MODUL ALJABAR LINEAR 1

2014
MODUL
ALJABAR LINEAR 1
Disusun oleh,
ASTRI FITRIA NUR’ANI
Astri Fitria Nur’ani
Aljabar Linear 1
1/1/2014
Aljabar Linear 1
1
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ................................................................................................... i
BAB I
MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN
A. Pendahuluan ............................................................................. 1
B. Aljabar Matriks ......................................................................... 5
C. Sistem Persamaan Linear .......................................................... 15
BAB II
DETERMINAN
A. Pengertian Determinan.............................................................. 22
B. Metode Perhitungan Determinan ........ ..................................... 23
C. Sifat-sifat Determinan .............................................................. 25
BAB III
INVERS MATRIKS
A. Pengertian Invers Matriks .......................................................... 27
B. Matriks Adjoint ........ ................................................................ 28
C. Sifat-sifat Invers Matriks ......................................................... 29
D. Hubungan Invers Matriks, determinan, dan Solusi SPL . ......... 31
Aljabar Linear 1
i
BAB I
MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN
A. Pendahuluan
Bentuk persamaan linear dalam n peubah (variabel):
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + … + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏
Dimana:
𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , 𝑏
= bilangan – bilangan real
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
= peubah
Dengan demikian maka suatu sistem linear dari m persamaan dalam n peubah (sistem
linear m x n) adalah sebagai berikut:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + … + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + … + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
.
.
.
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
Contoh sistem linear:
1. Sistem 2 x 2
2. Sistem 2 x 3
3. Sistem 3 x 2
𝑥1 + 2𝑥2 = 5
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 2
𝑥1 + 𝑥2 = 2
2𝑥1 + 3𝑥2 = 8
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 4
𝑥1 − 𝑥2 = 1
𝑥1
=4
Definisi 1:
Dua sistem persamaan yang mengunakan peubah-peubah yang sama dikatakan
ekivalen jika kedua sistem itu memiliki himpunan penyelesaian yang sama.
Contoh:
𝑥1 + 2𝑥2 = 4
3𝑥1 − 𝑥2 = 2
4𝑥1 + 𝑥2 = 6
4𝑥1 + 𝑥2 = 6
Dan
3𝑥1 − 𝑥2 = 2
𝑥1 + 2𝑥2 = 4
Aljabar Linear 1
1
Keduanya terdiri dari tiga persamaan yang sama dan sebagai akibatnya kedua
sistem persamaan ini harus memiliki himpunan penyelesaian yang sama. Sehingga
kedua persamaan tersebut dikatakan ekivalen.
Jika salah satu persamaan dari sistem dikalikan dengan suatu bilangan real
bukan nol, maka hal ini tidak berpengaruh pada himpunan penyelesaian dan sistem
yang baru akan ekivalen dengan sistem awal.
Contoh:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3
−2𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = 1
2𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 6
Dan
−2𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = 1
Definisi 2:
Suatu sistem dikatakan memiliki bentuk segitiga jika koefisien-koefisien dari k-1
peubah yang pertama dalam persamaan ke-k semuanya nol dan koefisien dari xk adalah
bukan nol (k = 1, 2, ... ,n).
Contoh:
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1
𝑥2 − 𝑥3 = 2
2𝑥3 = 4
Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut!
Penyelesaian:
Sistem persamaan diatas memiliki bentuk segitiga, karena koefisien-koefisien dalam
persamaan kedua masing-masing adalah 0, 1, -1, dan koefisien-koefisien dalam
persamaan ketiga masing-masing adalah 0, 0, 2. Karena berbentuk segitiga, sistem ini
mudah untuk diselesaikan. Dari persamaan ketiga diperoleh:
2𝑥3 = 4
𝑥3 = 2
Kemudian substitusikan nilai 𝑥3 = 2 ke persamaan 2 sehinga diperoleh:
𝑥2 − 𝑥3 = 2
𝑥2 − 2 = 2
𝑥2 = 2 + 2
𝑥2 = 4
Aljabar Linear 1
2
Substitusikan kembali nilai 𝑥3 = 2 dan 𝑥2 = 4 ke persamaan 1 sehingga diperoleh:
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1
3𝑥1 + 2(4) + 2 = 1
3𝑥1 + 8 + 2 = 1
3𝑥1 = 1 − 10
3𝑥1 = −9
𝑥1 = −3
Jadi himpunan dari sistem persamaan diatas adalah (-3, 4, 2).
Sembarang sistem sigitiga n x n dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti
dalam contoh. Pertama persamaan ke-n diselesaikan untuk mendapatkan nilai xn. Nilai
ini digunakan dalam persamaan ke n-1 untuk mendapatkan nilai xn-1. Nilai-nilai xn dan
xn-1 digunakan dalam persamaan ke n-2 untuk mendapatkan nilai xn-2, dan seterusnya.
Metedo menyelesaikan sistem segitiga ini disebut Substitusi Balik (backsubstitution).
Latihan:
1. Analisis apakah persamaan-persamaan berikut ekivalent atau tidak? Jelaskan!
a. 𝑥1 + 𝑥2 = 4
3𝑥1 − 3𝑥2 = 6
𝑥1 − 𝑥2 = 2
2𝑥1 + 2𝑥2 = 8
b. 𝑥1 − 2𝑥2 = 5
𝑥1 − 2𝑥2 = 5
3𝑥1 + 𝑥2 = 1
12𝑥1 + 4𝑥2 = 4
c. 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 1
6𝑥1 − 3𝑥2 + 3𝑥3 = 9
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 3
4𝑥1 + 8𝑥2 − 4𝑥3 = 4
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 7
2𝑥1 + 4𝑥2 + 9𝑥3 = 14
d. 3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 0
−2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 2
−2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 2
4𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = −2
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = −1
6𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 0
Aljabar Linear 1
3
2. Gunakan cara substitusi balik untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut:
a. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 8
2𝑥2 + 𝑥3 = 5
3𝑥3 = 9
b. 2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = 1
𝑥2 − 2𝑥3 + 3𝑥4 = 2
4𝑥3 + 3𝑥4 = 3
4𝑥4 = 4
c. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 5
2𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥5 = 1
4𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 = 1
𝑥4 − 3𝑥5 = 0
2𝑥5 = 2
Penyelesaian:
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
Aljabar Linear 1
4
B. Aljabar Matriks
1. Pengertian
a. Matriks
Yaitu kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi
atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom.
