APLIKASI H-Т KONTROL PADA SISTEM MASSA PEGAS

Paradigma, Vol. 14 No. 2 Agustus 2010 hlm. 113–122
APLIKASI H-’ KONTROL PADA SISTEM MASSA PEGAS
Kasbawati1)
1) Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, Makassar 90245
E-mail: [email protected]
ABSTRAK
Pada penelitian ini akan dibahas mengenai aplikasi pengontrol, dalam hal ini kontrol H-tak
hingga, pada sistem massa pegas. Masalah kontrol yang akan dibahas adalah analisis kestabilan atau
performa dari sistem loop tertutup dan menentukan pengontrol yang tepat yang dapat menstabilkan
sistem secara menyeluruh sesuai dengan output yang diinginkan. Kontrol H-tak hingga merupakan
pengontrol yang dapat menstabilkan plant secara internal dan memberikan jaminan ke-robust-an
sistem dan kestabilan sistem.
Kata kunci: kontrol feedback, sistem massa pegas, kontrol H-tak hingga
ABSTRACT
This paper discuss about application of controller, H-infinity control, in a spring mass system
with two mass damped systems. The control problem that will be studied here is to analyze the
stability or performance of a closed loop feedback system and to find a controller that will stabilize
the closed loop feedback system internally in a certain condition based on the output that we want.
H-infinity control will be use to find the controller that can stabilize system internally. H infinity
control can guarantee the robustness system and stabilize system internally.
Keywords: feedback control, spring mass system, H infinity control
Diterima: 31 Mei 2010
Disetujui untuk dipublikasikan: 27 Agustus 2010
1. Pendahuluan
Pengembangan metode kontrol robust telah menjadi fokus utama dalam dua dekade
terakhir ini khususnya dalam komunitas kontrol (control community). Kerobustan suatu
sistem kontrol terhadap gangguan (disturbance) dan ketidakpastian (uncertainty) selalu
menjadi topik utama dalam pembahasan masalah feedback control. Masalah feedback tidak
akan terlalu menarik pada kebanyakan sistem kontrol jika didalamnya tidak terdapat
gangguan dan ketidakpastian [1].
Pemberian pengontrol pada suatu sistem bertujuan untuk membuat sistem tersebut
robust terhadap gangguan sesuai dengan keinginan. Desain kontrol dengan H’ kontrol atau
dengan H2 kontrol menjamin kerobustan suatu sistem tetapi pada umumnya desain
pengontrol dengan menggunakan H’ lebih banyak diminati dibanding desain kontrol
Aplikasi H-’ Kontrol pada Sistem Massa Pegas
114
dengan H2 karena kontrol yang dihasilkan oleh H tak hingga lebih robust dibandingkan
dengan H2 [2].
Sistem massa pegas merupakan salah satu sistem sederhana yang banyak diterapkan
dalam dunia teknologi. Salah satu contohnya adalah sistem massa pegas pada mobil
dimana pengontrol didesain dengan tujuan untuk mengurangi faktor guncangan yang
terjadi jika sebuah mobil melewati sebuah lubang di jalan dengan cara memberi pengontrol
pada pegas mobil, sehingga mobil dapat robust terhadap guncangan tersebut. Akibatnya
pengendara tetap akan merasa nyaman saat melewati jalanan yang berlubang. Semakin
robust kontrol yang didesain maka orang akan semakin nyaman berkendara karena
guncangan tersebut dapat di atasi. Dalam makalah ini, masalah kontrol yang akan dibahas
adalah mendesain suatu pengontrol pada sistem massa pegas dengan menggunakan H tak
hingga (H’) kontrol dan membandingkan hasil antara sistem yang telah diberi pengontrol
dengan sistem yang belum dikontrol untuk melihat apakah sistem menjadi robust dan stabil
secara internal setelah diberi pengontrol.
