Model Regresi Hazard Aditif untuk Waktu

Model Regresi Hazard Aditif
untuk Waktu Tunggu Kejadian Berulang dengan Cause Specific
Hayuning Puji Lestari1, Lienda Noviyanti2, Gatot R. Setyanto3
Universitas Padjadjaran
Program Pendidikan Magister Program Studi Statistika Terapan, Konsentrasi Statistika Sosial
2
Email : [email protected] , [email protected] ,3 [email protected]
Abstrak. Penelitian ini mengkaji mengenai pemodelan aditif Hazard pada data
kekambuhan (recurrent) dari pasien penderita stroke berulang dengan melibatkan cause
specific. Waktu ketahanan hidup pasien yang digunakan adalah waktu tunggu (gap time)
antar kejadian. Tujuan analisis adalah untuk menaksir parameter koefisien regresi model
yaitu besar pengaruh kovariat dengan cause specific untuk setiap interval kejadian
berulang. Model yang digunakan adalah aditif Hazard dimana merupakan perluasan dari
model Cox yang dikembangkan oleh Lin & Ying (1995). Pada model Hazard aditif Lin &
Ying, koefisien regresi bersifat konstan, nilainya tidak bergantung pada waktu, sehingga
dapat dicari langsung dan memiliki kemudahan dalam hal interpretasi pengaruh dari
masing-masing variabel. Penaksiran parameter model dilakukan dengan menyerupai
maximum partial likelihood pada regresi Cox. Estimasi dari koefisien regresi dapat
diperoleh dari persamaan score yang didapat dengan meniru score equation model Cox.
Score equation model Cox merupakan turunan dari log partial likelihood-nya.
Kata Kunci : Regresi Hazard Aditif, Waktu Tunggu, Kejadian Berulang, Cause specific
1. Pendahuluan
Analisis waktu antar kejadian sering digunakan untuk menghubungkan faktor risiko dengan
peristiwa-peristiwa klinis, contohnya peristiwa kambuh. Kejadian berulang termasuk ke dalam
multivariat failure event, karena adanya korelasi antara waktu berulang. Untuk itu, jika ingin
memodelkan hubungan event yang terjadi dengan faktor risiko, tidak bisa dilakukan dengan
regresi linier biasa saja melainkan dengan analisis survival. Dalam pemilihan model, perlu
memperhatikan hal-hal berikut : (1) Apakah data mencakup pengamatan tersensor atau tidak, (2)
Bentuk distribusi waktu survival apakah bersifat parametrik atau nonparametrik, (3) Apakah
faktor risiko yang mendapat perhatian univariat atau multivariat.
Masalah pertama adalah adanya data tersensor. Data tersensor adalah data yang tidak pasti
kapan terjadi suatu event. Adanya observasi yang tidak lengkap itulah yang mengakibatkan
analisis regresi linier biasa tidak bisa digunakan. Masalah kedua adalah mengenai bentuk
distribusi dari waktu survival. Jika distribusi waktu survival didasarkan pada pengetahuan dan
asumsi tertentu tentang distribusi populasinya, maka waktu survival tersebut termasuk dalam
fungsi parametrik (Lawless, 1982). Berkaitan dengan hal tersebut, dalam penelitian ini diketahui
distribusinya tidak diketahui, maka waktu survival bukan merupakan fungsi parametrik. Analisis
yang dipakai adalah Cox Proportional Hazard. Masalah ketiga adalah apakah faktor risiko
mendapat perhatian univariat atau multivariat. Pada kasus data recurrent, faktor risiko yang
diamati saling bergantung setiap antar kejadian, sehingga termasuk dalam data multivariat
failure. Data multivariat failure tidak dapat dianalisis menggunakan regresi linier biasa karena
adanya korelasi antar waktu kegagalan recurrent.
Dalam perkembangan ilmu biomedis, adanya multivariat failure tersebut membuat beberapa
peneliti untuk menggunakan alternatif metode lain, dimana mempelajari perluasan dari Cox
Proportional Hazard, salah satunya dengan model aditif Hazard. Dalam Model Cox
Proportional Hazard, hanya dapat memberikan pemahaman tentang hubungan penyebab
penyakit, sedangkan model Hazard aditif ini lebih berguna untuk perencanaan kesehatan
masyarakat dan pencegahan. Hal tersebut dikarenakan Cox Proportional Hazard lebih fokus
