipe-tipe simetri yang inherent berada dalam teori; dengan perkataan lain
dinamika sistem tetap sama pada suatu tipe transformasi. Suatu gaya berkerja melalui
medan gauge ditransmisi dengan suatu gauge boson. Berikut ini gauge boson yang telah
diamati untuk tiga tipe gaya di alam:
➜ Electromagnetism — photon
➜ Strong nuclear force — gluon
➜ Weak nuclear force — Z, W+, and W– bosons
Lebih lanjut, gravitasi juga dapat dituliskan dalam suatu gauge theory, yang berarti harus
ada gauge boson yang menjadi perantara gravitasi. Nama teoritis gauge boson ini adalah
graviton.
Catatan tentang spin: foton, gluon, Z, dan W mempunyai spin 1, Higgs boson berspin 0,
sementara partikel-partikel fermion (quark, lepton, neutrino) semua berspinnya
1/2.Graviton -jika terdeteksi- akan berspin 2. Standard Model tidak memiliki partikel
fundamental dengan spin 3/2
7.1.3. Contoh Perhitungan Probabilitas
Sekarang kembali ke Fisika Statistik, supaya jelas tinjau kasus 2 partikel dengan keadaan
kuantum yang mungkin ada tiga s = 1, 2, 3.
Maxwell-Boltzman:
1
AB
...
...
A
B
A
B
...
...
2
...
AB
...
B
A
...
...
A
B
M. Hikam, Statistika Kuantum
3
...
...
AB
...
...
B
A
B
A
72
Bose-Einstein:
1
2
AA
...
...
A
A
...
...
AA
...
A
...
A
3
...
...
AA
...
A
A
Fermi Dirac:
1
A
A
...
2
3
A
...
A
...
A
A
Bila didefinisikan:
probabilitas menemukan partikel pada keadaan sama
ξ=
probabilitas menemukan partikel pada keadaan berbeda
Maka:
3 1
3
0
;
ξ MB = =
ξ BE = = 1 ;
ξ FD = = 0
6 2
3
3
Arti fisis?
Partikel BE memiliki tendensi lebih besar untuk berada pada keadaan yang sama
dibandingkan partikel klassik. Partikel FD memiliki tendensi untuk berbeda satu sama
lain.
Formulasi Problem Statistik:
¾ Beri label keadaan kuantum yang mungkin → r
¾ Nyatakan energi partikel pada keadaan r dengan εr
¾ Nyatakan jumlah partikel pada keadaan r dengan nr
¾ Beri label semua keadaan yang mungkin dengan R
Bila interaksi lemah, maka energi bersifat aditif:
ER = n1ε1 + n2ε2 + n3ε3 + . . . = ∑ nr ε r
r
dan bila jumlah partikel diketahui maka:
∑ nr = N
r
Untuk mengetahui sifat-sifat makroskopis (seperti entropi), fungsi partisi dapat dihitung:
M. Hikam, Statistika Kuantum
73
Z = ∑ e − βE R = ∑ e − β ( n1ε 1 + n2ε 2 + ...)
R
R
dan seterusnya harga rata-rata jumlah partikel, dispersi dll. juga dapat dirumuskan:
∑R ns e− β ( n1ε1 + n2ε 2 + n3ε 3 +....)
ns =
∑ e− β ( n1ε1 + n2ε 2 + n3ε 3 +....)
R
ns = −
1 ∂ ln Z
β ∂ε s
Perhitungan dispersi:
(Δns ) 2 = (ns − ns ) 2 = ns − ns
2
∑n e β ε
=
∑e β ε
2 − ( n1
s
ns2
R
− ( n1
2
1 + n 2 ε 2+....)
1 + n2ε 2
+ ....)
R
sehingga:
1
1 ∂
1 ∂ − β ( n1ε 1 + n2ε 2 +...)
(−
)(−
)e
∑
β ∂ε s
β ∂ε s
Z
1 1 ∂ 2
) Z
= (−
Z β ∂ε s
ns2 =
atau
ns2 =
1 ∂2Z
β 2 Z ∂ε s 2
2
1 ⎡ ∂ ⎛ 1 ∂Z ⎞ 1 ⎛ ∂Z ⎞ ⎤
⎜
⎟+
⎜
⎟ ⎥
n = 2⎢
β ⎢ ∂ε s ⎜⎝ Z ∂ε s ⎟⎠ Z 2 ⎜⎝ ∂ε s ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
2
s
=
1 ⎡ ∂
⎢
β 2 ⎣ ∂ε s
⎤
⎛ ∂ ln Z ⎞
⎜⎜
⎟⎟ + β 2 ns 2 ⎥
⎝ ∂ε s ⎠
⎦
seterusnya:
1 ∂ 2 ln Z
β 2 ∂ε s 2
dapat juga ditulis:
1 ∂ns
(Δns ) 2 = −
β ∂ε s
(Δns ) 2 =
7.2. Fungsi Distribusi Kuantum
Harga rata-rata jumlah partikel:
M. Hikam, Statistika Kuantum
74
∑n e β ε
∑e β ε
− ( n1
s
ns =
n1 , n 2 ,...
