pertemuan12
advertisement
Pertemuan 12 VEKTOR DALAM DAN SERTA ARTI GEOMETRINYA Pada bagian ini akan dibahas tentang vektor dan aplikasinya dalam dan . Sedangkan bagian selanjutnya akan dibahas vektor secara umum. Saat ini, kita hanya memfokuskan pada dan , sebab dalam ruang ini kita akan mudah membayangkan secara geometri. Vektor-vektor dapat dinyatakan sebagai segmen garis berarah atau panah dalam dan . Ekor panah dinamakan titik permulaan (titik awal, titik initial) sedangkan ujung panah sering disebut titik akhir (titik terminal) vektor. Gambar 1 Gambar berbagai vektor Sering dituliskan Definisi 1: Dua vektor dan dikatakan sama (ekuivalen) jika kedua vektor tersebut sama panjang dan arahnya dan dapan dituliskan . Definisi 2: Jika dan adalah dua vektor sembarang, maka permulaannya berimpit dengan titik awal vektor . adalah vektor yang titik dan titik akhirnya berimpit dengan titik akhir Gambar 2 Gambar penjumlahan dua buah vektor Dari gambar di atas penjumlahan dua vektor dapat dilihat sebagai diagonal paralelogram. 1. Arti Geometri Vektor Dalam sistem koordinat kartesius, dua vektor dapat mempunyai titik awal yang berbeda. Gambar 3 Gambar vektor pada bidang koordinat Terlihat pada gambar di atas bahwa vektor sedangkan berawal di titik (6, 0).Vektor mempunyai titik awal di titik (0, 0), berawal juga di (0, 0) dan 1). Jelas bahwa . Gambar 4 Penjumlahan vektor dan vektor berlawanan arah Definisi 3: Vektor nol adalah vektor yang panjangnya nol dan disimbolkan dengan . berawal di (5, Juga terlihat bahwa: . Definisi 4: Apabila sebuah vektor, maka adalah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor . Definisi 5: Jika dan adalah dua vektor sembarang, pengurangan vektor didefinisikan sebagai: Gambar 5 Pengurangan dua buah vektor Definisi 6: Jika adalah sebuah vektor dan perkalian adalah sebuah bilangan real (skalar), maka hasil didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya arahnya sama dengan untuk . Jika arah yang berlawanan dengan . Jika Apabila kali panjang dan , hasil perkalian tersebut memberikan atau , maka adalah sebuah vektor dalam bidang dan titik awalnya diletakkan di titik (0, 0), maka koordinat dari disebut komponen dari dan dituliskan sebagai . Vektor yang titik awalnya di titik pusat koordinat sering disebut vektor posisi. Gambar 6 Vektor pada bidang Jadi, dua buah vektor dan dan adalah sama (ekuivalen) jika . Juga terlihat jelas bahwa: dengan k suatu skalar sementara itu, dalam ruang , vektor dapat dinyatakan sebagai: . Gambar 7 Vektor pada ruang Dalam ruang dimensi tiga dengan serta dapat dihasilkan: dengan suatu scalar kadang-kadang vektor tidak mempunyai titik awal di titik asal sehingga: untuk bidang akhir di untuk bidang akhir di contoh 1: , bila suatu vektor mempunyai titik awal di dan titik maka , bila suatu vektor maka mempunyai titik awal di dan titik tentukan komponen vektor yang mempunyai titik awal di dan mempunyai titik akhir di Jawab: Vektor dapat juga digunakan untuk menyatakan proses translasi (pergeseran). Pada sistem koordinat yang digeser dengan vektor koordinat yang baru akan berbentuk maka sumbu dengan persamaan translasinya. dan Sedangkan untuk ruang dimensi tiga, akan mempunyai persamaan translasi: dan Bila digeser dengan vektor yang mempunyai komponen Contoh 2: Misalkan titik asal yang baru dari sistem koordinat adalah mempunyai koordinat maka koordinat dari titik adalah Gambarnya adalah sebagai berikut. Vektor yang menggeser menjadi dan titik . Gambar 8 Pergeseran sistem Koordinat 2. Norm dan Jarak Sekarang kita akan melihat sifat-sifat vektor dalam ruang atau ruang . Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut. 1. 2. 3. 4. 