pada Hazard ratio, sedangkan aditif Hazard fokus pada estimasi dari koefisien regresi, sehingga
apabila risiko penyakit menjadi perhatian utama maka model aditif Hazard lebih cocok. Model
aditif yang dikenalkan ada dua, yang pertama dikenalkan oleh Aalen, dimana koefisien regresi
adalah fungsi yang nilainya berubah setiap waktu. Model aditif kedua dikenalkan oleh Lin &
Ying dimana koefisien regresinya adalah fungsi yang nilainya konstan (Azizah, 2013). Pada
regresi hazard Aalen, koefisien regresi tidak dapat dicari langsung, sedangkan kelebihan dari
regresi hazard Lin & Ying adalah estimasi koefisien regresinya dapat dicari langsung dengan
menggunakan metode maximum likelihood seperti pada model Cox, sehingga lebih mudah dalam
mengintepretasikannya.
Seringnya penyakit yang timbul dikarenakan tidak hanya satu penyebab saja melainkan
banyak penyebab, terutama pada penyakit kronis, sehingga perlu mencari akar penyebab
penyakit. Hal tersebut menarik karena terdapat interaksi antar faktor-faktor yang nantinya dapat
memiliki dampak yang tak terduga. Inilah mengapa penelitian ini dinamakan multivariat
survival. Tujuan untuk mempelajari teknik ini adalah agar lebih memahami bahwa perubahan
penyebab penyakit seringnya akan menghasilkan perubahan dalam risiko juga, untuk itu perlu
upaya dalam mengendalikan faktor risiko dengan mengetahui faktor risiko yang dapat memicu
timbulnya serangan stroke berulang. Faktor risiko inilah yang akan dianalisis menggunakan
cause specifik, yaitu penyebab khusus yang mengakibatkan serangan stroke berulang. Di dalam
kasus penelitian ini, penyebab terjadinya stroke berulang adalah adanya beberapa penyakit,
seperti kelainan jantung, infeksi paru-paru dan dislipidemia.
Atas dasar inilah penulis ingin membahas kajian tentang pemodelan regresi Hazard aditif Lin
& Ying untuk waktu tunggu kejadian berulang dengan cause specific.
2. Model Regresi Hazard Aditif
Model aditif yang dikenalkan oleh Lin & Ying (1995) dimana mengganti i  t  dengan  i .
Untuk mengestimasi model ini berdasarkan pada persamaan estimasi yang diperoleh dari
persamaan skor. Metode yang digunakan menyerupai maximum partial likelihood pada regresi
Cox. Menurut penelitian Rahma (2013), Hazard aditif model Lin & Ying memiliki kelebihan
dibandingkan dengan model Aalen, dikarenakan koefisen regresinya dapat diestimasi secara
langsung sehingga lebih mudah dalam mengintepretasikannya. Berbeda dengan Hazard aditif
model Aalen, koefisien regresi tidak dapat dicari secara langsung. Berikut akan dibahas sedikit
tentang Model Hazard Aditif Lin dan Ying.
Model Hazard Aditif Lin dan Ying yang koefisien regresinya konstan dengan laju Hazard
bersyarat pada individu j dengan vector kovariat Z ij  t  , yaitu :
 t Z j  t    0  t    i 1 i Zij  t  ,
p
dengan
i
= parameter tidak diketahui, dengan i  1,..., p .
0  t  = fungsi baseline.
(1)
Jika proses counting N j  t  didefinisikan sebagai kumpulan individu sebanyak n dengan
individu ke-j dicatat sebagai event yang terjadi sampai waktu t, maka fungsi intensitas untuk
N j  t  diberikan :
Y j  t  d   t ; Z j   Y j  t  d  0  t    0' Z j  t  dt
(2)
dengan Y j  t  bernilai 1 jika individu j berisiko pada waktu t, sebaliknya Y j  t  bernilai 0
jika individu j tidak berisiko pada waktu t.
Misalkan N  t  sebuah proses Counting dan Kumulatif baseline Hazard didefinisikan oleh :
t
t
0
0
 0  t    0  u  du . Jika diketahui N  t    0  u  du adalah suatu proses Martingale, maka
0  t  disebut intensitas dari N  t  . Dari proses Counting dan proses intensitas tersebut, dapat
dibentuk proses Martingale, yaitu M  t   N  t     t  . Proses Martingale mempunyai sifat
ekspektasi selisih dari proses tersebut bila diberikan informasi sampai sesaat sebelum t, sama
dengan nol atau E dM  t  Ft   0 . (Aalen, 2008).


Fungsi kumulatif Hazard  0  t  dapat diestimasi sebagai berikut dengan menggunakan
maksimum likelihood :
n
ˆ'
t  j 1 dN j  u   Y j  u   Z j  u  du
ˆ t  

(3)
0
n
0
 j 1Y j  u 


Fungsi skor partial likelihood untuk mengestimasi  0 adalah :

n

ˆ   , t   Y  t   ' Z  t  dt
U       Z t  t  dN j  t   Y j  t  d 
0
j
j
j 1
0
n

j 1
0
U     
Z t   Z t dN t   Y t   Z t  dt
'
j
j
j
j

(4)
Dengan Z  t  yang merupakan rata-rata dari kovariat pada waktu t, yaitu :

Z t  

n
j 1
n
Z jY j  t 
j 1
Yj t 
Hasil estimasinya adalah :
1
 n 
  n 

2
ˆ     Yi  t  Z i  t   Z  t  dt     Zi  t   Z  t dNi  t  
 i 1 0
  i 1 0

(5)
3. Model Regresi Hazard Aditif untuk Kejadian Berulang
Diberikan sebanyak n individu  j  1,..., n  dan setiap individu mengalami kejadian berulang
sebanyak K dengan  k  1, 2..., K  , kemudian Y jk  t  diketahui sebagai indikator apakah individu
ke-j berisiko pada waktu t . Jika diketahui sampel T jk , Z jk  , dengan T jk merupakan waktu
individu ke-j mengalami kejadian berulang ke-k atau tersensor kanan dan Z jk = Z1 jk ,..., Z pnK 
adalah vektor kovariat fixed dengan ukuran p, maka dengan mengikuti persamaan (2.20), akan
diketahui model Hazard Aditif Lin dan Ying untuk kejadian berulang, yaitu :
p
 t Z jk  t    0 k  t    i Zijk  t  ,
(6)
i 1
dengan i
= koefisien regresi, dengan ukuran i  1,..., p .
0k  t  = fungsi baseline untuk kejadian ke-k
3.1 Estimasi Baseline Hazard
Untuk mencari estimasi koefisien regresinya, perlu dicari terlebih dahulu estimasi untuk
fungsi baseline Hazard kumulatifnya. Estimator ini dapat dicari menggunakan teori proses
Counting. Proses Counting N  t   M  t     t  dapat dijabarkan sebagai berikut :
t
N jk  t   M jk  t    Y jk  u  0 jk  u    jk' Z jk  u   dt ,
(7)
0
dengan M jk  t  merupakan Martingale. (Klein & Moeschberger, 2003)
Estimator dari fungsi regresi Hazard Aditif kumulatif dapat diperoleh dari penjabaran
proses counting yaitu dengan menurunkan persamaan (3.2) menjadi :
 dN  t    dM  t    Y  t    t   
n
n
jk
j 1
Setelah
t
n
jk
j 1
diturunkan,
j 1
kemudian
jk
0 jk
persamaaan
'
jk