− ( n1
1 + n 2 ε 2+... + n s ε s +...)
1 + n2ε 2
+ ...+ n s ε s +...)
n1 , n 2 ,...
dapat ditulis:
∑n e β ε ∑
=
∑e β ε ∑
− ns
s
ns
ns
− ns
ns
s
(s)
n1 , n 2 ,...
(s)
s
e − β ( n1ε 1 + n2ε 2+......)
e − β ( n1ε 1 + n2ε 2 +.....)
n1 , n 2 ,...
7.2.1. Statistika Foton
Æ Termasuk Bose-Einstein tanpa pembatasan jumlah partikel
∑n e β ε
=
∑e β ε
s
ns
ns
− ns
− ns
s
s
ns
∂
e − βn s ε s
∑
∂β n s
1 ∂
=−
ln(e − βn s ε s )
− βn s ε s
e
β
∂
ε
∑
s
(−1 / β )
ns =
ns
jumlah terakhir ini merupakan deret geometri tak berhingga:
∑ e− βnsε s = 1 + e− βε s + e−2 βε s + e−3βε s + ......
=
1
1 − e- βε s
menghasilkan:
1 ∂
e- βε s
ns =
ln(1 − e − βε s ) =
β ∂ε s
1 − e- βε s
dapat ditulis:
1
ns = βε s
e −1
Æ sering disebut sebagai “distribusi Planck”.
M. Hikam, Statistika Kuantum
75
Tanpa kesulitan, fungsi partisi statistika foton dapat ditulis:
− β ( n1ε1 + n2ε 2 +...)
Z
=
∑e
R
⎛
⎞
= ⎜ ∑ e − β ( n1ε1 ) ⎟
⎜ n =0
⎟
⎝ 1
⎠
− βnsε s
1
=
karena ∑ e
1 − e - βε s
maka ln Z = −∑ ln(1 − e − βε )
⎞
⎛
⎞⎛
⎜ ∑ e − β ( n2ε 2 ) ⎟ ⎜ ∑ e − β ( n3ε 3 ) ⎟ .....
⎟
⎜ n =0
⎟ ⎜ n =0
⎠
⎝ 2
⎠⎝ 3
r
r
7.2.2. Statistik Maxwell-Boltzmann
Pada kasus klassik statistik Maxwell-Boltzmann, fungsi partisi:
Z = ∑ e − β ( n1ε1 + n2ε 2 +...)
R
jumlah untuk semua keadaan partikel dengan juga mempertimbangkan bahwa partikel
dapat dibedakan → perhatikan permutasi yang mungkin
Sehingga untuk N partikel:
N
Z= ∑
e − β ( n1ε 1 + n2ε 2 +...)
n1 , n 2 ... n1!n2 !n3!.....
disini nr = 0, 1, 2, 3,... dengan restriksi:
∑ nr = N
r
Fungsi partisi dapat ditulis:
n1
n2
N
Z= ∑
e − βε 1 e − βε 2 e − βε 3
n1 , n2 ... n1!n 2 !n3 !.....
yang tidak lain merupakan binomial Newton:
(
)(
(
) (
)
n3
.......
)
Z = e − βε 1 + e − βε 2 + e − βε 3 .....
atau ln Z = N ln ∑ e − βε r
N
r
seterusnya:
ns = −
1 ∂ ln Z
1 − βe − βε r
e − βε r
N
=− N
=
β ∂ε s
β ∑ e − βε r
∑ e −βε r
r
Persamaan terakhir n s = N
e
r
− βε r
∑ e βε
−
r
disebut sebagai “distribusi Maxwell-Boltzmann”
r
7.2.3. Statistik Bose-Einstein
M. Hikam, Statistika Kuantum
76
Sekali lagi fungsi partisi diberikan oleh:
Z = ∑ e − β ( n1ε1 + n2ε 2 +...)
R
dengan jumlah semua harga
nr = 0, 1, 2, 3,... untuk setiap r
Tidak seperti foton, disini ada restriksi:
∑ nr = N
r
Pembatasan ini menyulitkan evaluasi nilai Z.
