MODUL DERIVATIF

Modul Praktikum
Materi Derivatif
MODUL DERIVATIF
A. KONSEP DASAR TURUNAN
Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan
dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan diperoleh
dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : x  0.
y
Jika
y = f ( x ), maka
y = f ( xo + ∆x ) - f ( xo )
x
y / x
x
merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi dan menggambarkan
tingkat perubahan variabel terikat dari fungsi y = f ( x ), dirumuskan :
y = f (x) = lim
y/x = lim
x  0
x  0
f (x + x) – f (x)
x
Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi :
1. Diferensiasi fungsi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y = 0
Contoh : y = 3 maka y’ = 0
2. Diferensiasi fungsi linier
Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y = b
Contoh : y = 24 + 16x maka y’ = 16
3. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = axn , dimana a adalah konstanta, maka y = n.a xn –1
Contoh : y = 4x4 maka y’ = 4.4x4-1 =16x3
MATEK 2
Hal. 1
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Derivatif
4. Diferensiasi penjumlahan ( pengurangan ) fungsi
Jika y = u  v , dimana u = g (x) dan v = n (x), maka y = u  v
Contoh : y = 8x3 – 8x2 maka y’ = 24x2 – 16x
5. Diferensiasi perkalian
a. Perkalian fungsi dan konstanta
Jika y = k.u , dimana u = g (x), maka y = k.u
Contoh : y = 4.4x2 maka y’ = 4.8x = 32x
b. Perkalian fungsi
Jika y = u.v ,
dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v + u.v
Contoh : y = ( 2x6 – 1 )( 2x3 – 5 ) maka
y’ = (12x5)(2x3 – 5) + (2x6 – 1)(6x2) = 36x8 – 60x5 – 6x2
6. Diferensiasi hasil bagi fungsi
Jika y = u , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v – u.v
V2
Contoh : y = (2x6 – 1) maka y’ = (12x5)(2x3 – 5) – (2x6 – 1)(6x2)
(2x3 – 5)
(2x3 – 5)2
y’ = 36x8 – 60x5 – 6x2
(2x3 – 5)2
7. Diferensiasi fungsi komposisi ( dalil rantai )
Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka
dy
= dy . du
dx
du . dx
contoh : y = ( 3x2 + 2 )2
misalkan :
u
= 3x2 +2 , sehingga
du / dx = 6x
y
= u2
dy / du = 2u
maka dy = dy . du = 2u . 6x = 2 (3x2 + 2)(6x) = 36x3 + 12x
dx
du . dx
8. Derivatif tingkat tinggi
Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan
mendiferensiasikan sebanyak n
kali.
MATEK 2
Hal. 2
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Derivatif
Derivatif ke-n dilambangkan :
dny
atau fn (x) atau dn (y)
dxn
dx
Contoh : y = 5x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 +x maka
= 25x4 + 16x3 + 9x2 + 4x + 1
y’ atau dy / dx
y’’atau d2y/d2y = 100x3 + 48x2 + 18x + 4 ………..dst
9. Diferensiasi implisif
Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku demi suku
dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan
nilai dy/dx .
xy2 - x2 + y = 0
Contoh :
didiferensiasikan terhadap x, maka :
1.y2 + x.2y dy/dx – 2x + dy / dx = 0
= - y2 + 2x
( 2xy + 1 ) dy/dx
= - y2 + 2x
dy/dx
2xy + 1
10. Derivatif fungsi logaritmik
 y = ln x

dy/dx = 1/x
y = ln u , dimana u = g (x)
dy = du . 1 = u
dx
dx
u
u
 y = alog x
dy/dx = 1/

a
ln a
Contoh : jika y = ln ( 3 – 3x2 ) maka tentukan dy / dx
u = 3 – 3x2
du / dx = u’ = -6x
dy = u’ =
dx
u
-6x
3 – 3x2
11. Derivatif fungsi eksponensial
 y = ex 
dy/dx = ex
 y = ax
dy/dx = ax ln a
MATEK 2

Hal. 3
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Derivatif
12. Derivatif fungsi trigonometrik
Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :
 y = sin x

dy/dx = cos x
 y = cos x

dy/dx = - sin x
 y = tg x

dy/dx = sec2 x
 y = ctg x

dy/dx = - cosec2 x
 y = sec x

dy/dx = sec x . tg x
 y = cosec x

dy/dx = - cosec x . ctg x
 Catatan : sec x = 1 / cos x
cos x = 1 / sin x
B. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal
Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah :
1. Tentukanlah titik singgung ( Xo , Yo )
2. Cari koefisien arah m = f ‘ (x)
3. Cari Garis singgung dengan rumus :
y - yo = m (x – xo)
4. Cari Garis Normal dengan rumus :
y - yo = -1
( x – xo )
m
 Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis
Singgung kurva
2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun
1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f (x) > 0
2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f (x) < 0
3. Nilai stasioner
Jika diketahui y = f (x) , maka pada f (x) = 0 , titik (x , y) merupakan Nilai Stasioner
MATEK 2
Hal. 4
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Derivatif
Jenis – jenis Titik Stasioner adalah :
 Jika f  (x) > 0, maka (x , y) merupakan titik balik minimum
 Jika f  (x) < 0, maka (x , y) merupakan titik balik maksimum
 Jika f  (x) = 0, maka (x , y) merupakan titik balik belok
Contoh : Diketahui TR = 30Q - Q2 , tentukanlah nilai maksimum
atau minimum dari fungsi tsb !
Jawab :
TR = 0
TR’ = 30 – 2Q = 0
2Q = 30 maka Q = 15
TR = -2 (TR < 0, merupakan titik balik maksimum)
Nilai Minimum TR
= 30Q - Q2
= 30(15) - (15)2
= 225
C. APLIKASI DERIVATIF DALAM BISNIS DAN EKONOMI
1. ELASTISITAS
a. Elastisitas Harga
Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan relatif dari
harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan, yaitu :
1. Elastisitas Titik ( Point Elasticity )
 = Q/Q = Q .
P/P
P
Q
P
2. Elastisitas Busur ( Arc Elasticity )
Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.
Kelemahannya : timbulnya tafsiran ganda.