Z jk  t   dt
tersebut
diintegralkan
agar
didapat
n
    u  du , sebagai berikut :
0 j 1
t
0 jk
t
n
    u  du  
0 j 1

n
j 1
 dN
0 jk
0



t
dengan
0
n
j 1
n
dM jk  u 
jk
 u   Y jk  u   jk' Z jk  u   du   t  nj 1 dM jk  u 

n
n
0  j 1 Y jk  u 
 j 1Y jk  u 
,
merupakan komplemen error, di mana E  dM jk  t    0 akan dapat
Y u 
j 1 jk
t
diperoleh estimasi dari  0 jk  u  du   0 k  u  sebagai berikut :
0
t
ˆ t  

0k

0

n
j 1


 dN jk  u   Y jk  u   jk' Z jk  u  du 


n
 j 1Y jk  u 
(8)
(Klein & Moeschberger, 2003)
Estimasi fungsi Hazard akan disubstitusikan pada persamaan skor yang akan diperoleh
pada langkah berikutnya.
3.2 Estimasi Koefisien Regresi
Untuk mengestimasi koefisien regresi, Lin dan Ying meniru persamaan skor dari model
regresi Cox, dengan mengganti fungsi Hazard pada persamaan skor yang diperoleh dari
penurunan log partial likelihood-nya. Langkah-langkah mencari persamaan skor model Cox
adalah sebagai berikut.
Diketahui K sebagai banyaknya event  k  1, 2,..., K  , Partial Likelihood dari model
regresi Cox adalah :
dN jk  t 
 Y  t  exp  ' Z  t  
jk
jk

L        n
(9)
'

Y
t
exp

Z
t
k 1 j 1 0t   






jk
jk
 j 1

Akan dicari logaritma dari partial likelihood pada persamaan (9) didapat sebagai berikut :
dN jk  t 


 Y  t  exp  ' Z  t  
K
n
jk
jk



log L      log    n

Y jk  t  exp  ' Z jk  t  
k 1 j 1 0 t   


j

1




K
n

  k 1  j 1  log Y jk  t    ' Z jk  t   log
K
n

0
n
j 1

Y jk  t  exp  ' Z jk  t   dN jk  t 

(10)
Untuk mendapatkan persamaan skor model Cox dengan kejadian berulang K , dapat
diperoleh dengan menurunkan log L    terhadap  , sebagai berikut :
U   
 log L   



  k 1  i 1   Z jk  t  dN jk  t   Z jk  t  Y jk  t  exp  ' Z jk  t 

K
n

0
(11)


n
'

Y
t
exp

Z
t






 i1 jk
jk


dN jk  t 
i 1
n
dengan,


n
i 1
dN jk  t 
Y  t  exp  Z jk  t 
i 1 jk
n
'
ˆ t,  
 d
0k
(12)
Persamaan (12) adalah estimator Breslow untuk baseline Hazard pada model Cox. Jika
ˆ  t ,   pada persamaan (12) disubstitusikan ke dalam persamaan (11), maka akan
d
0k
diperoleh persamaan skor model regresi Cox sebagai berikut :

U      k 1  j 1   Z jk  t  dN jk  t   Z jk  t  Y jk  t  exp   ' Z jk  t  
K
n
0

n


dN jk  t 


n
'
 j 1Y jk  u  exp   Z jk  t   
j 1
ˆ t,  
  k 1  j 1  Z jk  t  dN jk  t   Z jk  t  Y jk  t  exp   ' Z jk  t   d 
0k
K
n
0


