ANALISIS VEKTOR [Compatibility Mode]

ANALISIS VEKTOR
Vektor dan Skalar
Macam-macam kuantitas dalam fisika seperti:
Macamtemperatur, volume, dan kelajuan dapat
ditentukan dengan angka riil (nyata).
Kuantitas seperti disebut dengan skalar.
Kuantitas yang lain seperti gaya, kecepatan, dan
momentum memiliki
memiliki spesifikasi arah dan besar.
Kuantitas seperti
seperti itu disebut vektor.
Vektor dan Skalar
Sebuah vektor direpresentasikan (dinyatakan)
dengan sebuah anak panah atau bagian garis
berarah yang mengindikasikan arahnya.
arahnya.
Besar vektor ditentukan dengan panjang dari
anak panah, menggunakan satuan yang tepat
(sesuai)..
(sesuai)
Lambang dan notasi Vektor
Vektor ditulis v dengan huruf cetak tebal
seperti A atau A
r
Besarnya ditunjukkan dengan A atau A.
Vektor digambarkan dengan anak panah.
panah.
Ekor anak panah menunjukkan posisi titik
tangkap sedangkan ujung anak panah
menunjukkan titik terminal
terminal..
Penggambaran Vektor
Terminal
A
Titik Tangkap
Definisi
Kesamaan vektor
A=B
A
B
Vektor yang berlawanan
A=-B
A
B=-A
B
Definisi
Perkalian vektor dengan skalar
mA vektor
A
C
C = 3A
Definisi
Penjumlahan vektor
C = A + B VEKTOR
A
B
B
C=A+B
A
A
C=A+B
B
Definisi
Pengurangan vektor
D = A - B = A + ((-B) VEKTOR
-B
B
D=A-B
A
A
-B
D=A-B
A
Definisi
Vektor satuan
a=A/A
a=A
/A (hanya penentu arah, besarnya
1 satuan)
Sehingga suatu vektor biasa ditulis sbg :
A = Aa
Aa
Hukum Aljabar Vektor
1.
2.
3.
4.
5.
Jika A, B, C adalah vektor dan m, n
adalah skalar.
A+B=B+A Komutatif Penjumlahan
A+(B+C)=(A+B)+C Asosiatif
penjumlahan
m(nA
m(n
A)=mn(
)=mn(A
A)=n(m
)=n(mA
A) Asosiatif
perkalian skalar
(m+n)A
(m+n)
A =mA
=mA+nA
+nA Distributif
m(
m(A+B
A+B)) =mA
=mA+mB Distributif
Komponen sebuah Vektor
A = A1i + A2j + A3k
z
A1i = komponen vektor A
dalam arah sumbusumbu-x
A2j = komponen vektor A
dalam arah sumbusumbu-y
A3k = komponen vektor A
dalam arah sumbusumbu-z
x
A
A3k
k
A1i
i
j
A2j
y
Penjumlahan Vektor
A = A1i + A2j + A3k
B = B1i + B2j + B3k
C = A + B = (A1i + A2j + A3k) + (B1i + B2j + B3k)
C = A + B = (A1+B1)i + (A2+B2)j + (A3+B3)k
C = A - B = (A1i + A2j + A3k) - (B1i + B2j + B3k)
C = A - B = (A1-B1)i + (A2-B2)j + (A3-B3)k
Cara menyatakan vektor dalam
komponen--komponennya
komponen
y
(7,4)
A = ???
A
(2,2)
(0,0)
x
Cara menyatakan vektor dalam
komponen--komponennya
komponen
y
(7,4)
A
(2,2)
r
r0
(0,0)
r = r0 + A
A = r - r0
x
Cara menyatakan vektor dalam
komponen--komponennya
komponen
y
A = (7i + 4j)-(2i +2j)
(7,4)
A
(2,2)
r
r0
(0,0)
A = (5i + 2j)
atau
A = (5,2)
A = (7,4) – (2,2)
x
Jadi vektor A dapat ditentukan dengan cara mengurangkan
koordinat terminal dengan koordinat titik tangkap.
tangkap.
Contoh
Nyatakan dalam komponen-komponennya, sebah vektor C
yang titik tangkapnya di (-1,2) dan terminalnya (4,3)
Jawab
C = (4,3) – (-1,2) = (5,1)
= 5i + j
Penjumlahan vektor secara analitis
sama dengan secara grafis
y
(4,4)
A
(6,2)
B
(0,0)
x
Penjumlahan vektor secara analitis
sama dengan secara grafis
y
(10,6)
B
(4,4)
C=A+B
C
C = (10,6)-(0,0) = (10,6)
A
(6,2)
B
(0,0)
x
Secara analitis
A = 4 i + 4j
B = 6i + 2 j
C = A + B = (4
(4i + 4j) + (6
(6i + 2j) = 10i + 6j
Sama !!!
Perkalian Vektor dengan
skalar
A = A1i + A2j + A3k
B = B1i + B2j + B3k
D = 3A = 3(A1i + A2j + A3k)
Besar Vektor
Teorema Phytagoras :
z
(OP)2 = (OQ)2 + (QP)2
P
tapi
A
(OQ)2 = (OR)2 + (RQ)2
A3k
Sehingga
(OP)2 = (OR)2 + (RQ)2 + (QP)2
Atau
A2
2
2
= A1 + A2 + A3
A=
A12 + A22 + A32
O
y
R
2
atau
A1i
x
A2j
Q
Contoh soal
Diketahui r1= 2i+
i+4
4j-5k dan r2 = i+2
i+2j+3
j+3k
a. Tentukan resultan vektor r1 dan r2
b. Tentukan vektor satuan dalam arah resultan vektor tersebut
Jawab :
a. R = r1+r2 =(2i+
i+4
4j-5k) + (i+
(i+2
2j+3
j+3k) = 3i + 6j – 2k
b. R = (3i + 6 j − 2k ) = 9 + 36 + 4 =
R
3i + 6 j − 2 k
r =
=
R
7
Cek besar vektor satuan, |r| = 1
49 = 7
Perkalian Titik
(Dot Product)
Dot poduct antara A dan B
Atau perkalian skalar didefinisikan :
A . B = AB cos θ
θ Adalah sudut terkecil yang diapit A dan B
Secara fisis dot product adalah proyeksi suatu
vektor terhadap vektor lainnya, sehingga
sudut yang diambil adalah sudut yang terkecil
Perkalian Titik
(Dot Product)
A . B = (A
A1i + A2j + A3k).(B1i + B2j + B3k)
= (A
A1i ).(B1i + B2j + B3k) + (A
A2j).(B1i + B2j + B3k)
+ (A
A3k).(B1i + B2j + B3k)
= A1B1(i.i) + A1B2(i.j
(i.j) + A1B3(i.k
(i.k)
+ A2B1(j.i) + A2B2(j.j) + A2B3(j.k)
+ A3B1(k.i) + A3B2(k.j) +A3B3(k.k)
A.B = A1B1 + A2B2 + A3B3
i.i = i i cos 0o =1
i. j = j.i = i j cos 90o = 0
j. j = j j cos 0 o =1
j.k = k . j = j k cos 90o = 0
k .k = k k cos 0o =1
i.k = k .i = k i cos 90o = 0
Contoh dot product dalam Fisika
F
θ
F
θ
S
W = FS cos θ =
F
F.S
W = usaha
θ
F = Vektor gaya
S
S = Vektor perpindahan
Contoh dot product dalam Fisika
nA
nA
B
B
θ
θ
φ = BA cos θ =
B.A
φ = Fluks magnetik
B = Medan magnetik
A = arah bidang
Catatan :
Bidang adalah vektor memiliki
luas dan arah. Arah bidang
adalah arah normal bidang di
suatu titik.
Normal = tegak lurus
Perkalian Silang
(Cross Product)
Cross poduct antara A dan B
Atau perkalian vektor didefinisikan :
A x B = AB sin θ u
θ Adalah sudut terkecil yang diapit A dan B
Hasil perkalian silang antara vektor A dan vektor B adalah
sebuah vektor C yang arahnya tegak lurus bidang yang
memuat vektor A dan B, sedemikian rupa sehingga A, B,
dan C membentuk sistem tangan kanan (sistem skrup)
Perkalian Silang
(Cross Product)
Perkalian Silang
(Cross Product)
B
C
θ
B
A
θ
-C
A
C=AxB
-C = B x A
Tidak memenuhi hukum komutatif perkalian
Pada sistem koordinat tegak lurus
i×i =0
j× j =0
k ×k =0
i× j =k
j ×k =i
k ×i = j
j ×i =− k
k× j =−i
i×k =− j
j
k
i
Perkalian silang
(Cross Product)
A x B = (A
A1i + A2j + A3k) x (B1i + B2j + B3k)
= (A
A1i )x(B1i + B2j + B3k) + (A
A2j)x(B1i + B2j + B3k)
+ (A
A3k)x(B1i + B2j + B3k)
= A1B1(ixi) + A1B2(ixj
(ixj) + A1B3(ixk
(ixk)
+ A2B1(jxi) + A2B2(jxj) + A2B3(jxk)
+ A3B1(kxi) + A3B2(kxj) +A3B3(kxk)
= A1B1(0) + A1B2(k) + A1B3(-j)
+ A2B1(-k) + A2B2(0) + A2B3(i)
+ A3B1(j) + A3B2(-i) +A3B3(0)
Perkalian silang
(Cross Product)
A x B = A1B1(0) + A1B2(k) + A1B3(-j)
+ A2B1(-k) + A2B2(0) + A2B3(i)
+ A3B1(j) + A3B2(-i) +A3B3(0)
A x B = (A
A1B2 - A2B1) k + (A3B1-A1B3) j
+ (A2B3 - A3B2) i
i
j
k
A × B = A1
B1
A2
B2
A3
B3
Contoh perkalian silang dalam Fisika
F
θ
r
O
r r
r r
τ = r × F = r F sin θ = r × F
Contoh Soal
Jika gaya F = 2i - j + 3k bekerja pada titik (2,-1,1),
tentukan torsi dari F terhadap titik asal koordinat
Jawab
F = 2i - j + 3k
r = (2,
(2,--1,1) – (0,0,0) = (2,
(2,--1,1) = 2i – j + k
i
j k
τ = r × F = 2 −1 1
2 −1 3
= (-3i + 2j -2k) – (-2k –i -6j) = -2i + 8j
Gerak melingkar
ω
ω
r
v
P
θ
r
v
r r r
v =ω×r
PERSAMAAN GARIS LURUS
DAN PERSAMAAN BIDANG
Definisi Garis
Dikatakan garis lurus
Dikatakan garis lengkung
Jadi apakah
apakah garis itu?
Definisi Garis
Gabungan titik2 yang
membentuk garis
lurus
Gabungan titik2 yang
membentuk garis lengkung
Garis adalah barisan titiktitik-titik secara
kontinu yang membentuk satu kesatuan
segmen ?
Definisi Garis
Sebuah garis dalam bidang atau ruang dapat
dinyatakan dalam suatu persamaan garis.
garis.
Suatu garis lurus dapat dinyatakan dalam
persamaan garis lurus. Demikian juga untuk
garis lengkung dapat dinyatakan dalam
persamaan garis lengkung
Persamaan garis lurus
y
garis
(x,y)
Q
B
(y-y0)
(x0,y0)
P
(x-x0)
A
b
r0
r
a
x
Persamaan garis lurus
Dari gambar :
B = r – r0
Karena vektor B sejajar dengan
vektor A maka perbandingan setiap
komponen vektor akan sama.
sama.
B = (xi
(xi+yj
+yj)-(x0i+y0j)
= (x(x-x0)i+(y
(y--y0)j
A = ai
ai+bj
+bj
Persamaan garis lurus
Maka
x − x0 y − y0
=
→ 2D
a
b
Disebut persamaan garis lurus simetrik
dalam dua dimensi
(x0,y0) adalah koordinat suatu titik dalam bidang
yang dilalui oleh garis, dan a,b adalah
komponen-komponen vektor arah dari garis.
Persamaan garis lurus
Jika diperluas dalam 3 Dimensi
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
→ 3D
a
b
c
Disebut persamaan garis lurus simetrik
dalam tiga dimensi
(x0,y0,zo) adalah koordinat suatu titik dalam
ruang yang dilalui oleh garis, dan a,b,c adalah
komponen-komponen vektor arah dari garis.
Persamaan garis lurus
Jika b sama dengan nol, maka persamaan
garis simetrik ditulis
x − x0 z − z0
=
, y = y0
a
c
Persamaan garis lurus
y
garis
(x,y)
Q
B
(y-y0)
(x0,y0)
P
(x-x0)
A
b
r0
r
a
x
Persamaan garis lurus
Dari gambar juga dapat dilihat :
r = r0 + B
Tetapi
B = tA
t adalah faktor pengali (skalar)
maka
r = r0 + At
Disebut
persamaan garis
r = (x0,y0) + (a,b)t
parametrik dalam
r = ix
ix0 + jy
jy0 + (a
(ai+
i+b
bj)t
j)t dua dimensi
Persamaan garis lurus
Jika diperluas dalam 3 Dimensi (Ruang)
r = r0 + At
r = (x0,y0,z0) + (a,b,c
(a,b,c)t
)t
r = ix
ix0 + jy0+ kz0+ (a
(ai+
i+b
bj+ck)t
Disebut persamaan garis parametrik
dalam dua dimensi
(x0,y0,zo) adalah koordinat suatu titik dalam
ruang yang dilalui oleh garis, dan a,b,c adalah
komponen-komponen vektor arah dari garis.
Contoh:
Cari persamaan garis lurus yang melalui titik
(2,1,5) dan titik (3,3,1)!