(See Reif page 346-348 for detail derivation)
Kita perkenalkan besaran Z sedemikian rupa:
Z = ∑ Z ( N ' )e −αN '
N'
secara pendekatan diperoleh:
ln Z(N) = αN + ln Z
seterusnya diperoleh: (Reif 348)
ln Z = αN − ∑ ln(1 − e −α − βε r ) ;
r
∑ eα
r
1
+ βε r
−1
=N
dan
ns =
1
e
α + βε r
−1
Æ disebut distribusi Bose-Einstein.
Hubungan antara potensial kimia μ dan α:
μ=
atau
∂F
∂ ln Z
= − kT
= − kTα
∂N
∂N
α = −βμ
Pada kasus foton Z tidak tergantung N dan α = 0
7.2.4. Statistik Fermi-Dirac
Dengan batasan nr = 0 dan 1 untuk setiap r diperoleh:
M. Hikam, Statistika Kuantum
77
∑ eα
1
=N
+1
ln Z = αN + ∑ ln(1 + e −α − βε r ) ;
r
+ βε r
r
dan
ns =
1
e
α + βε r
+1
Æ disebut distribusi Fermi-Dirac
Resume:
Nilai ns dan fungsi partisi untuk berbagai distribusi
ns
MaxwellBoltzmann
e − βε r
N
∑ e −βε r
Foton
(Planck)
e- βε s
1 − e- βε s
Bose-Einstein
ln Z =
N ln ∑ e − βε r
ln Z =
− ∑ ln (1− e − βε r )
ln Z = αN
− ∑ ln(1 − e −α − βε r )
e
Fermi-Dirac
1
1
α + βε s
α + βε s
−1
e
+1
r
f. partisi
r
r
r
ln Z = αN +
∑ ln(1 + e−α − βε r )
r
Pelajari topik: Radiasi benda hitam (Reif, p.381-388)
7.3. Konduksi Elektron dalam Zat Padat
Tinjau atom Natrium (11 elektron)
e-
10 elektron menjadi ‘core’.
M. Hikam, Statistika Kuantum
78
Ketika atom-atom ini membentuk zat padat:
Core tetap berada di tempatnya, sedangkan elektron terluar menjadi ‘elektron bebas’.
Disini dapat dibedakan dua keadaan elektron:
¾ elektron core yang dapat dipandang terlokalisasi
¾ elektron valensi atau konduksi yang memiliki keadaan Bloch pada keseluruhan kristal
Beberapa fenomena fisis makroskopis seperti konduktivitas atau resistivitas dapat
dijelaskan dengan melihat elektron konduksi.
Æ Untuk pendekatan pertama, perilaku elektron ini dapat dipandang seperti gas ideal
(berarti tidak ada interaksi dari luar atau sesamanya).
Namun karena konsentrasi elektron cukup tinggi, maka tidak dapat digunakan statistik
klassik.
Statistik yang digunakan Fermi-Dirac.
Jumlah rata-rata partikel:
1
1
ns = α + βε s
= β (ε s −ε F )
e
+1 e
+1
disini telah digunakan
εF ≡ −
α
= −kTα
β
besaran ini disebut “Energi Fermi” suatu sistem (terlihat bahwa besaran ini sama dengan
μ, potensial kimia gas).
Harga εF dan α ditentukan oleh kondisi:
M. Hikam, Statistika Kuantum
79
∑ n = ∑ eβ ε
1
=N
+1
N : jumlah total partikel pada volume V
s
s
s
(
s −ε F
)
Sekarang kita lihat perilaku “fungsi Fermi”:
1
F (ε ) ≡ β (ε −ε F )
e
+1
sebagai fungsi dari energi ε (diukur dari energi terendah ε = 0)
Sekarang kita perhatikan beberapa limit fisis:
Pada suhu tinggi atau kondisi βεF << 1, maka e β (ε −ε F ) >>> 1 fungsi distribusi F akan
menjadi distribusi Maxwell-Boltzmann.
Pada kasus ini kita lebih tertarik pada kondisi sebaliknya, yakni
βε F = εkTF >> 1
(makna fisis: bisa pada suhu rendah atau pada suhu kamar namun energi Fermi jauh lebih
besar dibandingkan energi termal)
1
F (ε ) ≡
β (ε − ε F )
e
+1
Disini masih ada tiga kasus ekstrim:
(a) Bila ε <<εF maka β(ε−εF) <<0 sehingga F(ε) = 1
(b) Bila ε >>εF maka β(ε−εF) >>0 Æ F(ε) berperilaku seperti distribusi Boltzmann
(c) Bila ε = εF maka F(ε) = ½
Secara skematik dapat digambarkan sbb:
F(ε)
F (ε ) ≡
1
1
e β (ε −ε F ) + 1
½
εF
ε
Bila pada suhu ekstrim rendah TÆ0 dengan perkataan lain βÆ∞. kondisi dapat
digambarkan:
M. Hikam, Statistika Kuantum
80
F(ε)
F (ε ) ≡
1
e β ( ε −ε F ) + 1
1
εF
ε
Mengapa bisa demikian?