K
n
ˆ t,  
  k 1  j 1  Z jk  t  dN jk  t   Y jk  t  exp   ' Z jk  t   d 
0k
0


(13)
Seperti yang dijelaskan sebelumnya, bahwa Lin & Ying meniru persamaan skor U   
 exp   Z  t   d ˆ  t,    dengan
 t  dt  sesuai persamaan (2.21) didapat :
 t    Z  t  dt   .
'
di atas dengan cara mengganti fungsi Hazard Cox

ˆ t    'Z
fungsi Hazard Aditif Lin & Ying d 
0k
jk


ˆ
U      k 1  j 1  Z jk  t   dN jk  t   Y jk  t  d 
0k

K
n
0

jk
0k
'
jk
K
n
ˆ  t   Y  t   ' Z  t  dt  ,
  k 1  j 1  Z jk  t   dN jk  t   Y jk  t  d 
0k
jk
jk

(14)
0
dengan  sebagai koefisien regresi yang akan diestimasi.
ˆ  t  dapat dilakukan penjabaran untuk memperoleh persamaan skor
Diketahui bahwa 
0k
ˆ  t  , sehingga diperoleh
model Hazard Aditif Lin & Ying dengan mensubstitusikan 
0k
persamaan sebagai berikut :
n

Z  t  Y jk  t  

K
n
j 1 jk

 dN jk t   Y jk t   ' Z jk  t  dt  (15)
U      k 1  j 1  Z jk  t  
n



0
 j 1Y jk  t  

dengan Z jk  t 


n
j 1
Z jk  t  Y jk  t 

n
j 1
Y jk  t 
Estimasi dari koefisien regresi ߚመ, diperoleh dengan menyelesaikan persamaan U     0
sebagai syarat perlu untuk memaksimumkan fungsi log likelihood, maka dilakukan
penjabaran sehingga didapat :
n

Z  t  Y jk  t  

K
n
j 1 jk

 dN jk  t   Y jk  t  Z jk ' t   dt ,
U      k 1  j 1  Z jk  t  
n

0
 j 1Yjk  t  

n

Z  t  Y jk  t  

K
n
j 1 jk

 dN jk  t   Y jk  t  Z jk '  t   dt ,
0   k 1  j 1  Z jk  t  
n

0
 j 1Y jk  t  

akan didapat persamaan


 K
K
n
n
Z
t

Z
t
dN
t

k






  k 1  j 1  Y jk  t  Z jk  t   Z k  t 
 k 1  j 1  jk
jk
0
0












 Z jk  t   Z k  t  dt 
'
(16)
dari persamaan di atas dapat diperoleh persamaan  , yaitu :

 K

n
    k 1  j 1  Z jk  t   Z k  t  dN jk  t  
0





'
 K

n
   k 1  j 1  Y jk  t  Z jk  t   Z k  t  Z jk  t   Z k  t  dt 
0





1
(17)
3.3 Aditif untuk Cause Specific
Jika diasumsikan bahwa setiap kejadian berulang dari individu ke-j adalah renewal,
maka diberikan Tjk* sebagai waktu event ke-  k  1 sampai ke-k atau disebut waktu tunggu
(Gap Times => T jk*  T jk  T j , k 1 ). Jika diasumsikan ada sebanyak C penyebab kejadian
berulang, maka model Hazard aditif untuk data waktu tunggu dengan cause specific adalah:
p
kl  t Z k   0 kl  t     ikl Z ijk
(18)
i 1
didapat fungsi kumulatif baseline seperti pada persamaan (3.3) sebagai berikut :

t
ˆ t  

0 jk

n
j 1
 dN
ijk
0
 u   Yijk  u   jk' Z jk  u   dt 
n
 j 1Yijk  u 
,
(19)
dengan mengikuti langkah Aditif Lin dan Ying pada pembahasan sebelumnya, maka dapat
diperoleh U     0 untuk waktu tunggu sebagai berikut :