5. untuk suatu skalar k dan 1 6. untuk skalar t 7. untuk suatu skalar dan 8. Definisi 7: Panjang sebuah vektor sering disebut norm dan disimbolkan dengan Dari teorema Phythagoras terlihat bahwa sebuah vektor akan mempunyai panjang: Sedangkan apabila berada di Sementara itu, apabila vektor titik akhir di titik dan , maka: mempunyai titik awal di maka dan mempunyai dan Bila di dan titik awalnya (panjang) vektor dan titik akhirnya maka norm adalah: Contoh 3: Jika vektor mempunyai titik awal di dan titik akhir maka: dan Panjang (norm) adalah: Beberapa teorema yang penting: 1. Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz 2. Pertidaksamaan segitiga 3. Persamaan Lagrange 3. Perkalian Titik dan Proyeksi dalam Vektor Definisi 8: Yang diartikan dengan sudut antara vektor dan setelah titik awal vektor dan adalah sudut yang dihasilkan oleh dan titik awal vektor diimpitkan dengan yang memenuhi Gambar 9 Sudut Lancip, tumpul, dan siku-siku Definisi 9: Jika dan adalah 2 vektor dalam perkalian titik atau dan adalah sudut antara dan , maka atau perkalian dalam Euclid adalah diberikan dengan: jika dan Jika dan Aturan Cosinus: Gambar 10 Segitiga dan panjang sisi-sisinya Apabila ABC adalah sebuah segitiga dan adalah sudut yang diapit oleh garis a dan garis b, maka: Rumus di atas dapat pula dinyatakan sebagai berikut, Jika adalah titik dengan dan maka sudut antara dan memenuhi persamaan: Definisi 10: Misalkan Misalkan dan dengan dan dengan + + + + + dan dan maka: maka: Gambar 11 Vektor Contoh 4: Jika diketahui Jadi, dan dan sudut antara , maka dan dapat dicari dengan: Sehingga Berikut adalah hasil perkalian titik (perkalian dalam Euclid). 1. dan 2. Jika dan dan adalah sudut antara vektor dan , maka: adalah sudut lancip jika dan hanya jika adalah sudut tumpul jika dan hanya jika jika dan hanya jika 3. 4. 5. untuk suatu skalar k 6. jika 7. jika Definisi 11: Dua buah vektor dan disebut vektor-vektor yang ortogonal jika Dalam arti geometri, ortogonal diartikan sebagai saling tegak lurus. Perkalian titik ini mempunyai kegunaan untuk menguraikan sebuah vektor ke dalam jumlahan dua vektor yang saling tegak lurus. Jika dan adalah vektor dalam atau , maka kita menuliskan sebagai: Dengan: adalah vektor yang sejajar (kelipatan) dari dan adalah vektor yang ortogonal (tegak lurus) pada . Sebagai ilustrasi, perhatikan gambar berikut. Gambar 12 Dekomposisi vektor Vektor dan dapat disebut vektor yang merupakan komponen-komponen dari vektor . Contoh 5: Jika diketahui vektor dan yang sejajar dengan dan tentukan komponen vektor Jawab: Katakanlah maka , tentukan komponen vektor yang tegak lurus pada . 4. Perkalian Silang Perkalian silang dua buah vektor memegang arti penting dalam geometri, ilmu fisika, dan ilmu-ilmu teknik. Definisi 12: Perkalian silang dua buah vektor disimbolkan dengan dan dan didefinisikan sebagai: Atau bila dituliskan dalam bentuk determinan adalah: Contoh 6: Bila Tentukan Jawab: dan dan dalam ruang , Jadi, terlihat bahwa adalah suatu skalar, sedangkan adalah suatu vektor. Beberapa sifat penting dari perkalian silang dua buah vektor ( dan di dalam adalah sebagai berikut. 1. (yaitu tegak lurus dengan ) 2. (yaitu tegak lurus dengan ) 3. 4. ) 5. 6. 7. 8. 9. Catatan: Untuk ruang ada 3 vektor khusus yang sering disebut vektor satuan standar, yaitu: dan Apabila digambarkan dalam koordinat adalah sebagai berikut. Dari definisi perkalian silang dua buah vektor, maka diperoleh: Dengan cara yang sama akan diperoleh: ) Contoh 7: Suatu vektor dapat dinyatakan dalam bentuk vektor dan Perhitungan perkalian silang dua vektor menggunakan “aturan tangan kanan”, yaitu: Gambar 13 Perkalian silang dua vektor Hasil yang menarik adalah norm dari perkalian silang dua vektor dan . Dari persamaan Lagrange dipunyai: Sedangkan sehingga Jadi Intepretasi geometri dari merupakan luas paralelogram