PENALARAN
DALAM
GEOMETRI
Oleh :
Uswatun Khasanah
Tika Nurleli
Nurfeti Dwi Susilowati
Siti Amidah
Sub Materi Pokok :
 1.
 2.
 3.
 4.
 5.
 6.
 7.
Penalaran Induksi
Contoh Sangkalan
Penalaran Deduksi
Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Penarikan Kesimpulan
Postulat Geometri
Postulat Pengukuran
Penalaran Induksi
 Penalaran adalah sebuah proses berpikir
untuk penarikan kesimpulan dari suatu
informasi.
 Penalaran induksi, yakni proses berpikir
untuk menarik kesimpulan dari
pengamatan kasus-kasus khusus menuju
hal yang bersifat umum.
Contoh berikut dapat menunjukkan bahwa penalaran
induksi dapat digunakan dalam geometri
 Contoh 1:
 Potonglah tiga model bentuk segitiga yang berbeda
dari selembar kertas
 Pojok dari setiap segitiga dipotong dan dipasangkan
bersama seperti gambar di bawah ini
Proses penalaran induksi di
deskripsikan sebagai berikut:
 Langkah 1: kamu mengamati sebuah benda yang
benar untuk setiap kasus yang kamu cek
 Langkah 2: karena benda tersebut benar untuk
semua kasus yang kamu cek, kamu menyimpulkan
bahwa benda tersebut benar untuk semua kasus
yang lain dan juga menyatakan suatu pernyataan
yang bersifat umum.
Penalaran Deduktif
Penalaran Deduktif adalah metode
berpikir yang menerapkan hal-hal yang
umum terlebih dahulu untuk seterusnya
dihubungkan dalam bagian-bagiannya
yang
khusus.
Penalaran
deduktif
memberlakukan prinsip-prinsip umum
untuk mencapai kesimpulan-kesimpulan
yang spesifik
Setelah itu kita menggunakan penalaran
induksi untuk menemukan beberapa pernyataan
umum tentang bentuk-bentuk tersebut. Kita
membutuhkan metode untuk membuktikan bahwa
pernyataan umum yang kita temukan benar untuk
semua kejadian. Metode yang akan kita gunakan
disebut penalaran deduksi.
Proses penalaran deduksi menginginkan agar
kita menerima beberapa pernyataan umum yang
bersifat dasar tanpa adanya bukti. Hal seperti ini
disebut postulate. Semua pernyataan umum yang
dapat
dibuktikan
kebenarannya
dengan
menggunakan definisi, postulat dan logika
penalaran deduksi disebut teorema (dalil).
Langkah – langkah dalam penalaran
Deduktif:
1. Mulai dengan memberi kondisi
(hipotesis)
2. Gunakan logika dan definisi, postulate,
atau teorema sebelumnya untuk
membuktikan rentetan pernyataan
atau langkah – langkah mana yang
pasti (sesuai) untuk hasil yang
diinginkan.
3. Menyatakan hasil (kesimpulan)
Tipe Pernyataan Jika-Maka
Definisi
Pernyataan Jika-Maka adalah sebuah pernyataan
dengan bentuk jika p maka q dimana p dan q adalah
pernyataan sederhana, p disebut hipotesis, q disebut
kesimpulan. Simbol p  q ( baca p implikasi q)
digunakan untuk mewakili sebuah pernyataan JikaMaka.
Contoh :
Diberikan hipotesis dan kesimpulan, tulis
pernyataan Jika-Maka nya
Hipotesis ( p ) : Bangun datar ABCD adalah sebuah
persegi
Kesimpulan ( q ) : ABCD memiliki empat sisi yang
kongruen
Jika-Maka ( p  q ) :
Jika ABCD adalah sebuah persegi, maka ABCD
memiliki empat sisi kongruen
Sebuah pernyataan Jika-Maka bernilai benar
ketika hipotesis bernilai benar, kesimpulan juga
benar atau katakanlah sebaliknya, sebuah
pernyataan Jika-Maka bernilai salah hanya
ketika hipotesisnya bernilai benar dan
kesimpulannya bernilai salah
Konvers, Invers, dan Kontraposisi
 Dari implikasi p ⇒ q , dapat dibentuk tiga implikasi lain dengan
menggunakan p dan q sebagai dasar:
Konversnya, yaitu q ⇒ p
Inversnya, yaitu ~p ⇒ ~q
Kontraposisinya, yaitu ~q ⇒ ~p
Dengan demikian; konvers, invers, dan kontraposisi dari
implikasi “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah
pada bendera tersebut.” berturut-turut adalah:
 Jika suatu bendera ada warna merahnya maka bendera tersebut
adalah bendera RI (q ⇒ p) atau konvers dari implikasi p ⇒ q.
 Jika suatu bendera bukan bendera RI maka pada bendera tersebut
tidak ada warna merahnya (~p ⇒ ~q) atau invers dari implikasi p ⇒ q.
 Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut
bukan bendera RI (~q ⇒ ~p) atau kontraposisi dari implikasi p ⇒ q.
Penarikan Kesimpulan
Penarikan kesimpulan diawali dengan menentukan himpunan
pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang saling berelasi, dan atau
telah diketahui kebenarannya, kemudian dapat diturunkan suatu pernyataan
tunggal atau pernyataan majemuk. Himpunan Pernyataan tunggal atau
pernyataan majemuk yang ditentukan disebut premis, sedangkan pernyataan
tunggal atau pernyataan majemuk yang diturunkan dari premis-premis disebut
simpulan(konklusi).
Ada 3 pola penarikan kesimpulan, yaitu :
Modus Ponens
Bentuk argument modus ponens
Premis 1 : p ⇒q (benar)
Premis 2 : p (benar)
Konklusi : q (benar)
Modus Tollens
Premis 1 : p ⇒q (benar)
Premis 2 : q (benar)
Konklusi : p (benar)
Sillogisme
Premis 1 : p ⇒q (benar)
Premis 2 : q ⇒r (benar)
Konklusi : p ⇒r (benar)
Postulate Geometri
Postulat adalah pernyataan yang diterima
tanpa ada yang menyamakan postulat dengan
aksioma sehingga mereka dapat dipertukarkan.
Postulat geometri dapat dibandingkan
dengan aturan game. Dalam “game of geometry”
kita terima postulat sebagai kebenaran dan
menggunakannya untuk membantu kita dalam
membuktikan suatu teorema. Untuk menjamin
adanya titik kita terima postulat ini. Postulat juga
memberi informais tentang garis-garis dan
bidang-bidang.
Postulate Pengukuran
• The Ruler Postulate
Untuk setiap pasang titik yang menghubungkan sebuah bilangan positif yang
unik disebut dengan jarak diantara titik-titik itu.Titik-titik yang ada pada
sebuah garis dapat dipasangkan satu-satu dengan bilangan-bilangan real
sehingga jarak diantara 2 titik adalah nilai mutlak dari selisih bilangan yang
mereka gabungkan.
• Postulate busur derajad
Untuk setiap sudut yang menghubungkan sebuah bilangan real diantara 0 dan
180 disebut ukuran sudut (m).Misal P menjadi sebuah titik yang berada pada
tepi separuh bidang H. Tiap sinar garis pada separuh bidang atau tepi bidang
itu dengan puncak di P dapat dipasangkan satu-satu dengan bilangan real n,
0n180, sehingga ukuran sudut dibentuk oleh sepasang sinar garis yang tidak
sejajar dengan ujung (puncak) P, yang merupakan nilai mutlak dari selisih
bilangan yang mereka gabungkan.