Aturan Pencacahan dan Permutasi

KTSP
&
K-13
matematika
ATURAN PENCACAHAN DAN PERMUTASI
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1.
Memahami aturan perkalian dan penjumlahan.
2.
Dapat menggunakan aturan perkalian dan penjumlahan dalam pemecahan masalah.
3.
Memahami notasi faktorial dan cara menentukan hasilnya.
4.
Dapat menentukan permutasi dari n unsur yang berbeda.
5.
Dapat menentukan permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia.
6.
Dapat menentukan permutasi siklis.
7.
Dapat menentukan permutasi dengan unsur yang sama.
A. Aturan Pencacahan
Aturan pencacahan adalah dasar dari perhitungan peluang. Dengan menguasai aturan
pencacahan, kamu dapat menentukan banyaknya kemungkinan pengaturan unsur atau
objek dalam suatu percobaan. Ada dua macam aturan pencacahan, yaitu aturan perkalian
(aturan pengisian tempat yang tersedia) dan aturan penjumlahan.
1.
Aturan Perkalian
Prinsip dari aturan ini adalah mengalikan banyaknya kemungkinan cara (pilihan) dari
setiap kejadian yang terjadi secara bersamaan. Agar kamu lebih mengerti, mari perhatikan
contoh soal berikut ini.
K
e
l
a
s
XI
Contoh Soal 1
SMA Cerdas berhasil memperoleh 5 siswa sebagai calon peserta olimpiade Matematika
dan 3 siswa sebagai calon peserta olimpiade Fisika. Sekolah akan mengutus 1 siswa untuk
setiap mata pelajaran. Calon peserta juga hanya diperbolehkan fokus pada salah satu
mata pelajaran. Tentukan banyak cara memilih utusan sekolah sebagai peserta olimpiade
Matematika dan Fisika.
Pembahasan:
Misalkan lima siswa calon peserta olimpiade Matematika adalah m1, m2, m3, m4, dan m5.
Sementara tiga siswa calon peserta olimpiade Fisika adalah f1, f2, dan f3.
Dengan menggunakan tabel silang, diperoleh:
Matematika
m1
m2
m3
m4
m5
f1
(f1, m1)
(f1, m2)
(f1, m3)
(f1, m4)
(f1, m5)
f2
(f2, m1)
(f2, m2)
(f2, m3)
(f2, m4)
(f2, m5)
f3
(f3, m1)
(f3, m2)
(f3, m3)
(f3, m4)
(f3, m5)
Fisika
Pilihan
utusan
sekolah
Pilihan utusan sekolah
Ini berarti, banyak cara memilih = 15 cara.
Cara tersebut secara sederhana dapat dituliskan sebagai berikut.
Banyak Pilihan
Matematika
Fisika
5
3
Jadi, banyak cara memilihnya adalah 5 × 3 = 15 cara.
Contoh Soal 2
Seorang ahli gizi menyusun menu makan siang dan makan malam untuk pasien penderita
mag di sebuah rumah sakit. Setiap menu harus berisi 1 macam karbohidrat, protein hewani,
protein nabati, sayur, dan buah. Makanan berkarbohidrat yang disediakan adalah nasi putih.
Protein hewaninya adalah sup ayam dan sup ikan. Protein nabatinya adalah tempe bacem
dan tahu mendoan. Sayurnya adalah kangkung dan taoge. Buahnya adalah pepaya dan
semangka. Tentukan banyak cara menyusun menu dari makanan-makanan tersebut!
2
Pembahasan:
Berdasarkan soal, banyaknya pilihan makanan yang disediakan adalah sebagai berikut.
•
Makanan berkarbohidrat ada 1, yaitu nasi putih.
•
Makanan berprotein hewani ada 2, yaitu sup ayam dan sup ikan.
•
Makanan berprotein nabati ada 2, yaitu tempe bacem dan tahu mendoan.
•
Sayur ada 2, yaitu kangkung dan taoge.
