p - Erwin Sitompul

Kuliah 2
1. LOGIKA (LOGIC)
Matematika Diskrit
Dr.-Ing. Erwin Sitompul
http://zitompul.wordpress.com
Solusi Pekerjaan Rumah (PR 1)
Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan semboyan
dagang untuk menarik pembeli.
Pedagang pertama mengumbar semboyan “Barang bagus
tidak murah”, sedangkan pedagang kedua mempunyai
semboyan “Barang murah tidak bagus”.
Selidiki apakah kedua semboyan pedagang tersebut
menyatakan hal yang sama atau tidak?
Solusi:
Bila p: Barang itu bagus
q: Barang itu murah
Maka semboyan pedagang pertama adalah p  ~q
Semboyan pedagang kedua adalah q  ~p
p  ~q  q  ~p
Erwin Sitompul
?
Matematika Diskrit
2/2
Solusi Pekerjaan Rumah (PR 1)
 p  ~q  q  ~p
Kedua semboyan pedagang menyatakan
hal yang sama.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
2/3
Varian Proposisi Bersyarat
Konversi:
qp
Inversi:
~p  ~q
Kontraposisi: ~q  ~p
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
2/4
Varian Proposisi Bersyarat
Contoh:
Tentukan konversi, inversi, dan kontraposisi dari:
“Jika Amir memiliki mobil, maka ia orang kaya.”
Solusi:
Konversi:
“Jika Amir orang kaya, maka ia memiliki mobil.”
Inversi:
“Jika Amir tidak memiliki mobil, maka ia bukan orang kaya.”
Kontraposisi:
“Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak memiliki mobil.”
Konversi:
Inversi:
Kontraposisi:
Erwin Sitompul
qp
~p  ~q
~q  ~p
Matematika Diskrit
2/5
Kontraposisi
Contoh:
Tentukan kontraposisi dari proposisi-proposisi berikut:
a) “Jika ia bersalah, maka ia dimasukkan ke dalam penjara.”
b) “Jika 6 lebih besar dari 0, maka 6 bukan bilangan negatif.”
p hanya jika q
c) “Iwan lulus ujian hanya jika ia belajar.”
Solusi:
a) “Jika ia tidak dimasukkan ke dalam penjara, maka ia
tidak bersalah.”
b) “Jika 6 bilangan negatif, maka 6 tidak lebih besar dari 0.”
c) “Jika Iwan tidak belajar, maka ia tidak lulus ujian.”
Kontraposisi:
Erwin Sitompul
~q  ~p
Matematika Diskrit
2/6
Kontraposisi
Contoh:
d) “Hanya jika ia tidak terlambat maka ia akan
p hanya jika q
mendapat pekerjaan itu.”
e) “Perlu ada angin agar layang-layang bisa q syarat perlu untuk p
terbang.”
p syarat cukup untuk q
f) “Cukup hari hujan agar hari ini dingin.”
Solusi:
d) “Jika ia terlambat, maka ia tidak akan mendapat
pekerjaan itu.”
e) “Jika tidak ada angin, maka layang-layang tidak bisa
terbang.”
f) “Jika hari ini tidak dingin, maka hari ini tidak hujan.”
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
2/7
Proposisi Bersyarat Ganda (Bi-Implikasi)
• Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”
• Notasi: p  q
p  q  (p  q)  (q  p)
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
2/8
Proposisi Bersyarat Ganda (Bi-Implikasi)
Dengan kata lain,
“p jika dan hanya jika q”
dapat pula dibaca
“jika p maka q dan jika q maka p”
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
2/9
Proposisi Bersyarat Ganda (Bi-Implikasi)
Berbagai cara membaca bi-implikasi p  q:




p jika dan hanya jika q.
p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.
Jika p maka q, dan sebaliknya.
p iff q.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/10
Proposisi Bersyarat Ganda (Bi-Implikasi)
Contoh: Proposisi-proposisi majemuk berikut adalah
bi-implikasi dalam berbagai bentuk
 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4.
 Syarat perlu dan syarat cukup agar turun hujan adalah
kelembaban udara yang tinggi.
 Jika Anda orang kaya, maka Anda mempunyai banyak
uang, dan sebaliknya.
 Cikarang terletak di Jawa Barat iff Jawa Barat adalah
sebuah provinsi di Indonesia.
 Jika udara di luar panas maka Anda membeli es krim, dan
jika Anda membeli es krim maka udara di luar panas.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/11
Proposisi Bersyarat Ganda (Bi-Implikasi)
Contoh: Proposisi-proposisi majemuk berikut adalah
bi-implikasi dalam berbagai bentuk
 Syarat cukup dan perlu agar Anda memenangkan
pertandingan adalah Anda melakukan banyak latihan.
 Anda naik jabatan jika Anda punya koneksi, dan Anda
punya koneksi jika Anda naik jabatan.
 Jika saya lama menonton televisi maka mata saya lelah,
begitu juga sebaliknya.
 Kereta api datang terlambat tepat pada hari-hari ketika
saya membutuhkannya.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/12
Hukum Logika Implikasi dan Bi-Implikasi
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/13
Contoh Latihan
Contoh:
Diberikan pernyataan “Tidak benar bahwa dia belajar
Algoritma tetapi tidak belajar Matematika.”
a) Nyatakan pernyataan di atas dalam notasi simbolik
(ekspresi logika).
b) Berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan
pernyataan tersebut (Petunjuk: Gunakan Hukum De
Morgan).
Solusi:
Bila
p: Dia belajar Algoritma
q: Dia belajar Matematika
Maka:
a) ~ (p  ~q)
b) ~ (p  ~q)  ~ p  q
“Dia tidak belajar Algoritma atau belajar Matematika.”
