Deret Taylor dan Analisis Galat

Deret Taylor dan
Analisis Galat
Metode-metode numerik yang diturunkan didasarkan pada penghampiran fungsi
ke dalam bentuk polinom
Fungsi yang bentuknya kompleks menjadi lebih sederhana bila dihampiri
dengan polinom, karena polinom merupakan bentuk fungsi yang paling
mudah dipahami kelakuannya
Kalau perhitungan dengan fungsi yang sesungguhnya menghasilkan solusi
sejati, maka perhitungan dengan fungsi hampiran menghasilkan solusi
hampiran
Pada pertemuan lalu sudah dikatakan bahwa solusi numerik merupakan
pendekatan (hampiran) terhadap solusi sejati, sehingga terdapat galat sebesar
selisih antara solusi sejati dengan solusi hampiran
Galat pada solusi numerik harus dihubungkan dengan seberapa teliti polinom
menghampiri fungsi sebenarnya. Kakas yang digunakan untuk membuat
polinom hampiran adalah deret Taylor.
INGAT!!!!!
Hasil penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau pendekatan dari
penyelesaian analitis atau eksak
METODE
NUMERIK
Hasil:pendekatan dari penyelesaian
Analitis (eksak)
Terdapat kesalahan (error) terhadap
nilai eksak
Dalam proses perhitungannya (algoritma)
dilakukan dengan iterasi dalam jumlah
yang sangat banyak dan berulang-ulang
DERET TAYLOR
• Definisi :
Click to edit the outline text format
Second Outline Level
Andaikan f dan semua turunannya,
f’,f’’,f’’’,…
Third Outline Level
menerus di dalam selang [a,b].
Fourth Outline Level
Fifth Outline Level
Misalkan : xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar
xo
Sixth Outline Level
Seventh Outline Level
dan xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi)
ke
Eighth Outline Level
Ninth Outline LevelClick to edit Master text styles
dalam deret Taylor :
Second level








2
m
Third
level
(
x

x
)
(
x

x
)
(
x

x
)
'
'
'
(
m
)
o
o
o
f
(
x
)

f
(
x
)

f
(
x
)

f
(
x
)

....

f
(
x
)

..
o
0
o
o
1
!
2
!
m
!
Fourth level
Fifth level
DERET TAYLOR
(Persamaan Deret Taylor)
Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode
numerik,terutama penyelesaian persamaan diferensial.
Bentuk umum deret Taylor:
Jika suatu fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan f terhadap x diketahui
pada titik tersebut, maka dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1
yang terletak pada jarak ∆x dari titik xi .
f(x)
Order 2
Order 1
xi
xi+1
f(xi )
: fungsi di titik xi
f(xi+1 )
: fungsi di titik xi+1
f’, f’’,..., f n : turunan pertama, kedua,
...., ke n dari fungsi
∆x
: jarak antara xi dan xi+1
Rn
: kesalahan pemotongan
!
: operator faktorial
DERET TAYLOR
(Persamaan Deret Taylor)
Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku pada deret Taylor tersebut dan
biasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.
1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)
f(xi1)f(xi) Perkiraan order nol
Artinya nilai f pada titik xi+1 sama dengan nilai pada xi . Perkiraan tersebut benar
jika fungsi yang diperkirakan konstan. Jika fungsi tidak konstan, maka harus
diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret Taylor.
2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)

x
f(
x
)

f
(
x
)

f
'
(
x
)
Perkiraan order satu
i

1
i
i
1
!
3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order dua)
2

x

x
f
(
x
)

f
(
x
)

f
'
(
x
)
f
'
'
(
x
)
Perkiraan order dua
i

1
i
i
i
1
!
2
!
DERET TAYLOR
(Persamaan Deret Taylor)
Contoh
Diketahui suatu fungsi f(x) = -2x3 + 12x2 – 20x + 8,5. Dengan menggunakan deret
Taylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan fungsi tersebut pada titik x = 0,5
berdasar nilai fungsi pada titik x0 = 0.
Solusi:
1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)
3
2
f
(
x
)

f
(
0
,
5
)

f
(
0
)


2
(
0
)

12
(
0
)

20
(
0
)

8
,
5

8
,
5
i

1
2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)

x
f(xi1)f(0,5)f(xi)f'(xi)
1
!
0,50
f(0)f'(0)
1
!
8
,5(
6(0)224
(0)20
)(
0,5)
8
,510