=
P1
.
Q1

=
P2
Q2
MATEK 2
Q
P
.
Q
P
Hal. 5
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Derivatif

=
P1 + P2 . Q
Q1 + Q2
P
Elastisitas Titik dan Busur dipakai untuk menghitung :
a. Elastisitas harga Permintaan, d < 0 (negatif)
b. Elastisitas harga Penawaran, s > 0 (positif)
Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan :

 > 1

 < 1 atau 0<n<1

 = 1

Elastis
 Inelastis (elastis sebagian)
 Unitary Elastis (elastis sempurna)
b. Elastisitas Permintaan
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibat
adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f ( P ), maka
elastisitas permintaannya
d = Qd .
P
Qd
Contoh :
Fs. permintaan Qd = 25 – 3P2. tentukan elastisitas pada P = 5
Qd’ = -6P
Maka
d = Qd . P =
Qd
(-6P ) .
P
( 25 – 3P2 )
=
-6P2
( 25 – 3P2 )
c. Elastisitas Penawaran
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang
ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan
dengan Qs = f ( P ), maka elastisitas penawarannya :
s = Qs . P
Qs
MATEK 2
Hal. 6
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Derivatif
Contoh :
Fs Penawaran Qs = 7P2 – 200. Hitunglah elastisitas pada P = 10
Qs’ = 14P
s = Qs . P
=
14P . P
=
7P2 – 200
Qs
P = 10 maka s
=
14P2
7P2 – 200
14(10)2
= 2,8
7(10)2 – 200
d. Elastisitas Produksi
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran ( output )
yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan ( input ) yang digunakan. Jika
fungsi produksi dinyatakan dengan P = f ( x ), maka elastisitas produksinya :
p = P . X
P
Contoh :
Fs Produksi P = 6x2 – x3. Hitunglah elastisitas pada x = 5
P’ = 12x – 3x2
p = P . X
P
= ( 12x – 3x2 ) . X
6x2 – x3
= 12x2 – 3x3
6x2 – x3
X = 5 maka p = 12(5)2 – 3(5)3 = -3
6(5)2 – (5)3
2. BIAYA
o
Biaya Total ( TC )
Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan
sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.
TC = f (Q) atau TC = FC + VC
(Q)
Dimana :
TC = Total cost
VC = Variabel cost
FC = Fixed cost
Q = Kuantitas
MATEK 2
Hal. 7
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Derivatif
o
Biaya Rata – rata ( AC )
Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasa
pada tingkat produksi total.
AC = TC / Q
o
Biaya Marginal ( MC )
Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan
hasil produksi satu unit pada suatu tungkat produksi tertentu.
MC = TC = dTC / dQ
Contoh :
Diketahui TC = 150 + 15Q2 , Tentukan AC dan MC pada Q = 20 ?
AC = TC / Q = 150 / Q + 15Q = 150 / 20 + 15 (20) = 307,5
MC = TC = 30Q = 30 (20) = 600
3. PENERIMAAN
o
Penerimaan Total ( TR )
Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.
TR = f (Q) = P . Q
o
Penerimaan Rata - rata ( AR )
Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang /
jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan
dari harga barang tersebut.
AR = TR / Q = (P.Q) / Q = P
o
Penerimaan Marginal ( MR )
Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan penjualan
satu unit barang / jasa pada suatu kuantitas tertentu.
MR = TR = dTR / dQ
MATEK 2
Hal. 8
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Derivatif
Contoh :
Diketahui TR = Q2 + 14Q + 1000, tentukan AR dan MR pada Q = 50 !
Jawaban :
AR = TR / Q
= Q + 14 + 1000 / Q
= 50 + 14 + 1000 / 50
= 84
MR = TR
= 2Q + 14
= 2 (50) + 14
= 114
Contoh Soal :
1. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 50 - 2P2 . Tentukan
elastisitas permintaan pada saat harga Rp 6 / unit. Bagaimana sifat elastis permintaan
tersebut, analisislah !
Dik :
Qd = 50 - 2P2  Qd = -4P
P = Rp 6 / unit
Jawab :
d
= Qd
.
P
Qd
= -4P . P
50 - 2P2
= -4 (6) . 6
50 - 2 (6)2
= -144
= 6,5  Elastis
-22
Analisis : Jadi Elastisitas Permintaan sebesar 6,5 pada saat harga produk sebesar Rp 6 dan
jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang diminta akan turun sebanyak 6,5 %
.
MATEK 2
Hal. 9
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Derivatif
2. Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P2 = 80 + Qs . Tentukan
elastisitas penawaran pada saat harga Rp 4 / unit. Bagaimana sifat elastisitas penawaran
tersebut, analisislah !
Dik :
P2 = 80 + Qs  Qs = P2 - 80  Qs = 2P
P = Rp 4 / unit
Jawab : s
= Qs . P
Qs
= 2P
. P
P2 - 80
= 2 (4) . 4
(4)2 - 80
= 32 = - 0,5  Inelastis
- 64
Analisis : Jadi Elastisitas Penawaran sebesar 0,5 pada saat harga produk sebesar Rp 4 dan
jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang ditawarkan akan bertambah
sebanyak 0,5 %.
3. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 2P = 60 - Q . Tentukanlah
tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total, carilah harga jualnya, hitunglah
penerimaan jika terjual 10 unit, analisislah !
Dik :
2P = 60 - Qd  P = 30 - 0,5 Qd
Jawab : TR
= P . Q
= (30 – 0,5Q) . Q
= 30Q - 0,5Q2
TR max, TR
= 0
30 – Q
= 0
Q
TR jika Q
TR max
= 30 unit
= 30 unit
= 30Q - 0,5Q2
= 30(30) - 0,5(30)2
= 900 – 450 = Rp. 450,-
MATEK 2
Hal. 10
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Derivatif
* P max
= TRmax
Qmax
=
450
= Rp. 15,-
30
* TR jika Q
TR
= 10 unit
= 30Q - 0,5Q2
= 30(10) - 0,5(10)2
= 300 – 50 = Rp. 250,-
Analisis : Berawal dari tingkat penjualan sebesar 30 unit dan diperoleh penerimaan
maksimal sebesar Rp.450,- dengan harga maksimal Rp.15,-, jika barang yang dijual
sebanyak 10 unit, maka penerimaan total yang diperoleh sebesar Rp.250,-.
Daftar Pustaka :
Dumairy, “Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi”, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta,
1995.
MATEK 2
Hal. 11
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Integral Tak Tentu
INTEGRAL TAK TENTU
I. KONSEP DASAR INTEGRAL
Dalam kalkulus integral dikenal dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu.
Diferensial / anti derivative / integral, yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan proses
penemuan suatu fungsi asal apabila fungsi turunan dari fungsinya diketahui ( kebalikan dari
derivatif atau disebut juga proses integrasi / integrand ).
A. INTEGRAL TAK TENTU
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan
antinya, yaitu F(x).Dinamakan integral tak tentu karena ada ketidaktentuan pada nilai
konstantanya.
Bentuk umum :
∫ f(x) dx
= F(x) + c
∫ un. du
= Un+1 + c,
n +1
n ≠ -1
Dimana : c adalah sembarang konstanta yang nilainya tak tentu.
Contoh :
∫ f(x) dx
∫ f(x) dx
∫ 12x3 + 9x2 – 2x + 2 dx
= F(x) + c
= F(x) + c
= 12x3+1 + 9x2+1 - 2x1+1 – 2x +c
3+1
2+1
1+1
= 3x4 + 3x3 – x2 – 2x + c
Bila c = 4, maka F(x) = 3x4 + 3x3 – x2 – 2x + 4
II. PENERAPAN INTEGRAL TAK TENTU DALAM EKONOMI
Penerapan integral tak tentu yaitu untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel
ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya
merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya yaitu integrasi dapat dicari
fungsi asal dari fungsi turunan (fungsi total).
Macam-macam penerapan integral tak tentu dalam ekonomi :
A. Fungsi Biaya
Biaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC) :
MATEK 2
Hal. 12
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Integral Tak Tentu
F(Q) = ∫ f (Q) dQ
TC = ∫ MC dQ
Dan Biaya rata-rata (AC) :
AC = TC / Q
Contoh:
Diketahui suatu perusahaan fungsi biaya marginalnya MC = 12Q-9Q2, maka carilah fungsi
biaya total dan biaya rata-rata dimana c ( konstanta ) sebesar 4 ?
TC = ∫ MC dQ
= ∫ 12Q - 9Q2 dQ
= 6Q2 – 3Q3 + c
Jika c = 4
TC = 6Q2 – 3Q3 + 4
AC = TC / Q = 6Q – 3Q2 + 4/Q
Analisa : dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa fungsi biaya total adalah TC
= 6Q2 – 3Q3 + 4 dan fungsi biya rata-rata adalah AC = TC / Q = 6Q – 3Q2 +
4/Q.
B. Fungsi Penerimaan
Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR).
F(Q) = ∫ f(Q) dQ
TR = ∫ MR dQ
Contoh :
Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR),
jika c = 0 ?
TR
= ∫ MR dQ
= ∫ 15Q2 + 10Q – 5 dQ
= 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c
jika c = 0
TR = 5Q3 + 5Q2 – 5Q
C. Fungsi Produksi
a. Produk Total : P = f(Q), dimana P = keluaran dan Q = masukan
b. Produk Marginal : MP = P’ = dP / dQ = f’(Q)
c. Produk Total adalah integral dari produk marginal.
MATEK 2
Hal. 13
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Integral Tak Tentu
P = ∫ MP dQ = ∫ f’(Q) dQ
Contoh :
Diketahui produk marginalnya 2Q2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ?
P = ∫ MP dQ = ∫ 2Q2 + 4
= 2/3 Q3 + 4Q + c
jika c = 0, P = 2/3 Q3 + 4Q
Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P =
2/3 Q3 + 4Q
D. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan dalam fungsional terhadap
pendapatan nasional (Y).
C = f(Y) = a + bY
MPC = C’ = dC/dY = f’(Y) = b = turunan dari C
S = g(Y) = -a + (1-b)Y
MPS = S’ = dS/dY = g’(Y) = (1-b) = turunan dari S
Y=C+S
Y = [ a + bY ] + [ -a + (1-b)Y ]
MPC + MPS = 1
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah
integral dari MPS.
C = ∫ MPC dY = F(Y) + c
S = ∫ MPS dY = G(Y) + c
a. k = a = Autonomous Consumption :
konsumsi
otonom
menunjukkan
besarnya
menunjukkan
besarnya
konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol
b. k = a = Autonomous Saving
:
Tabungan
otonom
tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol (0).
c. MPC (Marginal Propensity to Consume) : Perbandingan antara besarnya perubahan
konsumsi (∆C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya
perubahan konsumsi tersebut.
MATEK 2
Hal. 14
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Integral Tak Tentu
d. MPS (Marginal Propensity to Saving)
:
Perbandingan
antara
besarnya
perubahan saving (∆S) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan
adanya perubahan konsumsi tersebut.
1 > MPC > ½
Keterangan :
MPC < 1, menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untuk
menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah
kecil
merupakan tambahan tabungan.
MPC > ½,
menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan untuk
konsumsi.
MPC selalu positif, karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.
Contoh :
Dimana C = ∫ MPC dY = ½ dY + c, bila pendapatan = 0 dan konsumsi autonomsnya adalah
50, maka fungsi konsumsi, tabungan dan Pendapatan Nasionalnya adalah…
Jawab :
C = ∫ MPC dY = ∫½ dY = ½Y + 50
S = Y – ( ½ Y + 50 ) = Y – 50 - ½Y
S = ½ Y – 50
Atau
S=Y–C
S = ∫ MPS dY = ∫ ½ dY = ½Y – 50
Y=C+S
Y = ( ½ Y + 50 ) + ( ½ Y – 50 )
Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah C = ½Y +
50, fungsi tabungan adalah S = ½ Y – 50, dan fungsi pendapatan nasionalnya
adalah Y = ( ½ Y + 50 ) + ( ½ Y – 50 ).
Daftar Pustaka :
Dumairy, “Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi”, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta,
1995.
MATEK 2
Hal. 15
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Integral Tertentu
MODUL INTEGRAL TERTENTU
Integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas
suatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah ditentukan.
Rumus Integral tertentu :
b
 f x  dx  F  x 
b
a
 F b   F a 
a
Keterangan :
a = x = batas minimum
b = x = batas maksimum
dimana a < b
contoh :
Hitunglah luas daerah persamaan 2x + 5 dibatasi oleh a=2 dan b=5 !
Jawab
 2 x  5 dx  [ x
2
 5 x ]52
 [52  5(5)]  [ 2 2  5( 2)]
 36
Penerapan Integral Tertentu Dalam Ekonomi
A. Surplus Konsumen
Yaitu cerminan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan
dengan tingkat harga pasar suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luas
area dibawah kurva permintaan (P=f(Q)) tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe).

Qe
Cs 
P
 f (Q) dQ  Qe  Pe   f ( P) dP
0
Pe
Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar
Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar

P = Tingkat harga pada saat Q=0
MATEK 2
Hal. 16
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Integral Tertentu
contoh :
1. Jika fungsi permintaan P = 8 - Q dan tingkat kuantitas keseimbangan pasarnya adalah 2,
hitunglah surplus konsumennya dan analisislah!
Qe  2  Pe  8  (2)  6
Qe
Cs 
 f (Q) dQ  Qe  Pe
0
2

 8  Q dQ  2  6
0
 8Q  0,5Q  02  12

 
2
2

 82   0.52   80   0.50  12
 14  0  12
2
Analisis : Konsumen memperoleh surplus sebesar 2 karena konsumen dapat membeli barang
tersebut dengan harga 6 padahal mereka sanggup membayar lebih tinggi.
2. Fungsi
permintaan
suatu
barang
ditunjukkan
oleh persamaan Q = 6 - P. Hitunglah
surplus konsumen jika tingkat harga keseimbangan pasarnya 4 !
Pe  4  Qe  6  (4)  2
P0
Q6
Q0
P6P


P
Cs 
 f P  dP
Pe
6

 6  P dP
4

 6 P  0. 5 P 2


6
4
2
 
2
 6 6   0.5 6   6 4  0.5 4 
 18  16
2

Analisis : Konsumen memperoleh surplus sebesar 2 karena konsumen dapat membeli barang
tersebut dengan harga 6 padahal mereka sanggup membayar lebih tinggi.
MATEK 2
Hal. 17
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Integral Tertentu
B. Surplus Produsen
Yaitu mencerminkan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu
berkenaan dengan pasar dari barang yang ditawarkan. Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan
oleh luas area diatas kurva penawaran (P = f(Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe) rentang
wilayahnya dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.
Qe
Pe
Ps  Qe  Pe   f (Q ) dQ   f ( P) dP
0