2. Eksistensi Pengontrol yang Menstabilkan Sistem
Misalkan terdapat plant umum berupa fungsi transfer G(s) yang memetakan input w
dan kontrol input u ke kontrol output z dan output terukur y, dengan bentuk ª z º = G ( s ) ª w º ,
« y»
¬ ¼
«u »
¬ ¼
dimana G(s) mempunyai bentuk realisasi sebagai berikut:
Dalam bentuk close-loop system fungsi transfer G(s) yang diberi pengontrol dapat
digambarkan dalam bentuk diagram Gambar 1.
Gambar 1. Diagram sistem umum terhubung (general system interconnected)
Paradigma, Vol. 14 No. 2 Agustus 2010 hlm. 113–122
115
G merupakan plant yang diperumum, K adalah pengontrol yang akan didesain, w
merupakan semua input external yang meliputi: disturbances, commands, u merupakan
input kontrol, y merupakan sensor output/output terukur dan z berupa regulated output,
untuk suatu u ∈ R m , w ∈ R 1 , z ∈ R p , y ∈ R q , x ∈ R n ,
, A∈Rnxn , B1 ∈Rnx1, B2 ∈ Rnxm, C1 ∈Rpxn , C2 ∈Rqxn, D12 ∈Rpxm, D21 ∈Rqx1.
Jika plant G tertutup (closed-loop system) oleh output feedback u = K ( s) y , seperti pada
Gambar 1, maka lup tertutup dari input w ke z dapat dinyatakan dalam bentuk lower linear
fractional transformation (LFT) yaitu Tzw = Fl (G, K ) = G11 + G12 K (I − G22 K )−1 G21 . Tinjau
sistem umpan balik dalam Gambar 1 dengan plant G yang diasumsikan stabilizable dan
detectable dengan bentuk realisasi di atas. Masalah kestabilan disini adalah menemukan
pengontrol K agar sistem lup tertutup stabil secara internal sehingga syarat well-posedness
dapat dipenuhi.
Definisi 1
Sistem G dikatakan stabilizable jika terdapat pengontrol K yang menstabilkan G secara
internal [3].
Lemma 1
Terdapat pengontrol K (yang proper) yang dapat menstabilkan G secara internal jika dan
hanya jika (A,B2) stabilizable dan (A,C2) detectable [3]. Jika terdapat F dan L sedemikian
sehingga A+B2F dan A+LC2 stabil maka pengontrol K dapat dibentuk menjadi:
ª A + B2 F + LC2 + LD22F − Lº
K(s) = «
F
0 »¼
¬
Bukti: ( ⇐ ) Dari asumsi bahwa sistem stabilizable dan detectable maka terdapat K dan L
sedemikian sehingga A+B2F dan A+LC2 stabil. Misalkan K(s) merupakan pengontrol yang
dapat menstabilkan G secara internal, maka matriks A dari sistem loop tertutup di atas
berbentuk
ª A + LC2
« − LC
2
¬
~ ª A
A=«
¬− LC2
0 º.
A + B2 F »¼
B2 F
º.
A + B2 F + LC2 »¼
Matriks di atas mempunyai bentuk yang sama dengan
Akibatnya spektrum dari matriks A sama dengan gabungan dari spektrum
A+B2F dan A+LC2. Ini mengakibatkan A juga stabil karena A+B2F dan A+LC2 stabil.
Aplikasi H-’ Kontrol pada Sistem Massa Pegas
116
( Ÿ ) Andaikan (A,B2) tidak stabilizable dan (A,C2) tidak detectable. Akibatnya terdapat
~
nilai eigen dari A yang real partnya positif sedemikian sehingga sistem tidak stabil. Hal
ini kontradiksi dengan adanya pengontrol K yang dapat menstabilkan sistem secara internal
berdasarkan Definisi 1.
€
3. Aplikasi Pengontrol pada Sistem Massa Pegas
Tinjau sistem massa pegas dalam Gambar 2.