U      k 1  j 1  Z jk  t   Z jk  t    j dN jk  t   Y jk  t  Z jk '  t   dt 
K
n
0

U      k 1  j 1  Z jk  t   j dN jk  t   Z jk  t   j dN jk  t   Z jk  t  Z jk '  t  Y jk  t 
K
n
0
(20)
 Z jk  t  Z jk  t  Y jk  t 
'
dengan Z jk  t 


n
j 1
Z jk  t  Y jk  t 

n
j 1
Y jk  t 
Dari persamaan (20), diperoleh estimasi dari koefisien regresi  , yaitu :

 K

n
    k 1  j 1  Z jk  t   Z jk  t   j dN jk  t  
0





'
 K

n
   k 1  j 1  Y jk  t  Z jk  t   Z jk  t  Z jk  t   Z jk  t  dt 
0





1
(21)
4. Data dan Hasil Penaksiran
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah laporan data kejadian berulang untuk pasien
rawat inap penyakit stroke di RS Pusat Pertamina (RSPP) Jakarta pada tahun 2008-2013. Sampel
yang diambil untuk penelitian ini adalah penderita stroke berulang periode Januari 2008 dan
diamati selama 5 tahun sampai tahun 2013, dimana data ini diperoleh dari rekam medis pasien
saat subjek penelitian mengalami stroke pertama kali. Periode pengamatan 5 tahun diambil
berdasarkan wawancara dengan dokter.
Analisis dalam penelitian ini dengan menggunakan bantuan software R. Package yang
dipakai adalah survival dan ahaz, dikarenakan pengerjaan dalam ahaz mengikuti langkah Aditif
Lin & Ying (Anders, 2013). Analisis dilakukan per periode kejadian stroke berulang untuk suatu
individu. Hasil penaksiran, dapat dilihat pada Tabel 4.1, Tabel 4.2 dan Tabel 4.3 di bawah ini.
Tabel 4.1 Hasil Output software R untuk recurrent 1
Cause 1 pada Recurrent 1
Kovariat
Estimasi
Std. Error
Z Value
Pr(>|Z|)
Umur
3.244e-06
7.513e-06
0.432
0.6659
Jenis Kelamin 2.776e-04
1.502e-04
1.847
0.0647
Hipertensi
-8.579e-05 1.717e-04
-0.500
0.6173
Diabetes
-3.261e-04 2.465e-04
-1.323
0.1859
Tipe Stroke
1.185e-04
2.279e-04
0.520
0.6031
Cause 2 pada Recurrent 1
Kovariat
Estimasi
Std. Error
Z Value
Pr(>|Z|)
Umur
1.564e-05
9.021e-06
1.734
0.083
Jenis Kelamin -5.397e-05 1.780e-04
-0.303
0.762
Hipertensi
-1.090e-04 2.023e-04
-0.539
0.590
Diabetes
-7.119e-06 2.446e-04
-0.029
0.977
Tipe Stroke
-2.135e-04 3.465e-04
-0.616
0.538
Cause 3 pada Recurrent 1
Kovariat
Estimasi
Std. Error
Z Value
Pr(>|Z|)
Umur
-1.322e-05 9.894e-06
-1.336
0.1814
Jenis Kelamin 4.091e-04
1.765e-04
2.317
0.0205
Hipertensi
-2.028e-05 1.997e-04
-0.102
0.9191
Diabetes
-6.904e-05 2.541e-04
-0.272
0.7858
Tipe Stroke
4.590e-05
2.908e-04
0.158
0.8746
Tabel 4.2 Hasil Output software R untuk recurrent 2
Cause 1 pada Recurrent 2
Kovariat
Estimasi
Std. Error
Z Value
Pr(>|Z|)
Umur
-7.118e-05 6.740e-05
-1.056
0.291
Jenis Kelamin 1.441e-04
8.135e-04
0.177
0.859
Hipertensi
1.054e-04
7.388e-04
0.143
0.887
Diabetes
2.026e-05
6.822e-04
0.030
0.976
Tipe Stroke
7.713e-04
4.421e-04
1.745
0.081
Cause 2 pada Recurrent 2
Kovariat
Estimasi
Std. Error
Z Value
Pr(>|Z|)
Umur
