Peningkatan Efisiensi Waktu Eksekusi intruksi

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 5. No. 2, 97 - 106, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
EKSISTENSI PENGENDALI SUBOPTIMAL H 
Widowati
Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Semarang
Abstrak
Dikemukakan masalah pengendali (controller) suboptimal H  ,
yaitu mencari pengendali yang diperkenankan sehingga kinerja
dari obyek terkendali (sistem lup tertutup) sesuai dengan yang
diharapkan.
Pembahasan diawali dengan gambaran singkat
mengenai persamaan Riccati aljabar, kemudian dikaji syarat perlu
dan cukup untuk eksistensi pengendali suboptimal H  .
Selanjutnya, verifikasi dari kinerja pengendali yang diperoleh
dilakukan dengan mengaplikasikannya pada struktur fleksibel
untuk meredam vibrasi.
Kata Kunci : Pengendali suboptimal H  , lup terbuka, lup tertutup.
1. PENDAHULUAN
Salah satu ukuran kinerja terkenal di dalam teori kendali (control) optimal
adalah norm H  yang didefinisikan pada domain frekuensi  . Masalah kendali
optimal H  adalah menentukan semua pengendali yang diperkenankan sehingga
norm
Tzw

dari
H
fungsi
alih
tertutupnya
( Tzw

)
minimal,
dengan
: sup  [Tzw ( j )] ( : nilai singular terbesar) [1,4]. Suatu Pengendali
 
dikatakan
diperkenankan
(admissible),
jika
pengendali
tersebut
dapat
menstabilkan plant secara internal. Pengendali optimal H  secara umum tidak
tunggal untuk sistem multi-input-multi-output (MIMO), dan secara numerik
perhitungannya sangat sulit [2]. Karena itu dalam praktek biasanya tidak perlu dan
bahkan kadang-kadang desain (perancangan) pengendali optimal H  tersebut
tidak diinginkan [7], dan umumnya lebih mudah jika mendapatkan pengendali
97
Eksistensi Pengendali … (Widowati)
__________________________________________________________________
yang sangat dekat dengan pengertian optimal diatas [6], yang disebut pengendali
sub optimal H  .
Di dalam makalah ini dibahas, eksistensi dari pengendali suboptimal H  ,
dengan sistematika pembahasan sebagai berikut : Persamaan Riccati dan beberapa
Lemma yang digunakan sebagai landasan teori kendali suboptimal diberikan pada
bagian 2. Pada bagian 3 ditelaah syarat perlu dan cukup untuk eksistensi
pengendali tersebut. Pada bagian 4 diberikan simulasi dari aplikasi pengendali
suboptimal H  untuk meredam (mereduksi) vibrasi pada struktur fleksibel
berorde 30, dengan menggunakan program MATLAB. Terakhir diberikan
kesimpulan dari hasil pembahasan.
2. PERSAMAAN RICCATI
Misalkan A, Q, R matriks real n x n dengan Q dan R simetris. Maka
persamaan Riccati aljabar adalah persamaan matriks berikut
A* X  XA  XRX  Q  0 .
Bersesuaian dengan persamaan Riccati aljabar tersebut adalah matriks
Hamiltonian 2n x 2n ,
R 
 A
.
H : 
*
 Q  A 
Asumsikan H tidak mempunyai nilai eigen di sumbu imajiner, maka H harus
mempunyai sebanyak n nilai eigen di e( s )  0 dan sebanyak n nilai eigen di
e( s )  0 . Misalkan X  (H ) subruang spektral invarian [3] berdemensi n, yang
bersesuaian dengan nilai eigen di e( s )  0 , sedangkan X  (H ) adalah subruang
invarian yang bersesuaian dengan nilai eigen di e( s )  0 . Bentuk vektor basis
untuk X  (H ) dalam matriks, dan matriks tersebut dipartisi, diperoleh
X 
X  ( H )  Im 1  ,
X 2 
98
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 5. No. 2, 97 - 106, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
dimana X 1 , X 2
. Jika X 1 nonsingular atau ekuivalen dengan dua subruang
0 
X  (H ) dan X  (H )  Im   saling komplemen, dapat dibentuk X  X 2 X 11 .
1
Maka X ditentukan secara tunggal oleh H (yaitu, H  X adalah fungsi, yang
dinotasikan dengan Ric. Lebih lanjut, domain Ric dinotasikan dengan dom(Ric),
terdiri dari matriks Hamilton H dengan dua sifat, yaitu H tidak mempunyai nilai
0 
eigen pada sumbu imajiner dan dua buah subruang X  (H ) , Im   saling
1 
komplemen yang biasa disebut sifat stabilizing dan komplementari. Solusi ini
disebut
solusi
yang
menstabilkan.
Oleh
karena
itu
X=Ric(H)
dan
Ric : dom( Ric )  R 2nx2n  R nxn .
 A  B
Lemma 2.1. Misalkan   0, G( s)     dan


