Document

Metode Numerik
Kontrak Perkuliahan dan Pengenalan
Metode Numerik
Indentitas Mata Kuliah
• Nama Mata Kuliah
: Metode Numerik
• Kode Mata Kuliah
: IF 34221
• Kredit
: 3 SKS
• Semester
: IV
• Jurusan
: Teknik Informatika/S1
Deskripsi Mata Kuliah
• Membahas tentang konsep dasar komputasi yang
mengandung kesalahan dan mempelajari
metode-metode komputasi untuk penyelesaian
masalah persamaan non linear, persamaan linear
simultan, interpolasi dan integral numerik.
Referensi
• Chapra, Steven, Applied Numerical Method with Matlab for
Engineers & Scientist, Mc Grawhill, 2012.
• Munir, Rinaldi, Metode Numerik, Penerbit Informatika, Bandung,
2004.
• H. Mathews., John, Numerical Methods for using Matlab, Prenticehall Inc., 1999.
• Kiusalaas, Jaan, Numerical Method in Engineering with Matlab,
Cambridge University Press, 2005.
• Nakamura, Shoichiro, Applied Numerical Methods With Software,
Prentice-Hall Inc, 1991.
Aturan Perkuliahan
• Kehadiran minimal perkuliahan adalah 80 % dari total pertemuan
di kelas, kecuali sakit atau ijin tertulis.
• Tidak ada ujian perbaikan. Ujian susulan hanya diijinkan jika ada
ijin autentik yang bisa ditunjukkan setelah ujian.
• Mahasiswa yang terlambat lebih dari 15 menit tidak
diperkenankan masuk ke kelas, demikian juga dosen, kecuali telah
disepakati sebelumnya.
• Tugas masuk tepat waktu, toleransi keterlambatan penyerahan
tugas hanya satu hari dengan nilai dikurangi 20
• NA: 10% kehadiran + 30% Tugas atau Quis + 30% UTS + 30%
UAS
Materi yang akan dipelajari
1. Deret Taylor, Pendekatan dan3. Sistem Persamaan Linier
Kesalahan
Simultan
*SPL
2. Persamaan Non Linier
*Metode Eliminasi Gaus
*Metode Biseksi
*Sistem Persamaan Linier
*Metode Regula Falsi
*Simultan Metode Gauss *Metode Iterasi Ttk Tetap
Jordan
*Metode Newton Raphson
*Metode Dekomposisi LU
*Metode Sekan
*Iterasi Jacobi
*Iterasi Gauss-Seidel
Materi yang akan dipelajari
4. Penyajian Fungsi &
5. Integral Numerik
Interpolasi Polinomial
*Metode Empat Persegi
*Interpolasi Lagrange
Panjang
*Interpolasi Newton Selisih
*Metode Trapesium
Terbagi
*Metode Midpoint
*Interpolasi Newton
*Metode 1/3 Simpson
Menggunakan Tabel Selisih
*Metode 3/8 Simpson
Terbagi
*Metode Kwadratur Gauss
*Interpolasi Newton Greogry
Maju
*Interpolasi Newton Greogy
Mundur
Yang Diperlukan selama perkuliahan Metnum
• Kalkulator
• Aplikasi Matlab
• Pascal
• Prasyarat : Kalkulus
• TAMBAHAN : telah mengambil Alpro & ALIM sangat
membantu
• Pembagian kelompok terdiri dari 3 orang.
Alat penyelesaian masalah matematis
(Sulit secara analitis)
Paket Program (Perlu pengetahuan dasar
metnum)
Mengapa
perlu
mempelajari
Merancang aplikasi tanpa harus membeli
Metode
Numerik
Sarana belajar pemrograman komputer
Memperkuat pengertian matematika
?
Pengertian Metode Numerik
Teknik untuk memformulasikan masalah
matematis agar dapat diselesaikan dengan
operasi perhitungan dan logika
Metode Numerik Vs Metode Analitik
• Selalu Angka
• Solusi dalam bentuk fungsi
matematika yang dievaluasi
menghasilkan nilai dalam
bentuk angka
• Menghampiri solusi sejati,
dibuat seteliti mungkin ( ada
error/galat)
• Solusi sejati/eksak tidak selalu
ditemukan/dapat dihitung
Tahap – tahap Memecahkan Masalah dengan
Numerik
• Pemodelan masalah dunia nyata ke persamaan matematika
• Penyederhanaan model → mengabaikan beberapa
variabel/parameter
• Formulasi Numerik
Tentukan metode numerik yang akan dipakai (teliti, mudah
diprogram, waktu eksekusi cepat dan tidak peka terhadap
perubahan data cukup kecil.
Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih
• Pemrograman → menerjemahkan ke salah satu bahasa pemrograman
• Operasional program dijalankan dengan data uji coba
• Evaluasi bandingkan hasil run dengan prinsip dasar/hasil empiris
Deret Taylor
• Tools untuk menurunkan metode numerik
• Definisi
Andaikan f dan f ΄, f ΄΄,… kontinu pada selang [a,b]. Misalkan x0 ∈
[a,b] maka untuk x disekitar x0, x ∈ [a,b] maka f(x) dapat
diekspansi ke dalam deret Taylor menjadi
m
( x  x0 )
( x  x0 ) 2
(
x

x
)
0
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )
 f ( x0 )
   f ( m ) ( x0 )