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/14
Contoh Latihan
Contoh:
Untuk menerangkan mutu sebuah hotel, misalkan:
p : Pelayanannya baik.
q : Tarif kamarnya murah.
r : Hotelnya berbintang tiga.
Terjemahkan proposisi-proposisi berikut dalam notasi
simbolik dengan menggunakan p, q, dan r:
a) “Tarif kamarnya murah tetapi pelayanannya buruk.”
b) “Tarif kamarnya mahal atau pelayanannya baik, namun
tidak keduanya.”
c) “Salah bahwa hotel berbintang tiga berarti tarif kamarnya
murah dan pelayannya buruk.”
Solusi:
a) q  ~p
Erwin Sitompul
b) ~q  p
(~q  ~p )  (q  p)
c) ~ (r  (q ~p))
Matematika Diskrit 2/15
Contoh Latihan
Contoh:
Nyatakanlah pernyataan berikut dalam notasi simbolik:
“Jika Anda berusia di bawah 17 tahun, maka Anda tidak dapat
mengikuti Pemilu, kecuali kalau Anda sudah menikah.”
Solusi:
Anggap:
p : Anda berusia di bawah 17 tahun.
q : Anda sudah menikah.
r : Anda dapat mengikuti Pemilu.
Maka pernyataan di atas dapat dinyatakan dengan:
(p  ~q)  ~r
“Jika Anda berusia dibawah 17 tahun dan belum
menikah, maka Anda tidak dapat mengikuti Pemilu.”
 r  (~p  q)
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/16
Contoh Latihan
Contoh:
Tunjukkan bahwa [~p  (p  q)]  q adalah sebuah tautologi.
Solusi:
Untuk menunjukkan tautologi, disusun tabel kebenaran:
Benar untuk
semua kasus
[~p  (p  q)]  q adalah sebuah tautologi.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/17
Argumen
Argumen adalah suatu deret proposisi yang
dituliskan sebagai:
Dalam hal ini p1, p2, …, pn
disebut hipotesis (premis)
dan q disebut konklusi.
Argumen dapat bernilai sahih (valid) atau palsu
(invalid). Perlu ditekankan, bahwa valid tidak sama
maknanya dengan true (benar).
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/18
Argumen
Definisi:
Sebuah argumen dikatakan sahih (valid) jika konklusi benar,
yaitu bilamana semua hipotesisnya benar; sebaliknya
argumen dikatakan palsu (invalid).
Jika argumen sahih, maka kita mengatakan bahwa secara
logika konklusi mengikuti hipotesis; atau sama dengan
memperlihatkan bahwa implikasi:
(p1  p2    pn)  q
adalah benar.
Argumen yang palsu menunjukkan proses penalaran yang
tidak benar.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/19
Argumen
Contoh:
Perlihatkan bahwa argumen berikut adalah sahih:
“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.”
“Air laut surut setelah gempa di laut.”
“Karena itu, tsunami datang.”
Solusi:
Misalkan:
p : Air laut surut setelah gempa di laut.
q : Tsunami datang.
Maka argumen di atas dapat dituliskan dengan:
pq
p
q
Terdapat 2 cara untuk membuktikan kesahihan argumen ini.
Keduanya mempergunakan tabel kebenaran.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/20
Argumen
Cara 1:
Menyusun tabel kebenaran p, q, dan p  q :
pq
p
q
 Argumen sahih adalah: jika semua hipotesisnya benar, maka
konklusinya benar.
 Kita periksa: apakah bila hipotesis p  q dan p benar, maka
konklusi q juga benar.
 Lihat baris 1: p  q dan p benar secara bersama-sama, dan
q pada baris 1 juga benar.
 Argumen adalah s a h i h.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/21
Argumen
Cara 2:
Menunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa
[(p  q)  p]  q adalah sebuah tautologi
Apabila tautologi, maka argumen adalah sahih
pq
p
q
 Argumen adalah s a h i h.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/22
Argumen
Perlihatkan bahwa penalaran pada argumen berikut adalah
tidak benar, dengan kata lain argumennya palsu:
“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.”
“Tsunami datang.”
“Jadi, air laut surut setelah gempa di laut.”
Solusi:
Misalkan:
p : Air laut surut setelah gempa di laut.
q : Tsunami datang.
Maka argumen di atas dapat dituliskan dengan:
pq
q
p
 Perhatikan baris 3
 Konklusi p salah, walaupun semua
hipotesis benar
 Jadi, argumen tersebut tidak sahih
atau p a l s u.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/23
Pekerjaan Rumah (PR 2)
No.1:
Diberikan pernyataan “Perlu memiliki password yang sah
agar Anda bisa log on ke server.”
a) Nyatakanlah pernyataan di atas dalam bentuk proposisi
“jika p maka q.”
b) Tentukanlah ingkaran, konversi, inversi, dan kontraposisi
dari pernyataan tersebut.
No.2:
Periksa kesahihan argumen berikut ini:
“Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan prima.”
“5 tidak lebih kecil dari 4.”
“5 adalah bilangan prima.”
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/24
Pekerjaan Rumah (PR 2)
New
No.1:
Diberikan pernyataan “Bila ingin mendaftarkan diri untuk
berkonsultasi dengan dokter di rumah sakit ini, Anda cukup
mengirimkan pesan singkat SMS ke nomor kami.”
a) Nyatakanlah pernyataan di atas dalam bentuk implikasi
“jika p maka q.”
b) Tentukanlah ingkaran, konversi, inversi, dan kontraposisi
dari implikasi diatas.
No.2:
Periksa kesahihan argumen berikut ini:
“Saya akan menyusun rancangan anggaran hanya jika Anda
memberi persetujuan awal.”
“Anda tidak memberi persetujuan awal.”
“Saya akan menyusun rancangan anggaran.”
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit 2/25