Æ cukup jelas secara matematis
Æ secara fisis???
Pada suhu T = 0 semua partikel berada pada ground state (keadaan dasar) dengan
energi terendah. Namun karena prinsip eksklusi Pauli yang tidak
memperkenankan partikel dalam keadaan sama, maka partikel-partikel
“menumpuk” mengisi keadaan dasar yang mungkin sampai semua partikel
terakomodasi.
Jadi karena prinsip eksklusi Pauli, gas Fermi-Dirac memiliki energi rata-rata cukup besar
meskipun pada suhu nol mutlak.
Sekarang kita hitung energi Fermi εF =εF0 pada suhu nol.
Energi tiap partikel berkaitan dengan momentum p = h k.
p 2 h 2k 2
ε=
=
2m
2m
Pada suhu T=0 semua keadaan energi rendah terpenuhi sampai energi Fermi, yang
berhubungan dengan “momentum Fermi”, p F = hk F .
ε F0 =
p F2 h 2 k F2
=
2m
2m
M. Hikam, Statistika Kuantum
81
Jadi pada T=0 semua keadaan dengan k <kF terisi, sedangkan pada k>kF kosong.
ky
kF
εF
kx
kz
Ruang Energi
Disini terdapat
V
(2π ) 3
Ruang Momentum
keadaan translasi per unit volume di ruang-k
Sehingga “bola Fermi” dengan radius kF berisi:
V
⎛4
⎞ keadaan translasi
× ⎜ πk 3 ⎟
(2π )3 ⎝ 3
F
⎠
Karena elektron (spin ½) dapat memiliki dua keadaan, maka:
2
⎛4
× ⎜ πk F3
(2π ) ⎝ 3
V
3
⎞
⎟=N
⎠
Pembuktian jumlah keadaan translasi per-unit volume pada ruang-k:
V
d 3k
ρ d 3k =
3
(2π )
Fungsi gelombang partikel bebas:
ψ = e ik • r = e
i(k x x + k y y + k z z )
Pertimbangkan unit volume kecil dengan sisi-sisi Lx, Ly, Lz
dapat dibuktikan:
kx =
2π
2π
2π
nx ; k y =
ny ; kz =
nz
Lx
Ly
Lz
Oleh karena itu jumlah keadaan translasi untuk bilangan gelombang antara k dan k + dk
adalah:
M. Hikam, Statistika Kuantum
82
⎞⎛L
⎞
⎛ Lx
⎞ ⎛ Ly
dk x ⎟ ⎜⎜
dk y ⎟⎟ ⎜ z dk z ⎟
⎠
⎝ 2π
⎠ ⎝ 2π
⎠ ⎝ 2π
ρ d3k = Δnx Δny Δnz = ⎜
⎛ Lx L y Lz ⎞
⎟ k k k
=⎜
⎜ (2π )3 ⎟ x y z
⎠
⎝
V
=
d 3k
3
(2π )
(see Reif page 353-358 for more detail)
Seterusnya:
1/ 3
N⎞
⎛
k F = ⎜ 3π 2 ⎟
V⎠
⎝
jadi
1/ 3
⎛ 1 V⎞
2π
⎟⎟
λF =
= 2π ⎜⎜
kF
⎝ 3π 2 N ⎠
dari hal tersebut, energi Fermi pada suhu nol mutlak:
ε F0 =
h 2 k F2 h 2 ⎛ 2 N ⎞
=
⎜ 3π
⎟
2m
2m ⎝
V⎠
2/3
Apa manfaat besaran ini? adakah besaran makroskopis terukur yang dapat dikaitkan
dengan besaran ini?
Æ satu diantaranya: kapasitas panas elektronik zat padat.
⎛ ∂E ⎞
⎟⎟
CV = ⎜⎜
⎝ ∂T ⎠V
Kalau elektron mengikuti distribusi Maxwell-Boltzmann, maka
E = 3 NkT → CV = 3 Nk atau 3R
2
2
dan tentu saja kalau digunakan distribusi Fermi-Dirac, bentuk ini akan jauh berbeda.
