Aplikasi Algoritma Differential Evolution untuk permasalahan

APLIKASI ALGORITMA DIFFERENTIAL EVOLUTION UNTUK
PERMASALAHAN KOMPLEKS PEMILIHAN PORTOFOLIO
Irmaduta Fahmiari dan Budi Santosa
Jurusan Teknik Industri
Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya
Kampus ITS Sukolilo Surabaya 60111
Email: [email protected] ; [email protected]
Abstrak
Permasalahan kompleks pemilihan portofolio merupakan permasalahan pemilihan kombinasi aset
dan penentuan sejumlah modal ke dalam aset tersebut dengan tujuan meminimalkan risiko pada
tingkat return tertentu dan mempertimbangkan konstrain-konstrain yang dihadapi oleh investor di
dunia nyata. Differential Evolution (DE), yang diusulkan sebagai alternatif penyelesaian,
merupakan salah satu algoritma evolusioner yang memiliki performansi lebih baik daripada
algoritma evolusioner yang lain seperti genetic algorithm (GA). Kelebihan DE adalah pada
evolusi yang dialami oleh setiap individu dalam populasi dimana diferensiasi dan crossover
terjadi secara berurutan pada setiap individu yang terpilih acak dari populasi setiap waktu.
Parameter crossover diubah untuk mengetahui pengaruhnya pada proses komputasi. Hasil dari
pengujian menunjukkan parameter crossover mana yang baik digunakan pada differential
evolution untuk permasalahan kompleks pemilihan portofolio baik dari segi waktu komputasi
maupun solusi yang dihasilkan. DE juga memberikan berbagai alternatif portofolio yang
risikonya rendah pada ekspektasi return yang telah ditentukan dibandingkan dengan generalized
random gradient (GRG2).
Kata kunci: Permasalahan kompleks pemilihan portofolio, Algoritma Evolusioner, Differential
Evolution, real-world constraints.
ABSTRACT
Complex portfolio selection problems is a combination asset selection problems and the
determination of capital invest to assets for minimizing risk at a particular level of return and
considering the constraints faced by investors in the real world. Differential Evolution (DE),
proposed as an alternative for solving this issues, is one of the evolutionary algorithm having
better performance than other evolutionary algorithms like genetic algorithm (GA). The advantage
of DE is on the evolution stage experienced by each individu in the population, which
differentiation and crossover occur sequentially on each individu randomly selected from
population each time. Crossover parameters changed to determine its influence on the computing
process. The result showed which crossover parameters is better used in differential evolution for
the complex problems of portfolio selection in terms of both computation time and the solution
resulted. DE also provides a various alternative of low-risk portfolios in determined expectation of
return as compared with random generalized gradient (GRG2).
Keywords: Complex portfolio selection problems, Evolutionary Algorithms, Differential
Evolution, real-world constraints.
1. Pendahuluan
Sesuai dengan prinsip ekonomi “demi
memenuhi kebutuhan hidupnya manusia
melakukan
pengorbanan
tertentu
untuk
memperoleh hasil yang maksimal”, pada
dasarnya investasi dilakukan adalah untuk
mendapatkan keuntungan sebanyak-banyaknya
dengan risiko yang dihadapi seminimal
mungkin. Dan bagi seseorang maupun
perusahaan yang memiliki modal lebih dan
hendak berinvestasi dengan sejumlah modalnya,
pemilihan aset atau ekuitas tidak hanya
permasalahan mencari investasi yang paling
besar memberikan hasil yang akan didapat.
Bagaimana mengkombinasikan aset-aset yang
akan diberi modal dengan jaminan keuntungan
pada tingkat risiko yang aman sering pula
dihadapi oleh para penanam modal. Penyusunan
portofolio aset tidaklah cukup dengan analisis
yang berasal dari intuisi dari penanam modal,
tetapi juga membutuhkan analisis yang berasal
dari perhitungan matematis yang powerful, dan
mampu menangkap perubahan harga aset
dengan baik.