 C  D 
 A  BR 1 D *C

BR 1 B *
, dengan R   2 I  D * D .
H  *
1 *
1 *
*
 C ( I  DR D )C  ( A  BR D C ) 
Maka pernyataan berikut ekuivalen :
1.
G

 .
2. H  dom(Ric ) dan Ric ( H )  0 ( Ric ( H )  0 jika(C , A)terobservasi ).
3. Terdapat X  0 sehingga
X ( A  BR 1 D *C )  ( A  BR 1 D *C ) * X  XBR 1 B * X  C * ( I  DR 1 D * )C  0
.
dan
A  BR 1 D *C  BR 1 B * X
tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu
imajiner.
Lemma 2.2. Terdapat pengendali yang diperkenankan berorde r sehingga
Tzw

  hanya jika tiga kondisi berikut dipenuhi :
1. Terdapat Y1 > 0 sehingga AY1  Y1* A  Y1C1*C1*Y1 /  2  B1 B1*   2 B2 B2*  0.
99
Eksistensi Pengendali … (Widowati)
__________________________________________________________________
2. Terdapat X1 > 0 sehingga X 1 A  A* X 1  X 1 B1 B1* X 1 /  2  B1 B1*   2C2*C2  0.
X /
3.  1
 In
In 
X /
 0, rank  1

Y1 /  
 In
In 
 n  r.
Y1 /  
Teorema 2.1. Misalkan R  0 dan andaiakan (A, R) terkendali (terkontrol) dan
terdapat X=X* sehingga Q( X )  XA  A* X  XRX  Q  0, maka terdapat solusi
X+>0 untuk persamaan Riccati X+A+A*X++X+RX++Q=0 sehingga A+RX+
antistabil.
3. PENGENDALI SUBOPTIMAL H 
Pada bagian ini dikaji syarat perlu dan cukup untuk eksistensi pengendali
suboptimal H  .
Untuk itu diberikan beberapa asumsi dari realisasi matriks
transfer G(s) yang ditulis dalam bentuk
 A  B1
  
G (s)  
 C1 
0

C 2  D21
B2 
 
D12 

0 
Asumsi yang dibuat adalah sebagai berikut
1. ( A, B1 ) adalah terkontrol dan (C1 , A) adalah terobservasi;
2. ( A, B2 ) adalah stabilisabel dan (C2 , A) adalah terdeteksi;
3. D12* C1
D12   0 I  ;
 B  * 0
4.  1  D21
  ;
I 
 D21 
100
(1)
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 5. No. 2, 97 - 106, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
Dua asumsi tambahan yang diberikan secara implisit untuk realisasi G(s) adalah
D11=0 dan D22=0. Bentuk dasar dari sistem kendali yang dibahas dalam tulisan ini
adalah seperti pada Gambar 3.1. Dimana G (s ) adalah plant yang diperumum,
G (s ) mempunyai dua buah input, yaitu input dari luar (exogenous input) w
misalnya berupa gangguan (disturbance) dan input kendali u. G (s ) juga
mempunyai dua buah output yaitu output yang diukur y dan
dibangun (regulated output) z. K (s ) adalah pengendali
output yang
yang didesain
(dirancang), diasumsikan real rasional dan proper. Suatu fungsi transfer G(s)
disebut proper jika lim G ( s ) ada.
s 
Teorema 3.1.
Terdapat pengendali yang diperkenankan (admissible) sehingga Tzw

  jika
dan hanya jika tiga kondisi berikut dipenuhi
 A
 2 B1 B1*  B2 B2* 
1. H   dom( Ric ) dan X   Ric ( H  )  0 , H   
.
*
*

C
C

A
 1 1

 A*
 2 C1C1*  C2*C2 
2. J   dom( Ric ) dan Y  Ric ( J  )  0 , J   
.
*
A
 B1 B1

3.  ( X Y )   2 .
Jika ketiga kondisi ini dipenuhi, salah satu pengendalinya adalah
^
 A
K subopt ( s )   