𝑎
𝐴= 1
𝑎2
𝑏1
𝑏2
𝑐1
𝑐2
𝑎1
𝐵 = 𝑎2
𝑎3
dan
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑐1
𝑐2
𝑐3
b. Baris
Yaitu bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar / horizontal dalam
matriks.
𝐴 = 𝑎1
𝑏1
𝑐1
c. Kolom
Yaitu bagian susunan bilangan yang dituliskan tegak / vertikal dalam matriks.
𝑎1
𝑎
𝐴= 2
𝑎3
d. Elemen / unsur
Yaitu bilangan – bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu.
𝑎1
𝐵 = 𝑎2
𝑎3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑐1
𝑐2
𝑐3
Pada matriks B diatas, elemen/unsurnya yaitu 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , 𝑐1 , 𝑐2 , dan 𝑐3
e. Ordo
Yaitu banyak baris dikali banyak kolom pada sebuah matriks.
𝑎1
𝐴 = 𝑎2
𝑎3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑐1
𝑐2
𝑐3
𝑎1
𝐵 = 𝑎2
𝑎3
Ordo : 3 x 3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
ordo : 3 x 2
𝑨𝒎 𝐱 𝒏
dengan :
A = sebuah matriks
m = jumlah baris pada matriks
n = jumlah kolom pada matriks
Aljabar Linear 1
5
2. Macam – macam Matriks:
a. Matriks Persegi
Yaitu matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom (berordo n x n).
𝑎 𝑐
𝐴=
matriks A berordo 2 x 2 / berordo 2
𝑏 𝑑
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑
𝑒 𝑓
𝐵=
matriks B berordo 3 x 3 / berordo 3
𝑔 𝑕 𝑖
b. Matrks Baris
Yaitu matriks yang hanya memiliki satu baris dan memuat n elemen.
(berordo 1 x n).
𝐴 = 𝑎1
𝑎2
………
𝑎𝑛
c. Matriks Kolom
Yaitu matriks yang hanya memiliki satu kolom dan memuat m elemen.
(berordo m x 1).
𝑎1
𝑎2
𝐴= ⋮
⋮
𝑎𝑚
d. Matriks Skalar
Yaitu matriks yang hanya memuat satu unsur.
𝐴= 𝑎
e. Matriks Sama
Yaitu matriks yang berordo sama dan unsur yang seletak sama.
𝐴=
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
dan
𝐵=
𝑎
𝑐
𝑏
, maka A = B
𝑑
f. Matriks Satuan / Identitas
Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur pada diagonal utama bernilai 1 dan
unsur lainnya bernilai 0 (nol).
1 0
𝐴=
0 1
1 0 0
𝐵= 0 1 0
0 0 1
Aljabar Linear 1
6
g. Matriks Segitiga atas
Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur dibawah diagonal utama semuanya
bernilai 0 (nol).
𝑎1
𝐵= 0
0
𝑏1
𝑏2
0
𝑐1
𝑐2
𝑐3
h. Batriks Segitiga bawah
Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur diatas diagonal utama semuanya bernilai
0 (nol).
𝑎1
𝐵 = 𝑎2
𝑎3
0
𝑏2
𝑏3
0
0
𝑐3
i. Matriks Diagonal
Yaitu matriks persegi yang semua unsur-unsurnya bernilai 0 (nol) kecuali unsurunsur yang terletak pada diagonal utama.
𝑎1
𝐴= 0
0
0
𝑏2
0
0
0
𝑐3
j. Matriks Transpos
Yaitu matriks baru yang dihasilkan dari pertukaran baris-baris menjadi kolomkolom atau sebaliknya.
𝑎1
𝐵 = 𝑎2
𝑎3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑎1
𝐵𝑡 = 𝑏
1
𝑎2
𝑏2
𝑎3
𝑏3
k. Matriks Simetris
Yaitu matriks yang jika A = At.
𝑎1
𝐴 = 𝑎2
𝑎3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑐1
𝑐2
𝑐3
𝑎1
𝐴 = 𝑎2
𝑎3
𝑡
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑐1
𝑐2
𝑐3
l. Matriks Nol
Yaitu matriks yang semua unsur-unsurnya bernilai 0 (nol).
𝐴= 0
0 0 =∅
0 0
𝐴= 0 0
0 0
0
0 =∅
0
Aljabar Linear 1
7
m. Matriks Konyugat
Yaitu matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengganti tiap elemen dengan
konyugantnya (sekawannya).