Seiring perkembangan ilmu dan teknologi
serta kelebihan dalam berpikir, membuat
manusia mampu belajar dari alam. Bumi
menyediakan segala kebutuhan manusia untuk
bertahan hidup dan begitu banyak ilmu yang
berasal dari bumi dipelajari oleh manusia untuk
diterapkan dalam menyelesaikan permasalahan
yang dihadapi. Contohnya adalah pembuatan
pesawat terbang untuk mengatasi masalah
transportasi yang meniru cara terbang burung.
Contoh lain adalah berkembangnya bidang ilmu
komputer (computer science) yang terkait
dengan alam.
Salah satu perkembangannya adalah
algortima evolusioner. Algoritma evolusioner
merupakan bagian dari komputasi evolusioner
dalam artificial intelligence atau kecerdasan
buatan yang meniru evolusi biologi makhluk
hidup. Beberapa jurnal penelitian menunjukkan
pengaplikasian algoritma ini dalam pemilihan
aset menghasilkan kombinasi portofolio aset
yang memberikan return yang tinggi dengan
risiko rendah. Penggunaan genetic algorithm,
artificial neural network, dan pengembangan
algoritma lainnya dibandingkan dengan metode
tradisional seperti quadratic programming
memberikan hasil yang cukup memuaskan.
Perkembangan
ilmu
memberikan
pendekatan baru dari algoritma evolusioner
untuk penyelesaian permasalahan pemilihan
aset, salah satunya adalah Differential Evolution
(DE). Dari penelitian yang telah ada selama ini
menunjukkan bahwa DE merupakan algoritma
yang aplikatif, dapat digunakan dalam bidang
engineering, statistik, maupun decision making.
Atas dasar inilah, penelitian tugas akhir ini
mengembangkan
DE
sebagai
alternatif
penyelesaian permasalahan kompleks pemilihan
portofolio.
Permasalahan yang akan diselesaikan
dalam penelitian ini adalah bagaimana investor
mengalokasikan sejumlah dana dalam beberapa
aset dengan mempertimbangkan konstrain dunia
nyata menggunakan pengembangan algoritma
Differential
Evolution
sehingga
dapat
meminimasi risiko dan memaksimasi return.
Tujuannya adalah memberikan alternatif dalam
pemilihan portofolio dengan teknik optimasi
Differential Evolution sehingga didapatkan
kombinasi aset dalam portofolio yang risikonya
minimum dan returnnya maksimum.
2. Metodologi Penelitian
Penelitian
ini
berisi
antara
lain
pendahuluan, metodologi penelitian, teori-teori
yang mendukung, pengujian model, analisis,
dan
kesimpulan.
Bab
Pendahuluan
menunjukkan
tahapan
pengidentifikasian
permasalahan kompleks pemilihan portofolio
dengan metode heuristik, Differential Evolution.
Bab Metodologi Penelitian merupakan arahan
sistematis dari penelitian ini. Berikutnya akan
disajikan
teori-teori
yang
menunjang
berjalannya penelitian, antara lain mengenai
investasi, pemilihan portofolio, pengembangan
model pemilihan portofolio, dan differential
evolution. Model yang telah dikembangkan
selanjutnya akan dilakukan pengujian pada bab
Pengujian Model. Dan pada bab Analisis, hasil
dari pengujian akan dianalisis sehingga dapat
ditarik suatu kesimpulan yang disajikan pada
bab Kesimpulan.
Data yang digunakan dalam tugas akhir ini
merupakan data sekunder yang berasal dari
laporan statistik bulanan Bursa Efek Indonesia,
pada sektor Basic Industry and Chemicals.
Kriteria yang diperhitungkan dalam model
pemilihan portofolio sesuai dengan model yang
dikembangkan oleh Chang (2000), yaitu return,
risiko, dan jumlah aset yang akan diberi modal.
3. Investasi
Investasi merupakan suatu aktivitas
penempatan dana pada sekumpulan aset dalam
periode tertentu dengan harapan dapat
memperoleh penghasilan dan/atau peningkatan
nilai investasi (Jones, 2003). Sedangkan
menurut Halim (2005) investasi adalah
penempatan sejumlah dana pada saat ini dengan
harapan memperoleh keuntungan di masa
mendatang.