1!
2!
m!
Jika x - x0 = h maka deret Taylor dituliskan kembali menjadi
m
h
h2
h
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )  f ( x0 )    f ( m ) ( x0 )

1!
2!
m!
Jika x0 =0 maka deret Taylor ini disebut dengan deret
m
Maclaurin
x2
x
f ( x)  f (0)  f (0) x  f (0)    f ( m ) (0)

2!
m!
Contoh
• Hampiri fungsi f ( x)  sin( x) ke dalam deret Taylor disekitar x0=1
f ( x)  cos( x)
f ( x)   sin( x)
f ( x)   cos( x)
( 4)
f ( x)  sin( x)
( x  x0 )
( x  x0 ) 2
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )
 f ( x0 )

1!
2!
m
(
x

x
)
0
 f ( m ) ( x0 )

m!
( x  1)
( x  1) 2
( x  1) 3
sin( x)  sin( 1)  cos(1)
 ( sin( 1))
 ( cos(1))
 ...
1!
2!
3!
h  x 1
 0.8415  0.5403h  0.4208h 2  0.0901h 3  ...
Latihan
1. Dengan menggunakan deret taylor hampiri fungsi f ( x)  ln( x)
dan f ( x)  ln( x  1) disekitar x0=1
2. Dengan menggunakan deret Maclaurin hampiri fungsi f ( x)  sin( x)
dan f ( x)  ln( x  1)
3. Hitung nilai f ( x)  ln( x  1) dengan hampiran deret taylor sampai
suku ke 4 dan deret Maclaurin untuk x = 0,4. Bandingkan kedua
hasil tersebut dengan perhitungan langsung nilai f(x) untuk
x=0,4. Yang manakah yang lebih teliti?
Soal 3 Deret Taylor yang terpotong dengan orde 4
Galat ?
1. Bagaimana menghitung galat
2. Bagaimana galat timbul
Galat Mutlak
  aˆ  a
  galat mutlak
aˆ  nilai hampiran terhadap a
a  nilai sejati
Galat Relatif Sejati
r 
Galat

a
 100%
 r  galat relatif
Galat Relatif
Galat Relatif Hampiran
 RA 
 s  toleransi galat
 RA

100%
aˆ
ar 1  ar

ar 1
atau
berhenti jika  RA   s
Contoh
• Misalkan ada prosedur iterasi
xr 1  ( xr 3  1) / 2, r  0,1, 2,3,...
Hentikan kondisi jika
xi
x1
x2
Nilai xi
 RA   S dengan x0  0.5 dan  S  0.00001
(7 desimal)
Galat Relatif Hampiran
Sumber Utama Galat
• Galat Pemotongan (truncation error)
Timbul akibat penggunaan hampiran sebagai
pengganti formula eksak → bergantung pada metode
komputasi sering disebut Galat Metode
• Galat Pembulatan (round-off error)
Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil
contoh : 1/6 dengan 0,166667
Angka Bena / Floating Point / Angka Penting
Contoh : 0.6324 E+03 atau
0.4542 x 10 -5
• Tentukan jumlah angka bena
43.123
5
0.1764
4
0.0000012
2
278.30
• Tentukan jumlah angka bena
1
5
4.3123 x 10
1.764 x 10-1
?
1.2 x 10
?
-6
?
2.78300x10
2
5
0.2700090 x 10
?
270.0090
7
9.0 x 10
?
1360,1.360, 0.001360
?
6.02 x 10
?
1.5 x 10 7
?
3
-3
23
Orde Hampiran
• f(x) diganti dengan fungsi hampiran. Cara mengungkapkan
ketelitian penghampiran adalah dengan menggunakan big O
• Misalkan f(h) dihampiri dengan fungsi p(h).
Jika |f(h)-p(h)|≤ M|hn | dengan M konstanta riil>0 maka p(h)
menghampiri f(h) dengan orde penghampiran O(hn) dan ditulis
n
f(h)=p(h)+O(h )
O(hn ) orde galat dari penghampiran fungsi, umumnya h<1 maka
makin besar pangkat makin kecil galat dan semakin teliti
penghampiran fungsinya.
Contoh
2
3
4
h
h
h
e h  1  h     O( h5 )
2! 3! 4!
h3 h5
sin(h)  h    O(h7 )
3! 5!
Pada latihan 1 tuliskan kembali fungsi dengan menggunakan orde
penghampiran
Contoh Galat Akhir
cos(0.2)  1  0.2 / 2  0.2 / 24  0.980067
2
Galat Pemotongan
4
Galat Pembulatan
Dengan orde hampiran adalah .......
Hasil akumulasi dari galat pemotongan dan galat
pembulatan
Minggu depan
• Bawa Kalkulator
• Pelajari pengantar Matlab di ebook Steven Chapra Bab 2 & 3
• Pascal
• Matlab