MODUL 2 OPTIMISASI EKONOMI

MODUL 2 OPTIMISASI
EKONOMI
OPTIMISASI EKONOMI
SRI SULASMIYATI, S.Sos, M.AP
Ari Darmawan, Dr. , S.AB, M.AB
[email protected]
Pendahuluan
Adanya kebutuhan manusia yang tidak
terbatas dan terbatasnya sumber daya,
telah menyebabkan individu dan
masyarakat terpaksa untuk memiliih
kebutuhan yang menjadi prioritas pertama
 Sebagai manusia ekonomi, individu dan
masyarakat berusaha untuk memenuhi
kebutuhannya secara optimal berdasarkan
sumber daya yang dimilikinya

Pendahuluan



Ekonomi manajerial  pilihan yang optimal
merupakan solusi yang efisien (berhasil
guna) dan efektif (berdaya guna)
Efektif jika tingkat output produksi
mencapai tingkat yang maksimal berdasarkan
pada tingkat penggunaan input yang telah
ditetapkan
Efisien ketika tingkat output produksi telah
mencapai tingkat yang maksimal dan dengan
penggunaan input yang minimal
Pendahuluan
Terminologi optimalisasi ekonomi adalah
maksimalisasi output dan
minimalisasi input
 Pilihan yang optimal merupakan solusi
yang efisien (berhasil guna) dan efektif
(berdaya guna) merupakan hasil akhir dari
pengambilan keputusan.

Teknik dalam optimasi ekonomi
Persamaan fungsi merupakan
persamaan matematis yang menyatakan
hubungan antara dua hal
 Metode tabel merupakan salah satu
metode yang yang menyatakan hubungan
antara dua hal dengan menggunakan tabel
 Metode grafik merupakan salah satu
metode yang yang menyatakan hubungan
antara dua hal dengan menggunakan grafik

Contoh
Diketahui: Fungsi persamaan TR = 200Q
 Tabel:

Jumlah Unit
Terjual
25
30
35
40
Total Revenue
5.000
6.000
7.000
8.000
Contoh
P
D
TR=200Q
8.000
7.000
6.000
5.000
D
25
30
35
40
Q
OPTIMISASI EKONOMI
TANPA KENDALA

Optimisasi ekonomi tanpa kendala 
manajer perusahaan diasumsikan tidak
akan menghadapi berbagai kendala di
dalam keputusan optimisasi
Hubungan antara nilai total, rata-rata
dan marjinal
Salah satu analisis yang dapat digunakan
untuk perusahaan untuk dapat
memaksimalkan perusahaan adalah analisis
hubungan biaya total, biaya rata-rata dan
biaya marjinal
 Biaya total merupakan jumlah total biaya
secara keseluruhan yang dikeluarkan oleh
perusahaan untuk memproduksi suatu
produksi (TC = TFC + TVC)

Hubungan antara nilai total, rata-rata
dan marjinal

Biaya rata-rata merupakan jumlah biaya
yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk
memproduksi satu unit produk
Biaya total (TC)
Average Cost (AC) 
Jumlah produk (Q)
Hubungan antara nilai total, rata-rata
dan marjinal

Biaya marjinal (MC) merupakan tambahan
biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan
yang dikarenakan adanya pertambahan
produk yang diproduksi
 Biaya total (TC)
Marginal Cost (MC) 
 Jumlah produk (Q)
Contoh
Diketahui: TC = 180 + 50Q
Jumlah
produk
(Q)
0
1
2
3
4
5
Biaya
total
(TC)
180
230
280
330
380
430
Biaya
rata-rata
(AC)
230
140
110
95
86
Biaya
marjinal
(MC)
50
50
50
50
50
Fungsi dan Diferensiasi