𝐴=
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑎
𝑖
𝑎 − 𝑏𝑖
𝐴=
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎
−𝑖
𝑎 + 𝑏𝑖
Teorema:
Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks memadai sehingga dapat
dilakukannya operasi yang ditunjukkan, maka aturan-aturan berikut akan sahih:
a. 𝐴 + ∅ = 𝐴
b. 𝐴 − 𝐴 = ∅
c. ∅ − 𝐴 = −𝐴
d. 𝐴 x ∅ = ∅
e. ∅ x 𝐴 = ∅
3. Operasi pada Matriks
a. Sifat-sifat pada Penjumlahan Matriks
Jika A, B, dan C merupakan matriks yang berordo sama, dan k, l adalah skalar
dengan k, l ϵ R, maka penjumlahan dan perkalian skalar dengan matriks
memenuhi sifat berikut:
a) A + B = B + A
Bukti:
Ambil sembarang matriks A, B ϵ Mmxn yaitu:
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎
𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝐴 = ⋮21
dimana 𝑎11 , 𝑎12 , … , 𝑎𝑚𝑛 𝜖 𝑅
⋮
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛
𝑏
𝑏22 … 𝑏2𝑛
𝐵 = 21
dimana 𝑏11 , 𝑏12 , … , 𝑏𝑚𝑛 𝜖 𝑅
⋮
⋮
⋮
𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 … 𝑏𝑚𝑛
Maka:
𝑎11
𝑎
𝐴 + 𝐵 = 21
⋮
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
… 𝑎1𝑛
𝑏11
… 𝑎2𝑛
𝑏21
⋮ + ⋮
𝑏𝑚1
… 𝑎𝑚𝑛
𝑏12
𝑏22
⋮
𝑏𝑚2
… 𝑏1𝑛
… 𝑏2𝑛
⋮
𝑏
…
𝑚𝑛
Aljabar Linear 1
8
𝑎11 + 𝑏11
𝑎21 + 𝑏21
𝐴+𝐵 =
⋮
𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1
𝑎12 + 𝑏12
𝑎22 + 𝑏22
⋮
𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2
… 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛
… 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛
⋮
… 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛
𝑏11 + 𝑎11
𝑏 + 𝑎21
𝐵 + 𝐴 = 21
⋮
𝑏𝑚1 + 𝑎𝑚1
𝑏12 + 𝑎12
𝑏22 + 𝑎22
⋮
𝑏𝑚2 + 𝑎𝑚2
… 𝑏1𝑛 + 𝑎1𝑛
… 𝑏2𝑛 + 𝑎2𝑛
⋮
… 𝑏𝑚𝑛 + 𝑎𝑚𝑛
𝑏11
𝑏
𝐵 + 𝐴 = 21
⋮
𝑏𝑚1
… 𝑏1𝑛
𝑎11
𝑎
… 𝑏2𝑛
+ 21
⋮
⋮
𝑎
𝑚1
… 𝑏𝑚𝑛
𝑏12
𝑏22
⋮
𝑏𝑚2
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋮
𝑎
…
𝑚𝑛
𝐴+𝐵 =𝐵+𝐴
b) (A + B) + C = A + (B + C)
Bukti:
Ambil sembarang matriks A, B, dan C ϵ Mmxn, yaitu:
𝑎11 … 𝑎1𝑛
⋮ dimana 𝑎11 , 𝑎12 , … , 𝑎𝑚𝑛 𝜖 𝑅
𝐴= ⋮
𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛
𝑏11
𝐵= ⋮
𝑏𝑚1
…
𝑐11
𝐶= ⋮
𝑐𝑚1
…
…
…
𝑏1𝑛
⋮ dimana 𝑏11 , 𝑏12 , … , 𝑏𝑚𝑛 𝜖 𝑅
𝑏𝑚𝑛
𝑐1𝑛
⋮ dimana 𝑐11 , 𝑐12 , … , 𝑐𝑚𝑛 𝜖 𝑅
𝑐𝑚𝑛
Maka:
𝐴+𝐵 +𝐶 =
𝑎11
⋮
𝑎𝑚1
…
…
𝑎11 + 𝑏11
𝐴+𝐵 +𝐶 =
⋮
𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1
𝑎1𝑛
𝑏11
⋮ + ⋮
𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑚1
…
…
𝑎11 + 𝑏11 + 𝑐11
𝐴+𝐵 +𝐶 =
⋮
𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 + 𝑐𝑚1
𝑎11
𝐴+𝐵 +𝐶 = ⋮
𝑎𝑚1
…
…
…
…
𝑏1𝑛
⋮
𝑏𝑚𝑛
𝑐11
𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛
+ ⋮
⋮
𝑐𝑚1
𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛
…
…
𝑐11
+ ⋮
𝑐𝑚1
…
…
…
…
𝑐1𝑛
⋮
𝑐𝑚𝑛
𝑐1𝑛
⋮
𝑐𝑚𝑛
𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛 + 𝑐1𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛 + 𝑐𝑚𝑛
𝑎1𝑛
𝑏11 + 𝑐11
⋮ +
⋮
𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑚1 + 𝑐𝑚1
…
…
𝑏1𝑛 + 𝑐1𝑛
⋮
𝑏𝑚𝑛 + 𝑐𝑚𝑛
Aljabar Linear 1
9
𝑎11
𝐴+𝐵 +𝐶 = ⋮
𝑎𝑚1
…
𝑎1𝑛
⋮ +
𝑎𝑚𝑛
…
𝑏11
⋮
𝑏𝑚1
…
…
𝑐11
𝑏1𝑛
⋮ + ⋮
𝑐𝑚1
𝑏𝑚𝑛
…
…
𝑐1𝑛
⋮
𝑐𝑚𝑛
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)
c) (k + l) A = kA + lA
Bukti:
Ambil sembarang matriks A ϵ Mmxn dan bilangan real (k,l)
𝑎11 … 𝑎1𝑛
⋮ dimana 𝑎11 , 𝑎12 , … , 𝑎𝑚𝑛 𝜖 𝑅
𝐴= ⋮
𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛
Maka:
𝑎11
𝑘 + 𝑙 𝐴 = (𝑘 + 𝑙) ⋮
𝑎𝑚1
…
(𝑘 + 𝑙)𝑎11
⋮
(𝑘 + 𝑙)𝑎𝑚1
…
𝑘+𝑙 𝐴=
…
𝑘𝑎11
𝑘+𝑙 𝐴=
⋮
𝑘𝑎𝑚1
…
𝑎11
𝑘+𝑙 𝐴=𝑘 ⋮
𝑎𝑚1
