Logika matematika - altien jonathan rindengan

LOGIKA MATEMATIKA
LOGIKA
Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
Pendahuluan



Untuk menemukan suatu gagasan baru dari informasi
dan gagasan yang telah ada, diperlukan proses
berpikir. Proses ini dikenal dengan bernalar. Dalam
bernalar, kita memiliki argumen untuk sampai pada
suatu kesimpulan.
Kaidah-kaidah dalam logika akan mempermudah untuk
menilai apakah suatu argumen sampai pada suatu
kesimpulan adalah sah/valid atau tidak.
Pada bab ini akan dibahas beberapa terminologi dan
operasi dasar yang akan digunakan dalam logika
matematika serta beberapa cara pengambilan
keputusan yang sah.
Proposisi


Dalam mengkomunikasikan gagasan-gagasan yang
dimiliki, seseorang akan menggunakan kalimatkalimat dalam bahasa yang dipahami
pendengarnya.
Perhatikan contoh kalimat-kalimat berikut :
1. Manado terletak di Sumatera Utara.
2. Unsrit adalah perguruan tinggi swasta.
3. Peter adalah pria yang tinggi.
Proposisi ….


Dalam mengkomunikasikan gagasan-gagasan yang
dimiliki, seseorang akan menggunakan kalimatkalimat dalam bahasa yang dipahami
pendengarnya.
Perhatikan contoh kalimat-kalimat berikut :
1. Manado terletak di Sumatera Utara.
2. Unsrit adalah perguruan tinggi swasta.
3. Peter adalah pria yang tinggi.
Proposisi ….




Contoh 1 adalah kalimat yang bernilai benar
Contoh 2 bernilai salah
Contoh 3 bisa benar dan juga bisa salah.
Dalam logika matematika, harus menggunakan
kalimat yang jelas nilai kebenarannya (apakah
benar atau salah).
Proposisi ….
Definisi 2.1
Proposisi adalah suatu pernyataan yang
mempunyai dua kemungkinan nilai kebenaran yaitu
benar atau salah tetapi tidak mungkin keduanya.
Proposisi ….


Untuk penyederhanaan, dalam logika matematika
suatu proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf
kecil p, q, r, …, dst, dan digunakan notasi “:”
untuk menyatakan apa yang dimaksud dengan
lambang tersebut.
Sebagai contoh,
p : Saya belajar Teknologi Informasi.
Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran



Jika ada dua proposisi p dan q, dapat dibentuk
proposisi baru dengan menggunakan kata-kata
perangkai sebagai penghubung proposisi p dan q.
Proposisi yang dibentuk dari beberapa proposisi
dengan menggunakan kata-kata perangkai
sebagai penghubung disebut proposisi majemuk.
Ada 5 perangkai dasar untuk membentuk proposisi
majemuk dalam bentuk Tabel Kebenaran.
Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….
1. Perangkai ingkaran (negasi)



Misalkan p suatu proposisi. Ingkaran/negasi p,
dilambangkan –p (dibaca tidak p) adalah suatu
proposisi yang salah jika p benar, atau sebaliknya.
Dalam bentuk Tabel Kebenaran :
p
-p
1
0
0
1
Angka 1 menyatakan proposisi bernilai benar dan
0 bernilai salah.
Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….
Contoh 2.2
Buatlah ingkaran dari proposisi “bilangan 6 habis
dibagi 3” dan nilai kebenarannya.
Jawab
p : bilangan 6 habis dibagi 3
nilai kebenarannya 1 (benar)
-p : bilangan 6 tidak habis dibagi 3
nilai kebenarannya 0 (salah)
Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….
2. Perangkai dan (konjungsi)
 Misalkan p dan q proposisi. Proposisi “p dan q”
(konjungsi p dan q), dilambangkan p  q, bernilai
benar hanya jika kedua proposisi p dan q bernilai
benar.
p
q
pq
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….
Contoh 2.3
Lambangkan proposisi berikut “Meskipun hari ini
hujan, Pak Robby berangkat juga mengajar”.
Jawab
p : Hari ini hujan
q : Pak Robby berangkat mengajar
sehingga lambang proposisi tersebut adalah p  q
Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….
3. Perangkai atau (disjungsi)
 Misalkan p dan q proposisi. Proposisi “p dan q”
(konjungsi p dan q), dilambangkan p  q, bernilai
benar jika sekurang-kurangnya satu proposisi
penyusunnya bernilai benar.
p
q
pq
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….
Contoh 2.4
Tentukan nilai kebenaran dari proposisi berikut,
“8 habis dibagi 2 atau 7 bilangan genap”
Jawab
p : 8 habis dibagi 2
, bernilai benar
q : 7 bilangan genap
, bernilai salah
sehingga proposisi tersebut adalah p  q, bernilai
benar.
Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….
4. Perangkai jika … maka … (implikasi)