Gambar 2. Sistem massa pegas (two mass damped system)
Model matematika dari sistem massa pegas dalam Gambar 2 dapat diturunkan dengan
menggunakan konsep gaya yang bekerja pada suatu sistem massa pegas sebagai berikut:
dengan F1 dan F2 sebagai masukan berupa input kontrol dan gangguan, x1 dan x2 sebagai
keluaran. Dengan memisalkan state x1 = x3 , x 2 = x4 diperoleh persamaan ruang keadaan
(state space equation) sebagai berikut:
x = Ap x + B p u
(1)
y = C p x + Dpu
ª 0
ª x1 º
« 0
«x »
«
x
F
dimana
ª
º
ª
º
1
1
2
x = « », u = « », y = « » A = «− k1
p
« x3 »
F
x
¬ 2¼
¬ 2¼
« m1
« »
« k1
¬ x4 ¼
«
¬ m2
0
1
0
k1
m1
k1 + k 2
−
m2
0
b
− 1
m1
b1
m2
0 º
ª0
«0
1 »»
,
«
b1
» B =« 1
p
m1 »
« m1
«
b1 + b2 »
−
»
«0
m2 ¼
¬
0 º
0 »»
0 »
»
1 »
»
m2 ¼
,
Paradigma, Vol. 14 No. 2 Agustus 2010 hlm. 113–122
ª 0
« 0
ª1 0 0 0º ,
ª0 0 º .
Cp = «
« k
» D p = «0 0 »
0
1
0
0
¼
¬
¼ x = «− 1
¬
« m1
« k1
«
¬ m2
117
0
0
k1
m1
k +k
− 1 2
m2
1
0
b
− 1
m1
b1
m2
0 º
ª0
x
1 »» ª 1 º « 0
«x » «
b1
»« 2 » « 1
m1 » « x3 » + « m1
b + b »« » «
− 1 2 » ¬ x4 ¼ « 0
m2 ¼
¬
0 º
0 »»
ªF º
0 » « 1 »,
» ¬ F2 ¼
1 »
»
m2 ¼
(2)
dengan output:
ª x1 º
« »
x
1
0
0
0
ª 1º ª
º « x 2 » ª0 0º ª F1 º
y=« »=«
+«
»
»« » .
¬ x 2 ¼ ¬0 1 0 0¼ « x3 » ¬0 0¼ ¬ F2 ¼
« »
¬ x4 ¼
(3)
Misalkan pada sistem tersebut diberikan fungsi bobot (weighting function) dengan tujuan
untuk mengurangi error yang terjadi pada masing-masing input dan output maka diperoleh
bentuk lup tertutup secara umum sebagai berikut:
K
Gambar 3. Sistem loop tertutup dari plant yang diperumum
Sistem lup tertutup diatas, dapat dibawa ke dalam bentuk lower Linear Fractional
Transformation (LFT) sebagai berikut:
Gambar 4. LFT dari plant sistem massa pegas yang diperumum
Input dan output dalam LFT di atas adalah
Aplikasi H-’ Kontrol pada Sistem Massa Pegas
118
ª w1 º ª F2 º
ªy º
ªz º .
u = F1 , w = «« w2 »» = «« n1 »», y = « 1 », z = « 1 »
y
¬ 2¼
¬ z2 ¼
«¬ w3 »¼ «¬ n2 »¼
ª z1 º
W1 P11 º ª F2 º
,
Wu »» «« n1 »»
« P12
P11 » « n 2 »
»« »
«
0
F
P
W
P
n
22
2
¬
21
¼ ¬ 1 ¼
ªW1 P12
Bentuk realisasi dari plant yang diperumum adalah « » «
«z2 » = « 0
« y1 »
« »
¬ y2 ¼
0
0
W n1
0
0
0
G
dengan fungsi bobot adalah fungsi bobot untuk input: Wu = s + 5 ; fungsi bobot untuk
s + 50
output: W1 = 10 ; fungsi bobot untuk noise: W n1 = W n 2 = 0.01s + 0.1 .