P
Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar
Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar

P = Tingkat harga pada saat Q=0
Contoh
1. Bila diketahui fungsi penawaran P = 2Q + 2 dan fungsi permintaan P = 8 - Q. Carilah surplus
produsen dengan dua cara dan analisislah!
Cara 1 :
Pd  Ps
2Q  2  8  Q
3Q  8  2
Qe  2
P  2 2   2
Pe  6
Qe
Ps  Qe  Pe 
 f Q  dQ
0
2
26
 2Q  2 dQ
0

 12  Q 2  2Q

2

2
0
 
2

 12  2  2 2  0  2 0 
 12  8  0
4
MATEK 2
Hal. 18
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Integral Tertentu
Cara 2 :
P  2Q  2
2Q  P  2
Q  0. 5 P  1
P0
Q  1
Q0
P2P

Pe
Ps 
 f P  dP

P
6

 0.5P  1 dP
2

 0.25 P 2  P

2

6
2
 
2

 0.25 6  6   0.25 2   2 
 3   1
4
Analisa :
Produsen memperoleh keuntungan sebesar 4 dikarenakan perusahaan dapat menjual
barang dengan harga 6 padahal sebenarnya ia bersedia menjual dengan harga yang
lebih rendah.
MATEK 2
Hal. 19
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Fungsi Transendental
MODUL FUNGSI TRANSENDENTAL
 Merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan.
 Berguna untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang.
 Termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi
trigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional.
 Tetapi pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik.
A. Fungsi Eksponensial
Adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas.
 Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah :
di mana
y = nx
n > 0
 Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah :
di mana
y = ne kx + c
n  0
e = 2,71828
k , c merupakan konstanta
Contoh Soal :
Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e
0.5x
- 1 , pada masing-masing
sumbu dan hitunglah f (2) !
Jawab :

Pada sumbu x ; y = 0
e
0.5x
Ln e
= 1
0.5x
= Ln 1
0.5x Ln e
= Ln 1
Ln e = 1
0,5x
= 0
Ln 1 = 0
x
= 0
Titik potongnya
MATEK 2
(0 ; 0)
Hal. 20
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Fungsi Transendental

Pada sumbu y ; x = 0
y = e 0.5x - 1
y = e 0.5 (0) - 1
y = e0 - 1
y=1 -1
y=0
Titik potongnya

(0 ; 0)
Untuk x = 2
y = e 0.5x - 1
y = e 0.5 (2) - 1
y = e1 – 1
y = 2,72 – 1
y = 1,72
Titik potongnya
( 2 ; 1,72 )
Grafik 1
0.5x
Kurva Eksponensial pada y = e
-1
B. Fungsi Logaritmik
Adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma.
 Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah :
y = n log x
di mana
n > 0
n  1
MATEK 2
Hal. 21
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Fungsi Transendental
 Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah :
di mana
y = a ln (1 + x) + b
x > -1
Contoh soal :
Tentukan titik potong kurva logaritmik y = - 0,5 Ln (1 + x) –1, pada masing-masing
sumbu dan hitunglah f (3) !
Jawab :

Pada sumbu x ; y = 0
-0,5 Ln (1 + x) = 1
Ln (1 + x)
= -2
1 + x
= e –2
1 + x
= 0,14
x
Titik potongnya

= - 0.86
(-0,86 ; 0 )
Pada sumbu y ; x = 0
y = -0,5 Ln (1 + x) –1
y = -0,5 Ln (1 + 0) –1
y = -0,5 Ln 1 –1
y = -0,5 .0 – 1
y = –1
Titik potongnya