Misalkan p dan q proposisi. Proposisi “jika p maka q”
disebut proposisi bersyarat, dilambangkan p  q,
bernilai salah hanya jika p benar dan q salah.
p disebut premis/hipotesis/anteseden sedangkan q
disebut konsekuen/ kesimpulan.
p
q
pq
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….
Contoh 2.5
Buatlah proposisi implikasi dari proposisi-proposisi
berikut, dan tentukan nilai kebenarannya.
p : segitiga ABC sama sisi
q : segitiga ABC sama kaki
Jawab
pq
: jika segitiga ABC sama sisi maka segitiga
ABC sama kaki, bernilai benar, karena
semua segitiga sama sisi pasti sama kaki.
qp
: jika segitiga ABC sama kaki maka segitiga
ABC sama sisi, bernilai salah, karena tidak
semua segitiga sama kaki adalah sama sisi.
Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….



Jika proposisi bersyarat p  q diajukan sebagai proposisi
yang benar dan terdapat hubungan antara premis dan
konsekuen maka proposisi p  q dapat juga diucapkan :
p berimplikasi q
p syarat cukup bagi q
q syarat perlu bagi p
p hanya jika q
p syarat cukup bagi q artinya jika p terjadi akan berakibat
q juga terjadi. Tetapi untuk terjadinya q dapat disebabkan
oleh proposisi selain p.
q syarat perlu bagi p artinya jika q tidak terjadi akan
berakibat p juga tidak terjadi, sehingga terjadinya q mutlak
diperlukan untuk terjadinya p.
Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….
Definisi 2.2
Misalkan diberikan proposisi bersyarat p  q, maka
proposisi:
1. q  p
disebut konvers dari p  q
2. -p  -q
disebut invers dari p  q
3. -q  -p
disebut kontrapositif dari p  q
Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….


Konvers dan invers mempunyai nilai kebenaran yang
sama, demikian untuk implikasi dan kontrapositif
Proposisi yang mempunyai nilai kebenaran yang sama
disebut ekuivalen logik/setara logik.
p
q
-p
-q
pq
-q  -p
qp
-p  -q
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….
5. Perangkai … jika dan hanya jika … (biimplikasi)
Misalkan p dan q proposisi. Proposisi “p jika dan
hanya jika q” disebut proposisi dwisyarat,
dilambangkan p  q, bernilai benar hanya jika p
dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.
p
q
pq
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….
Contoh 2.6
Lambangkan proposisi berikut:
“Segiempat ABCD adalah bujursangkar jika dan
hanya jika semua sudutnya 90o dan semua sisinya
sama panjang”
Jawab
p : segiempat ABCD adalah bujursangkar
q : semua sudut segiempat ABCD adalah 90o
r : semua sisi segiempat ABCD sama panjang
proposisinya menjadi p  ( q  r )
Proposisi Kompleks


Proposisi yang dibentuk oleh beberapa perangkai
dasar akan membentuk proposisi yang lebih
kompleks atau majemuk.
Untuk menganalisa nilai kebenarannya akan
digunakan tabel kebenaran untuk semua
kemungkinan proposisi penyusunnya.
Proposisi Kompleks ….
Contoh 2.7
Tentukan tabel kebenaran untuk porposisi
(( p  q)  r )  (( p  r ))
Jawab
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
p q
1
1
0
0
0
0
0
0
pr
1
0
1
0
0
0
0
0
(p  q)  r
1
1
1
0
1
0
1
0
-(p  r)
0
1
0
1
1
1
1
1
(( p  q)  r )  (( p  r ))
1
1
1
1
1
1
1
1
Proposisi Kompleks ….

