Metode Numerik









Definisi Metode Numerik
Metode-metode prakomputer
Pengembangan perangkat lunak
Algoritma
Hampiran dan Galat
Metode-metode numerik  metode
pengurung dan metode terbuka
Bagi dua – posisi palsu
NR - Secant



Metode numerik adalah teknik-teknik yang
digunakan untuk memformulasikan masalah
matematis agar dapat diselesaikan dengan
operasi perhitungan.
Terdapat berbagai ragam metode numerik 
SATU KESAMAAN CIRI yakni : mencakup
sejumlah
besar
perhitungan
yang
MENJEMUKAN
Perkembangan komputer digital yang cepat
dan berdayaguna  peranan metode numerik
dalam penyelesaian masalah rekayasa telah
meningkat secara dramatis.
1.
2.
3.
Metode analitis atau eksak.  penyelesaian ini
seringkali berguna untuk memberikan wawasan
unggul mengenai perilaku beberapa sistem. Tetapi,
peneyelesaian analitis hanya dapat diturunkan
untuk sejumlah terbatas kelas-kelas masalah
Penyelesaian Grafis.  memberikan ciri perilaku
sistem.
Penyelesaian
grafis
tanpa
bantuan
komputer sangat membosankan
Kalkulator manual dan Slide rule  untuk
mengimplementasikan metode numerik. Walaupun
dalam teori pendekatan ini sudah cukup sempurna,
tetapi dalam kenyataannya ditemukan beberapa
kesukaran; dan perhitungan secara manual sangat
lambat dan membosankan.

Komputer hanya berguna jika dilengkapi dengan perintah-perintah
yang seksama. Perintah-perintah ini adalah PERANGKAT LUNAK.
ALGORITMA
Pengembangan yang
mendasari logika program
Kompilasi
Program
Penulisan program dalam
bahasa komputer
Pencarian
dan
pengujian
Pemastian bahwa program
bebas galat dan terandalkan
Dokumentasi
Membuat program mudah
digunakan dan dipahami
Penyimpanan
dan
Perawatan
Menyimpan program dan
memperbaikinya sesuai
pengalaman




Algoritma merupakan rentetan langkah loogika
yang diperlukan untuk melakukan suatu tugas
tertentu seperti misalnya menyelesaikan masalah.
Deterministik  tidak ada yang tertinggal untuk
ditebak
Prosesnya harus selalu berakhir
Algoritma harus cukup umum untuk menangani
keperluan apapun.


Bagan alir adalah pernyataan visual atau
grafis suatu algoritma.
Bagan alir menggunakan deretan blok dan
anak panah, yang masing-masing
menyatakan operasi atau langkah tertentu
dari sebuah algoritma
Ujung / terminal
Masukan / keluaran
Proses
Keputusan
Penghubung ke halaman sama
Penyambung ke halaman lain
2
Begin
1
1
End
2
Halaman 1
Halaman 2

1.
2.
1.
2.
3.
Bentuk galat numerik:
Galat Pembulatan
Disebabkan oleh fakta bahwa komputer hanya dapat menyatakan
besaran sejumlah berhingga angka
Galat Pemotongan
Ketidaksesuaian yang diperkenalkan oleh fakta bahwa metode
numerik menerapkan suatu hampiran untuk menyatakan operasioperasi matematis dan besaran yang eksak.
Kecerobohan
Galat perumusan atau model
Ketidakpastian data



Galat numerik timbul dari penggunaan
hampiran (aproksimasi) untuk menyatakan
operasi besaran matematis yang eksak.
Ini mencakup galat pemotongan akan terjadi
jika aproksimasi digunakan untuk
menyatakan suatu prosedur matematis
Dan galat pembulatan akan terjadi jika
bilangan aproksimasi digunakan untuk
menyatakan bilangan eksak





Nilai sejati (true value) = aproksimasi + galat
Atau:
Et = nilai sejati – aproksimasi
Et galat sejati (true error)
Kelemahan definisi ini adalah bahwa tingkat
besaran dan nilai yang diperiksa sama sekali
tidak diperhatikan. Misalnya: galat 1 cm jauh
lebih berarti jika yang diukur adalah paku
ketimbang jembatan.