Mengikuti distribusi FD, energi rata-rata elektron:
E =∑
εr
β (ε r − ε F )
+1
r e
Karena jarak antara level-level energi sangat dekat, maka jumlah dapat diganti menjadi
integral:
∞
E = 2 ∫ F (ε )ερ (ε )dε = 2 ∫
0e
M. Hikam, Statistika Kuantum
ε
β (ε − ε F )
ρ (ε )dε
+1
83
disini ρ(ε) dε kerapatan keadaan yang berada pada energi antara ε dan ε + dε.
∞
ε
Evaluasi integral ∫
ρ (ε )dε dengan keadaan kT <<1 akan menghasilkan:
β (ε −ε F )
+1
0e
E = Eo +
π2
3
(kT ) 2 ρ 0 (ε F 0 )
dengan demikian
∂E 2π 2 2
=
k ρ 0 (ε F 0 )T
CV =
∂T
3
Hasil ini berbeda dengan perumusan klassik (MB) yang menunjukkan bahwa CV konstan.
Kalau dimasukkan:
3
dk ⎞
V (2m) 2 13
⎛
4πk 2
ρ (ε )dε =
dε ⎟ =
ε dε
⎜
dε ⎠ 4π 2 h 3
(2π ) 3 ⎝
V
diperoleh:
CV =
π2
2
kN
kT
ε F0
rumusan terakhir ini ternyata sesuai dengan hasil eksperimen.
Bentuk yang lebih umum sesungguhnya ada suku-suku T order tinggi:
CV = A T + B T3
∞
ε
Perumusan ini dapat diperoleh dengan evaluasi integral ∫
ρ (ε )dε tanpa
β (ε − ε F )
+1
0e
pendekatan kT <<1.
Contoh soal:
Hitunglah besar panjang gelombang Fermi untuk 4,2x1021 elektron yang berada dalam
kotak 1 cm3! Hitung energi Fermi! Bila elektron diganti netron, hitung panjang
gelombang dan energi Fermi! (dalam kasus terakhir, anggap momentum tetap sama)
Jawab:
⎛4
⎞
× ⎜ πk F3 ⎟
⎠
(2π ) 3 ⎝ 3
sehingga bilangan gelombang Fermi:
Jumlah total partikel adalah: N = 2
V
1/ 3
N⎞
⎛
k F = ⎜ 3π 2 ⎟
V⎠
⎝
dan panjang gelombang Fermi:
M. Hikam, Statistika Kuantum
84
2π
⎛ 1 V⎞
λF =
= 2π ⎜ 2 ⎟
kF
⎝ 3π N ⎠
1/ 3
⎛ 8π 10 −6 ⎞
⎟
= ⎜⎜
23 ⎟
⎝ 3 4,2 x10 ⎠
⎛ 8π V ⎞
=⎜
⎟
⎝ 3 N⎠
1/ 3
1/ 3
= 1,25x10 -9 m = 12,5 Å
Energi Fermi:
2/3
p 2 h 2 k F2 h 2 ⎛ 2 N ⎞
−19
εF = F =
=
⎜ 3π
⎟ = 1,54 × 10 J
2m
2m
2m ⎝
V⎠
= 0,96 eV
Jika elektron diganti netron:
λF = 12,5 Å
m
dan ε F (netron ) = elektron ε F = 5,2x10-4 eV
mnetron
Soal-soal Latihan:
7.1. Untuk atom Natrium yang memiliki sekitar 2,6x1022 elektron konduksi per cm3,
carilah energi Fermi Natrium dan perkirakan kapasitas panas elektronik pada suhu
kamar.
7.2. The three lowest energy levels of a certain molecule are E1 = 0, E2 = ε, dan E3 = 10ε.
Show that at sufficiently low temperature (how low?) only level E1 dan E2 are
populated. Find the average energy E of the molecule at temperature T. Find the
contribution of these levels to the specific heat per-mole, Cv, and sketch Cv as
function of T. (Anggap partikel memenuhi statistika Boltzmann)
7.3 Suatu sistem gas terdiri dari N molekul identik yang tidak berinteraksi dalam suatu
wadah bervolume V pada suhu T. Setiap molekul memiliki 4 kemungkinan keadaan
internal yakni satu keadaan dasar dan tiga keadaan tereksitasi yang memiliki besar
energi yang sama (terdegenerasi 3). Pada keadaan dasar energi internal molekul
adalah εint = 0, sementara pada keadaan eksitasi memiliki εint = ε1. Energi total untuk
r2
p
satu molekul dapat ditulis sebagai ε =
+ ε int
2m
a) Cari fungsi partisi sistem, Z!
b) Cari energi rata-rata untuk satu molekul gas, ε !
c) Cari kapasitas panas CV dan buat sketsa CV terhadap T!
M. Hikam, Statistika Kuantum
85