Berdasarkan nilai kebenaran dari suatu proposisi
majemuk, maka dapat dibedakan atas 3 bentuk.
Definisi 2.3
1. Tautologi adalah suatu proposisi yang selalu bernilai benar
untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran
proposisi peyusunnya.
2. Kontradiksi adalah suatu proposisi yang selalu bernilai salah
untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran
proposisi peyusunnya.
3. Kontingensi adalah suatu proposisi yang bukan tautologi
dan kontradiksi
Proposisi Kompleks ….
Contoh 2.8
Soal contoh 2.7 adalah tautologi karena semua
nilai kebenarannya adalah benar.
Kesetaraan Dua Proposisi
Definisi 2.4 (Kesetaraan Logik)
Dua proposisi dikatakan setara logik/equivalent logic
bila kedua proposisi tersebut memiliki nilai kebenaran
yang sama untuk semua pasangan proposisi
penyusunnya
Kesetaraan Dua Proposisi ….

Jika proposisi a dan b
dinotasikan :
a 
a 
a =
setara logik, dapat
b
b
b
Kesetaraan Dua Proposisi ….
Dalil-dalil Kesetaraan
1. Dalil Identitas
a. p  0 = p
b. p  1 = 1
c. p  0 = 0
d. p  1 = p
2. Dalil Idempoten
a. p  p = p
b. p  p = p
Kesetaraan Dua Proposisi ….
3. Dalil Komplemen
a. p  - p = 1
b. p  - p = 0
4. Dalil Komutatif
a. p  q = q  p
b. p  q = q  p
Kesetaraan Dua Proposisi ….
5. Dalil Asosiatif
a. (p  q)  r = p  (q  r)
b. (p  q)  r = p  (q  r)
6. Dalil Distributif
a. p  (q  r) = (p  q)  (p  r)
b. p  (q  r) = (p  q)  (p  r)
Kesetaraan Dua Proposisi ….
7. Dalil Ingkaran Ganda
-(-p)=p
8. Dalil de Morgan
a. -(p  q) = -p  -q
b. -(p  q) = -p  -q
9. Dalil Penghapusan
a. (p  q)  p = p
b. (p  q)  q = q
Kesetaraan Dua Proposisi ….

Kesetaraan lain yang digunakan :
a. p  q = -q  -p
b. p  q = -p  q
c. -(p  q) = p  -q
d. p  q = (p  q)  (q  p) = (-p  q)  (-q  p)
Kesetaraan Dua Proposisi ….
Contoh 2.9
Buktikan kesetaraan proposisi berikut dengan dalildalil kesetaraan.
(p  q)  -p = -p  q
Jawab
(p  q)  -p = (p  -p)  (q  -p)
(dalil distributif)
= 0  (q  -p)
(dalil komplemen)
= (q  -p)
(dalil identitas)
= -p  q
(dalil komutatif)
Logika Predikat



Seringkali kita harus memeriksa argumen yang
berisi proposisi-proposisi yang berkenaan dengan
kumpulan objek.
Misalkan, memeriksa kebenaran dari proposisi
“Semua bilangan asli yang habis dibagi 4 adalah
habis dibagi 2”.
Pada proposisi ini mengandung suatu pernyataan
yang berkenaan dengan himpunan bilangan asli.
Logika Predikat ….
Definisi 2.5
Suatu predikat (proposisi terbuka) adalah suatu
pernyataan yang melibatkan peubah yang nilainya
tidak ditentukan.
Logika Predikat ….


Misalnya :
Predikat : P(x) : bilangan bulat x habis dibagi 3
dan 4.
Proposisi : P(24) : 24 habis dibagi 3 dan 4.
Peubah dalam predikat hanya bisa diganti oleh
nilai yang merupakan anggota semesta
pembicaraan.
Logika Predikat ….
Definisi 2.6
Himpunan nilai-nilai yang mungkin menggantikan
peubah dalam suatu predikat disebut sebagai
semesta bagi peubah tersebut.
Logika Predikat ….