yang dibatasi vektor . Gambar 14 Interpretasi norm pada perkalian silang dua vektor Untuk menghitung luas segitiga ABC adalah dengan mengalikan luas paralelogram dengan setengah. Contoh 8: Dengan menggunakan pengertian di atas, hitunglah luas segitiga yang mempunyai titik sudut di titik dan 5. Aplikasi Vektor pada Bidang dan Garis Pada bagian ini terutama akan dibahas tentang persamaan garis dan persamaan bidang pada ruang . Definisi 13 (Persamaan Bidang Bentuk Vektor): Sebuah bidang adalah himpunan titik-titik P yang memenuhi persamaan: dengan dan vektor yang tidak paralel. Teorema 1: adalah suatu skalar serta dan adalah dua buah Tiga buah titik yang tidak segaris dan dapat memiliki satu bidang yang melalui ketiga titik tersebut apabila mempunyai persamaan: atau Persamaan bidang dalam Teorema 1 dapat pula dituliskan dalam bentuk parametric, yaitu: atau Teorema 2: Jika dan adalah tiga buah titik yang tidak segaris, maka bidang yang melalui titik tersebut diberikan sebagai: atau dapat ditulis dalam bentuk di mana adalah sembarang titik. Teorema 3 (Persamaan Bidang Bentuk Umum): Persamaan bidang yang melalui tiga titik A, B, C seperti di atas dapat pula dituliskan dalam bentuk: dengan , dan Teorema 4: Andaikan bidang dan memiliki normal yang tidak paralel, maka perpotongan kedua bidang tersebut membentuk garis L. selain itu, persamaan dengan dan yang keduanya tak sama dengan nol akan memberikan bentuk persamaan semua bidang yang melalui garis L. Dengan kata lain, apabila ada sebuah titik dan sebuah vektor yang tidak sama dengan nol, maka persamaan bidang yang ortogonal (tegak lurus) dengan vektor akan berbentuk: Dalam hal ini adalah sembarang titik yang terletak pada bidang tersebut. Gambar 15 Sebuah bidang pada ruang dengan normal Bentuk persamaan bidang yang mempunyai normal dan melalui titik adalah: Dengan kata lain: Merupakan sebuah persamaan garis yang mempunyai sebagai vektor normalnya. Teorema 5 (Jarak dari 1 titik ke bidang): Jika dan ax+by+cz=d, maka ada titik tunggal normal bidang S dan bidang dengan pada bidang tersebut sehingga persamaan adalah arah Contoh 9: Tentukan persamaan bidang yang melalui titik dan tegak lurus pada vektor Jawab: Persamaan bidang tersebut adalah: Contoh 10: Carilah persamaan bidang yang melalui titik dan Jawab: Untuk menyelesaikan persamaan mempunyai persamaan: tersebut, persamaan Titik ada pada bidang tersebut, sehingga : Titik ada pada bidang tersebut, sehingga: Titik bidang itu dimisalkan terletak pada bidang tersebut, sehingga: Selesaikan ketiga persamaan di atas, maka kita akan mendapatkan persamaan bidang tersebut. Definisi 14: Persamaan garis L pada ruang vektor yang melalui titik dan sejajar dengan yang tidak sama dengan nol akan mempunyai bentuk: Dengan adalah titik sembarang yang terletak pada garis tersebut. Gambar 16 Sebuah garis pada ruang apabila dijabarkan akan berbentuk: Persamaan garis yang melalui titik dan sejajar dengan vektor akan berbentuk: Dengan Persamaan di atas tersebut persamaan parametrikuntuk garis. Selain itu, persamaan garis yang melalui titik akan berbentuk: Persamaan ini disebut persamaan simetrik untuk garis. Teorema 6: dan sejajar dengan vektor Jika dan adalah dua titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis yang memuat A dan B dan garis tersebut mempunyai persamaan: atau atau dengan t adalah sembarang skalar. Teorema 7 (Rasio Joachimsthal): Jika t adalah parameter pada Teorema 6 di atas, maka: a. b. c. jika tidak sama dengan terletak antara dan jika d. B terletak antara A dan P jika e. A terletak antara P dan B jika Teorema 8 (Jarak 1 titik ke garis): Jika C adalah sebuah titik L adalah garis yang melalui A dan B, maka ada tepat satu titik P pada L sehingga tegak lurus , yaitu: gambar 17 