( 0 ; -1 )
Untuk x = 3
y = -0,5 Ln (1 + x) –1
y = -0,5 Ln (1 + 3) –1
y = -0,5 Ln 4 –1
y = -0,69 –1
y = -1,69
Titik potongnya
MATEK 2
( 3 ; -1,69 )
Hal. 22
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Fungsi Transendental
Grafik 2
Kurva Logaritmik pada y = - 0.5 Ln (1 + x) = 1
C. Penerapan Ekonomi
Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan fungsi
eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenaan dengan aspek
pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik
tersebut antara lain :
1. Model Bunga Majemuk
Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa datang dari jumlah
sekarang suatu pinjaman atau tabungan. Model bunga majemuk ini tidak lain
merupakan bentuk fungsi eksponensial.
Fn = P(1 + i)n
i
atau
Fn = P(1 +
m
) m.n
di mana :
Fn = Jumlah pinjaman atau tabungan setelah n tahun.
P = Jumlah sekarang (tahun ke-0).
i
= Tingkat bunga pertahun.
m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun.
n = Jumlah tahun
Di sini Fn sebagai variabel terikat (dependent variable) dan n sebagai variabel
bebas (independent variable). Dengan demikian prinsip-prinsip penyelesaian persamaan
eksponensial relevan diterapkan atas model ini.
MATEK 2
Hal. 23
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Fungsi Transendental
Jika m sangat besar, bunga diperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalam
setahun sehingga jumlah di masa datang tersebut dapat diperoleh dengan cara :
di mana
Fn ≈ Pem
e = 2,71828
Contoh Soal :
Seorang pengusaha muda sedang melakukan pengembangan usaha, modal yang
dibutuhkan sekitar Rp 10.000.000,-. Untuk itu, ia meminjam modal ke Bank
Konvensional dengan bunga pinjaman 10 % pertahun dan diperhitungkan secara
bulanan (1 tahun = 12 bulan) untuk jangka waktu 5 tahun. Hitunglah jumlah yang
harus dibayarkan oleh pengusaha muda tersebut pada saat pinjamannya jatuh tempo !
Jawab:
A. Dengan Rumus Bunga Majemuk Biasa
1). Tanpa Menggunakan Logaritma
i
Fn = P(1 + m ) m.n
F5 = 10.000.000 . (1 +
0.10
)
12.5
12
F5 = 10.000.000 . (1.008)
60
F5 = 10.000.000 . (1.613)
F5 = 16.130.000,-
2). Dengan Menggunakan Logaritma
F5 = 10.000.000 . (1.008)
60
Log F5 = log 10.000.000 + 60 log 1.613
Log F5 = 7 + 0.208
Log F5 = 7.208
F5 = 16.130.000,-
MATEK 2
Hal. 24
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Fungsi Transendental
B. Dengan Rumus Bunga Majemuk Sinambung
1). Tanpa Menggunakan Logaritma
Fn ≈ Pe i.m
F5 ≈ 10.000.000. e
0.10 . 5
F5 ≈ 10.000.000. e
0.5
≈ 10.000.000. (1.65)
≈ 16.500.000,-
2). Dengan Menggunakan Logaritma
F5 ≈ 10.000.000. e
050
Ln F5 ≈ Ln 10.000.000 + 0.5 Ln e
Ln e = 1
Ln F5 ≈16.12 + 0.5
Ln F5 ≈16.52 ≈ 16.500.000,-
Analisis :
“Jumlah uang yang harus dibayar oleh pengusaha muda tersebut saat jatuh tempo
adalah sebesar Rp 16.130.000,-. Hal ini berarti bunga pinjaman dalam jangka waktu 5
tahun yang harus dibayar adalah sebesar Rp 6.130.000,-.”
2. Model Pertumbuhan
Model pertumbuhan juga merupakan salah satu bentuk eksponensial. Model
semacam ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi dapat
juga diterapkan
untuk
menaksir
variabel – variabel lain, berkenaan dengan
pertumbuhannya dan dapat dirumuskan sebagai berikut :
Pt = P1. R t-1
R=1+r
di mana :
Pt = Jumlah penduduk pada tahun ke-t.
t = Jumlah tahun.
MATEK 2
Hal. 25
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Fungsi Transendental
P1 = Jumlah penduduk sekarang.
r = Tingkat pertumbuhan
Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variable dan
tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka persamaan di
atas dapat ubah bentuknya menjadi :
Nt = N1.R t-1
R=1+r
di mana :
N = Variabel yang diamati.
r = Persentase pertumbuhannya persatuan waktu.
t = Indeks waktu.
Contoh Soal :
Mulia Sejahtera Networking (MS Net) merupakan salah satu perusahaan yang
bergerak dalam bidang MLM (Multilevel Marketing) di Indonesia, mulai beroperasi tahun
2003. Pada awal usahanya, perusahaan ini menggunakan Personal Marketing / sales
sebanyak 100 orang untuk seluruh Indonesia. Dan diperkirakan pertumbuhan Personal
Marketingnya sebesar 15 % pertahun. Hitunglah berapa jumlah Personal Marketing
dalam jaringan MS Net pada tahun 2010 ? dan analisislah !
Jawab :
 Diketahui
:
N = 100 orang
t = 8 tahun
R = 1 + 0.15
r = 0.15
 Ditanya
:
N8 = ….. ?
 Jawab
:
Nt = N1.R
t-1
N8 = 100 . (1.15) 8-1
N8 = 100 . (2.66)
MATEK 2
Hal. 26
N8
= 266 orang
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Fungsi Transendental
Analisis :
“ Dalam kurun waktu 8 tahun ke depan diperkirakan jumlah Personil Marketing (sales)
akan meningkat menjadi 266 orang, dengan peningkatan sebesar 166 orang.
Peningkatan ini tergolong kecil atau belum optimal peningkatannya.”
3. Kurva Gompertz
Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara
eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya sangat
kecil atau bahkan tidak berarti meskipun waktu terus berjalan.
t
N= ca r
di mana
:
N = Jumlah variabel yang diamati.
c = Batas jenuh pertumbuhan.
a = Proporsi pertumbuhan awal.
r = Tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r <1).
t = Indeks waktu.
Contoh Soal :
Perusahaan “MQ Enterprise” merupakan produsen produk VCD penyejuk Qolbu
yang sudah beroperasi selama 3 tahun. Produksi awal perusahaan sebanyak 7.500
buah, terjual laris di pasar . jika tingkat rata-rata pertumbuhannya pertahun sekitar 20
%, dengan batas maksimum produksi sebanyak 30.000 buah, hitunglah berapa jumlah
produksi VCD pada tahun ketiga dan analisislah !
Jawab :