Untuk menyatakan nilai-nilai apa saja yang akan
menjadi peubah dalam suatu predikat, digunakan kata:

semua, setiap, selalu, dll, disebut suku pengkuatifikasi umum,
disimbolkan 

ada, terdapat, beberapa, minimal satu, dll, disebut suku
pengkuatifikasi khusus,
disimbolkan 

Misalkan x [P(x)] = untuk setiap x berlaku P(x)
x [P(x)] = ada x sehingga P(x)
P(x) bisa berupa proposisi tunggal atau majemuk.
Logika Predikat ….
Contoh 2.10
Nyatakan dalam lambang logika predikat dari proposisi :
a. Untuk semua bilangan bulat, jika habis dibagi 4 maka
habis dibagi 2
b. Ada bilangan asli yang habis dibagi 3 dan 4.
Jawab
a. P(x) : x habis dibagi 4
Q(x) : x habis dibagi 2
xZ [P(x)  Q(x)]
b. P(x) : x habis dibagi 3
Q(x) : x habis dibagi 4
xN [P(x)  Q(x)]
Logika Predikat ….
Contoh 2.11
Jika semesta dinyatakan U = {3,5,17,120}, x adalah
peubah dalam U. Buatlah suatu logika predikat
dengan menggunakan proposisi, P(x) = x > 2.
Jawab
xU [P(x)]
= semua x di U adalah lebih besar 2
-[xU (-P(x))]
= tidak ada x di U yang tidak lebih
besar 2
xU [P(x)]
= ada x di U yang lebih besar 2
-[xU (-P(x))]
= tidak semua x di U adalah tidak
lebih besar 2.
Logika Predikat ….

Jika suatu logika predikat dibuat ingkarannya,
maka tanda ingkaran itu akan berlaku pada suku
kuantifikasi dan predikatnya.
-[x (P(x))] =(-x )[-P(x)] = x[-P(x)]
-[x (P(x))] =(-x )[-P(x)] = x [-P(x)]
Logika Predikat ….

Dari bentuk ingkaran ini diperoleh 4 dasar kesetaraan pada
logika predikat yaitu :
1. Semua benar sama artinya dengan tidak ada yang salah
x [P(x)] = -[x (-P(x))]
2. Semua salah sama artinya dengan tidak ada yang benar
x [-P(x)] = -[x (P(x))]
3. Tidak semua benar sama artinya dengan ada yang salah
-[x (P(x))] = x [-P(x)]
4. Tidak semua salah sama artinya dengan ada yang benar
-[x (-P(x))] = x [P(x)]
Logika Predikat ….
Contoh 2.12
Buatlah ingkaran dari logika predikat berikut :
a. x [P(x) Q(x)]
b. x[y [P(y)  Q(x,y)]
c. xy[z(P(x) R(y,z))  (P(y) z R(x,z))]
Jawab
a. -[x [P(x) Q(x)]] = -(x)(-(P(x) Q(x)))
= x[-(-P(x) Q(x))]
= x[P(x)  -Q(x)]
Logika Predikat ….
Contoh 2.12
Buatlah ingkaran dari logika predikat berikut :
a. x [P(x) Q(x)]
b. x[y [P(y)  Q(x,y)]
c. xy[z(P(x) R(y,z))  (P(y) z R(x,z))]
Jawab
a. -[x [P(x) Q(x)]] = -(x)(-(P(x) Q(x)))
= x[-(-P(x) Q(x))]
= x[P(x)  -Q(x)]
Logika Predikat ….
b. -[x[y [P(y)  Q(x,y)]]
= -(x)[-(y P(y)  Q(x,y))]
= x[-(-y P(y)  Q(x,y))]
= x[y P(y)  -Q(x,y)]
c. -[xy[z(P(x) R(y,z))  (P(y) z R(x,z))]]
= -(xy)(-[z(P(x) R(y,z))  (P(y) z R(x,z))])
= xy [-(z(-P(x)  R(y,z)))  -(P(y) z R(x,z))]
= xy [z(-(P(x)  R(y,z)))  (-P(y) -(z R(x,z)))]
= xy [z (P(x)  -R(y,z))  (-P(y) z (-R(x,z)))]