Operasi Hitung Bilangan Pecahan Operasi

SD - 1
Operasi Hitung Bilangan Pecahan
Operasi Hitung Dalam Matematika (Bagian 2 - SD)
Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan :
•
Penjumlahan pada bilangan pecahan :
- Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama :
Rumus :
a
b
a+ b
+ =
c
c
c
;
a
b
;
c
c
pembilang
Penyebut
Contoh :
5+ 2
5
2
7
+ =
=
=1
7
7
7
7
Pembilang dijumlahkan dengan pembilang (5+2)
Penyebut tidak dijumlahkan karena nilainya sama (7)
- Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang tidak sama :
Rumus :
a
b
axd
cxb
+
=
+
Æ rumus 1
c
d
cxd
cxd
b
( KPK ) : c) xa
( KPK : d ) xb
a
+
=
Æ rumus 2
+
c
d
KPK
KPK
Contoh :
5
2
5 x3
7 x 2 15 14
29
+ =
+
=
+
=
7
3
7 x3
7 x3
21 21
21
Untuk penjumlahan dengan penyebut yang tidak sama, penyebutnya harus disamakan
terlebih dahulu dengan dua cara :
1. dengan mengalikan kedua penyebut Æ rumus 1
2. dengan menentukan KPK nya Æ rumus 2
(contoh diatas KPK dari 3 dan 7 adalah 21)
Cara 1 : menurut penulis lebih cepat
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SD - 2
•
Pengurangan pada bilangan pecahan
- Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama :
Rumus :
a− b
a
b
=
; c≠ 0
c
c
c
Contoh :
5− 2
5 2
3
- =
=
7 7
7
7
Apabila penyebutnya sama, pembilang bisa langsung dikurangkan
- Pengurangan pecahan dengan penyebut yang tidak sama :
Rumus :
axd cxb
a b
=
Æ rumus 1
c d
cxd cxd
a b
( KPK ) : c) xa ( KPK : d ) xb
=
Æ rumus 2
c d
KPK
KPK
Contoh :
5 2
5 x3 7 x 2 15 14
1
- =
=
=
7 3
7 x 3 7 x3
21 21 21
Untuk pengurangan dengan penyebut yang tidak sama, penyebutnya harus disamakan
terlebih dahulu dengan dua cara sama seperti dengan penjumlahan:
1. dengan mengalikan kedua penyebut Æ rumus 1
2. dengan menentukan KPK nya Æ rumus 2
•
Perkalian bilangan pecahan :
Dalam perkalian bilangan pecahan : pembilang dikalikan dengan pembilang ; penyebut
dikalikan dengan penyebut
- Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan bulat :
axb
a
Rumus :
x b=
; c≠ 0
c
c
Contoh :
5
5
4
x4=
x
=
7
7
1
5x4
20
;
=
7
7
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SD - 3
- Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan :
Rumus :
Contoh :
a
b
axb
x
=
; c dan d ≠ 0
c
d
cxd
4
5x4
20
5
x =
=
7 5
7 x5
35
- Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan campuran :
3
2
(5 x 2) + 3 2 13 2 13x 2
36
6
Contoh : 2 x
=
x =
=2
x =
=
5
3
5
3
5
3
5 x3
15
15
•
Pembagian bilangan pecahan :
- Pembagian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan
a b
a d
axd
Rumus :
:
=
x
=
c d
c
b
cxb
Menjadi perkalian dengan bilangan keduanya (pembilang dan penyebutnya ditukar)
Contoh :
5 4
5 5
5 x5
25
: =
x
=
=
7 5
7
4
7 x4
28
- Pembagian bilangan pecahan biasa dengan bilangan pecahan campuran
contoh : 3
3
2
4 x3 + 3 5 15 5 15 x5 75
3
:
=
x =
=9
x =
=
4
5
4
2 4
2
4 x2
8
8
Bilangan pecahan campuran dibuat dulu menjadi bilangan pecahan biasa
- Pembagian bilangan cacah dengan bilangan pecahan :
Contoh : 3 :
2
15 5
15
=
x =
5
5
2
2
Bilangan cacah diubah menjadi bilangan pecahan dengan penyebutnya mengikuti
penyebut bilangan kedua
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SD - 4
Menyederhanakan bentuk pecahan :
Caranya yaitu dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan FPB dari
keduanya :
Contoh : Bentuk sederhana dari
12
?