Dari dua pengertian investasi di atas maka
dapat kita ketahui bahwa tujuan dari seseorang
atau perusahaan berinvestasi adalah untuk
mendapatkan keuntungan. Selain keuntungan,
investor sebenarnya juga menghadapi risiko atas
apa yang dia investasikan. Kebanyakan investasi
yang
menjanjikan
(memberikan
tingkat
keuntungan tinggi bagi investor) memiliki
tingkat risiko yang tinggi pula. Dan karena itu,
risiko merupakan faktor utama yang harus
dipertimbangkan oleh investor sebelum
menanamkan modalnya.
Tipe-tipe investasi (Hartono, 2008) terdiri
atas dua bentuk yaitu:
a. Investasi Langsung
2
Investasi langsung dapat dilakukan dengan
membeli aktiva keuangan yang dapat
diperjualbelikan di pasar uang (money
(
market),
pasar modal (capital market),
), atau pasar turunan
(derivative market).
). Selain membeli aktiva
keuangan yang diperjualbelikan seperti T-bill,
T-bond, stock, dan sebagainya, seorang investor
dapat meletakkan modalnya di Bank Komersial
untuk mendapatkan
apatkan aktiva keuangan yang tidak
dapat diperjualbelikan yaitu berupa tabungan
atau sertifikat deposito.
b. Investasi Tidak Langsung
Investasi tidak langsung dapat dilakukan
dengan membeli surat-surat
surat berharga dari
perusahaan investasi. Perusahaan investasi
merupakan perusahaan yang menyediakan jasa
keuangan dengan cara menjual sahamnya ke
publik dan menggunakan dana yang diperoleh
untuk diinvestasikan ke dalam portofolionya.
Penjelasan mengenai investasi langsung dan
tidak langsung ini dapat dilihat pada Gambar
Gam
1.
Gambar 1. Investasi Langsung dan Investasi Tidak
Langsung
(Sumber: Hartono. 2008.)
4. Portfolio Selection
Portfolio selection adalah permasalahan
dalam pemilihan kombinasi yang optimal
membagi sejumlah modal ke dalam beberapa
aset dengan tujuan memaksimalkan
maksimalkan return atau
pendapatan dan meminimalkan risiko dari
investasi.
Model untuk permasalahan optimasi
portofolio yang mempertimbangkan expected
return dan expected risk pertama kali
diperkenalkan oleh Harry Markowitz pada tahun
1952. Model Markowitz dapat diselesaikan
dengan pemrograman matematis seperti
Permograman Kuadratik. Sebelum adanya
model ini, investor melakukan penanaman
modal sesuai dengan intuisinya dan tertarik pada
investasi yang memberikan keuntungan besar.
4.1 Model Markowitz
Seperti yang telah disebutkan sebelumnya,
model Markowitz merupakan model formal
pertama yang mendiversifikasi portofolio
dengan perhitungan kuantitatif. Return maupun
risiko portofolio bukan hanya merupakan ratarata
rata tertimbang (weighted
weighted average)
average dari setiap
aset dalam portofolio tetapi juga memperhatikan
hubungan antar aset. Konsep statistik yang
penting ini adalah koefisien correlation dan
covariance,, karena dua konsep inilah model
Markowitz sering pula disebut sebagai model
mean-variance.
odel Markowitz adalah
Return dalam model
keuntungan yang diperoleh dari sejumlah modal
yang ditanamkan dalam suatu periode waktu,
yaitu berupa persentase dari modal. Suatu
investasi apabila memberikan ketidakpastian
keuntungan maka investasi dinyatakan memiliki
risiko. Jadi, definisi dari risiko adalah
variabilitas dari return yang diperoleh.
Terdapat n aset yang ingin diseleksi dan
setiap aset memiliki return yang bervariasi.