Fungsi merupakan bentuk hubungan
matematis yang menyatakan hubungan
suatu variabel dengan variabel lain.
Komponen-komponen yang membentuk
suatu fungsi adalah: a) Koefisien, b)
Konstanta, dan c) Variabel
Fungsi dan Diferensiasi
Variabel merupakan komponen penting yang
membentuk suatu fungsi. Terdapat dua jenis
variabel, yaitu:
a. Variabel bebas (independent variable),
merupakan variabel yang tidak dipengaruhi
oleh variabel lain.
b. Variabel terikat (dependent variable),
merupakan variabel yang dipengaruhi oleh
variabel lain.
 Notasi untuk menyatakan suatu fungsi adalah:
Y = f(x)

Contoh
1) Fungsi linear
 Y = 86 - 0,67X, atau dapat dinyatakan,
 f(x) = 86 - 0,67X
2) Fungsi non linear
 Y = 10 + 5X + X2, atau dapat
dinyatakan,
 f(x) = 10 + 5X + X2
Turunan fungsi
Turunan fungsi merupakan perubahan dari
suatu fungsi yakni bagaimana variabel
terikat mengalami perubahan terkait
dengan perubahan variabel bebas.
 Notasi untuk menyatakan suatu fungsi
adalah:
dy atau Y’ atau f’(x)
dx

Turunan fungsi

Syarat utama dari turunan fungsi, adalah
sebagai berikut:
dy
y
 limit
dx x  0 x
Aturan diferensiasi

Untuk menurunkan suatu fungsi, terdapat
beberapa kaidah-kaidah untuk
menurunkan suatu fungsi, atau dikenal
sebagai Aturan Diferensiasi (Rules of
Differentiation). Berikut ini merupakan
beberapa kaidah-kaidah atau aturan
untuk menurunkan suatu fungsi, antara
lain:
Aturan diferensiasi
1. Turunan dari fungsi y = C (konstanta)
Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi
y = C adalah:
dy
 y'  0
dx
Aturan diferensiasi
2. Turunan dari fungsi pangkat
Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi
pangkat adalah:
 Fungsi pangkat Y = aXb
dy
b-1
 y'  b. a X
dx
Aturan diferensiasi
3. Turunan dari penjumlahan atau
pengurangan
Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi
penjumlahan atau pengurangan adalah:
 Fungsi penjumlahan (pengurangan):
Jika Y = u (X) ± v (X)
dy
du dv
 y' 

dx
dx dx
Aturan diferensiasi
4. Turunan dari perkalian
Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi
perkalian adalah:
 Jika Y = u (X) × v (X)
dy
du
dv
 y'  u .
 v.
dx
dx
dx
Aturan diferensiasi
5. Turunan dari pembagian
Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi
pembagian adalah:
 Jika Y = u (X) : v (X)
du
dv
v
u
u
Y'   dx 2 dx
v
v
(v. u' ) - (u . v' )
Y'
v2
Aturan diferensiasi
6. Turunan dari fungsi berantai
Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi
berantai adalah:
Jika Y = f(u) dimana u = g(x), maka
dy dy
du
y' 

v
dx du
dx
Menentukan maksimasi dan
minimasi dengan kalkulus
Perusahaan berkepentingan terhadap
perhitungan maksimasi dan minimasi
dikarenakan perusahaan ingin mengetahui
jumlah pendapatan maksimal yang dapat
diperoleh perusahaan dan seberapa besar
biaya minimal yang harus dikeluarkan untuk
memproduksi produk perusahaan  Laba
maksimum
 Untuk memaksimalkan labanya, perusahaan
berusaha untuk memaksimalkan
pendapatanya dan berusaha untuk
meminimalkan biaya produksinya

Contoh
Diketahui: 1. TR = 120Q – 10Q2
2. TC = 200 + 25Q
Hitung: Laba yang optimal (∏)
∏ = TR – TC
= (120Q – 10Q2) – (200 + 25Q)
= 120Q – 10Q2 – 200 – 25Q
= – 10Q2 + 95Q – 200
= – Q2 + 9,5Q – 20
Contoh
∏ = – Q2 + 9,5Q – 20
Y’= – 2Q + 9,5
2Q = 9,5
Q = 4,75
= 5 unit (pembulatan)
∏ = – 10Q2 + 95Q – 200
= – 10 (5)2 + 95 (5) – 200
= – 250 + 475 – 200
= 25
Contoh
Q
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TR
0
110
200
270
320
350
360
350
320
270
200
TC
200
225
250
275
300
325
350
375
400
425
450
Laba
-200
-115
-50
-5
20
25
10
-25
-80
-155
-250
Memaksimumkan fungsi dengan
banyak variabel
Hubungan lebih dari dua variabel dapat
dirumuskan sebagai berikut: ∏ = f(X,Y).
Intepretasi dari ∏ = f(X, Y) adalah laba yang
optimal dipengaruhi atau tergantung oleh variabel
X dan variabel Y.
 Untuk menentukan dampak marjinal pada variabel
terikat (misalnya laba yang optimal) yang
disebabkan karena adanya perubahan variabel X
dan variabel Y, maka analisis perubahan variabel X
dan variabel Y akan di analisis secara terpisah.
 Untuk menghitung dampak marjinal dari
perubahan variabel X dan variabel Y, dapat
menggunakan metode turunan parsial.

Contoh
Diketahui: ∏ = f(X,Y) = 100X – 4X2 – XY
– 5Y2 + 120Y
Hitung: Laba yang optimal (∏)
Turunan parsial variabel X  turunan dari ∏ = f(X,Y)
= 100X – 4X2 – XY
π
 100  8X  Y
X
Turunan parsial variabel Y  turunan dari ∏ = f(X,Y)
= XY – 5Y2 + 120Y
π
  X  10Y  120
Y
Contoh
Untuk memaksimumkan fungsi laba, kita
harus membuat setiap turunan parsial sama
dengan nol.
π
 100  8X  Y  0
X
π
  X  10Y  120  0
Y
Contoh
Langkah selanjutnya adalah kalikan persamaan pertama
dengan -10 dengan tujuan nilai Y menjadi nol, sehingga
perhitungan akan sebagai berikut:
–1000 + 80X + 10Y
120 – X – 10Y
– 880 + 79X
79X
X
100 – 8X – Y
100 – 8 (11) – Y
100 – 88 – Y
12 – Y
Y
=
=
=
=
=
=0
=0
=0
= 880
= 11,14
= 11 (pembulatan)
0
0
0
0
12
Contoh
Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat
diketahui perusahaan akan memperoleh laba yang optimal
ketika perusahaan menjual produk X sebesar 11 unit dan
menjual produk Y sebesar 12 unit. Laba optimal yang akan
diperoleh perusahaan adalah sebagai berikut:
∏ = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y
= 100 (11) – 4 (11)2 – (11) (12) – 5 (12)2 + 120 (12)
= 1100 – 484 – 132 – 720 + 1440
= 1204
OPTIMISASI EKONOMI
DENGAN KENDALA