15
Faktor prima dari 12 = 2 x 2 x 3 = 2 2 x 3
Faktor prima dari 15 = 3 x 5
FPB dari 12 dan 15 adalah 3
Sehingga bentuk sederhananya dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan 3
12 12 : 3 4
=
=
15 15 : 3 5
Mengubah pecahan campuran ke pecahan biasa :
Rumus : a
b
(cxa) + b
=
c
c
Contoh : 3
2
(4 x3) + 2 14
=
=
4
4
4
Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan persen :
Pecahan persen adalah pecahan biasa dengan penyebutnya 100
Contoh :
15
15 x 4
60
=
= 60 %
=
25
25 x 4 100
7
7 x10
70
=
= 70 %
=
10 10 x10 100
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SD - 5
Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal :
Mengubah penyebut ke bilangan perpangkatan 10 (10,100,1000,…)
Contoh :
4
4 x2
8
=
= 0,8
=
5
5 x 2 10
9
9 x5
45
=
= 0,45
=
20 20 x5 100
- Jika bilangan bulat positif dijumlahkan dengan bilangan bulat negatif yang nilainya
sama maka hasilnya adalah 0 (nol)
contoh :
6 + (-6) = 0
Sifat-sifat Penjumlahan :
1. Sifat Asosiatif
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SD - 6
(a+b)+c=a+(b+c)
Contoh :
(5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12
2. Sifat Komutatif
a+b=b+a
Contoh :
7+2=2+7=9
3. Unsur Identitas terhadap penjumlahan
Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan
a+0=0+a
Contoh :
6+0=0+6
4. Unsur invers terhadap penjumlahan
Invers jumlah (lawan) dari a adalah -a
Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a
a + (-a) = (-a) + a
contoh :
5 + (-5) = (-5) + 5 = 0
5. Bersifat tertutup
Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah
bilangan bulat juga.
a dan b ∈ bilangan bulat maka a + b = c ; c ∈ bilangan bulat
•
contoh :
4 + 5 = 9 ; 4,5,9 ∈ bilangan bulat
Pengurangan Bilangan Bulat
a. Apabila terjadi pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif maka:
1. Bilangan bulat positif dikurangi dengan bilangan bulat positif yang lebih kecil maka
hasilnya dalah bilangan bulat positif
Contoh :
9–5=4
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SD - 7
2. Bilangan bulat positif dikurangi dengan bilangan bulat positif yang lebih besar maka
hasilnya adlah bilangan bulat negatif
Contoh :
3 – 6 = -3
b. Apabila terjadi pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif maka:
1. Bilangan bulat negatif dikurangi dengan bilangan bulat negatif yang lebih kecil
maka hasilnya adalah bilangan bulat positif
Contoh :
-6 - (-8) = -6 + 8 = 2
(ingat - 8 < -6 )
2 Bilangan bulat negatif dikurangi dengan bilangan bulat negatif yang lebih besar
maka hasilnya adalah bilangan bulat negatif
Contoh :
-5 – (-3) = -5 +3 = -2
( -3 > -5 )
3. Bilangan bulat negatif yang dikurangi sama dengan bilangan bulat negatif yang
mengurangi maka hasilnya adalah 0 (nol)
Contoh :
-4 - (-4) = -4 + 4 = 0
c. Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif hasilnya selalu
bilangan bulat positif
contoh :
8 – (-4) = 8 + 4 = 12
d. Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif hasilnya selalu
bilangan bulat negatif
contoh :
-8 – 4 = - 12
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SD - 8
e. Pengurangan dilakukan dengan cara bersusun
contoh :
212 - 19 = ?
Proses perhitungan
1. Kurangi 2 dengan 9, karena 2 kurang dari 9 maka pinjam puluhan dari
angka disampingnya, sehingga menjadi 12 dikurang 9 hasilnya 3
2. Karena angka 1 (puluhan) pada 212 sudah dipinjam 1 maka sekarang
menjadi 0, karena 0 dikurang 1 dari angka 19 tidak bisa maka pinjam
1 angka ratusan dari 2 (ratusan) menjadi 10 kemudian dikurangi 1
hasilnya 9
3. Karena angka 2 (ratusan) pada 212 sudah dipinjam 1, maka sekarang
menjadi 1, kemudian dikurangi dengan tidak ada angka dibawahnya
(=0) menjadi 1
4. Hasilnya adalah 193
Pengurangan dan Sifat-sifatnya
212
19 193
1. Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :
a – b = a + (-b)
a – (-b) = a + b
contoh:
8 – 5 = 8 + (-5) = 3
7 – (-4) = 7 + 4 = 11
2. Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
a–b ≠ b-a
(a – b ) – c ≠ a – ( b – c )
Contoh :
7 – 3 ≠ 3 -7 Æ 4 ≠ - 4
(9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3) Æ 2 ≠ 8
3. Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :
a – 0 = a dan 0 – a = -a
4. Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan
hasilnya adalah bilangan bulat juga
:
a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat
contoh :
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SD - 9
7 - 8 = -1 ; 7,8,-1 ∈ bilangan bulat
•
Perkalian
Penjumlahan berulang
a. Perkalian Bilangan Cacah
1. Cara mendatar
- pekalian dua bilangan dengan 1 angka :
4x2=4+4=8
- pekalian bilangan 1 angka dengan bilangan 2 angka :
3 x 13 =
puluhan dan satuan dipisahkan :
3 x 13 = 3 x (10 + 3)
= (3x10) + (3 x 3 )
= 30 + 9
= 39
- perkalian dua bilangan dengan 2 angka :
14 x 15 =
14 x 15 = 14 x (10+5)
= (14x10) + (14x5) Æ 14 x 5 = (10+4) x 5 = (10x5)+(4x5) = 50+20 = 70
= 140 + 70
= 210
- perkalian bilangan kelipatan sepuluh (puluhan, ratusan, ribuan,…)
yang dikalikan hanya bilangan yang bukan nol, jumlah puluhannya dijumlahkan dan
ditulis di belakang hasilnya :
30 x 60 = (3 x 6) 00 = 1800
2. Cara bersusun
12 x 68 =
12
68 x
96
Proses perhitungan :
1. kalikan 8 dan 2 (dari angka12), hasilnya 16: tulis angka 6 dan simpan 1
2. kalikan 8 dan 1 (dari angka12), hasilnya 8, ditambah angka simpanan 1
hasilnya 9
(dibaris pertama hasilnya 96)
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SD - 10
72 +
816
3. kalikan 6 dan 2, hasilnya 12 : tulis angka 2 dan simpan 1
(di bawah angka 9 bergeser 1 kolom ke kiri))
4. Kalikan 6 dan 1, hasilnya 6, ditambah angka simpanan 1
hasilnya 7
5. Ditambahkan hasil (1,2) dan (3,4) = 816
a. Perkalian Bilangan Bulat
- hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif
(+) x (+) = (+)
Contoh: 7 x 6 = 6 x 7 = 42
-hasil perkalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah bilangan bulat negatif
(+) x (-) = (-)
Contoh : 3 x -4 = -12
-hasil perkalian dua bilangan bulat negatif hasilnya adalah bilangan bulat positif
(-) x (-) = (+)
Contoh : -4 x -5 = 20
•
Perkalian dan Sifat-sifatnya
1. Sifat Asosiatif
(a x b) x c = a x (b x c)
Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3x4) = 24
2. Sifat komutatif
axb=bxa
Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20
3. Sifat distributif
a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)
Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24
4 Unsur identitas untuk perkalian
- hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol
ax0=0
- hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga
ax1=1xa=a
5. Bersifat tertutup
Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga
axb=c
; a, b, c ∈ bilangan bulat
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SD - 11
•
Pembagian
•
Pembagian dan Sifat-sifatnya
1. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif
(+) : (+) = (+)
Contoh : 8 : 2 = 4
2. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif
(-) : (-) = (+)
Contoh : -10 : -5 = 2
3. Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif
(+) : (-) = (-)
(-) : (+) = (-)
Contoh : 6 : -2 = -3
-12 : 3 = -4
4. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi
a : 0 Æ tidak terdefinisi (~)
0 : a Æ 0 (nol)
Contoh :
5
0
= ~ (Tidak terdefinisi)
5. Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif
a:b ≠ b:a
(a:b):c ≠ a : (b:c)
1
2
(8:2) : 4 ≠ 8 : (2:4) Æ 1 ≠ 16
Contoh : 4 :2 ≠ 2 : 4 Æ 2 ≠
6. Bersifat tidak tertutup
Jika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga
contoh : 6 : 2 = 3 Æ bilangan bulat
1
7 : 2 = 3 Æ bukan bilangan bulat (bilangan pecahan)
2
•
Pemangkatan bilangan bulat
an = a x a x a x … x a
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SD - 12
Sejumlah n faktor
Contoh : 4 3 = 4 x 4 x 4 = 64
35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
•
Akar pangkat dua dan akar pangkat tiga bilangan bulat
1. Akar kuadrat (akar pangkat dua)
a = b Æ
a 2 = b2 Æ a = b2 = b x b
( )
81 = ? Æ 81 = 9 2 = 9 x 9 Æ b = 9
20 = ? Æ 20 = b 2 Æ b = nilainya tidak bulat
20 = 4x5 = 4 x 5 = 2 5
Contoh :
Tabel :
1 = 1x1 = 1
4 = 2x 2 = 2
9 = 3x3 = 3
16 = 4x 4 = 4
25 = 5x5 = 5 dan seterusnya
2. Akar kubik (akar pangkat tiga)
3
a = b Æ 3 a 3 = b3 = b x b x b
( )
Contoh :
3
3
27 = ? Æ 27 = 33 = 3 x 3 x 3 Æ b = 3
54 = ? Æ 3 27x 2 = 3 27 x 3 2 = 3 3 2
Tabel :
3
1 = 3 1x1x1 = 1
3
8 = 3 2 x2 x2 = 2
3
27 = 3 3 x3 x3 = 3
3
64 = 3 4 x 4 x 4 = 4
3
125 = 3 5 x5 x5 = 5 dan seterusnya
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya