Vektor

Pengantar vektor
Disusun untuk memenuhi tugas kalkulus lanjut 1
Dosen pengampu: Emi Pujiastuti
Disusun oleh
:
Kelompok 1
1. In Dyah Saraswati
(4101408034)
2. Abdul Aziz Hidayat
(4101408205)
3. Nurrohmah
(4101408088)
4. Sucipah
(4101408144)
5. Seto Satoto
(4101408090)
Fakultas Matematika dan Imu Pengetahuan Alam
UNIVESITAS NEGERI SEMARANG
2009
Vektor
1)
Definisi
Besaran yang mempunyai arah disebut vektor.
2)
Operasi Vektor
 Definisi : Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, maka jumlah
v + w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut.
Tempatkanlah vektor w sehingga titik awalnya berhimpit dengan
titik terminal v. Vektor v + w dinyatakan oleh panah dari titik
awal v terhadap titik terminal w.
 Definisi : Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, pengurangan
w dari v didefinisikan oleh v – w = v + (-w ).
 Definisi : Jika v dan w adalah vektor tak nol dan k bilangan riil
tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor
yang panjangnya
kali panjang v dan yang arahnya sama
seperti arah v jika k > 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0
. kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0.
3)
Sifat – Sifat Aljabar Vektor
Dengan menggunakan definisi-definisi aljabar vektor di atas, maka dapat
diturunkan beberapa sifat-sifat. Misalkan
,
vektor, m dan n skalar, maka berlaku sifat – sifat :

+

+(
=
+
+
)=(
+
 m = m
 m ( n ) = ( mn)
 (m+n)
 m(
+
=m
+n
)=m +m
)+
dan
adalah vektor –
4)
Norma Vektor dan Ilmu Hitung Vektor
Jika
(
,
,
) dan
(
,
,
) adalah dua titik di ruang 3, maka
jarak diantara kedua titik tersebut adalah norma vektor
. Karena
P1P2 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Jelas
Secara umum jika :
v=(
5)
,
, ... ,
) maka
Hasil Kali Titik, Proyeksi.

Definisi : Jika u dan v adalah vektor – vektor di ruang 2 atau
ruang 3 dan
adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik
(dot product) atau hasil kali dalam Euclidis ( Euclidean inner
product ) u.v didefinisikan oleh :

Teorema 2. Misalkan u dan v adalah vektor di ruang 2 atau ruang
3.
1. v.v =
; yakni,
=
2. jika u dan v adalah vektor – vektor tak nol dan
adalah
sudut diantara kedua vektor tersebut, maka
lancip jika dan hanya jika u.v > 0
tumpul jika dan hanya jika u.v < 0
=

jika dan hanya jika u.v = 0
Teorema 3 . Jika u,v dan w adalah vektor – vektor di ruang 2 atau
ruang 3 dan k adalah skalar, maka
1. .v = v.u
2. u.(v+w) = u.v + u.w
3. k (u.v) = (ku).v = u (kv)
4. v.v
0 jika v
0 dan v.v = 0 jika v = 0

Teorema 4. Jika u dan a adalah vektor di ruang 2 atau di ruang 3
dan jika a
0 , maka
Panjang proyeksi vektor u pada a :
6)
Hasil Kali Silang
Definisi
Jika U = (U1, U2, U3) dan V = (V1, V2, V3) adalah vektor di ruang -3, maka
hasil kali silang U X V adalah vektor yang didefinisikan oleh
Atau dalam notasi determinan
Teorema
Jika U dan V adalah vektor di ruang 3, maka :
a)
b)
c)

Teorema 6. Jika U, V, W adalah sebarang vektor di ruang -3 dan
k adalah sebarang skalar, maka :
a) U X V
= - (V X U)
b) U X (V + W)
= (U X V) + (U X W)
c) (U + V) X W
= (U X W) + (V X W)
d) k (U X V) = (kU) X V
e) U X 0
f) U X U
= U X kV
=0XU
=0
=0
Tinjaulah vektor-vektor
i = (1, 0, 0)
j = (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)
masing-masing vektro ini mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang
sumbu koordinat sesuai dengan gambar berikut :
z
k (0, 0, 1)
j (0, 1, 0)
y
i (1, 0, 0)
x
Vektor tersebut disebut vektor satuan baku (standard unik vectors) di ruang
3. Setiap vektor V = (V1,V2,V3) di ruang 3 dapat diungkapkan dengan i, j,
dan k karenanya kita dapat menuliskan
Misalnya
Dari beberapa hal di atas kita dapatkan
Atau lebih mudahnya kita lihat diagram berikut
i
j
k
Jika U dan V adalah vektor-vektor tak nol di ruang 3, maka norma U X V
mempunyai tafsiran geometrik yang berguna. Identitas lagrange menyatakan
=
Jika θ menyatakan sudut antara U dan V, maka di dapat
7)
Garis dan Bidang di Ruang-3
Bentuk normal Titik dari Persamaan Bidang
Jika persamaan bidang yang lewat titik P0 (x0, y0, z0) dan mewmpunyai
vektor tak nol n = (a,b,c) sebagai normal maka jelas bahwa bidang
tersebut terdiri dari persis titik-titik P (x,y,z) untuk vektor
ke n yaitu
karena
maka persamaan tersebut dapat ditulis
ortogonal