2.946e-05
3.095e-05
0.952
0.3412
Jenis Kelamin 1.049e-05
2.901e-04
0.036
0.9712
Hipertensi
-2.678e-04 3.933e-04
-0.681
0.4960
Diabetes
6.867e-04
3.512e-04
1.955
0.0506
Tipe Stroke
-1.286e-03 1.741e-03
-0.739
0.4602
Cause 3 pada Recurrent 2
Kovariat
Estimasi
Std. Error
Z Value
Pr(>|Z|)
Umur
1.433e-05
2.475e-05
0.579
0.5627
Jenis Kelamin 1.505e-04
4.938e-04
0.305
0.7605
Hipertensi
3.335e-04
4.709e-04
0.708
0.4787
Diabetes
6.393e-04
5.084e-04
1.257
0.2086
Tipe Stroke
9.830e-04
4.134e-04
2.378
0.0174
Tabel 4.3 Hasil Output software R untuk recurrent 3
Cause 1 pada Recurrent 3
Kovariat
Estimasi
Std. Error
Z Value
Pr(>|Z|)
Umur
4.808e-05
5.292e-05
0.908
0.364
Jenis Kelamin -8.448e-05 8.925e-04
-0.095
0.925
Hipertensi
-1.468e-03 9.969e-04
-1.473
0.141
Diabetes
-1.141e-05 1.148e-03
-0.010
0.992
Tipe Stroke
1.681e-03
9.044e-04
1.859
0.063
Cause 2 pada Recurrent 3
Kovariat
Estimasi
Std. Error
Z Value
Pr(>|Z|)
Umur
2.799e-06
2.334e-05
0.120
0.905
Jenis Kelamin 6.600e-04
3.564e-04
1.852
0.064
Hipertensi
6.113e-04
4.018e-04
1.521
0.128
Diabetes
4.064e-04
3.602e-04
1.128
0.259
Tipe Stroke
-1.566e-03 1.038e-03
-1.509
0.131
Cause 3 pada Recurrent 3
Kovariat
Estimasi
Std. Error
Z Value
Pr(>|Z|)
Umur
-1.241e-05 3.233e-05
-0.384
0.7010
Jenis Kelamin -1.371e-03 8.396e-04
-1.633
0.1024
Hipertensi
1.658e-03
8.093e-04
2.048
0.0405
Diabetes
-2.378e-03 1.678e-03
-1.417
0.1564
Tipe Stroke
-1.875e-03 1.321e-03
-1.419
0.1559
Kriteria uji yang digunakan yaitu H 0 ditolak jika nilai Z  Z / 2 atau p  value   . Nilai
Z /2 yang diperoleh dari Tabel Normal Baku adalah 1,64 , maka berdasarkan nilai-nilai Z dan
p-value yang diperoleh pada Tabel 4.6 dapat disimpulkan bahwa untuk recurrent 1 dengan
cause 1, H 0 ditolak untuk variabel jenis kelamin, yang artinya jenis kelamin mempengaruhi
penyebab kelainan jantung. Untuk cause 2, variabel jenis kelamin, hipertensi, diabetes tipe
stroke, H 0 diterima, sedangkan untuk variabel umur, H 0 ditolak yang artinya umur signifikan
mempengaruhi waktu survival pasien stroke berulang. Untuk cause 3, variabel jenis kelamin,
secara signifikan mempengaruhi waktu survival dari stroke berulang. Semua variabel pada
recurrent 2 dengan cause 1, variabel tipe stroke menunjukkan H 0 diterima. Sedangkan pada
cause 2, H 0 ditolak untuk variabel diabetes, yang artinya secara signifikan mempengaruhi
waktu survival dari stroke berulang. Untuk dengan cause 3, H 0 yang ditolak adalah untuk
variabel tipe stroke, jadi tipe stroke juga secara signifikan mempengaruhi waktu survival dari
stroke berulang. Pada recurrent 3 dengan cause 1, tipe stroke secara signifikan mempengaruhi
waktu survival dari stroke berulang. Untuk recurrent 3 dengan cause 2, H 0 yang ditolak adalah