Optimisasi ekonomi dengan kendala perlu
kita perhatikan dikarenakan pada umumnya
manajer perusahaan akan menghadapi
berbagai kendala di dalam keputusan
optimisasi.
Beberapa kendala yang dihadapi oleh manajer
perusahaan di dalam keputusan optimisasi,
antara lain: a) terbatasnya kapasitas produksi,
b) terbatasnya bahan mentah, c) terbatasnya
sumber daya manusia, d) kendala hukum, dan
lain-lain
Metode yang dapat digunakan
1. Optimisasi terkendala dengan
substitusi
Metode ini mengubah permasalahan
optimisasi terkendala menjadi
permasalahan optimisasi tanpa kendala,
dengan cara memecah persamaan
kendala untuk satu variabel keputusan
dan kemudian mensubstitusikan nilai ini
ke dalam persamaan optimisasi
terkendala.
Contoh
Diketahui: 1. ∏ = f(X,Y) = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y
2. X + Y = 20
Hitung: Laba yang optimal (∏)
Fungsi kendala
X + Y = 20
X = 20 – Y
Persamaan optimisasi dengan kendala
∏ = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y
= 100(20 – Y) – 4(20 – Y)2 – (20 – Y)Y – 5Y2 + 120Y
= 2000 – 100Y – 4(400 – 40Y + Y2) – 20Y + Y2 – 5Y2 + 120Y
= 2000 – 100Y – 1600 + 160Y – 4 Y2 – 20Y + Y2 – 5Y2 + 120Y
= – 4 Y2 + Y2 – 5Y2 – 100Y + 160Y – 20Y + 120Y + 2000 – 1600
= – 8 Y2 + 160 Y + 400
Contoh
Untuk memaksimumkan optimisasi tanpa kendala
di atas, kita harus menurunkan persamaan
tersebut, yaitu:
π
  16Y  160  0
Y
- 16Y = - 160
Y = 10
Contoh
Langkah selanjutnya adalah mensubsitusikan nilai
Y=10 kedalam persamaan kendala, maka
perhitungan adalah sebagai berikut:
X + Y = 20
X + 10 = 20
X = 20 – 10
X = 10
Contoh
Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat
diketahui perusahaan akan memperoleh laba yang optimal
ketika perusahaan menjual produk X sebesar 10 unit dan
menjual produk Y sebesar 10 unit. Laba optimal yang akan
diperoleh perusahaan adalah sebagai berikut:
∏ = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y
= 100 (10) – 4(10)2 – (10) (10) – 5(10)2 + 120 (10)
= 1000 – 400 – 100 – 500 + 1200
= 1200
Metode yang dapat digunakan
2. Optimisasi terkendala dengan metode
pengali Lagrange
Contoh
Diketahui:
1. ∏ = f(X,Y) = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y
2. X + Y = 20
Hitung: Laba yang optimal (∏)
Pembahasan
Fungsi kendali, X + Y = 20, maka:
X + Y – 20 = 0
Fungsi lagrange, adalah:
L∏ = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y
= 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y λ (X + Y – 20)
Pembahasan
Langkah berikutnya adalah mencari turunan
parsial L∏ terhadap X, Y dan λ dan ditetapkan
sama dengan nol, sehingga dapat diperoleh:
L π
 100  8X  Y  λ  0
X
L π
  X  10Y  120  λ  0
Y
L π
 X  Y  20  0
λ
Pembahasan
Langkah berikutnya adalah,
L π
 100  8X  Y  λ  0
X
Dikurangi oleh
L π
  X  10Y  120  λ  0
Y
Pembahasan
Maka,
100 – 8X –
Y= 0
120 – X – 10 Y = 0 –
- 20 – 7X + 9 Y = 0
Pembahasan
Langkah berikutya adalah, mengalikan persamaan X +
Y – 20 dengan angka 7, sehingga perhitungannya
sebagai berikut:
7X + 7 Y – 140
– 7X + 9 Y – 20
16 Y – 160
16 Y
Y
X + Y – 20 = 0
X + 10 – 20 = 0
X – 10 = 0
X = 10
=0
=0+
=0
= 160
= 10
Pembahasan
Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat
diketahui nilai X sebesar 10 dan nilai Y sebesar 10,
maka langkah berikutnya adalah mencari nilai
L π
 100  8X  Y  λ  0
X
Pembahasan
100 – 8X – Y + λ = 0
100 – 8 (10) – 10 + λ = 0
100 – 80 – 10 + λ = 0
10 + λ = 0
λ = - 10
- X – 10 Y + 120 + λ = 0
- (10) – 10 (10) + 120 + λ = 0
- 10 – 100 + 120 + λ = 0
10 + λ = 0
λ = - 10
Pembahasan
Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat
diketahui perusahaan akan memperoleh laba yang
optimal ketika perusahaan menjual produk X sebesar
10 unit dan menjual produk Y sebesar 10 unit. Laba
optimal yang akan diperoleh perusahaan adalah
sebagai berikut:
∏ = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y
= 100 (10) – 4(10)2 – (10) (10) – 5(10)2 + 120 (10)
= 1000 – 400 – 100 – 500 + 1200
= 1200