ii tinjauan pustaka

II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Sistem Persamaan Diferensial
Definisi 1 (Sistem Persamaan Diferensial Linear)
Persamaan diferensial orde-1 yang dinyatakan sebagai
(2.1)
dengan a(t) dan
adalah fungsi dari waktu t disebut persamaan diferensial
linear. Bila a(t) = A adalah suatu matriks berukuran n × n dengan koefisien
konstan dan
dinyatakan sebagai vektor konstan b maka diperoleh bentuk
(2.2)
disebut sistem persamaan diferensial linear.
(Farlow 1994)
Definisi 2 (Sistem Persamaan Diferensial Taklinear)
Sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai
(2.3)
dengan
Jika F(t,x) fungsi taklinear pada
, maka sistem ini disebut sebagai
sistem persamaan diferensial taklinear dan jika F linear maka sistem persamaan
diferensial (2.3) disebut linear.
(Braun 1983)
Definisi 3 (Sistem Persamaan Diferensial Mandiri)
Perhatikan sistem persamaan diferensial (SPD) linear dengan dua persamaan
dan dua variabel x dan y berikut:
(2.4)
dengan F dan G adalah fungsi kontinu dari x dan y, dengan turunan parsial
pertama kontinu, dengan laju perubahan x dan y dinyatakan dengan fungsi
eksplisit dari x dan y sendiri dan tidak mengandung t di dalamnya. Sistem
6
persamaan diferensial di atas disebut sebagai sistem persamaan diferensial
mandiri (autonomous).
(Farlow 1994)
2.2 Titik Tetap
Definisi 4 (Titik Tetap)
Diberikan sistem persamaan diferensial mandiri
(2.5)
. Suatu titik x* yang memenuhi F(x*) = 0 disebut titik tetap atau
dengan
titik kritis atau titik kesetimbangan dari sistem (2.5).
(Keshet 1988)
Definisi 5 (Titik Tetap Stabil)
Titik x* adalah titik tetap sebuah sistem persamaan diferensial dan x(t)
adalah solusi yang memenuhi kondisi awal x(0) =
Titik x*
, di mana
dikatakan titik tetap stabil jika terdapat
yang memenuhi sifat berikut:
untuk setiap
, sedemikian sehingga jika
,
terdapat
maka
untuk setiap t > 0.
(Verhulst 1990)
Definisi 6 (Titik Tetap Takstabil)
Misalkan
adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan x(t) adalah sebuah
solusi SPD mandiri dengan nilai awal x(0) =
dengan
Titik
dikatakan titik tetap takstabil jika terdapat radius
> 0 dengan ciri sebagai
berikut: untuk sebarang r > 0 terdapat posisi awal
memenuhi
berakibat solusi x(t) memenuhi
,
, untuk paling sedikit satu t > 0.
(Verhulst 1990)
2.3 Pelinearan Sistem Persamaan Taklinear
Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial taklinear dilakukan melalui
pelinearan. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial taklinear:
(2.6)
dengan
tetap
Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik
, maka persamaan (2.6) dapat ditulis sebagai berikut:
7
+
(2.7)
Persamaan (2.7) merupakan sistem persamaan diferensial taklinear dengan
adalah matriks Jacobi, yang dapat ditulis sebagai
(2.8)
dan
adalah suku berorde tinggi yang bersifat
Selanjutnya
pada persamaan (2.8) disebut pelinearan dari sistem taklinear persamaan (2.7)
dan ditulis dalam bentuk:
.
(2.9)
(Tu 1994)
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Jika A adalah matriks n × n, maka sebuah vektor taknol x di dalam
disebut vektor eigen dari A, jika Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x; yaitu:
Ax = λx ,
untuk suatu skalar λ. Skalar
disebut nilai eigen dari A, dan x disebut sebagai
vektor eigen dari A terkait dengan
matriks
(2.10)
Untuk memperoleh nilai eigen dari sebuah
persamaan (2.10) dapat ditulis kembali sebagai:
(A−λI) x = 0,
(2.11)
dengan I matriks identitas. Persamaan (2.11) mempunyai solusi taknol jika dan
hanya jika
(2.12)
Persamaan (2.12) disebut persamaan karakteristik dari matriks A.
(Anton 2000)
2.5 Kestabilan Titik Tetap
Analisis kestabilan di setiap titik tetap adalah sebagai berikut:
1. Sistem
adalah stabil jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari A
bernilai negatif.
2. Sistem
adalah tidak stabil jika dan hanya jika minimal satu nilai eigen
dari A bernilai taknegatif.
(Borelli dan Coleman 1998)
8
2.6 Bilangan Reproduksi Dasar (R o )
Bilangan reproduksi dasar ditulis R o adalah nilai harapan terjadinya infeksi
per satuan waktu. Infeksi ini terjadi pada suatu populasi yang seluruhnya rentan
yang dihasilkan oleh satu jenis individu yang sudah terinfeksi.
(Diekmann dan Heesterbeek 2000)
Kondisi yang akan timbul, yaitu:
1. Jika R o <1, jumlah pengguna narkoba akan semakin berkurang dan pada saat
tertentu akan menjadi tidak ada.
2. Jika R o >1, jumlah pengguna narkoba akan semakin bertambah sehingga
penyebaran narkoba dapat terjadi.