Risiko dari tiap aset dihitung melalui variansi
dari return.. Dalam perhitungan model
Markowitz,
merupakan komponen dari vektor
merepresentasikan proporsi investor
dalam mengalokasikan modalnya ke dalam aset
i. Return setiap aset ditunjukkan dengan notasi
R1,…,Rn... Penjumlahan total perkalian proporsi
wi dengan Ri menghasilkan Rexp yaitu expected
return portofolio. σij adalah kovarians dari
return berupa matriks vektor nxn. Apabila
disajikan secara matematis, maka model
Markowitz dapat diformulasikan sebagai
berikut:
Konstrain pertama (2) menunjukkan
persyaratan terhadap return yang diharapkan.
Konstrain kedua (3) merupakan konstrain
budget yang akan dialokasikan dalam
portofolio, sedangkan untuk persamaan (4)
menunjukkan konstrain non-negatif
non
yaitu tidak
ada short sales.
Kumpulan solusi optimal dari model
Markowitz atas semua nilai
ni
Rexp merupakan
mean-variance
permasalahan
pemilihan
portofolio. Biasanya digambarkan dalam kurva
bidang dimana ordinatnya adalah return
portofolio yang diharapkan
kan dan absisnya adalah
standar deviasi.
3
return
Portofolio terpilih dengan
1 aset
Portofolio terpilih
dengan 3 aset
min
risiko-variansi
Gambar 2. Contoh Efficience Frontier
(Sumber: Chang et al. 2000)
4.2 Pengembangan Model Dasar
Model mean variance Markowitz terlalu
simpel untuk menggambarkan kompleksitas
kondisi nyata pemilihan portofolio. Untuk
mengembangkan model maka konstrain yang
realistis harus ditambahkan. Menurut Perold
(1984), berikut ini adalah model pemilihan
portofolio yang mengembangkan model
Markowitz:
min
. .
5
6
1
, 1 %
max # $ , 0' ()
max #
%
%
-.
$ , 0' +,
/ #
%
0 ( '
fasilitas yang harus dipersiapkan oleh
manajemen.
Pengembangan model lainnya diusulkan
oleh Chang et al. (2000). Konstrain yang
dipertimbangkan adalah konstrain jumlah aset.
Berikut ini adalah formulasinya:
7
8
9
10
11
%
-. # $ + '
|2 3 21, … , 5: 7 05| 8
12
Persamaan (8) menunjukkan konstrain floor
and ceiling yaitu konstrain yang mendefinisikan
batas bawah dan atas dari proporsi setiap aset
yang akan dimasukkan dalam portofolio.
Persamaan (9) dan (10) merupakan konstrain
turnover atau biaya transaksi yang dikeluarkan
untuk aset i dalam periode 1 , dimana
() pembelian maksimum dan +, penjualan
maksimum aset i. Persamaan (11) adalah
konstrain trading dengan ( pembelian
minimum dan + penjualan minimum aset i.
Persamaan (12) menunjukkan konstrain jumlah
aset yang hendak dimasukkan ke dalam
portofolio. Konstrain jumlah aset ini
dipertimbangkan karena berhubungan dengan
. .
1
< =
13
14
15
16
< < , 1, … , 17
18
< 3 >0, 1?, 1, … , Persamaaan (16), K menunjukkan jumlah
aset yang ingin dikucuri dana. Apabila aset i
diberi dana maka < 1 dan akan bernilai 0 bila
tidak dikucuri dana (persamaan (18)).
5. Differential Evolution
Differential Evolution (DE) adalah sebuah
metode yang dikembangkan oleh Kenneth Price
dan dipublikasikan pada Oktober 1994 dalam
majalah Dr. Dobb’s Journal (Price et al., 2005).
Metode ini merupakan metode optimasi
matematis fungsi multidimensional dan
termasuk dalam kelompok evolutionary
algorithm.
Munculnya metode DE ini berawal dari
usaha penyelesaian permasalahan fitting
polinomial Chebychev dan menghasilkan ide
penggunaan perbedaan vektor untuk mengacak
populasi vektor. Kemudian seiring dengan
perkembangannya, dalam ICEO (International
Contest on Evolutionary Optimization) yang
pertama, DE menjadi salah satu algoritma
genetika terbaik dan dapat menemukan global
optimum
yang
multidimensi
(yaitu
menunjukkan lebih dari satu nilai optimum)
dengan probabilitas yang baik.