•
Buah ada 2, yaitu pepaya dan semangka.
Dengan menggunakan diagram pohon, diperoleh:
Berdasarkan diagram pohon tersebut, pilihan susunan menunya adalah sebagai berikut.
{(nasi putih, sup ayam, tempe bacem, kangkung, pepaya),
(nasi putih, sup ayam, tempe bacem, kangkung, semangka),
(nasi putih, sup ayam, tempe bacem, taoge, pepaya),
(nasi putih, sup ayam, tempe bacem, taoge, semangka),
(nasi putih, sup ayam, tahu mendoan, kangkung, pepaya),
(nasi putih, sup ayam, tahu mendoan, kangkung, semangka),
3
(nasi putih, sup ayam, tahu mendoan, taoge, pepaya),
(nasi putih, sup ayam, tahu mendoan, taoge, semangka),
(nasi putih, sup ikan, tempe bacem, kangkung, pepaya),
(nasi putih, sup ikan, tempe bacem, kangkung, semangka),
(nasi putih, sup ikan, tempe bacem, taoge, pepaya),
(nasi putih, sup ikan, tempe bacem, taoge, semangka),
(nasi putih, sup ikan, tahu mendoan, kangkung, pepaya),
(nasi putih, sup ikan, tahu mendoan, kangkung, semangka),
(nasi putih, sup ikan, tahu mendoan, taoge, pepaya),
(nasi putih, sup ikan, tahu mendoan, taoge, semangka)}
Ini berarti, banyak cara menyusun menu = 16 cara.
Cara tersebut secara sederhana dapat dituliskan sebagai berikut.
Banyak Pilihan
Karbohidrat
Protein
Hewani
Protein
Nabati
Sayur
Buah
1
2
2
2
2
Jadi, banyak cara menyusun menunya adalah 1 × 2 × 2 × 2 × 2 = 16 cara.
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan tentang aturan perkalian sebagai
berikut.
Aturan Perkalian
Misalkan terdapat k buah kejadian yang saling bebas, dengan:
kejadian ke-1 dapat terjadi dalam n1 cara berbeda;
kejadian ke-2 dapat terjadi dalam n2 cara berbeda;
⋮
kejadian ke-k dapat terjadi dalam nk cara berbeda.
Banyak cara terjadinya seluruh kejadian tersebut adalah sebagai berikut.
n1 × n2 × ... × nk cara berbeda
Persoalan aturan perkalian umumnya berkaitan dengan cara penyusunan objek/unsur
pada tempat/posisi yang tersedia. Sebagai contoh, susunan angka yang menunjukkan
bilangan tertentu, susunan huruf yang membentuk kata tertentu, dan sebagainya.
4
Contoh Soal 3
Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 akan disusun bilangan genap yang terdiri atas 3
angka berbeda. Banyak bilangan genap yang dapat disusun adalah .... (UN 2014)
A. 60
D. 120
B.
90
E.
C.
108
126
Jawaban: B
Pembahasan:
Diketahui 7 angka berbeda, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7.
Bilangan yang akan disusun terdiri atas 3 angka. Ini berarti, ada 3 tempat yang tersedia,
yaitu ratusan, puluhan, dan satuan.
Oleh karena angkanya berbeda, maka angka yang sudah digunakan tidak boleh digunakan
lagi.
Oleh karena bilangannya genap, maka angka satuannya harus genap. Dengan demikian,
pengisian tempat harus dimulai dari satuan, puluhan, dan terakhir ratusan. Untuk lebih
jelasnya, perhatikan tabel berikut.
Banyak
Pilihan
Angka
Angka yang
Dipilih
Satuan
Puluhan
Ratusan
3
6
5
Angka genap Enam buah angka dari 1, 2,
yaitu 2, 4, 6.
3, 4, 5, 6, 7 (salah satu angka
sudah digunakan untuk
mengisi tempat satuan).
Lima buah angka dari 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7 (satu angka
sudah digunakan untuk
mengisi tempat satuan
dan 1 angka lain untuk
mengisi tempat puluhan).
Jadi, banyak bilangan genap yang dapat disusun adalah 3 × 6 × 5 = 90.
Contoh Soal 4
Dari angka-angka 1, 2, 4, 5, 6, 7, dan 8 akan disusun bilangan yang terdiri atas 4 angka
berbeda. Tentukan banyak bilangan lebih dari 4.000 yang dapat disusun dari angka-angka
tersebut!
5
Pembahasan:
Dalam soal ini, ada syarat bilangan lebih dari 4000 yang membatasi pilihan angka pada
posisi ribuan. Oleh karena itu, kita kerjakan posisi ribuan terlebih dahulu, kemudian posisi
lain yang tersisa. Perhatikan tabel berikut.
Ribuan
Ratusan
Puluhan
Satuan
5
6
5
4
Lima buah angka
dari 1, 2, 4, 5, 6,
7, 8 (dua angka
sudah digunakan
untuk mengisi
posisi ribuan dan
ratusan).
Empat buah dari
angka 1, 2, 4, 5, 6, 7,
8 (tiga angka sudah
digunakan di posisi
ribuan, ratusan, dan
puluhan).
Banyak
Pilihan
Angka
Angka
yang
Dipilih
Angka 4, 5, 6, 7, Enam buah angka
8 agar bilangan dari 1, 2, 4, 5, 6,
lebih dari 4000.
7, 8 (satu angka
sudah digunakan
untuk
mengisi
tempat ribuan).
Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak bilangan lebih dari 4.000 yang dapat
disusun dari 4 angka berbeda diambil dari angka-angka 1, 2, 4, 5, 6, 7, dan 8 adalah 5 × 6 × 5
× 4 = 600 bilangan.
Jika dalam soal melibatkan penggunaan syarat membatasi bilangan seperti kurang
atau lebih dari bilangan tertentu, kemudian digabungkan dengan syarat genap atau
ganjil, maka dahulukan pengisian pada posisi paling awal, kemudian satuan, baru setelah
itu posisi yang tersisa.
Contoh Soal 5
Tentukan banyak bilangan ratusan genap kurang dari 600 yang dapat disusun dari angkaangka 0, 1, 4, 5, 6, 7, dan 8!
Pembahasan:
Pada soal tersebut tidak dinyatakan bahwa angka tidak boleh berulang sehingga angka
yang sama dapat digunakan lebih dari sekali. Dengan menggunakan aturan perkalian,
diperoleh:
6
Banyak
Pilihan
Angka
Angka yang
Dipilih
Ratusan
Satuan
Puluhan
3
4
7
Angka 1, 4, dan Angka 0, 4, 6, dan 8 agar Semua angka boleh
5 agar bilangan bilangannya genap.
digunakan karena tidak
ratusan kurang
ada syarat bahwa angka
dari 600.
harus berbeda.
Jadi, banyak bilangan ratusan genap kurang dari 600 yang dapat disusun dari angkaangka 0, 1, 4, 5, 6, 7, dan 8 adalah 3 × 4 × 7 = 84 bilangan.
Untuk mengerjakan soal seperti contoh soal 6 berikut ini, diperlukan kehati-hatian
karena disyaratkan bilangan tidak boleh berulang. Perlu diperhatikan bahwa akan ada
kemungkinan angka yang beririsan pada posisi ratusan dan satuan. Untuk lebih jelasnya,
perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 6
Tentukan banyak bilangan ratusan genap kurang dari 600 yang dapat disusun dari angkaangka 0, 1, 4, 5, 6, 7, dan 8, dengan syarat angka tidak boleh berulang!
Pembahasan:
Misal kamu kerjakan dari posisi ratusan, satuan, kemudian puluhan.
Banyak
Pilihan
Angka
Angka yang
Dipilih
Ratusan
Satuan
Puluhan
3
3 atau 4
5
Angka 1, 4, dan 3 buah yaitu angka 0, 6, Dua
angka
sudah
5 agar bilangan dan 8 jika angka 4 dipilih digunakan pada posisi
ratusan kurang pada posisi ratusan.
ratusan dan satuan.
dari 600.