Diketahui : C = 30.000 buah
A = X = 7.500 = 0.25
C

MATEK 2
r = 0.20
t=3
30.000
Ditanya : N untuk tahun ke–3 atau N3 = …….?
Hal. 27
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Fungsi Transendental

Jawab : Untuk t = 3
N = 30.000. ( 0.25 )
0.20 ^ 3
Log N = log log 30.000 + 0.20 3 log 0.25
Log N = 4.477 + 0.008 . ( -0.602 )
Log N = 4.477 – 0.0048
Log N = 4.4722
N = 29.661 buah
Analisis :
“ Dengan produksi awal sebesar 7.500 buah. Ditambah rata - rata pertumbuhan sekitar
20 % pertahun didapatkan jumlah produksi tahun ke – 3 sebesar 29.661 buah. Jumlah
produksi tahun ke- 3 masih dibawah produksi maksimum perusahaan yaitu 30.000
buah”.
4. Kurva Belajar ( Learning Curve)
Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk
menggambarkan prilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel
waktu.
 Bentuk dasar :
y = m - se -kx
k, m, s > 0
Konstanta m melambangkan batas jenuh y, atau y tertinggi yang dapat tercapai.
 Prilaku Produksi :
P = Pm - Ps . e - r. t
di mana :
P = Produksi persatuan waktu setelah t satuan waktu.
Pm = Kapasitas produksi maksimum persatuan waktu.
Ps = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi
(pada t = 0).
t = Indeks waktu.
r = Tingkat pertumbuhan produksi.
MATEK 2
Hal. 28
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Fungsi Transendental
 Prilaku Biaya :
C = Cm - Cs . e - r. t
di mana :
C = Biaya total persatuan waktu.
Cm =Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan) persatuan
waktu.
Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0).
t = Indeks waktu.
r = Persentase kenaikan biaya persatuan waktu.
Contoh Soal :
Percetakan “Adil Sejahtera” mempunyai mesin cetak yang dapat memproduksi
hingga 10.000 cetakan (produksi maksimum). Pada awal produksi, optimalisasi
(pemanfaatan) produksi diperkirakan baru sekitar 60 % dari kapasitas yang tersedia.
Namun, manajer operasional yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sekitar 5 %
setiap bulannya. Maka :
a. Bentuklah persamaan prilaku produksi bulanan percetakan
tersebut !
b. Berapa jumlah cetakan / produksi perdananya !
c. Berapa cetakan yang dapat dioptimalkan / dimanfaatkan
perbulannya setelah pabrik beroperasi selama 1 tahun (12 bulan) !
d. Analisislah !
Jawab :
 Diketahui : Pm = 10.000
r = 0.05
Ps = 40 % (10.000) = 4.000
t = 1 tahun (12 bulan)
a. Persamaan Prilaku Produksi Cetakan.
P = Pm - Ps . e
- r. t
P = 10.000 – 4.000 . e
MATEK 2
– 0.05. t
Hal. 29
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Fungsi Transendental
b. Jumlah perdana cetakan / produksi.
60 % x 10.000 = 6.000 cetakan
c. Jumlah cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan).
P = 10.000 – 4.000 . e
– 0.05. t
= 10.000 – 4.000 . e
– 0.05. 12
= 10.000 – 4.000 . ( 0.549 )
= 10.000 – 2196
P = 7.804 cetakan.
 Analisis :
“Hasil cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah sebanyak
7804 cetakan, di mana dari 6000 cetakan pada awal produksi. Hal ini berarti ada
peningkatan dalam optimalisasi cetakan selama 1 tahun (12 bulan) sebesar 1804
cetakan.”
MATEK 2
Hal. 30
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Break Even Point
MODUL BREAK EVEN POINT
A.
FUNGSI BIAYA
Biaya dalam pengertian ekonomi adalah semua barang yang harus dibayarkan produsen untuk
menghasilkan barang atau jasa tersebut siap dikonsumsi konsumen. Oleh karena itu, besar
kecilnya biaya yang dikeluarkan tergantung kepada besar kecilnya barang atau jasa yang
dihasilkan. Dalam matematika dapat dikatakan bahwa biaya merupakan fungsi dari jumlah
produksi. Secara rumus dapat ditulis :
TC = a + f (Q)
Dimana TC = Total Cost ( jumlah biaya ), sedangkan Q = jumlah produksi.
Jadi fungsi biaya adalah suatu fungsi yang menunjukkan hubungan antara biaya dan jumlah
barang yang diproduksi. Fungsi biaya dapat digambarkan dalam bentuk kurva. Maka yang
dimaksud dengan kurva biaya adalah suatu kurva yang menggambarkan
titik – titik
kemungkinan besarnya biaya di berbagai tingkat produksi.
Elemen – elemen fungsi biaya
Menurut analisa jangka pendek, pengertian biaya ini dapat dibedakan menjadi
beberapa macam, yaitu :