Satu cara untuk memperhitungkan besarnya
besaran yang sedang dievaluasi adalah
menormalkan galat terhadap nilai sejati:
Galat relatif pecahan =
Galat
Nilai sejati
Galat relatif dapat juga dikalikan dengan
100%
Galat
 εt=
x 100%
Nilai sejati
 εt menunjukan persen galat realtif
yang sejati


a)
b)
Andaikan anda ditugaskan untuk mengukur panjang sebuah
jembatan dan sebuah paku masing-masing 9999 dan 9 cm. Jika nilai
sejati masing-masing adalah 10000 dan 10 cm, hitung (a) galat dan
(b) persen galat relatif untuk setiap kasus
Penyelesaian
Galat untuk pengukuran jembatan
Et = 10000 – 9999 = 1 cm
Untuk paku
Et = 10 – 9 = 1 cm
Persen galat relatif untuk jembatan


εt =
untuk paku
εt =
1
10000
1
10
x 100% = 0,01%
x 100% = 10%
Jadi, walaupun kedua
pengukuran
mempunyai galat 1
cm, tetapi galat
realtif untuk paku
jauh lebih besar.
KESIMPULAN 
pengukuran
jembatan telah
dikerjakan dengan
layak, sedangkan
taksiran untuk paku
masih perlu
dipertanyakan




Dalam metode numerik, nilai sejati hanya akan diketahui bilamana
fungsi yang ditangani berupa fungsi yang dapat diselesaikan secara
analitis. Kasus yang demikian merupakan kasus yang khas.
Namun dalam dunia nyata, tentu saja jawaban sejati tidak diketahui
sebelumnya. Untuk situasi-situasi ini, alternatifnya adalah
menormalkan galat dengan menggunakan taksiran terbaik yang
tersedia dari nilai sejati, yaitu terhadap aproksimasi itu sendiri,
seperti dalam persamaan berikut:
εa
=
Galat aproksimasi
x 100%
aproksimasi
Salah satu tantangan metode numerik adalah menentukan taksiran
galat tanpa mengetahui nilai sejatinya. Misalnya metode numerik
tertentu memakai pendekatan secara iterasi untuk menghitung
jawaban.

Dalam pendekatan yang demikian, suatu aproksimasi sekarang
dibuat berdasarkan aproksimasi sebelumnya. Proses ini dilakukan
secara berulang, atau ITERASI, dengan maksud secara beruntun
menghitung aproksimasi yang lebih dan lebih baik.
Untuk kasus yang demikian, galat seringkali ditaksir sebagai selisih
antara aproksimasi sebelumnya dengan yang aproksimasi sekarang.
Jadi persen galat relatif ditentukan sesuai persamaan berikut:

εa =


Aproksimasi sekarang – aproksimasi sebelumnya
Aproksimasi sekarang
x 100%

Rumus kuadrat
.................... (1)








Untuk menyelesaikan
.....................(2)
Nilai-nilai yang dihitung menggunakan persamaan (1)dinamakan akar
dari persamaan (2). Akar-akar tersebut menggambarkan nilai-nilai x
yang membuat persamaan (2) sama dengan NOL.
Jadi, kita dapat mendefinisikan akar suatu persamaan adalah nilai x yang
membuat f(x) = 0.
Berdasarkan alasan ini, kadangkala akar disebut juga titik nol
persamaan.
Walaupun rumus kuadrat tersebut cukup ampuh untuk menyelesaikan
persamaan (2), tetapi terdapat banyak fungsi lain yang akarnya tidak
dapat ditentukan secara demikan mudah.
Untuk kasus-kasus begitu, metode numerik  sarana yang efisien untuk
mencari jawabannya.





Suatu fungsi secara khas berganti tanda di sekitar suatu akar
Metode pengurung memanfaatkan fakta ini dalam mencari nilai akar
persamaan
Diperlukan dua terkaan awal
Terkaan ini harus dapat mengurung atau berada pada kedua sisi dari akar
Gunakan pendekatan grafis untuk menentukan koefisien hambatan c yang
diperlukan oleh penerjun payung dengan massa m = 68,1 kg agar
mempunyai kecepatan 40 m/detik setelah jatuh bebas untuk waktu t = 10
detik. Percepatan grafitasi adalah 9,8 m/detik2
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
0
5
10
15
20
25