basis dan dimensi

BASIS DAN DIMENSI
Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = (v1, v2, ...vn) merupakan
himpunan V, maka S disebut sebagai basis V jika :
1. S bebas linier
2. S merentang V
Contoh :
Misalkan v1 (1, 2, 1) v2 (2, 9 ,0) v3 (3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan s
{v1, v2, v3} adalah basis untuk R3. Untuk memperlihatkan s merentang R3
maka harus diperlihatkan sebuah vektor sembarang b (b1, b2, b3) dapat
dinyatakan sebagai kombinasi liner b = k1v1 + k2v2 + k3v3
1 
 2
3  b1




k1 2  k 2 9  k 33  b2
 
 
   
1
0
4 b3
1 2 3  k1  b1
2 9 3  k 2  b2

    
1 0 4  k 3 b3
 tunjukkan bahwa b (b1, b2, b3) memiliki sebuah pemecahan
 tunjukkan bahwa solusi k (k1, k2, k3) ketika k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0
hanya k1=k2=k3=0
Point pertama bisa dilakukan dengan mengecek nilai det A
1 2 3
1
2
2 9 30
5
1 0 4
0 2
3
1 0 21 / 5
 3  5  0 1  3 / 5  1 /
1
1
0
0
 1/ 5  5 0
1
0  1
0
0
1
0 0  1/ 5
Karena det A = -1 → akan ada solusi tunggal dan ketika k1v1 + k2v2 +
k3v3 = 0 → akan diperoleh k1=k2=k3=0 dengan demikian S adalah
basis untuk R3
Vektor tak nol V dinamakan berdimensi berhingga jika ruang vektor
tersebut mengandung sebuah himpunan vektor (v1, v2, ...vn) yang
membentuk sebuah basis (memenuhi persyaratan) jika tidak maka V
dinamakan berdimensi tak berhingga
Dimensi dari sebuah vektor V yang berdimensi Berhingga adalah
banyaknya vektor tak nol dalam basis untuk V
Contoh sebelumnya, karena k1=k2=k3=0 maka hanya ada 1 basis.
Karena hanya ada 1 vektor dalam basis tersebut yaitu 0
Contoh lain :
Tentukan basis dan jumlah dimensi untuk ruang pemecahan :