Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial

BERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN
DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU
Budiyono
Jurusan Pendidikan Matematika
FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo
Abstrak
Untuk mengetahui peranan matematika dalam menyelesaikan
masalah nyata, perlu dipelajari masalahnya secara keseluruhan. Tahapan
penyelesaian masalah ini biasa dikenal dengan nama masalah permodelan
dan suatu tahapan penyelesaian dengan memakai teori matematika mulai
digunakan disebut model matematika.
Berbagai model matematika yang mempunyai bentuk persamaan
diferensial biasa tingkat satu yang disajikan dalam tulisan ini di antaranya
adalah L masalah laju perubahan sederhana, masalah benda jatuh bebas,
masalah rangkaian listrik, masalah tabungan pendapatan, investasi, dan
masalah hutang Domar.
Kata Kunci: model matematika, persamaan diferensial
memahami
Pendahuluan
Dalam berbagai disiplin ilmu,
penggunaan matematika telah demikian luasnya. Matematika mempunyai peranan yang sangat penting dan
memberi sumbangan yang besar bagi
perkembangan
ilmu
pengeta-huan
dan teknologi. Penyebabnya adalah
matematika mempunyai logika yang
konsisten,
sistimatika
dan
konstruksinya dapat dijadikan alat.
Juga
memberi
gagasan
untuk
keadaan
nyata
dan
mengungkap rahasia alam. Berbagai
masalah nyata dalam disiplin ilmu
lain proses penyelesaiannya memerlukan
matematika
yang
disertai
dengan berbagai metode dan tekniknya.
Untuk
mengetahui
seberapa
peranan matematika dalam penyelesaian masalah nyata, perlu dipelajari
masalahnya secara menyeluruh. Tahapan penyelesaian masalah nyata
disebut sebagai masalah permodel-
Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan
Diferansial Tingkat Satu
11
an. Suatu tahapan penyelesaian di
Maksudnya,
mana teori matematika mulai digu-
symbol
nakan disebut model matematika.
tika,sehingga
Pada umumnya, masalah per-
menuliskannya
dan
dalam
lambang
matema-
diperoleh
beberapa
persamaan matematika atau bentuk
modelan muncul di dunia nyata
lainnya.
sebagai
pengamatan.
berubah menjadi model matematika,
Pengamatan itu dapat dilakukan di
dan yang perlu diperhatikan pada
laboratorium atau di alam bebas,
model
sampai pada gejala yang nampak
terbaik. Pemilihan model matema-
setiap hari. Penyelesaian masalah
tika yang terbaik mempunyai hara-pan
nyata,
dapat memberikan penyelesaian yang
hasil
suatu
pembentukan
modelnya
Selanjutnya
matematika
model
dipilih
yang
melalui beberapa tahap. Tahap yang
mendekati
pertama adalah membuat pengama-
Tahap ke-5 adalah menyele-saikan
tan intuitif dan memeriksa kesa-
model matematika, yaitu menentukan
maannya dengan sistim lain yang
penyelesaian matema-tikanya. Tahap
telah diketahui sampai memperoleh
ke-6 adalah mem-buat kesimpulan
berbagai
dan
dugaan.
Tahap
kedua,
keadaan
real
dugaan
sebenar-nya.
dari
analisis
mencoba merumuskan masalahnya
matematikanya. Tahap ke-6 adalah
sampai pada konsep yang akan
membuat tafsiran atas penye-lesaian
digunakannya. Tahap yang ke-3,
baru tentang masalah nyata. Tahap
mengumpulkan informasi sebanyak-
yang
banyaknya yang berhubungan deng-
bandingkan hasil penafsiran yang
an masalahnya. Dari sini kemudian
didapat dengan keadaan nyata dan
dipilih beberapa yang penting untuk
menjelaskan
menyederhanakan masalah. Tahap
penyimpangan yang terjadi.
yang ke-4 adalah menyatakan model
real
dalam bahasa matema-tika.
terakhir
Jika
adalah
perbedaan
terjadi
mem-
ataupun
penyimpangan
yang besar, harus diadakan pengu-
12 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan
Diferansial Tingkat Satu
langan kembali proses permodel-
biasa dapat ditentukan tingkat persa-
annya dengan meninjau setiap lang-
maannya. Jika penyelesaian umum
kah yang telah dilaksanakan. Kemu-
diketahui, maka dengan mengelimi-
dian pembentukan model real dan
nasi parameternya melalui operasi
model
turunan biasa, kita dapat menentukan
matematikanya
diperbaiki.
Setelah proses perbaikan ini dilaksa-
persamaan diferesial.
nakan, diperhatikan lagi penyimpangannya. Dalam hal terjadi penyimpangan
yang
perlu
Metode pemisahan peubah
dianalisis faktor penyebabnya se-
dipakai untuk mencari penyele-
hingga
saian persamaan diferensial bi-
dari
kecil,
a. Model Pemisahan Peubah
hasil
ini
didapat
informasi yang berguna.
asa.
Bentuk
persamaan
biasa
linier tingkat satu adalah :
Persamaan
Diferensial
Biasa
Tingkat Satu
Persamaan diferensial adalah
dy
= f ( x , y) atau y 1 = f ( x , y)
dx
atau F (x,y,y1)= 0
suatu persamaan yang melibatkan
suatu
fungsi
beserta
turunannya.
atau F (x,y,
dy
)=0
dx
Untuk fungsi dengan sebuah peu-bah
Jika persamaan diferen-sial
real, turunan yang terlibat adalah
biasanya ditulis dalam ben-tuk y1
turunan
= f (x.y) dengan mani-pulasi
biasa,
sehingga
dise-but
persamaan diferensial biasa.
aljabar dapat ditulis dalam bentuk
Penyelesaian persamaan dife-
:
rensial biasa terdiri dari penye-lesaian
P(x) + q(y) dy = 0
umum,
atau
penyeleaian
khusus
dan
penyelesaian singular (jika ada). Dari
banyaknya
parameter
p(x) dx + q (y) dy = 0
pada
penyelesaian persamaan diferensial
Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan
Diferansial Tingkat Satu
13
Dalam kasus p(x) dan q(y)
fungsi elementer, maka penyelesaiannya
diperoleh
mengintegralkan
c. Persamaan Diferensial Linier
Tingkat Satu
dengan
Persamaan diferensial lini-er
ruas
tingkat satu mempunyai bentuk
kedua
umum :
persamaan itu, didapat :
 p(x) dx + q(y) dy = C
A(x) y1 + B(x)y = C(x).A(x)  0
Penyelesaian umum persamaan
dengan A,B dan C kontinu pada
diferensialnya adalah:
irisan
ketiga
daerah
definisi
fungsi tersebut. Persamaan dife-
P(x) + Q(y) = C
rensial itu juga dapat ditulis dalam
dengan
P(x) =  p(x) dx dan
bentuk :
Q(y) =  q (y) dy
y1 + p (r) y = q (x)
dengan p dan q kontinu pada
b. Persamaan Diferensial
irisan kedua daerah deferensial.
Homogen Bertingkat Satu
Persamaan
yang
mempu-
nyai bentuk :
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
disebut
persamaan
diferensial
homogen tingkat satu jika M dan
N adalah fungsi homogen yang
berderajat sama. Persamaan itu
dapat ditulis dalam bentuk :
M (tx, ty) t n M (x, y)
F(x,y)==
N (tx, ty) t n N (x, y)
= fl (x,y) = t° f (x,y)
Cara penyelesaiannya deng-an
menggunakan Substitusi
=
y
atau y = x 
x
Penyelesaian persamaan itu
adalah dengan cara mengalikan
kedua ruas persamaan deferensialnya dengan faktor  p (x)dx
didapat :
 p (x)dx => y1 =  p (x)dx
p(x)y =  p (x)dx . q(x)
14 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan
Diferansial Tingkat Satu
Ruas kiri bentuk di atas yaitu 
saian persamaan diferensial ek-
p (x)dx.q(x) dapat ditulis sebagai
sak adalah suatu fungsi dengan
d
(  p (x)dx y), ini berakibat :
dx
sebuah parameter yang berben-tuk
F (x,y) = C.
d ( p(x)dx.y) =  p(x)dx.q(x) dx
Penyelesaian
rensialnya
persamaan
diperoleh
mengintegralkan
difedengan
kedua
pada persamaan deferensialnya
menghasilkan bentuk yang da-pat
disebut
faktor
laju
perubahan
yang
sebanding
dengan besarnya populasi pada saat
itu. masalah seperti itu biasa disebut
masalah laju perubahan yang sederhana.
integrasi.
d. Persamaan Diferensial Eksak
Persamaan deferensial yang
M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0
disebut eksak jika terdapat fungsi
tersebut, dimisalkan besarnya popuP = P (t), P>0
Besarnya laju perubahan populasi pada saat t dapat dinyatakan
z = F (x,y) sehingga
sebagai :
dz = d F (x,y)
= M (x,y) dx + N (x,y) dy
persamaan
Untuk menyelesaikan masalah
lasi pada saat t adalah :
mempunyai bentuk:
diferensial
eksak diberikan oleh teorema
berikut :
Misalkan fungsi dua peubah M,
N,
Diketahui suatu populasi yang
setiap saat besarnya berubah dengan
Faktor yang setelah dikalikan
Ciri
hana
ruas
bentuk itu.
diselesaikan
Masalah Laju Perubahan Seder-
dN
dM
dan
. Jadi penyeledy
dx
dP d (Pt )
=
dt
dt
Disebabkan bahwa laju perubahan populasi setiap saat itu sebanding dengan besarnya populasi pada
saat itu, maka terdapatlah konstan k
= 0 sehingga:
Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan
Diferansial Tingkat Satu
15
P=
Masalah Benda Jatuh Bebas
dP
= kP . k = 0
dt
Apabila suatu benda dengan
Pada masalah ini, k > 0, jika P
massa m jatuh bebas, maka selain
bertambah dan k < 0 jika k ber-
gaya berat benda W = mg, benda itu
kurang. Selanjutnya kita selesaikan
juga mengalami hambatan udara yang
persamaan diferensial yang terakhir
menurut
dengan menggunakan metode pemi-
berbanding lurus dengan kuadrat
sahan peubah :
kecepatannya.
Apabila
besarnya
kecepatan
dP
= k.dt
p
benda tersebut pada saat t adalah v
dP
=  k.dt
p
adalah b, maka besarnya hambatan

dan
terdapat gaya lain yang mempe-
P = Ckt.CC1
ngaruhi gerakan benda, maka me-
kt
P = C e .C > 0
besarnya
nurut Hukum Kedua Newton, massa
populasi
pada saat t berbentuk fungsi eksponensial P = P (t) = C e kt.C > 0
memperhatikan
perbandingannya
Dengan mengandalkan bahwa tidak
P = e kt+c1
Ternyata
konstanta
udara adalah U, maka U = bv².
ln P = kt + C1
Dengan
penelitian
bentuk
kali percepatan sama dengan gaya
diperoleh persamaan diferensial.
m=
fungsi itu, kita mengatakan bahwa
populasinya terbentuk secara eksponential. Selanjutnya, jika diketa-
dv
= mg – bv²
dt
dan
V (o) = Vo
Kita
selesaikan
persamaan
hui dua data untuk besarnya P pada
diferensial itu dengan peubah bebas t
saat yang berbeda, maka kita dapat
dan peubah tidak bebasnya v. Akan
menentukan besarnya konstan C dan
diperoleh informasi tentang sifat v
k.
sebagai fungsi dari t, yaitu besarnya
kecepatan pada setiap saat. Dari
16 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan
Diferansial Tingkat Satu
bentuk ini kita dapat mem-berikan
oleh
bahwa
tafsiran fisisnya.
sepanjang induktor berbanding lurus
dengan
Masalah Listrik
besarnya
laju
daya
perubahan
EL
arus
I,
dinyatakan dengan notasi matema-
Kita mempunyai suatu rang-
tika sebagai :
kaian listrik yang terdiri dari daya
EL = L.
gerak listrik. E (t) vol, tahanan
dl
dt
(resistansi) R ohm dan induktansi L
dengan konstanta perbandingan L
Henry
disebut induktansi.
seperti
ditunjukkan
pada
gambar berikut :
Menurut
R
jumlah
aljabar
hukum
dari
Kirchoff,
daya
yang
dihasilkan sepanjang suatu tahanan
tertutup adalah nol, atau besarnya
E(t)
S
daya yang diberikan pada suatu
rangkaian
tertutup
sama
dengan
jumlah sisa daya pada rangkaian
S = saklar
L
Apabila saklar pada rangkaian
tersebut.
Diperoleh
matematika:
ditutup maka terjadi aliran arus litrik
EL + ER = E (t)
pada rangkaian tersebut. Menurut
yang
hukum Ohm, besarnya daya ER
deferensial
sepanjang resistor berbanding lurus
dengan arus sesaat I. Dinyatakan
dengan notasi matematika sebagai :
ER = R.I
Dengan konstanta perbanding-
hubungan
memberikan
L
persamaan
dl
+ RI = E (t)
dt
Atau
dl
R
I
+ I=
E (t)
dt
L
L
an R disebut tahanan (resistansi).
Model matematika rangkaian
Dari eksperimen (percobaan) diper-
listrik ini berbentuk persamaan dife-
Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan
Diferansial Tingkat Satu
17
rensial linear dengan peubah bebas t
dan I sebagai peubah tidak bebas-nya.
Penyelesaian persamaan dife-rensial
langsung
marginal
tersebut I = I (t), yang menyatakan
dengan
dy
, dinyatakan dengan:
dt
I (t) = g.
besarnya arus listrik pada setiap saat.
penda-patan
dy
....................... (2)
dt
Konstanta g diharapkan lebih besar
Masalah Tabungan
dari pada nol dan merupakan nilai
Masalah tabungan S, penda-
banding pertambahan modal terha-
patan y, dan investasi I model
dap pendapatannya, dinyatakan se-
matematikanya dibuat oleh Domar
bagai:
dan
Harrod.