…
…
…
(𝑘 + 𝑙)𝑎1𝑛
⋮
(𝑘 + 𝑙)𝑎𝑚𝑛
…
𝑘𝑎11 + 𝑙𝑎11
𝑘+𝑙 𝐴=
⋮
𝑘𝑎𝑚1 + 𝑙𝑎𝑚1
𝑎1𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛
…
…
𝑘𝑎1𝑛 + 𝑙1𝑛
⋮
𝑘𝑎𝑚𝑛 + 𝑙𝑚𝑛
𝑘𝑎1𝑛
𝑙𝑎11
+ ⋮
⋮
𝑘𝑎𝑚𝑛
𝑙𝑎𝑚1
…
𝑎1𝑛
𝑎11
⋮ +𝑙 ⋮
𝑎𝑚𝑛
𝑎𝑚1
…
…
…
𝑙𝑎1𝑛
⋮
𝑙𝑎𝑚𝑛
𝑎1𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛
𝑘 + 𝑙 𝐴 = 𝑘𝐴 + 𝑙𝐴
d) k (A + B) = kA + kB
Bukti:
Ambil sembarang matriks A, B ϵ Mmxn dan k bilangan Real, yaitu:
𝑎11 … 𝑎1𝑛
⋮ dimana 𝑎11 , 𝑎12 , … , 𝑎𝑚𝑛 𝜖 𝑅
𝐴= ⋮
𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛
𝐵=
𝑏11
⋮
𝑏𝑚1
…
…
𝑏1𝑛
⋮ dimana 𝑏11 , 𝑏12 , … , 𝑏𝑚𝑛 𝜖 𝑅
𝑏𝑚𝑛
Aljabar Linear 1
10
Maka:
𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘
𝑎11
⋮
𝑎𝑚1
…
𝑎1𝑛
𝑏11
⋮ + ⋮
𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑚1
…
𝑎11 + 𝑏11
𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘
⋮
𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1
…
…
𝑘(𝑎11 + 𝑏11 )
𝑘(𝐴 + 𝐵) =
⋮
𝑘(𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 )
𝑘(𝐴 + 𝐵) =
𝑘𝑎11 + 𝑘𝑏11
⋮
𝑘𝑎𝑚1 + 𝑘𝑏𝑚1
𝑘𝑎11
𝑘(𝐴 + 𝐵) =
⋮
𝑘𝑎𝑚1
…
𝑎11
𝑘 𝐴+𝐵 =𝑘 ⋮
𝑎𝑚1
…
…
…
…
…
…
…
𝑘𝑎1𝑛
⋮
𝑘𝑎𝑚𝑛
…
𝑏1𝑛
⋮
𝑏𝑚𝑛
…
𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛
𝑘(𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛 )
⋮
𝑘(𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛 )
𝑘𝑎1𝑛 + 𝑘𝑏1𝑛
⋮
𝑘𝑎𝑚𝑛 + 𝑘𝑏𝑚𝑛
𝑘𝑏11
⋮
𝑘𝑏𝑚1
…
𝑘𝑏1𝑛
⋮
𝑘𝑏𝑚𝑛
…
𝑎1𝑛
𝑏11
⋮ +𝑘 ⋮
𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑚1
…
…
𝑏1𝑛
⋮
𝑏𝑚𝑛
𝑘 𝐴 + 𝐵 = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵
b. Jika matriks A, B, dan C adalah matriks-matriks yang memadai untuk
dilakukannya perkalian matriks, maka memenuhi sifat-sifat berikut:
a) (AB)C = A(BC)
b) (A + B) C = AC + BC
c) A (B + C) = AB + AC
4. Transpos Matriks
Definisi:
Jika A adalah sembarang matriks m x n, maka transpos A dinyatakan dengan At
adalah matriks n x m yang kolom pertamanya sama dengan baris pertama matriks
A, kolom kedua sama dengan baris kedua matriks A, dan seterusnya.
Aljabar Linear 1
11
Contoh:
1. Tentukan transpos dari matriks berikut!
𝐴=
2 3
1 0
4
5
Penyelesaian:
Diketahui matriks 𝐴 =
2 3
1 0
4
, maka transposnya yaitu:
5
2 1
𝐴 = 3 0
4 5
𝑡
Definisi:
Jika A matriks berordo n x n dan A = At, maka A disebut Matriks Simetris.
Contoh:
1 2
1 2
,
maka
𝐴𝑡 =
2 1
2 1
2 −5 8
2 −5 8
𝑡
𝐵 = −5 4 7 ,
maka
𝐴 = −5 4 7
8
7 0
8
7 0
𝐴=
Teorema:
a) (At)t = A
b) (A + B)t = At + Bt, jika A, B ϵ Mmxn
c) (kA)t = kAt, dengan sembarang skalar k ϵ R
d) (AB)t = BtAt, jika A matriks m x n dan B matriks n x r
5. Invers Matriks
Definisi:
Jika A adalah matriks persegi, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB =
BA = I, maka dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A.
(A-1 = B)
Aljabar Linear 1
12
a) Matriks Singular
Yaitu matriks persegi yang tidak mempunyai invers.
b) Matriks Non-Singular
Yaitu matriks persegi yang mempunyai invers.
Contoh:
Apakah matriks berikut saling invers?
1
−
2 4
1. 𝐴 =
dengan 𝐵 = 310
3 1
10
2. 𝐴 =
3
5
1
−5
2 −5
3 5
dengan 𝐵 =
1 2
1 3
Penyelesaian:
1
2 4 − 10
1. 𝐴 x 𝐵 =
3
3 1
10
1
𝐴x𝐵 =
0
3
5
1
−5
2
5
8
5
𝐴x𝐵 ≠𝐼
Jadi, matriks A dan B tidak saling invers.
3
1
1
𝐴x𝐵 =
0
2. 𝐴 x 𝐵 =
5
2
0
1
2 −5
1 3
𝐴x𝐵 =𝐼
2 −5 3 5
1 3 1 2
1 0
𝐵x𝐴=
0 1
𝐵x𝐴=
𝐵x𝐴=𝐼
Jadi, matriks A dan B saling invers.
Aljabar Linear 1
13
Latihan:
1. Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut!