Teorema 7
Jika a,b,c dan d adalah konstanta dan a,b, serta c
tidak semuanya nol maka grafik persamaan
Adalah sebuah bidang yang mempunyai vektor n =
(a,b,c)
sebagai normal.
Persamaan Parametrik
Misalkan l adalah garis di ruang 3 yang melalui titik P0 (x0, y0, z0) dan
sejajar dengan vektor tak nol v = (a,b,c). jelaslah bahwa l persis terdiri
dari titik P (x,y,z) untuk mana vektor
sejajar dengan v yakni untuk
mana terdapat skalar sehingga
Suku dari komponen diatas dapat ditulis sebagai
Dari persamaan di atas diperoleh
dimana
z
P(x,y,z
)
P0(x0,y0,z0)
(a,b,c)
v
l
y
x
Persamaan Simetrik
Jika terdapat tak terhingga banyaknya bidang yang melalui garis, maka
selalu ada tak terhingga banyaknya pasangan bidang seperti itu. Untuk
mencari dua bidang itu bila a, b, dan c semuanya berbeda dari nol, maka
persamaannya dapat ditulis sebagai berikut.

Teorema 8
jarak D antara P0 (x0, y0, z0) dengan bidang adalah
ax + by + cz + d = 0 adalah
1. Tugas Awal
Kerjakan soal berikut dengan tepat!
1) Hitunglah norma vector v bila !
a) v=(1,1,1)
b) v=(-8,7,4)
2) Hitunglah jarak diantara P1 (8,-4,2) dan P2 (-6,-1,0)!
3) a) Carilah Proyeksi ortogonal dari u pada a jika u=(-7,1,3) dan
a=(5,0,1)!
b) Carilah dua vector yang normanya 1 yang ortogonal ke (3,-2)!
4) Misalkan u=(2,-1,3), v=(0,1,7), dan w= (1,4,5).Hitunglah:
a) v x w
b) u x (v x w)
Penyelesaian Tugas Awal
1. a)
b)
=
2. Jarak antara
=
=
=
=
.
=
=
=
3. a) Proyeksi vektor u pada a
u=
dan a= (5,0,1)
misal v = proyeksi vektor u pada a
Jadi v =
v=
v=
b) misal u =
tulis v = (3,-2)
ortogonal ke (3,-2)
Jadi dua vector tersebut adalah
4.
(a)
=
(b)
=
=
dan
2. Tugas Akhir
Kerjakan soal berikut dengan tepat!
1) Hitunglah norma vector v bila !
2)
a)
v=(2,2,7)
b)
v=(1,7,9)
a) Carilah Proyeksi ortogonal dari u pada a jika u=(0,0,1) dan
a=(8,3,4)!
b) Carilah dua vector yang normanya 1 yang ortogonal ke (7,3)!
3) Misalkan u=(1,2,3), v=(7,1,0), dan w= (5,4,1).Hitunglah:
a)
vxw
b)
u x (v x w)
5) Carilah jarak D antara titik (1,1,3) dengan bidang 3x-2y+6z=-1!
Pembahasan Tugas Akhir Kelompok
1)
a).
b).
2)
a). Misal proyeksi vektor U pada a = w
b). Misal vektor U = ( U1, U2) ortogonal ke V = (7,3)
Karena saling ortogonal maka U.V= 0
Jika
Jika
Jika 2 vektor itu
dan
3)
U = (1,2,3), V = (7,1,0), W = (5,4,1)
a) V x W?
VxW=
V x W = (1,-7,23)
b) U x (V x W)?
U x (V x W) =
U x (V x W) = (67,-20,-9)
4)
Jarak D antara titik (1,1,3) dengan bidang 3x -3y +6z = -1
Misal jawab = S
Soal Kuis :
1. Hitunglah u (v x w) bila
u = ( -1,4,7 ) , v = ( 6,-7,3) , dan w = ( 4,0,1 ) !
2. Carilah jarak antara titik ( 1,1,1 ) dengan bidang
3. Carilah
!
jika u = ( 4,5 ) , a = ( 1,-2 ) !
Penyelesaian :
1. u = ( -1,4,7 ) , v = ( 6,-7,3) , dan w = ( 4,0,1 )
u (v x w)
=u
=
= 7+24+196 = 227
2. Misal d = jarak antara titik ( 1,1,1 ) dengan bidang
D=
3.
=
=
=
=
=
=
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard.Aljabar Linear Elemeter .Drexel Uiversity:Erlangga