 F


  Z  L 
   ,


0 

^
dengan A  A   2 B1 B1* X   B2 F  Z  L C2 ,
F  B2* X  , L  Y C2* , Z   ( I   2Y X  ) 1
101
Eksistensi Pengendali … (Widowati)
__________________________________________________________________
Bukti :
()
Terapkan Teorema 2.1 untuk bagian (1) dari Lemma 2.2, dapat disimpulkan
bahwa Y  Y1  0 sehingga AY  Y * A  Y C1*C1Y /  2  B1 B1*   2 B2 B2*  0 dan
A  C1*C1Y /  2 antistabil.
X    2Y 1 . Karena   0 dan Y 1  0 sehingga X   0 . Melalui
Misalkan
perhitungan
dapat
diperoleh
X  A  A* X   X  ( B1 B1*  2  B2 B2* ) X   C1*C1  0 dan
A  ( B1 B1*  2  B2 B2* ) X    X 1 ( A*  C1*C1 X 1 ) X    X 1 ( A*  C1*C1Y  2 ) X 
stabil. Karena X  solusi dari persamaan Riccati dan ( A, B1 B1*  2  B2 B2* ) stabil,
maka X  solusi yang menstabilkan. Karena X  diperoleh dari setiap anggota
domain Riccati tunggal, maka
X   Ric ( H  )  0. Dengan cara yang sama
terapkan Teorema 2.1. untuk bagian (2) dari Lemma 2.2., diperoleh bahwa
terdapat Y >0 sedemikian sehingga J   dom( Ric ) dan Y  Ric ( J  )  0 .
Terakhir dari Lemma 2.2. bagian (3) diperoleh,
Y1
In  X 


1 
I

X
 In
 
 n
Karena
I n  X1 

Y    I n
In 
 0.
Y1  
Y1
In 
 0 dan Y1  0 maka

1 
 I n X  
complements
X 1   1Y ,
sehingga
berdasarkan
Lemma
schur
I   2Y X   0, jadi ( I   2Y X  )
mempunyai invers. Definisikan Yt  ( I   2Y X  ) 1 Y .
Selanjutnya dengan menggunakan sifat-sifat dari radius spektral, diperoleh
 ( X Y )   ( X Yt ( I   2 X Yt ) 1 )

 2  ( 2 X Yt )
 ( 2 X Yt )
2


 2.
1   ( 2 X Yt )
1   ( 2 X Yt )
102
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 5. No. 2, 97 - 106, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
()
 ^

 A    Z  L 
Misalkan K subopt ( s)      maka fungsi transfer lup tertutup


0 
 F 


dengan K subopt diberikan oleh
Tzw
A


Z L C
   2
 

C1

B2 F
^
A

D12 F

  Ac  Bc 
  Z  L D21  
      .

 
 C c  Dc 

0



 2Y 1
Didefinisikan P   2 * 1 1
  ( Z  ) Y
B1
  2Y1 Z 1 
.
 2Y1 Z 1 
Karena Y >0 dan Z  >0, maka dengan menggunakan kriteria Sylvester, di dapat
P > 0. P memenuhi persamaan PAc  Ac* P  PBc Bc* P  2  C c*C c  0 dan
 A  B1 B1*Y1
Ac  Bc B P   
0

*
c
2
B2 F  B1 B1*Y1 Z 1 

A  B1 B1*Y1  2  B2 F 
tidak
mempunyai
nilai eigen pada sumbu imajiner, karena A  B1 B1* X   2  B2 F stabil dan
A  B1 B1*Y1 antistabil. Jadi, menurut Lemma 2.1., diperoleh Tzw