4
𝐵= 1
0
3 2
−1 0
5 1
𝐶= 2 5
4
1
𝐷= 2
3
2 3
0 5
5 1
𝐸= 4
2. Carilah invers dari masing-masing matriks berikut (jika ada) !
−1
0
1
b. 𝐴 =
−1
a. 𝐴 =
0
2
1
1
Penyelesaian:
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
Aljabar Linear 1
14
C. Sistem Persaman Linear
1. Pendahuluan
a. Sebuah persamaan linear dengan n peubah dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏
b. Sistem persamaan linear dengan n peubah dan m persamaan linear dapat
dituliskan sebagai berikut:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
:
:
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
c. Diagram penyelesaian Sistem Persamaan Linear :
SPL
Memiliki Solusi
(Konsisten)
Tunggal
Tidak Memiliki Solusi
(Tidak Konsisten)
Banyak
Solusi
d. Untuk menyelesaikan suatu SPL dapat digunakan metode sebagai berikut:
1) Metode Eliminasi
Yaitu menghilangkan atau mengeliminasi salah satu peubah dengan cara
menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lain.
2) Metode Substitusi
Yaitu mengganti atau mensubstitusi suatu peubah berdasarkan nilai peubah
tersebut pada persamaan yang lain.
Aljabar Linear 1
15
Contoh:
Diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut:
x + 2y = 1
2x – y = 7
Tentukan solusinya dengan:
a. Metode Eliminasi
b. Metode Substitusi
Penyelesaian:
a. Metode Eliminasi
𝑥 + 2𝑦 = 1 x 2 2𝑥 + 4𝑦 = 2
2𝑥 − 𝑦 = 7 x 1 2𝑥 − 𝑦 = 7
5𝑦 = −5
𝑦 = −1
𝑥 + 2𝑦 = 1 x 1 𝑥 + 2𝑦 = 1
2𝑥 − 𝑦 = 7 x 2 4𝑥 − 2𝑦 = 14
5𝑥 = 15
𝑥=3
Jadi himpunan penyelesaiannya (HP) = {3, -1}
b. Metode Substitusi
𝑥 + 2𝑦 = 1 ..... (1)
𝑥 = 1 − 2𝑦 ..... (2)
2𝑥 − 𝑦 = 7 ..... (3)
Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (3) :
2𝑥 − 𝑦 = 7
2(1 − 2𝑦 ) − 𝑦 = 7
2 − 4𝑦 − 𝑦 = 7
2 − 5𝑦 = 7
−5𝑦 = 5
𝑦 = −1 ..... (4)
Aljabar Linear 1
16
Substitusikan persamaan (4) ke persaman (2) :
𝑥 = 1 − 2𝑦
𝑥 = 1 − 2(−1)
𝑥 =1+2
𝑥=3
Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) = {3,-1}
2. Eliminasi Gauss – Jordan
Yaitu suatu metode untuk menentukan solusi suatu persamaan linear dengan cara
mengubah suatu SPL dalam bentuk persamaan matriks kemudian mereduksi
matriks yang bersesuaian dengan SPL tersebut menjadi bentuk Matriks Eselon
Tereduksi.
Matriks Eselon Tereduksi adalah matriks yang memenuhi 4 syarat, yaitu:
a. Bilangan tak nol pertama dan setiap baris adalah 1 ( 1 utama).
b. Kolom yang memuat 1 utama hanya memuat nol di tempat lainnya.
c. 1 utama pada baris yang lebih bawah terletak lebih kanan dari pada baris
diatasnya.
d. Bila terdapar baris nol maka letaknya pada baris bagian bawah matriks.
Untuk mendapatkan bentuk Eselon baris tereduksi diperlukan Operasi Baris
Elementer (OBE) yang terdiri dari 3 operasi, yaitu:
a. Mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta k ≠ 0.
b. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.
c. Mempertukarkan 2 buah baris.
Contoh:
Diketahui SPL sebagai berikut:
𝑥+𝑦+𝑧=6
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
Selesaikan SPL tersebut dengan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)!
Aljabar Linear 1
17
Penyelesaian:
𝐴. 𝑥 = 𝑏
1
2
1
1
1 𝑥
6
1 −1 𝑦 = 1
−1 2 𝑧
5
Matriks diperbesar:
1 1
1 6
𝐴 𝑏 = 2 1 −1 1
1 −1 2 5
𝑥
1 1
1 6
𝑦 = 2 1 −1 1 ≈ −2𝑏1 + 𝑏2
𝑧
1 −1 2 5 ≈ −𝑏1 + 𝑏3
𝑥
1 1
1 6
𝑦 = 0 −1 −3 −11 ≈ −𝑏2
𝑧
0 −2 1 −1
𝑥
1 1 1 6 ≈ −𝑏2 + 𝑏1
𝑦 = 0 1 3 11
𝑧
0 −2 1 −1 ≈ 2𝑏2 + 𝑏3
𝑥
1 0
𝑦 = 0 1
𝑧
0 0
𝑥
1
𝑦 = 0
𝑧
0
𝑥
1
𝑦 = 0
𝑧
0
𝑥
1
𝑦 = 2
𝑧
3
0
1
0
−2 −5
3 11
1
7 21 ≈ 𝑏3
7
−2 −5 ≈ 2𝑏3 + 𝑏1
3 11 −3𝑏3 + 𝑏2
1 3
0
1
0
01
02
13
Jadi, Himpunan penyelesaiaannya (HP) = {1,2,3}
Catatan:
a. SPL memiliki solusi tunggal jika banyaknya 1 utama pada matriks eselon baris
tereduksi = banyaknya variabel.
b. SPL memiliki solusi tak hingga jika n (1 utama) < n (variabel).
c. SPL tidak memiliki solusi jika pada matriks eselon baris tereduksi terdapat 1
utama pada kolom paling kanan.
Aljabar Linear 1
18
3. SPL Homogen
Yaitu bentuk khusus dari SPL 𝐴𝑋 = 𝑏 adalah bentuk khusus untuk 𝑏 = 𝜃 (nol) atau
bisa dituliskan sebagai 𝐴𝑋 = 𝜃 .
Solusi SPL Homogen :
a. Trivial
Yaitu bila SPL Homogen hanya memiliki 𝑋 = 𝜃 sebagai satu-satunya solusi.
b. Tak Trivial
Yaitu bila SPL Homogen memiliki solusi selain 𝑋 = 𝜃.
Contoh:
Tentukan solusi SPL Homogen dengan matriks koefisien!
2 −1 1
𝐴 = 1 1 −1
4 1 −1
Penyelesaian:
𝐴. 𝑋 = 𝜃
2
1
4
−1 1 𝑥1
0
𝑥
=
1 −1 2
0
1 −1 𝑥3
0
Matriks diperbesar:
2 −1 1 0
𝐴 𝑏 = 1 1 −1 0
4 1 −1 0
𝑥1
2 −1 1 0
𝑥2 = 1 1 −1 0 tukar baris ke-1 dengan baris ke-2
𝑥3
4 1 −1 0
𝑥1
1 1 −1 0
𝑥2 = 2 −1 1 0 ≈ −2𝑏1 + 𝑏2
𝑥3
4 1 −1 0 ≈ −4𝑏1 + 𝑏3
𝑥1
1 1 −1 0
1
𝑥2 = 0 −3 3 0 ≈ − 𝑏2
3
𝑥3
0 −3 3 0
𝑥1
1 1 −1 0 ≈ −𝑏2 + 𝑏1
𝑥2 = 0 1 −1 0
𝑥3
0 −3 3 0 ≈ 3𝑏2 + 𝑏3
Aljabar Linear 1
19
𝑥1
1 0
𝑥2 = 0 1
𝑥3
0 0
0 0
−1 0
0 0
Di dapat:
𝑥1 = 0
Maka:
𝑥2 − 𝑥3 = 0
𝑥1 = 0
𝑥2 = 𝑥3
𝑥2 = 𝑎
Misal:
𝑥3 = 0
𝑥1 = 𝑎 , 𝑎 𝜖 𝑅
Jadi, solusi SPL tak trivial.
Latihan:
1. Diketahui SPL sebagai berikut:
𝑥+𝑦+𝑧=1
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2
𝑥 − 2𝑧 = 1
Tentukan solusinya dengan metode campuran eliminasi dan substitusi!
2. Diketahui SPL sebagai berikut:
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥+𝑦−𝑧=3
4𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 8
Tentukan solusi untuk SPL tersebut dengan EGJ!
3. Diketahui SPL dalam bentuk matrik sebagai berikut:
3
2
1
𝑤
2
−2
1 1
𝑥
=
2
3
4 2
𝑦
0 −3 −1 𝑧
−5
Tentukan solusi untuk SPL tersebut dengan EGJ!
4. Diketahui SPL dalam bentuk matrik sebagai berikut:
2 3 1 𝑥1
−2
1 2 1 𝑥2 = 0
3 2 1 𝑥3
2
Tentukan solusi untuk SPL tersebut dengan EGJ!
Aljabar Linear 1
20
5. Diketahui SPL dalam bentuk matrik sebagai berikut:
3
1
4 𝑥
−2
−1 2
3 𝑦 = 1
1 −3 −2 𝑧
−4
Tentukan solusi untuk SPL tersebut dengan EGJ!
6. Diketahui SPL sebagai berikut:
𝑥−𝑦+𝑧=2
−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 3
𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 5
Tentukan solusi untuk SPL tersebut dengan EGJ!
3
7. Diketahui matriks 𝐴 = 2
1
2 2
2 3 . Tentukan solusi SPL Homogen tersebut dengan
2 4
matriks koefisien!
Penyelesaian :
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
Aljabar Linear 1
21
BAB II
DETERMINAN
A. Pengertian Determinan
Definisi:
Determinan merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada matriks persegi.
Determinan A didefinisikan sebagai jumlah hasil kali elementer bertanda dari Anxn
yang berbentuk:
𝑎1𝑗 1 , 𝑎2𝑗 2 … … 𝑎𝑛𝑗𝑛
dengan 𝑗1, 𝑗2, … … , 𝑗𝑛 merupakan permutasi dari himpunan {1,2,.... n)
Hasil kali elementer 𝑎1𝑗 1 , 𝑎2𝑗 2 … … 𝑎𝑛𝑗𝑛 akan bertanda positif jika banyaknya invers
(bilangan bulat kecil yang didahului oleh bilangan bulat lebih besar pada permutasi)
adalah genap. Sedangkan 𝑎1𝑗 1 , 𝑎2𝑗 2 … … 𝑎𝑛𝑗𝑛 bertanda negatif jika banyaknya invers
adalah ganjil.
Determinan Anxn dinotasikan dengan:
𝑎11 𝑎12 …
𝑎21 𝑎22 …
det 𝐴 = 𝐴 = 𝐴 =
⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 …
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛
Contoh:
𝑎11
Hitunglah determinan dari:𝐴 = 𝑎
21
𝑎12
𝑎22
Penyelesaian:
Permutasi
Hasil Kali Elementer
Banyak Invers
(1,2)
𝑎11 dan 𝑎12
0
(2,1)
𝑎12 dan 𝑎21
1
Tanda
det 𝐴 = 𝐴 = 𝐴 = 𝑎11 . 𝑎22 − 𝑎12 . 𝑎21
Aljabar Linear 1
22
B. Metode Perhitungan Determinan
1. Metode Ekspansi Kofaktor
a. Ekspansi Kofaktor sepanjang baris i
𝐴 = 𝑎𝑖1 𝑀𝑖1 − 𝑎𝑖2 𝑀𝑖1 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑀𝑖𝑛 dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
b. Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom j
𝐴 = 𝑎1𝑗 𝑀1𝑗 − 𝑎2𝑗 𝑀2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝑀𝑛𝑗 dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
Mij (Minor elemen i, j) yaitu determinan matriks A yang sudah dihilangkn baris ke-i
dan kolom ke-j nya. Pemilihan baris ke-i dan kolom ke-j bebas.
Tanda (+) atau (-) di depan aij.Mij didasarkan pada:
1) Jika i + j ϵ genap, maka tanda (+).
2) Jika i + j ϵ ganjil, maka tanda (-).
Contoh:
2 3
Hitunglah determinan dari matriks 𝐴 = 3 2
1 2
4
3 dengan ekspansi kofaktor baris
2
dan kolom!