Jarak titik C terhadap garis AB teorema 9 (Proyeksi Segmen Garis pada Garis): apabila dua titik sehingga dan dan memiliki proyeksi berupa 2 titik pada garis AB, yaitu dan tegak lurus garis AB, maka: Gambar 18 Proyeksi pada garis AB Contoh 11: Tentukan persamaan garis yang melalui titik dan sejajar vektor Jawab: Dalam hal ini dan dengan bentuk persamaan parametrik adalah: dengan Dalam bentuk persamaan simetrik, persamaannya adalah: Contoh 12: Jika dan , tentukan titik P pada garis Ab yang memenuhi Jawab: Sehingga t = ¾ atau t = 3/2. Oleh karena itu, titik P yang dimaksud adalah atau Contoh 13: L adalah garis yang melalui melalui dan dan sedangkan N adalah garis yang . Buktikan bahwa sepasang garis tersebut berpotongan dan tentukan titik potongnya. Jawab: Garis L mempunyai persamaan atau Sementara itu, garis N mempunyai persamaan atau Samakan persamaan kedua garis tersebut dan setelah disederhanakan maka diperoleh SPL: Didapat t = 2/3 dan s = 1/3. Jadi, titik potong garis L dan garis N di titik (-2/3, 5/3, 1/3). Contoh 14: Tunjukkan bahwa bidang dan bidang membentuk garis dan tentukan persamaan garis tersebut ! Jawab: Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Yordan, SPL: berpotongan Diselesaikan dan menghasilkan penyelesaian: Dapat pula ditulis sebagai berikut: Persamaan garis tersebut melalui titik A(-1/2, 3/2, 0) dan mempunyai vektor arah Ulangan Bab 4 Kerjakan soal-soal berikut dengan benar. 1. Tentukan vektor dan gambarkan dalam sumbu koordinat jika A(1, -1) dan B(4, 2). 2. Gambarkan dalam sumbu koordinat , vektor 3. Untuk menghitung luas segitiga dalam dapat digunakan dua rumus, yaitu: a. Luas segitiga bila dan b. Luas segitiga dengan Dengan menggunakan kedua cara di atas, hitunglah luas segitiga yang mempunyai titik sudut dan 4. Tentukan titik di mana garis yang melalui dan memotong bidang xz. 5. Misalkan A, B, dan C adalah tiga buah titik yang non-collinear (tidak segaris). E adalah titik tengah BC dan F adalah titik pada segmen EA yang memenuhi . Buktikan bahwa Titik F sering disebut sebagai titik pusat (centroid) segitiga ABC. 1. Buktikan bahwa titik dan adalah collinear (terletak dalam satu garis). 2. Jika A(2, 3, -1) dan B(3, 7, 4), tentukan titik pada garis AB yang memenuhi 3. M adalah garis yang melalui A(1, 2, 3) yang sejajar dengan garis yang menghubungkan B(-2, 2, 0) dan C(4, -1, 7). Sementara itu, N adalah garis yang menghubungkan E(1, -1, 8) dan F(10, -1, 11). Buktikan bahwa dan berpotongan dan tentukan titik potongnya. 4. Buktikan bahwa sudut-sudut yang dibentuk titik A(-3, 5, 6), B(-2, 7, 9), dan C(2, 1, 7) adalah dan 5. Tentukan titik pada garis AB yang terdekat dengan titik pusat (0, 0, 0) di mana dan 6. Garis N ditentukan oleh dua bidang: dan . 7. Tentukan titik P dan N yang terdekat dengan titik C(1, 0, 1) dan tentukan jarak PC. 8. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (6, 0, 2) dan tegak lurus dengan garis yang merupakan perpotongan dua bidang: dan 9. Tentukan panjang proyeksi segmen garis AB pada garis L, di mana A(1, 2, 3) dan B(5, -2, 6) serta garis L adalah garis yang melalui titik C dan D di mana C(7, 1, 9) dan D(-1, 5, 8). 10. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(3, -1, 2) dan yang tegak lurus pada garis L yang menghubungkan B(2, 1, 4) dan C(-3, -1, 7). Tentukan pula titik potong garis L dan bidang tersebut serta tentukan jarak dari A ke L. 11. B adalah titik yang terletak pada bidang . Sementara itu, titik A(6, -1, 11) dan BA membentuk garis yang tegak lurus pada bidang tersebut. Tentukan B dan panjang jarak AB. 12. Tunjukkan bahwa segitiga dengan titik sudut A(-3, 0, 2), B(6, 1, 4), dan C(-5, 1, 0) mempunyai luas sebesar 13. Tentukan persamaan bidang melalui titik A(2, 1, 4), B(1, -1, 2), dan C(4, -1, 1).