4 buah yaitu 0, 4, 6, dan 8
jika pada posisi ratusan
dipilih angka ganjil.
7
Oleh karena ada dua kemungkinan pada posisi satuan, maka kejadian tersebut
dipisah menjadi terpilihnya angka ganjil pada posisi ratusan dan terpilihnya angka genap
pada posisi ratusan.
Kondisi 1: Terpilihnya angka ganjil pada posisi ratusan
Banyak
Pilihan
Angka
Angka yang
Dipilih
Ratusan
Satuan
Puluhan
3
4
5
Angka 1 dan 5 4 yaitu 0, 4, 6, dan 8 agar Dua
angka
sudah
agar bilangan angkanya genap.
digunakan pada posisi
ratusan kurang
ratusan dan satuan.
dari 600.
Ini berarti, banyak bilangan genap kurang dari 600 dengan angka ganjil pada posisi
ratusan adalah 2 × 4 × 5 = 40 bilangan.
Kondisi 2: Terpilihnya angka genap pada posisi ratusan
Banyak
Pilihan
Angka
Angka yang
Dipilih
Ratusan
Satuan
Puluhan
1
3
5
Angka 4 agar Salah satu di antara Dua
angka
sudah
bilangan kurang angka 0, 6, dan 8.
digunakan pada posisi
dari 600.
ratusan dan satuan.
Ini berarti, banyak bilangan genap kurang dari 600 dengan angka genap pada posisi
ratusan adalah 1 × 3 × 5 = 15 bilangan.
Jadi, banyak bilangan ratusan genap kurang dari 600 dengan angka tidak berulang adalah
40 + 15 = 55 bilangan.
8
Super "Solusi Quipper"
3 × 4 × 5 − 1 × 5 = 55
Keterangan:
•
angka 3 menunjukkan banyak bilangan yang mungkin menempati posisi
ratusan;
•
angka 4 menunjukkan banyak bilangan yang mungkin menempati posisi
satuan (abaikan irisan);
•
angka 5 menunjukkan sisa angka yang mungkin menempati posisi puluhan;
•
pengurangan dilakukan untuk membuang angka-angka yang beririsan; serta
•
angka 1 menunjukkan banyak bilangan yang beririsan, yaitu angka 4 (genap
dan kurang dari 6).
Untuk lebih memahaminya, mari simak contoh penggunaan cara SUPER, Solusi Quipper
pada soal lain.
Contoh Soal 7
Dari angka-angka 1, 3, 4, 5, 7, 8, dan 9 akan disusun bilangan yang terdiri atas 3 angka
berbeda. Banyak bilangan ganjil lebih dari 500 yang dapat disusun dari angka-angka
tersebut adalah ....
Pembahasan:
Super "Solusi Quipper"
4 × 5 × 5 − 3 × 5 = 100 – 15 = 85
Jadi, banyak bilangan ganjil lebih dari 500 yang dapat disusun dari angka-angka tersebut
adalah 85 bilangan.
2.
Aturan Penjumlahan
Prinsip dari aturan ini adalah menjumlahkan banyaknya kemungkinan cara (pilihan) dari
kejadian-kejadian yang tidak terjadi secara bersamaan. Agar lebih jelas, mari simak contoh
berikut.
9
Contoh Soal 8
Jabatan ketua OSIS dapat diduduki oleh siswa kelas XI atau kelas XII. Jika siswa kelas
XI terdiri atas 110 orang dan siswa kelas XII terdiri atas 90 orang, tentukan banyak cara
memilih ketua OSIS.
Pembahasan:
Berdasarkan soal, dapat diperoleh informasi berikut.
Banyak siswa kelas XI = 110 orang.
Banyak siswa kelas XII = 90 orang.
Jabatan ketua OSIS hanya disediakan untuk 1 orang dari salah satu tingkatan kelas.