untuk variabel jenis kelamin. Sedangkan untuk recurrent 3 dengan cause 3, H 0 ditolak untuk
variabel hipertensi, yang artinya secara signifikan mempengaruhi waktu survival dari stroke
berulang.
5. Saran
Sering munculnya kejadian kematian pada data recurrent untuk kasus penyakit kronis, maka
sebaiknya perlu dihitung juga bagaimana model bersama antara recurrent dengan terminal event
(kematian). Pendekatan umum yang digunakan adalah model frailty. Pemodelan frailty untuk
menghubungkan recurrent dengan terminal event (kematian) dapat digunakan untuk penelitian
selanjutnya.
6. Daftar Pustaka
Aalen, O.O., O. Borgan, & Gjessing. 2008. Survival and Event History Analysis. New York :
Springer.
Azizah, R. A. 2013. Analisis Regresi Hazard Aditif dengan Model Lin dan Ying. Yogyakarta :
Universitas Gadjah Mada.
Anisha .P. & P.G. Sankaran. 2012. Additive Hazard Models for Gap Time Data with Multiple
Causes. Journal : Statistic & Probability Letter vol 82, Issue 7, 1454-1462.
Cook, R. J. & J. F. Lawless. 2007. The Statistical Analysis of Recurrent Events. New York :
Springer.
Harnowo, A. P. 2012. Kenapa Kalau Kena Stroke Bisa Kena Lagi?. Diakses pada tanggal 23
Maret 2014. http://health.detik.com.
Kelly, P. J. & L. Lim. 2000. Survival Analysis for Recurrent Event Data : An Application to
Childhood Infectious Disease. Journal : Statistic in Medicine 19, 13-33.
Kleinbaum, D. G., & M. Klein. 2005. Survival Analysis A Self Learning Tex). Springer : New
York.
Klein, J. P. & M. L. Moeschberger. 2003. Survival Analysis Techniques for Censored and
Truncated Data. Springer : New York.
Lawless, J.K. 1982. Statistics Model and Methods for Lifetime Data. John Willey and Sons :
New York.
Lee, A. H. 2003. Factors Influencing Survival After Stroke in Western Australia. Journal :
Medical Journal Australia 179(6), 289-293.
Lim, H. J. & X. Zhang. 2011. Additive and Multiplicative Hazard Modelling for Recurrent Event
Data Analysis. Artikel : Medical Research Methodology, 11:101.
Lin, D. Y. & Ying, Z. L. 1994. Semiparametric Analysis af The Additive Risk Model. Journal
Biometrika vol 81, 61-71.
Mardhiyah, Siti. 2007. Maximum Likelihood Estimation untuk Menaksir Model Shared Gamma
Frailty pada Data Tersensor Kanan dan Terpancung Kiri. Universitas Indonesia :
Depok.
Siswanto, Y. 2005. Beberapa Faktor Risiko yang Mempengaruhi Kejadian Stroke Berulang
(Studi Kasus di RS Dr. Kariadi Semarang). Universitas Diponegoro: Semarang.
Sun, L., D. H. Park, & J. Sun. 2006. The Additive Hazard Model for Recurrent Gap Times.
Journal : Statistica Sinica 16, 919-932.
Xie, X., Howard D. S, & X. Xue. 2013. Additive Hazard Regression Models : An Application to
the Natural History of Human Papillomavirus. Artikel : Computational and mathematical
Methods in Medicine.