TC = Total Cost ( JUmlah biaya keseluruhan )
TFC= Total Fixed Cost ( Jumlah Biaya tetap )
TVC= Total Variabel Cost ( Jumlah biaya variable cost )
VC = Variabel Cost ( Biaya variable yang digunakan perusahaan )
AC = Average Cost ( Biaya Rata – rata )
MC = Marginal Cost (perubahan biaya karena adanya perubahan produksi
perunit)
MATEK 2
Hal. 31
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Break Even Point
Bentuk umum rumus fungsi biaya :
TC
=
TFC
TVC
MC
AC
=
=
=
=
TFC + VC ( Q )
VC / unit X Q
 TC /  Q
TC / Q
P
+
TVC
TC
VC
FC
Q
Contoh :
Jika diketahui suatu perusahaan “RAIHAN” yang bergerak dalam bidang penjualan pakaian
muslim mempunyai biaya tetap 400.000, biaya variabel 20.000 dengan Quantitas 20 unit.
Berapa TC dan AC ?
Diketahui
:
FC = 400.000
VC = 20.000
Q = 20 Unit
Ditanya
:
TC serta AC . . . . . . . . . . . . ?
Jawab
:
TC
AC
MATEK 2
= TFC + VC ( Q )
= 400.000 + 20.000 ( 20 )
= 800.000
= TC / Q
= 40.000
= 800.000 / 20
Hal. 32
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Break Even Point
P
TC
VC
400.000
FC
Q
B.
FUNGSI PENERIMAAN
Apabila barang hasil produksi dijual dipasar, maka uang hasil penjualan barang tersebut
dinamakan jumlah pendapatan dan dapat pula disebut “Total Revenue”. Oleh karena itu,
besarnya Total Revenue sama dengan harga perunit dikalikan jumlah unit yang terjual. Secara
matematika dapat dirumuskan :
TR
=
P
X
Q
Elemen – elemen fungsi penerimaan :
TR
= Total Revenue (jumlah pendapatan yang diterima secara
keseluruhan)
AR
= Average Revenue (Rata – rata penerimaan)
P
= Price ( Harga per unit barang )
MR
= Marginal Cost ( Perubahan penerimaan karena adanya
perubahan produksi perunit )
P
TR
Q
MATEK 2
Hal. 33
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Break Even Point
Contoh Soal :
Perusahaan “BENAYU” menjual produknya dengan harga sebesar 40.000. Berapa besarnya TR
dan AR ?
Diketahui : Q = 20 unit
P = 40.000
Ditanya :
TR serta AR . . . . . . . . . ?
Jawab :
TR
= P X Q
= 40.000 X 20
AR
= 800.000
= TR / Q
= 800.000 / 20
= 40.000
P
TR
40.000
20
MATEK 2
Hal. 34
Q
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Break Even Point
C.
BREAK EVEN POINT
Berdasarkan TR dan TC diatas, dapatlah ditemukan bahwa pada suatu saat perusahaan berada
disalah satu kemungkinan dari ketiga kemungkinan dibawah ini :
TR
<
TC
-------------- Rugi
TR
=
TC
-------------- BEP
TR
>
TC
-------------- Laba
Bentuk umum BEP
P
TR
X Q
=
=
TC
TFC + TVC
BEP Dalam unit :
FC
Q
=
P – VC
BEP Dalam rupiah :
FC
P
=
1 – VC / P
P
TR
TC
VC
FC
Q
MATEK 2
Hal. 35
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Break Even Point
Contoh :
Qiqi Butik memproduksi jaket trendy dengan harga jual Rp 60.000,- per jaket. Diketahui biay
tetap dan biaya varibelnya masing-masing adalah Rp 3.000.000,- dan Rp 40.000,- per jaket.
Hitunglah :
a) Berapa unit dan rupiahnya agar perusahaan tidak mengalami untung maupun rugi !
b) Kenaikan BBM mengakibatkan kenaikan untuk biaya variabel per jaket sebesar Rp
10.000,-. Berapa BEP unit dan BEP rupiah setelah kenaikan BBM !
c) Gambar grafik dan analisa !
Jawab :
Dik :
P
= Rp 60.000,- per jaket
FC
= Rp 3.000.000,-
VC
= Rp 40.000,- per jaket
Dit : a) BEP dalam Unit
b) BEP dalam Unit setelah adanya keaikan VC sebesar Rp. 10.000
Jawaban ;
a) BEP dalam Unit
3000.000
Q
=
=
150
60.000-40.000
b) BEP setelah ada kenaikan VC sebesar Rp 10.000
3000.000
Q
=
=
300
60.000-50.000
MATEK 2
Hal. 36
Periode ATA
Modul Praktikum
Materi Break Even Point
D.
PENJUALAN MINIMAL ( MINIMAL SALES )
Dalam penjualan minimal ini perusahaan ingin mengetahui berapa unit yang harus dijual jika
perusahaa mentargetkan laba yang harus dicapai.
Bentuk umum untuk penjualan minimal :
FC
Q
+
laba
=
P
–
VC
Contoh :
Jika perusahaan “RABBANI” mentargetkan laba sebesar 100.000 maka berapakah penjualan
minimal perusahaan tersebut ?
Diketahui : FC
Ditanya :
= 400.000
P
= 800.000
VC
=
Laba
= 400.000
40.000
Berapa penjualan minimal . . . . . . . . . . .
Jawab :
FC
Q
+
?
Laba
=
P – VC
400.000 + 100.000
Q
=
=
25 unit
40.000 – 20.000
Jika perusahaan “RABBANI” ingin mencapai target maka penjualan minimal adalah 25 unit.
MATEK 2
Hal. 37
Periode ATA