(3,3,1)
B
(2,1,5)
x0=2
y0=1
z0 =5
Jawab : (Persamaan garis parametrik)
Vektor arah garis ditentukan sbb :
A = (3,3,1) – (2,1,5)
= (1,2,(1,2,-4)
A = i+2j
+2j-4k
berarti : a = 1,
1, b = 2,
2, c = -4
Dan suatu titik yang dilalui garis memiliki
koordinat: (2,1,5)
Sehingga persamaan garis parametriknya:
r = (2,1,5) + (1,2,(1,2,-4)t
atau
r = 2i+j+5k
+5k+(i
+(i+2j
+2j-4k)t
Vektor titik
yang dilalui
arah
Jawab : (Persamaan garis simetrik)
karena : a = 1,
1, b = 2,
2, c = -4
Dan suatu titik yang dilalui garis memiliki
koordinat: (x0=1,y0=2,z0=5)
Maka persamaan garis simetriknya:
x − 2 y −1 z − 5
=
=
1
2
−4
Latihan Soal
1. Tentukan suatu persamaan garis lurus melalui
(3,2,1) dan sejajar dengan vektor (3i-2j+6k)!
2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui
titik (3,0-5) dan sejajar dengan garis
r =
(2,1,-5) + (0,-5,1)t !
Persamaan Bidang
Apa itu bidang ????
Persamaan Bidang
B(x,y,z)
A(x0,y0,z0)
Tinjau dua titik dalam bidang, yaitu : A dan B
Persamaan Bidang
z
N = ai+bj+ck
B(x,y,z)
A(x0,y0,z0)
y
x
Vektor AB=(B-A)=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k, yaitu
vektor yang menghubungkan titik A dan titik B
N = ai + bj + ck adalah vektor tegak lurus
bidang(disebut vektor normal bidang) yaitu
vektor yang menunjukkan arah bidang di titik A.
Lakukan dot product antara AB dan N
N—(AB) = N AB cos 90o = 0
(ai+bj+zk)—[(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k]=0
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
atau
ax+by+cz=ax0+by0+cz0
Persamaan terakhir ini disebut Persamaan
Bidang
Untuk menentukan persamaan
suatu bidang, minimal diperlukan
1. Vektor normal bidang (N
(N)
2. Suatu titik pada bidang
Atau
Diketahui 3 titik pada bidang.
N
Catatan:
1. Arah bidang di suatu titik selalu tegak lurus
terhadap bidang
2. Untuk bidang datar arah garis normal di setiap
titik adalah sejajar (satu arah bidang)
3. Untuk bidang lengkung tidak demikian
Contoh Soal:
Tentukan persamaan bidang yang mencakup 3
titik : A=(0
=(0,1,1); B=(2
=(2,1,3); C=(4
=(4,2,1)
C=(4,2,1)
B=(2,1,3)
A=(0,1,1)
Jawab
N
C=(4,2,1)
θ
A=(0,1,1)
B=(2,1,3)
AB=B-A
AB=(2,1,3)-(0,1,1)
AB=(2,0,2)
AC=C-A
AC=(4,2,1)-(0,1,1)
AC=(4,1,0)
N=AB x AC
N=(2,0,2)
i xj (4,1,0)
k
N=
2 0 2
4 1 0
N=0+8
=0+8jj+2k
+2k+0+0-2i+0
N=-2i+8j+
+8j+2
2k , maka didapat
a=-2, b=8, c=2
Lanjutan… Solusi
Tinjau titik A=(0,1,1)
sehingga x0=0; y0=1; z0=1
Dengan demikian persamaan bidang
tersebut adalah
ax+by+cz= ax0+by0+cz0
-2x+8y+2z=8+2
-2x+8y+2z=10
Latihan Soal
1.
Tentukan
persamaan bidang yang
mencakup titik (1,-1,0) dan sejajar
dengan garis :
r=(5i+j-2k)+(2i-j+k)t
Perkalian tiga vektor
(
r
r r r
r r
r r r
B C sin θ A cos φ = B × C A cos φ = A • B × C
)
Aplikasi Perkalian Skalar
Tiga Vektor
F
n
r
L
O
Komponen torsi terhadap garis L :
τ II
(
r r
= nˆ •τ = nˆ • r × F
r
)
Contoh Soal
Jika gaya F = i + 3j – k bekerja pada titik (1,1,1),
tentukan komponen torsi dari F terhadap garis
L = 3i + 2k + (2i - 2j + k)t.
)t.
Solusi:
Pertama kita tentukan vektor torsi terhadap sebuah titik
pada garis yaitu titik (3,0,2). Torsi tersebut adalah
τ = r x F dimana r adalah vektor berasal dari titik pada
garis ke titik dimana
dimana F bekerja, yaitu dari (3,0,2) ke
(1,1,1), sehingga r = (1,1,1) - (3,0,2) = (-2,1,-1).
Dengan demikian vektor torsi τ :
r r r
τ =r × F
r
i
j
k
τ = − 2 1 − 1 = 2i − 3 j − 7k
1
3 −1
Solusi....lanjutan
Solusi
....lanjutan
2i − 2 j + k
2i − 2 j + k 2 2
1
nˆ =
=
= i− j+ k
2i − 2 j + k
3 3
3
9