s+2
s + 100
4. Hasil dan Pembahasan
Misalkan diberikan nilai untuk tiap parameter pada sistem massa pegas yaitu m1 = 1,
m2 = 2, k1 = 1, k2 = 4, b1 = 0.2, b2 = 0.1. Dengan menggunakan software Matlab 7 diperoleh
hasil sebagai berikut. Fungsi transfer untuk plant P dari
Fungsi transfer dari plant G dari
§ F2 ·
¨ ¸
¨ n1 ¸
¨ n2 ¸
¨ ¸
© F1 ¹
ke
§ Z1 ·
¨ ¸:
¨ Z2 ¸
¨ y1 ¸
¨ ¸
© y2 ¹
§ F1 ·
¨ ¸
© F2 ¹
ke
§ x1 · :
¨ ¸
© x2 ¹
Paradigma, Vol. 14 No. 2 Agustus 2010 hlm. 113–122
Norm tak hingga dari Tzw, yaitu T1
∞
119
= 0.2309 ≤ γ subopt ; γ subopt = 0.2309 . Hasil kerja dari
kontrol sub optimal yang diperoleh dengan menggunakan kontrol H∞ terhadap sistem
massa pegas dalam Gambar 2 dapat dilihat dalam plot step respon, impulse respon dan plot
frekuensi respon atau bode plot dalam gambar berikut.
Aplikasi H-’ Kontrol pada Sistem Massa Pegas
120
6 WHSUHV SRQV HSDGDNRQWUROLQSXW) NHV LPSDQJDQ[
6 WHSUHV SRQV HSDGDNRQWUROLQSXW) NHV LPSDQJDQ[
6 LV WHP7DQSD. RQWURO
6 LV WHP'HQJDQ. RQWURO
6 LV WHP7DQSD. RQWURO
6 LV WHP'HQJDQ. RQWURO
[
[
WGHWLN
WGHWLN
(a)
(b)
Gambar 5. Pengaruh kontrol input (F1) terhadap output berupa simpangan x1 (Gambar a) dan x2
(Gambar b) pada saat sistem yang diberikan step response
6 WHSUHV SRQV HSDGDJDQJJXDQ) NHV LPSDQJDQ[
6 WHSUHV SRQV HSDGDJDQJJXDQ) NHV LPSDQJDQ[
6 LV WHP7DQSD. RQWURO
6 LV WHP'HQJDQ. RQWURO
6 LV WHP7DQSD. RQWURO
6 LV WHP'HQJDQ. RQWURO
[
[
WGHWLN
WGHWLN
(a)
(b)
Gambar 6. Pengaruh gangguan (F2) terhadap output berupa simpangan x1 (Gambar a) dan x2
(Gambar b) pada saat sistem yang diberikan step response
,PSXOVHUHVSRQVHSDGDNRQWUROLQSXW)NHVLPSDQJDQ[
,PSXOVHUHVSRQVHSDGDNRQWUROLQSXW)NHVLPSDQJDQ[
6 LVWHP7DQSD.RQWURO
6 LVWHP'HQJDQ.RQWURO
6 LVWHP7DQSD.RQWURO
6 LVWHP'HQJDQ.RQWURO
[
[
WGHWLN
WGHWLN
(a)
(b)
Gambar 7. Pengaruh kontrol input (F1) terhadap output berupa simpangan x1 (Gambar a) dan x2
(Gambar b) saat sistem diberikan impulse response
Paradigma, Vol. 14 No. 2 Agustus 2010 hlm. 113–122
121
,PSXOVHUHVSRQVHSDGDJDQJJXDQ)NHVLPSDQJDQ[
,PSXOVHUHVSRQVHSDGDJDQJJXDQ)NHVLPSDQJDQ[
6 LVWHP7DQSD.RQWURO
6 LVWHP'HQJDQ.RQWURO
6 LVWHP7DQSD.RQWURO
6 LVWHP'HQJDQ.RQWURO
[
[
WGHWLN
WGHWLN
(a)
(b)
Gambar 8. Pengaruh gangguan (F2) terhadap output berupa simpangan x1 (Gambar a) dan x2
(Gambar b) saat sistem diberikan impulse response
)UHTXHQF\UHVSRQVH
* DLQ>G% @
)UHTXHQF\>UDGVHF@
Gambar 9. Frekuensi response (bode plot) antara sistem yang belum dan telah dikontrol
Berdasarkan gambar step response dapat dilihat bahwa jika sistem diberi respon berupa
fungsi step maka sistem yang telah diberi pengontrol berupa H tak hingga kontrol, akan
lebih cepat mencapai kondisi yang stabil dibandingkan sistem yang belum diberi
pengontrol. Selain itu pengaruh input F2 yang berupa gangguan, terhadap state x1 dan x2