Penyelesaian:
a. Ekspansi Kofaktor baris ke-2:
2
𝐴= 3
1
3 4
2 3
2 2
3 4
2 4
2 3
𝐴 = −3
+2
−3
2 2
1 2
1 2
𝐴 = −3 6 − 8 + 2 4 − 4 − 3(4 − 3)
𝐴 = −3 −2 + 2 0 − 3(1)
𝐴 = 6+0−3
𝐴 =3
b. Ekspansi Kofaktor kolom ke-3:
2
𝐴= 3
1
3
2
2
3
𝐴 =4
1
4
3
2
2 3
2
2 3
−3
+2
3 2
2
1 2
𝐴 = 4 6 − 2 − 3 4 − 3 + 2(4 − 9)
Aljabar Linear 1
23
𝐴 = 4 4 − 3 1 + 2(−5)
𝐴 = 16 − 3 − 10
𝐴 =3
2. Metode Reduksi Baris
Bila A adalah matriks segitiga atau berukuran n x n
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
0 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝐴=
⋮
⋮
⋮
𝑎
0
0
…
𝑚𝑛
Maka 𝐴 yang dihitung dengan mengunakan ekspansi sepanjang kolom ke-1 akan
diperoleh:
𝐴 = 𝑎11 𝑎12 … 𝑎𝑛𝑛
Metode reduksi baris memiliki prinsip mengubah bentuk matriks menjadi matriks
segitiga atas dengan melakukan OBE (Operas Baris Elementer). OBE pada matriks
akan mempengaruhi nilai determinan untuk operasi:
1) Jika menukarkan dua baris maka determinannya bernilai (-). Untuk
mengembalikan determinan ke nilai semua, kalikan determinan matriks dengan
(-1).
2) Jika suatu baris dikali k ≠ 0 maka nilai determinan menjadi k kali determinan
1
semula. Agar nilai determinan tetap, maka kalikan determinan dengan 𝑘 .
Contoh:
2
Hitunglah determinan untuk matriks 𝐴 = 3
1
3 4
2 3
2 2
Penyelesaian:
2 3
𝐴= 3 2
1 2
4
3 menukar baris 1 dengan baris 3.
2
2 3
𝐴= 3 2
1 2
4
1 2
3 = (−1) 3 2
2
2 3
2
3 ≈ −3𝑏1 + 𝑏2
4 ≈ −2𝑏1 + 𝑏3
Aljabar Linear 1
24
2 3
𝐴= 3 2
1 2
4
1 2
2
1
=
(−1)
3
0 −4 −3 ≈ − 𝑏2
4
2
0 −1 0
2 3
𝐴= 3 2
1 2
1 2
2
4
3
3 = −1 (−4) 0 1
4
2
0 −1 0
2 3
𝐴= 3 2
1 2
1
4
3 =4 0
2
0
2
𝐴= 3
1
2
𝐴= 3
1
4
3
3 = 4(1 x 1 x )
4
2
4
3 =3
2
3
2
2
3
2
2
2
1
2
3
4
3
−1
4
C. Sifat-sifat Determinan
1. Jika Anxn matriks diagonal maka 𝐴 adalah perkalian elemen pada diagonal
utamanya.
𝑎
𝐴3x3 = 0
0
0
𝑏
0
0
0 → 𝐴 = 𝑎. 𝑏. 𝑐
𝑐
2. Jika Anxn matriks segitiga atas / bawah maka 𝐴 adalah perkalian elemen pada
diagonal utamanya.
𝑎
𝐴3x3 = 0
0
𝑏
𝑑
0
𝑐
𝑒 → 𝐴 = 𝑎. 𝑑. 𝑓
𝑓
3. Jika ada baris / kolom dari Anxn yang semua elemennya nol, maka 𝐴 = 0.
𝐴3x3
𝑎
= 0
𝑑
𝑏
0
𝑒
𝑐
0 → 𝐴 =0
𝑓
4. Jika ada 2 baris / 2 kolom / kelipatannya pada Anxn , maka 𝐴 = 0.
1 2
𝐴3x3 = 0 4
1 2
𝐴3x3 =
3
1 → 𝐴 =0
3
1 2 3
→ 𝐴 =0
2 0 6
−1 5 −3 ≈ 𝑘3 = 3𝑘1
Aljabar Linear 1
25
𝐴3x3 =
1
2 3
2
4 6 𝑏2 = 2𝑏1 → 𝐴 = 0
−1 −1 2
5. 𝐴𝑡 = 𝐴
6. 𝐴𝐵 = 𝐴 𝐵
7. Jika suatu baris pada Anxn dikali dengan 𝑘 𝜖 𝑅 maka determinan matriks barunya
𝑘𝐴
8. Jika Anxn maka 𝑘𝐴 = 𝑘 𝑛 𝐴
9. Apabila dua buah baris suatu matriks dipertukarkan maka 𝐴1 = 𝐴 .
Latihan :
2
1. Hitunglah determinan dari matriks𝐴 = 1
3
2
0
2
0
1
2
3
2
3
2
1 dengan ekspansi kofaktor
2
3
baris dan kolom!
Penyelesaian:
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
Aljabar Linear 1
26
BAB III
INVERS MATRIKS
A. Pengertian Invers Matriks
Definisi:
Bila A adalah matriks persegi berukuran n x n yang memiliki determinan tidak sama
dengan nol, maka invers matriks A (dinotasikan dengan A-1) didefinisikan sebagai
matriks yang memenuhi persamaan:
AA-1 = A-1A = I
Dengan I = matriks identitas berukuran n x n.
Invers suatu matriks adalah tunggal.
Apabila 𝐴 = 0 maka A tidak mempunyai invers.
Contoh:
3
Tentukan invers dari matriks 𝐴 = 0
2
0 1
2 1 !