 .
4. HASIL SIMULASI
Sebagai verifikasi dari kinerja pengendali suboptimal H  , pengendali
tersebut diaplikasikan pada struktur fleksibel. Pandang model dinamik dari
struktur fleksibel [5], yang ditulis dalam bentuk persamaan differensial orde dua
sebagai berikut :
M p x0 (t )  C p x 0 (t )  K p x0 (t )  d p z(t )  b p f (t )  0
(2)
x 0 adalah vektor keadaan, M p , C p , dan K p masing-masing adalah matriks
inersia, redaman dan kekakuan dari struktur. d p adalah vektor ganguan untuk
percepatan eksitasi z dan b p adalah matriks input untuk gaya kendali
f .
103
Eksistensi Pengendali … (Widowati)
__________________________________________________________________
Pengendali dirancang untuk meminimisasi peaks fungsi alih lup terbuka pada
mode pertama dan kedua. Untuk tujuan ini, diterapkan fungsi bobot high-pass
filter orde 4. Persamaan keadaan (state) dari fungsi bobot tersebut adalah
s 4  4 l  l s 3  2(2 l2  1) l2 s 2  4 l  l3 s   l4
,
WH  Lev 4
s  4 h h s 3  2(2 h2  1) h2 s 2  4 h h3 s   h4
(3)
dengan s adalah operator Laplace, Lev=90,  l  6 ,  l  0.6,  h  36 dan
 h  0.6. Dengan menggabungkan persamaan (2) dan (3) serta menggunakan
transformasi [5,6] diperoleh realisasi matriks transfer G(s) seperti pada persamaan
(1), yang merupakan plant berorde 30. Yang dimaksud dengan orde disini adalah
banyaknya variable keadaan. Selanjutnya dengan menggunakan program
MATLAB, dirancang pengendali suboptimal H  , K(s), dan diaplikasikan pada
plant semula sehingga diperoleh sistem lup tertutup.
Untuk menguji performansi (kinerja) pengendali suboptimal H  , sistem lup
tertutup dan lup terbuka diberi gangguan berupa sinyal fungsi impulsa, yang
104
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 5. No. 2, 97 - 106, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
mengakibatkan terjadinya pergerakan dari sistem (struktur fleksibel) dalam arah
transversal dan torsional. Respon frekuensi lup terbuka (tanpa pengendali) dan
lup tertutup (dengan pengendali) diberikan pada Gambar 4.1.
Dari Gambar
tersebut, terlihat bahwa pengendali dapat mereduksi (meminimisasi) mode
pertama kurang lebih 15 dB dan mode kedua kurang lebih 8 dB. Pada Gambar
4.2a dan Gambar 4.2b diberikan respon impulsa dari pergerakan dalam arah
transversal dan torsional, dari sini terlihat performansi (kinerja) pengendali dalam
meredam vibrasi dari struktur fleksibel, dalam waktu sekitar 1 detik, sistem tidak
bergetar lagi (sudah stabil). Hal ini berbeda dengan sistem lup terbuka (tanpa
pengendali) yang masih terus bergetar dalam waktu yang cukup lama.
5. KESIMPULAN
Dari hasil pembahasan, dapat disimpulkan bahwa syarat perlu dan cukup
untuk eksistensi pengendali suboptimal H  adalah solusi yang menstabilkan dari
dua persamaan Riccati aljabar adalah definit positif dan radius spektral dari
perkalian dua solusi tersebut kurang dari  2 ,   0.
Pengendali suboptimal H  , yang diperoleh dapat diaplikasikan ke struktur
fleksibel dan mempunyai performansi (kinerja) yang baik dalam meredam vibrasi
(getaran).
6. UCAPAN TERIMA KASIH
Terima kasih kami ucapkan pada Prof. S. M. Nababan dan Dr. Roberd
Saragih yang telah meluangkan waktunya untuk berdiskusi, memberikan saran
dan masukan pada penulis.
105
Eksistensi Pengendali … (Widowati)
__________________________________________________________________
DAFTAR PUSTAKA
1. Colaneri, P, Geromel, J. C, Locatelli, A, Control Theory and Design : An
RH 2 and RH  Viewpoint, Academic Press, 1997.
2. Doyle, J. C, Glover, K, Khargoneker, P, and Francis, B. A, State Space
Solutions to Standard H 2 and H  Control Problem, IEEE Trans, Automatic
Control, 1989, Vol. 34.
3. Francis, B. A, A Course in H  Control Theory, Springer-Verlag Berlin
Heidelberg, NewYork, 1987.
4. Green, M and Limebeer, D. J. N, Linear Robust Control, Prentice-hall Inc,
1995.
5. Saragih R. and Yoshida K, Reduced Order Controller of Transverse-Torsional
Coupled Vibration Based on Linear Matrix Inequalities, Journal of Vibration
and Control, Sage Publications Inc, 1999, 5 : 907-923.
6. Widowati dan Saragih R, Perancangan Pengontrol Berorde Minimum Melalui
Reduksi Orde Plant, Majalah Ilmiah Himpunan Matematika Indonesia, 2001,
7 : 2.
7. Zhou K and Doyle, J. C, Essentials of Robust Control, Prentice-Hall Inc,
1998.
106