1
,5
KESALAHAN (ERROR)
Penyelesaian secara numeris memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak
(yang benar), artinya dalam penyelesaian numeris terdapat kesalahan terhadap nilai
eksak.
Terdapat tiga macam kesalahan:
1. Kesalahan bawaan: merupakan kesalahan dari nilai data.
Misal kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan
karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.
2.
Kesalahan pembulatan: terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka
terakhir dari suatu bilangan, artinya nilai perkiraan digunakan untuk
menggantikan bilangan eksak.
contoh, nilai:
8632574 dapat dibulatkan menjadi 8633000
3,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14
GALAT PEMBULATAN
• Perhitungan dgn metode numerik hampir
selalu menggunakan bilangan riil. Masalah
timbul bila komputasi numerik dikerjakan
dengan komputer karena semua bilangan riil
tdk dapat disajikan secara tepat di dlm
komputer. Keterbatas an komputer dlm
menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yg
disebut galat pembulatan.
• Contoh :
1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer
hanya menuliskan 0,166667.
Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 =
-0,00000033.
Kebanyakan komputer digital mempunyai dua
cara penyajian bilangan riil, yaitu :
(a). Bilangan titik tetap (fixed point)
Contoh : 62.358; 0,013; 1.000
(b). Bilangan titik kambang (floating point)
Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03
0,1714 x 10-13 atau
0,1714E-13
Digit-digit berarti di dalam format bilangan
titik kambang disebut juga “Angka Bena”
(significant figure).
ANGKA BENA
• Adalah angka bermakna, angka penting atau angka
yg dapat digunakan dgn pasti.
• Contoh :
43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3)
0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4)
0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2)
278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0)
0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)
GALAT TOTAL
• Galat akhir atau galat total pada
numerik
Click tosolusi
edit the outline
text format
Second Outline
Level galat
merupakan jumlah galat pemotongan
dan
Third Outline Level
pembulatan.
Fourth Outline Level
Fifth Outline Level
• Contoh :
Sixth Outline Level







Seventh Outline Level
 Eighth Outline Level
Ninth Outline LevelClick to edit Master text styles
2
4
(
0
,
2
)(
0
,
2
)
Cos
(
0
,
2
)

1
 

0
,
98
Second level
2 24
Third level
Galat pemotongan
Fourth level
Galat pembulatan
Fifth level
KESALAHAN (ERROR)
3.
Kesalahan pemotongan: terjadi karena tidak dilakukan hitungan sesuai dengan
prosedur matematik yang benar. Sebagai contoh suatu proses tak berhingga
diganti dengan proses berhingga.
Contoh fungsi dalam matematika yang dapat direpresentasikan dalam bentuk
deret tak terhingga yaitu:
2
3
4
x
x
x
x
e

1

x

..........
2
! 3
! 4
!
Nilai eksak dari
e x diperoleh apabila semua suku dari deret tersebut
diperhitungkan. Namun dalam prakteknya,sulit untuk menghitung semua suku
sampai tak terhingga. Apabila hanya diperhitungkan beberapa suku pertama
saja, maka hasilnya tidak sama dengan nilai eksak. Kesalahan karena hanya
memperhitungkan beberapa suku pertama disebut dengan kesalahan
pemotongan.
• Maka :
2
4
6
8
10
Click
to edit the
outline x
text formatx
x
x
x
f
(
x
)

cos(
x
)

1
  
.....
2
! 4
!
6
! Level
8
! 10
!
Second
Outline



Third Outline Level

Fourth Outline Level

• Galat pemotongan :
Fifth Outline Level
 Sixth Outline Level
Nilai hampiran
Galat pemotongan
 Seventh Outline Level
 Eighth Outline Level
Ninth Outline LevelClick to edit Master text styles

Click tolevel
edit the outline text format
Second

Second Outline Level
Third level
(
n

1
)

(
n

1
)
o
(
x

x
)
R
(
x
)

f
n
(
n

1
)!
(
c
)level
Fourth
Third Outline Level

Fourth Outline Level

Fifth Outline Level
 Sixth Outline Level
(
6

1
)
7
 Seventh Outline Level
(
6

1
)
 Eighth Outline Level
Ninth Outline LevelClick to edit Master text styles
Fifth level
(
x

0
)
x
R
(
x
)

f (
c
)

cos(
c
)
6
(
6

1
)!
7
!
Second level
Third level
Fourth level
KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF
Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan dapat dirumuskan sebagai
berikut:
p = p* + Ee
dengan:
p : nilai eksak
p* : nilai perkiraan
Ee : kesalahan terhadap nilai eksak
Sehingga dapat dicari besarnya kesalahan adalah sebagai perbedaan antara nilai
eksak dan nilai perkiraan, yaitu:
Ee = p – p*
Kesalahan Absolut
Pada kesalahan
absolut,tidak
menunjukkan besarnya
tingkat kesalahan
KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF
Kesalahan relatif: besarnya tingkat kesalahan ditentukan
membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai eksak.
e 
Ee
p
Kesalahan Relatif
terhadap nilai eksak
Kesalahan relatif sering diberikan dalam bentuk persen.
E
e

100
%
p
e 
dengan
cara
KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF
Dalam metode numerik, besarnya kesalahan dinyatakan berdasarkan nilai perkiraan
terbaik dari nilai eksak,sehingga kesalahan mempunyai bentuk sebagai berikut:
dengan:
Ea : kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaik
p* : nilai perkiraan terbaik
Indeks a menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai perkiraan
(approximate value).
KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF
Dalam metode numerik, sering dilakukan pendekatan secara iteraktif, dimana pada
pendekatan tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya.
Dalam hal ini, kesalahan adalah perbedaan antara perkiraan sebelumnya dan
perkiraan sekarang.
n

1
n
p
p
* 
*


100
%
a
n

1
p
*
dengan:
p:*nnilai perkiraan pada iterasi ke n
1
perkiraan pada iterasi ke n + 1
p*:n nilai