Dengan
persamaan
g=
differensial, maka model ini dapat
dijelaskan sebagai berikut.
Tabungan S suatu masyarakat
Idt
dK
=
dy
dy
dengan dK = I ; dt = pendapatan
modal K.
pada waktu t adalah fraksi tertentu s
Menurut definisi maka tabung-
dari pendapatannya y pada waktu itu,
an yang terealisasi masyarakat ada-
dinyatakan sebagai :
lah
pertambahan
kekayaannya.
Besarnya sama dengan pendapatan
S (t) = s . y (t) … (1)
dengan anggapan bahwa tabungan
yang diinginkan dan tabungan yang
terealisasi sama adanya. Fraksi s
letaknya antara nol dan satu merupakan kecenderungan marginal atau
rerata untuk menabung.
para
harus sama, sehingga S ter-realisasi =
I
terealisasi.
Pada
umum-nya
tabungan yang diinginkan tidak perlu
sama dengan tabungan teren-cana
sehingga:
S terrealisasi = S terencana
Investasi I yang diinginkan atau
direncanakan
dikurangi konsumsi, maka kedua-nya
entrepreneur
masyarakat pada waktu t ber-banding
= I terrealisasi.
Investasi terealisasi yang sama
dengan tabungan terealisasi itu dapat
18 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan
Diferansial Tingkat Satu
dihitung dengan rumus (1) dan
menyatakan pengaruh belanja defi-sit
investasi terencana dapat dihitung
atas pendapatan nasional.
dengan rumus (2).
Dimisalkan
Para entrepreneur masya- rakat
untuk
mencegah
pengangguran diambil kebijaksana-an
investasi
belanja defisit. Defisit dD dalam
terencana = investasi terrealisasi. Ini
jangka waktu dt berbanding lang-
dinyatakan sebagai :
sung dengan dt dan dengan panda-
menginginkan
agar
S (t) = I (t) …................. (3)
patan nasional y, sehingga hubung-an
yang dengan persamaan (1) dan (2)
ini
menjadi
persamaan.
g=
dapat
dy
= S. y (t)
dt
persamaan
dalam
dD = k y dt
dD
= ky … (1)
dt
Persamaan yang terakhir ini
merupakan
dinyatakan
deferensial
Defisit dD ditutup dengan
tingkat satu yang peubahnya dapat
pinjaman,
dipisahkan menjadi :
merupakan hutang nasional. Persa-
dy
S
= dt
y
g
maan (1) menyatakan bahwa laju naik
demikian
D
hutang nasional berbanding langsung
Penyelesaian umumnya adalah :
S
g = t = lnC
y
y = Ce
dengan
dengan
tetapan
pendapatan
k
nasi-onal
adalah
y.
persentase
pendapatan nasional yang dipinjam
S
t
y
negara.
Dalam model matematika itu
Masalah Hutang
Model
matematika
perlu
masalah
hutang ini biasa disebut sebagai
model hutang domar. Model ini
dimisalkan
lagi
bagaimana
pendapatan nasional y berubah dengan
waktu t, maka diandaikan :
Y = at + yo …. (2)
Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan
Diferansial Tingkat Satu
19
Dengan a = konstanta, dan yo
bahan sederhana, masalah benda
= pendapatan pada waktu t = a.
jatuh, masalah rangkaian listrik,
substitusi
masalah tabungan pendapatan dan
(2)
dalam
(1)
meng-
investasi, masalah hutang dan lain-
hasilkan persamaan deferensial.
lain.
dD
= k at + k yo
dt
Daftar Pustaka
Penyelesaian umumnya adalah :
D = ½ k at² + ky ot + C
Penutup
Persamaan diferensial ada-lah
salah satu cabang matematika yang
banyak
digunakan
untuk
men-
jelaskan masalah-masalah yang dapat dimodelkan. Alat untuk mengetahui kelakuan maupun sifat-sifat
masalah-masalah yang ditinjau digunakan persamaan deferensial.
Persamaan deferensial yang
paling sederhana adalah persamaan
deferensial tingkat satu. Persamaan
ini dapat digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah laju peru-
Ayres. F. 1952. Theory and Problem Of
Differential Equation. New
York : Schaum’s Out Line
Series. Mc Graw Hill.
Johannes H, Budiomo Sri Handoko.
1981.Pengantar
Matematika untuk Ekonomi. Jakarta :
LP3ES.
Martono. K. 1990. Kalkulus Persamaan
Diferensial
Biasa.
Bandung : ITB.
Nababan. 1987. Pendahuluan Persamaan Diferensial Biasa.
Jakarta. Karunika.
Simmons. G.T. 1979. Differential
Equations With Applica- tions
and Historical Notes. Tata
Mc.Graw: Hill Publishing.
20 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan
Diferansial Tingkat Satu