5 3
Penyelesaian:
3 0 11 0
𝐴𝐼 = 0 2 10 1
2 5 30 0
1
0 ≈ 3 𝑏1
0
1
1 0
𝐴𝐼 = 0 2
2 5
1
1
3 3 0
1 0 1
3 0 0
1
𝐴𝐼 =
1 0
0 2
0 5
𝐴𝐼 =
1 0 13 13
0 1 12 0
0 5 7 3 −2 3
0
0
1 ≈ −2𝑏1 + 𝑏3
1
3
3 0
1
0
1
7 −2
3
3 0
0
1
2
0
0
1
0 ≈ 𝑏2
2
1
0
0
1
≈ −5𝑏2 + 𝑏3
Aljabar Linear 1
27
1
𝐴𝐼 =
𝐴𝐼 =
1
0
3
1
0
0 1 12
2
1
5
2
0 0 − 6− 3 − 2
1 0
1 0
1
0 1
0 0
1
3
1
3
2 0
1 4
3
0
1
2
15
0
0
1
≈ −6𝑏3
1
≈ − 𝑏3 + 𝑏1
3
1
0 ≈− 𝑏 +𝑏
2
2 3
−6
0
1 0 0 −1 −5 2
𝐴 𝐼 = 0 1 0 −2 −7 3
0 0 1 4 15 −6
𝐴 𝐼 = 𝐼 𝐴−1
−1 −5 2
Jadi, 𝐴−1 = −2 −7 3
4 15 −6
B. Matriks Adjoint
Matriks Adjoint didefinisikan sebagai matriks Cij transpos dengan Cij adalah kofaktor
elemen i,j.
Invers matriks A memiliki rumusan:
𝐴−1 =
1
𝐴𝑑𝑗(𝐴)
𝐴
𝐴−1 =
1
𝐴𝑑𝑗(𝐶𝑖𝑗 )
𝐴
Dengan Cij = (-1)i+j.Mij
Contoh:
3 0 1
Dengan mengunakan Adjoint matriks, tentukan invers dari 𝐴 = 0 2 1
2 5 3
Penyelesaian:
𝐶11 = (−1)1+1
𝐶12 = (−1)1+2
𝐶13 = (−1)1+3
𝐶21 = (−1)2+1
2
5
0
2
0
2
0
5
1
3
1
3
2
5
1
3
= 6−5 =1
= −(0 − 2) = 2
= 0 − 4 = −4
= −(0 − 5) = 5
Aljabar Linear 1
28
𝐶22 = (−1)2+2
𝐶23 = (−1)2+3
𝐶31 = (−1)3+1
𝐶32 = (−1)3+2
𝐶33 = (−1)3+3
3
2
3
2
0
2
3
0
3
0
1
3
0
5
1
1
1
1
0
2
1
Didapat 𝐶𝑖𝑗 = 5
−2
1
Dan 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = 2
−4
2 1
Maka 𝐴 = 3
5 3
1
Sehingga 𝐴−1 = −1
=9−2=7
= − 15 − 0 = −15
= 0 − 2 = −2
= −(3 − 0) = −3
=6−0=6
2
−4 𝑡
7 −15
−3
6
5
−2
7
−3
−15 6
0 2
+1
= 3 6 − 5 + 0 − 4 = −1
2 5
1
5
−2
−1 −5 2
2
7
−3 = −2 −7 3
−4 −15 6
4 15 −6
C. Sifat –sifat Invers Matriks
1. (AB)-1 = B-1.A-1
2. (A-1)-1 = A
3. A-1.A = I
Menentukan solusi SPL dengan menggunakan invers matriks, pandang persamaan:
A.x = b , dengan A-1 ada
A.A-1.x = A-1.b
I.x = A-1.b
x = A-1.b
Aljabar Linear 1
29
Jika Anxn dan memiliki invers A-1, maka:
1. Jika B adalah matriks A-1 yang kolom baris ke-i dan ke-j dipertukarkan maka B-1
adalah A-1 yang kolom ke-i dan ke-j juga dipertukarkan.
2. Jika C adalah matriks A yang baris ke-i dikali k, maka C-1 adalah A-1 yang kolom
1
ke-i dikali 𝑘 .
Contoh:
1. Tentukan solusi SPL berikut dengan persamaan Ax = b!
3
0
2
0 1 𝑥
2
𝑦
= 3
2 1
5 3 𝑧
4
Penyelesaian:
−1 −5 2
Dari perhitungan sebelumnya diperoleh 𝐴−1 = −2 −7 3 sehingga:
4 15 −6
𝑥
𝑦 = 𝐴−1 𝑏
𝑧
𝑥
−1 −5 2 2
𝑦 = −2 −7 3 3
𝑧
4 15 −6 4
𝑥
−2 − 15 + 8
𝑦 = −4 − 21 + 12
𝑧
8 + 45 − 24
𝑥
−9
𝑦 = 13
𝑧
29
Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) = {-9,13,29}
2. Tentukan invers dari matriks-matriks berikut!
3 0
𝐴= 0 2
2 5
1
1
3
Penyelesaian:
3 0
𝐴= 0 2
2 5
1
−1 −5
1 → 𝐴−1 = −2 −7
3
4 15
2
3
−6
Aljabar Linear 1
30
D. Hubungan Invers Matriks, Determinan, dan Solusi SPL
Pada suatu SPL Ax = b dengan A matriks persegi, terdapat hubungan antara
keberadaan 𝐴−1 , 𝐴 , dan jenis solusi SPLnya, yaitu:
1. A-1 ada jika dan hanya jika 𝐴 ≠ 0, maka SPL memiliki solusi tungal.
2. A-1 tidak ada jika dan hanya jika 𝐴 = 0, maka SPL memiliki solusi tak hingga,
solusi banyak, dan tidak ada solusi.
Latihan:
1. Tentukan invers dari matriks-matriks berikut:
3 0
𝐵= 2 5
0 2
1
3
dan
𝐶
=
3
0
1
2
0
4
5
1
2. Tentukan invers matriks 𝐴 = 0
2
1
2
3
4
2
3
2
1 dengan menggunakan:
2
a. Eliminasi Gauss-Jordan
b. Matriks Adjoint
3. Tentukan solusi SPL berikut:
2
2
1
1 2 𝑥
3
𝑦
= 2
3 1
1 0 𝑧
1
Penyelesaian:
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
Aljabar Linear 1
31