yang merupakan keluaran berupa simpangan dari pegas, dapat dikurangi. Selanjutnya jika
sistem diberi respon berupa fungsi impulse yaitu rangsangan yang diberikan secara tibatiba pada sistem, maka sistem yang telah diberi pengontrol juga akan lebih cepat mencapai
kondisi yang stabil dibandingkan sistem yang belum diberikan pengontrol. Begitupula
dengan pengaruh input F2 yang berupa gangguan, terhadap state x1 dan x2 yang merupakan
keluaran berupa simpangan dari pegas dapat dikurangi. Di samping itu, waktu yang
Aplikasi H-’ Kontrol pada Sistem Massa Pegas
122
diperlukan untuk mencapai kestabilan dari sistem yang terkontrol tidak terlalu lama
dibandingkan dengan sistem yang belum dikontrol. Hal ini disebabkan oleh norm tak
hingga dari fungsi transfer sistem yang terkontrol lebih kecil dari gamma suboptimal
sehingga dapat dikatakan bahwa pengontrol yang dihasilkan dapat menstabilkan sistem
secara internal. Berdasarkan gambar fungsi respon (bode plot) dapat dilihat bahwa peak
time saat sistem pegas dikenakan kontrol, mengalami penurunan dibandingkan dengan
peak time dari sistem yang belum dikenakan kontrol. Dari sini dapat disimpulkan bahwa
kontrol H tak hingga yang diberikan pada sistem pegas dapat bekerja dengan baik sehingga
dapat merobustkan sistem terhadap gangguan (F2) serta H tak hingga kontrol dapat
menstabilkan sistem secara internal.
5. Kesimpulan
Desain kontrol dengan H tak hingga kontrol menghasilkan suatu pengontrol yang
akan menjamin kerobustan sistem. Hal ini disebabkan oleh kontrol yang dihasilkan dengan
H tak hingga kontrol mengalami optimalisasi sehingga norm dari fungsi transfernya dapat
diminimumkan. H tak hingga kontrol dapat bekerja dengan baik pada sistem massa pegas
yang diberikan dalam Gambar 2, sehingga sistem yang telah dikontrol menjadi lebih robust
atau tahan terhadap gangguan. Hal ini dapat dilihat dari pengaruh disturbance F2 pada
keluaran yaitu state x1 dan x2 yang berupa simpangan pegas dapat dikurangi. Selain itu,
pengontrol juga dapat menstabilkan sistem secara internal. Hal ini dapat dilihat dari hasil
plot grafik fungsi respon dimana untuk sistem yang terkontrol, waktu yang diperlukan
untuk mencapai kestabilan tidak terlalu lama jika dibandingkan dengan sistem yang belum
dikontrol.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Zhou, K., Doyle, J.C., and Glover, K. 1998. Robust and Optimal Control. New Jersey: Prentice
Hall.
[2] Hakim, A.R. 2002. Parameterisasi Pengontrol Suboptimal H ∞ , Tesis Magister. Bandung:
Institut Tekhnologi Bandung.
[3] Ogata, K. 1997. Modern Control Engineering, Third Edition. London: Prentice Hall.
[4] Lewis, F.L. and Syrmos, V.L. 1995. Optimal Control, Second Edition. New York: Wiley.