Ini berarti terdapat 2 kemungkinan, yaitu 1 siswa kelas XI terpilih sebagai ketua OSIS atau
1 siswa kelas XII yang terpilih.
Dua kemungkinan ini tidak dapat terjadi secara bersamaan sehingga aturan pencacahan
yang digunakan adalah aturan penjumlahan.
Jadi, banyak cara memilih ketua OSIS tersebut adalah 110 + 90 = 200 cara.
Berdasarkan contoh soal 8, dapat disimpulkan tentang aturan penjumlahan sebagai
berikut.
Aturan Penjumlahan
Misalkan terdapat k buah kejadian yang saling lepas, dengan:
kejadian ke-1 dapat terjadi dalam n1 cara berbeda;
kejadian ke-2 dapat terjadi dalam n2 cara berbeda;
⋮
kejadian ke-k dapat terjadi dalam nk cara berbeda.
Banyak cara terjadinya seluruh kejadian tersebut adalah sebagai berikut.
n1 + n2 + ... + nk cara berbeda
Agar kamu dapat dengan mudah mengenali aturan perkalian dan penjumlahan,
mari pahami perbedaannya pada tabel berikut ini.
10
Perbedaan antara Aturan Perkalian dan Penjumlahan
Pembeda
Aturan Perkalian
Aturan Penjumlahan
Banyak cara terjadinya k n1 × n2 × ... × nk cara
buah kejadian
n1 + n2 + ... + nk cara
Waktu dan sifat kejadian
Bersamaan atau berurutan
Tidak bersamaan, tidak
serentak, satu per satu,
atau bersifat pilihan
Kata kunci dalam soal cerita
Dan
Atau
Aturan perkalian dan penjumlahan juga dapat digunakan bersama-sama tergantung
perintah soalnya.
Contoh Soal 9
Suatu organisasi OSIS di sebuah SMA memiliki 20 anggota yang terdiri atas 4 siswa kelas
XII, 6 siswa kelas XI, dan 10 siswa kelas X. Dari anggota tersebut, akan dilakukan pemilihan
pengurus baru, yaitu ketua, wakil, dan sekretaris. Posisi wakil dan sekretaris harus diduduki
oleh siswa yang kelasnya lebih rendah dari kelas ketua. Tentukan banyak cara pemilihan
pengurus yang mungkin!
Pembahasan:
Oleh karena posisi wakil dan sekretaris harus diduduki oleh siswa yang kelasnya lebih
rendah dari kelas ketua, maka ada dua pilihan pada ketua, yaitu ketua dari kelas XII atau
dari kelas XI.
Pilihan 1: Ketua dari kelas XII
Jika ketua dari kelas XII, posisi wakil dan sekretaris bisa dari kelas XI dan X. Banyak cara
pemilihan pengurus adalah 4 × 16 × 15 = 960 pilihan
Pilihan 2: Ketua dari kelas XI
Jika ketua dari kelas XI, posisi wakil dan sekretaris hanya bisa dari kelas X. Banyak cara
pemilihan pengurus adalah 6 × 10 × 9 = 540 pilihan
Oleh karena kejadian pemilihan ketua baik dari kelas XII maupun dari kelas XI tidak
mungkin terjadi bersamaan atau bersifat pilihan, maka aturan yang digunakan adalah
aturan penjumlahan. Dengan demikian, banyak cara pemilihan pengurus yang mungkin
adalah 960 + 540 = 1.500 cara.
Jadi, banyak cara pemilihan pengurus yang mungkin adalah 1.500 cara.
11
B. Faktorial
Faktorial merupakan bentuk perkalian bilangan bulat positif berurutan. Pemahaman
terhadap faktorial akan sangat membantu kamu dalam mempelajari permutasi dan
kombinasi.
Definisi Faktorial
Misalkan terdapat n buah bilangan bulat positif.
n! (dibaca: n faktorial) dapat didefinisikan sebagai berikut.
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 3 × 2 ×1
Definisi tambahan:
0! = 1
1! = 1
Sifat-Sifat Faktorial
Jika n, a, dan b ∈ bilangan bulat positif, berlaku:
1. n =
2.
3.
4.
5.
n!
( n − 1) !
( a − b )! ≠ a! − b !
( a + b )! ≠ a! + b !
( a × b )! ≠ a! × b !
( a ÷ b )! ≠ a! ÷b !
Contoh faktorial:
1. 6 ! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6 × 5 ! = 30 × 4 !
5! 6 × 5! 6 !
2.
=
=
4 6 × 4 24
12
Contoh Soal 10
1 1 12
+ − = ....
4 ! 5! 6 !
Pembahasan:
Dengan menyamakan penyebut pecahan, diperoleh:
1 1 12 6 ( 5 ) 6 12
+ −
+ − =
4 ! 5! 6 !
6!
6! 6!
30 + 6 − 12
=
6!
24
=
6!
4 × 3 × 2 ×1
=
6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1
1
=
30
Jadi,
1 1 12 1
+ − = .
4 ! 5 ! 6 ! 30
Contoh Soal 11
Untuk n ≥ 3, buktikan bahwa ( n − 2 ) !− ( n − 3 ) ! = ( n − 3 ) ! ( n − 3 ) .
Pembahasan:
Dengan menguraikan ruas kiri persamaan, diperoleh:
( n − 2 ) !− ( n − 3 ) ! = ( n − 2 ) ( n − 3 ) !− ( n − 3 ) !
= ( n − 3 ) ! ( n − 2 − 1)
= ( n − 3)!( n − 3)
Jadi, terbukti bahwa ( n − 2 ) !− ( n − 3 ) ! = ( n − 3 ) ! ( n − 3 ) .
C. Permutasi
Permutasi merupakan banyak cara penyusunan unsur-unsur (objek) dengan memerhatikan
urutan. Secara umum, terdapat 5 jenis permutasi. Mari simak penjelasannya satu per satu
berikut ini.
13
1.
Permutasi n Unsur yang Berbeda
Untuk memahami konsep permutasi n unsur yang berbeda, perhatikan contoh soal
berikut.
Contoh Soal 12
Tentukan banyak cara menyusun 4 buah buku yang terdiri atas buku Biologi (B), Fisika (F),
Matematika (M), dan Sejarah (S) di sebuah rak secara berjajar.
Pembahasan:
Kemungkinan susunan buku Biologi (B), Fisika (F), Matematika (M), dan Sejarah (S) adalah
sebagai berikut.
BFMS
BSFM
FMBS
MBFS
MSBF
SFBM
BFSM
BSMF
FMSB
MBSF
MSFB
SFMB
BMFS
FBMS
FSBM
MFBS
SBFM
SMBF
BMSF
FBSM
FSMB
MFSB
SBMF
SMFB
Jadi, banyak cara menyusunnya adalah 24.
Jika pembahasan contoh soal 12 dituliskan dalam bentuk faktorial, banyak cara menyusun
4 buku = 24 = 4 × 3 × 2 × 1 = 4!
Dengan demikian, diperoleh kesimpulan berikut.
Permutasi n Unsur yang Berbeda
Banyak cara menyusun n unsur yang berbeda adalah sebagai berikut.
n
n Pn = Pn = P( n , n ) = n !
Contoh Soal 13
Dari huruf S, I, M, A, dan K dapat dibuat 120 “kata”. Jika “kata” ini disusun secara alfabetikal,
kata “SIMAK” akan berada pada urutan ke- .... (SIMAK UI 2009)
A. 105
D. 115
B.
106
E.
C.
107
116
Jawaban: C
14
Pembahasan:
Jika huruf S, I, M, A, dan K disusun secara alfabetikal, maka urutannya adalah “A, I, K, M, S.”
Susunan kata dari huruf-huruf tersebut hingga ditemukan kata “SIMAK” disajikan pada
tabel berikut.
Susunan Kata
Banyak Susunan
A
...
...
...
...
4! = 24
I
...
...
...
...
4! = 24
K
...
...
...
...
4! = 24
M
...
...
...
...
4! = 24
S
A
...
...
...
3! = 6
S
I
A
...
...
2! = 2
S
I
K
...
...
2! = 2
S
I
M
A
K
1
Jumlah
107
Catatan: “...” dapat diisi dengan huruf yang belum digunakan.
Jadi, kata “SIMAK” berada pada urutan ke-107.
2.
Permutasi r dari n Unsur dengan 0 ≤ r ≤ n
Untuk memahami konsep permutasi r dari n unsur dengan 0 ≤ r ≤ n, perhatikan contoh
soal berikut.
Contoh Soal 14
Pada pemilihan ketua dan wakil ketua RT, muncul 3 kandidat yaitu Aliando, Bondan, dan
Chiko. Tentukan banyak susunan pasangan ketua dan wakil ketua RT yang mungkin.
15
Pembahasan:
Dengan menggunkan tabel, diperoleh:
Ketua
Wakil Ketua
Aliando
Bondan
Aliando
Chiko
Bondan
Aliando
Bondan
Chiko
Chiko
Aliando
Chiko
Bondan
Jadi, banyak susunan ketua dan wakil ketua RT yang mungkin adalah 6 pasang.
Jika pembahasan contoh soal 14 dituliskan dalam bentuk faktorial, banyak susunan
pasangan ketua dan wakil ketua RT (2 orang) dari 3 kandidat adalah sebagai berikut.
6 = 3 × 2 ×1=
3 × 2 ×1 3!
3!
= =
1
1! ( 3 − 2 ) !
Dengan demikian, diperoleh kesimpulan berikut.
Permutasi r dari n Unsur dengan 0 ≤ r ≤ n
Banyak cara menyusun r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah sebagai
berikut.
P = Prn = P( n , r ) =
n r
n!
(n − r )!
Contoh Soal 15
Suatu organisasi motor cross ingin menentukan pengurus yaitu ketua, sekretaris, dan
bendahara dari 20 anggota. Banyak susunan yang mungkin adalah .... (UN 2015)
A. 2.280
D. 13.400
B.
6.840
E.
C.
12.400
13.680
Jawaban: B
16
Pembahasan:
Diketahui:
banyak pengurus = r = 3 (ketua, sekretaris, bendahara); dan
banyak anggota = n = 20.
Oleh karena 3 pengurus (ketua, sekretaris, bendahara) akan dipilih dari 20 anggota,
maka:
P = 20 P3 =
n r
20 !
20 ! 20 × 19 × 18 × 17 !
=
=
= 6.840
−
20
3
!
17
!
17 !
(
)
Jadi, banyak susunan yang mungkin adalah 6.840.
3.
Permutasi Siklis (Melingkar)
Untuk memahami konsep permutasi siklis, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 16
Empat buah manik-manik dengan warna merah, kuning, hijau, dan biru akan dirangkai
menjadi sebuah cincin. Tentukan banyak cara merangkai manik-manik tersebut!
Pembahasan:
Misalkan:
manik merah = M;
manik kuning = K;
manik hijau = H; dan
manik biru = B.
17
Rangkaian manik-manik yang mungkin adalah sebagai berikut.
M
B
M
K
K
H
B
K
H
H
Rangkaian 1
B
Rangkaian 2
M
H
M
Rangkaian 3
M
K
H
B
Rangkaian 4
M
B
B
H
K
Rangkaian 5
K
Rangkaian 6
Jadi, banyak cara merangkai manik-manik tersebut adalah 6 cara.
Perhatikan kembali rangkaian 1 dan 2 pada pembahasan contoh soal 16. Susunan
rangkaian 1 dan 2 terlihat sama. Namun, jika manik berwarna merah dijadikan acuan,
susunan rangkaian keduanya menjadi berbeda. Ini berarti, kita cukup menentukan susunan
3 manik-manik lainnya dengan permutasi n unsur berbeda (n!). Dengan demikian, banyak
cara merangkai sebuah cincin dari 4 manik-manik adalah sebagai berikut.
(4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 cara.
Dengan demikian, diperoleh kesimpulan berikut.
Permutasi Siklis
Banyak cara menyusun n unsur berbeda secara melingkar adalah sebagai berikut.
Psiklis = ( n − 1) !
Kata kunci pada soal:
melingkari, mengelilingi, cincin, gelang, dan kalung.
Contoh Soal 17
Anggota Palang Merah Remaja (PMR) yang terdiri atas 2 anggota senior dan 6 junior
sedang mengadakan rapat. Mereka duduk mengelilingi meja bundar. Tentukan banyak
cara mereka duduk jika anggota senior selalu duduk berdampingan!
18
Pembahasan:
Diketahui:
banyak anggota = 8 orang;
banyak anggota senior = ns = 2 orang; dan
banyak anggota junior = nj = 6 orang.
Oleh karena duduknya mengelilingi meja bundar (melingkar), maka banyak susunannya
adalah (n – 1)!
Oleh karena anggota senior selalu duduk berdampingan, maka dianggap sebagai 1
kelompok sehingga n = nj + 1 = 6 + 1 = 7
Posisi anggota senior yang duduk berdampingan dapat diacak selama masih berada
dalam kelompoknya sehingga banyak susunan duduk anggota senior 2!
Dengan demikian, banyak cara mereka duduk adalah sebagai berikut.
(7 – 1)! 2! = 6! 2! = 1.440 cara.
Jadi, banyak cara mereka duduk jika anggota senior selalu duduk berdampingan adalah
1.440 cara.
4.
Permutasi dengan Unsur yang Sama
Banyak cara menyusun r1, r2, ... rn unsur yang sama dari n unsur yang tersedia dengan r1
+ r2 + ... rn adalah sebagai berikut.
n!
n Pr1 , r2 , ..., rn =
r1! r2 ! ..., rn !
Contoh Soal 18
Tentukan banyak kata berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata
MATEMATIKA!
Pembahasan:
Dari 10 huruf (M, A, T, E, M, A, T, I, K, A) terdapat huruf yang sama yaitu M = r1 = 2, A = r2 =
3, dan T = r3 = 2.
Dengan menggunakan permutasi unsur yang sama, diperoleh:
P
n r1 , r2 ,r3
=
n!
10 !
=
r1 ! r2 ! r3 ! 2 ! 3 ! 2 !
19
Jadi, banyak kata berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA
adalah
10 !
.
2 !3!2 !
Contoh Soal 19
Dari huruf-huruf L, O, U, I, S, I, A, N, A akan dibentuk sebuah kata. Tentukan banyak cara
menyusun kata yang diawali dengan huruf N.
Pembahasan:
Dari 9 huruf (L, O, U, I, S, I, A, N, A) terdapat huruf yang sama yaitu I dan A.
Oleh karena kata yang akan dibentuk diawali dengan huruf N, maka posisi huruf N tetap
di depan sehingga kita tinggal menyusun 8 huruf lagi.
Ini berarti:
banyak huruf yang disusun = n = 8;
banyak huruf I = r1 = 2; dan
banyak huruf A = r2 = 2.
Dengan menggunakan permutasi unsur yang sama, diperoleh:
P
n r1 , r2
=
n!
8!
=
= 10.080
r1 ! r2 ! 2 ! 2 !
Jadi, banyak cara menyusun kata yang diawali dengan huruf N adalah 10.080 cara.
Agar kamu dapat dengan mudah mengenali soal permutasi, mari pahami ciri-ciri permutasi
berikut.
Ciri-Ciri Permutasi
Memerhatikan urutan.
Kata kunci pada soal cerita: menyusun (dengan setiap posisi memiliki arti yang
berbeda), memilih/mengambil dengan tujuan/jabatan tertentu.
20