Kelebihan DE dibandingkan dengan metode
algoritma evolusioner sebelumnya adalah
adanya evolusi yang dialami oleh setiap
individu dalam populasi dimana diferensiasi dan
crossover terjadi secara berurutan pada setiap
individu yang terpilih acak dari populasi setiap
waktu. Hasil dari variasi ini dikenal sebagai
child (turunan) atau trial individual yang akan
menggantikan parents pada populasi apabila
4
fitness yang dihasilkan lebih baik atau sama
dengan yang dihasilkan parents.
5.1 Inisialisasi
Sebelum populasi dapat diinisialisasi, upper
dan lower bounds untuk setiap parameter harus
ditentukan, yaitu dengan vektor inisialisasi Ddimensi @A dan @B . L menunjukkan lower dan U
menunjukkan upper. Berikutnya adalah
membangkitkan bilangan acak untuk setiap
parameter j dari vektor i pada iterasi g. Misal
nilai inisial (g = 0):
19
C,,% .DE 0, 1. F@,B $ @,A G 0 @,A
Bilangan acak di atas dibangkitkan
berdasarkan distribusi uniform pada rentang
[0,1) atau 0 .DE 0, 1 H 1.
Selain menggunakan distribusi uniform, DE
dapat membangkitkan bilangan acaknya dengan
distribusi yang lain. Keputusan menggunakan
distribusi tertentu dalam pembangkitan bilangan
acak ini tergantung pada pengetahuan terhadap
lokasi titik optimal. Akan tetapi pada umumnya
distribusi uniform digunakan dalam inisialisasi
pembangkitan bilangan acak karena mampu
mengatasi kurangnya informasi lokasi titik
optimal.
Gambar 3. Siklus Evolusi Individu Differential
Evolution
(Sumber: Feoktistov. 2006)
5.2 Mutasi
Setelah diinisialisasi, DE akan memutasi
dan me-rekombinasi populasi awal untuk
menghasilkan populasi baru. Mutasi pada
beberapa
kamus
bahasa
menunjukkan
pengertian berubah dan dalam konteks genetika
mutasi berarti perubahan dengan elemen acak.
Berikut
ini
adalah
persamaan
yang
menunjukkan bagaimana membentuk vektor
mutan, I,J :
20
I,J CK%,J 0 L. FCK,J $ CKM,J G
Dimana .0, .1, .2 adalah indeks acak,
integer, dan berbeda. Indeks basis vektor , .0,
dapat ditentukan dengan berbagai cara antara
lain acak, permutasi, stokastik, dan acak offset.
Sedangkan untuk .1 dan .2 dipilih secara acak
sekali untuk setiap mutan. Gambar 2.6 akan
menunjukkan bagaimana membuat vektor
mutan pada ruang parameter 2D.
5.3 Crossover
Untuk melengkapi strategi pencarian
differential mutation, DE menggunakan
crossover
dengan
tujuan
meningkatkan
diversitas parameter populasi. Crossover
membangun vektor uji dari nilai parameter yang
telah dikopi dari dua vektor yang berbeda.
Persamaan untuk vektor uji adalah sebagai
berikut:
21
N,JO FN,JO , NM,JO , … , N
,JO G
dimana:
I,,JO Q F.DE 0, 1 RG
X
N,JO P
-. S SKT
U
22
C,,J -VW.W
S 1,2, … , Dalam persamaan (22), .DE 0, 1 adalah
evaluasi ke-j dari pembangkitan bilangan acak.
CR adalah konstanta crossover yang ditentukan
oleh pembuat model, SKT
U adalah indeks yang
dipilih secara acak. Gambar 2.7 akan
menunjukkan bagaimana crossover berjalan.
5.4 Seleksi
Menurut Price et al. (2005), pada dasarnya
ada dua tahapan dalam proses evolusi yang
menggunakan seleksi yaitu parent selection dan
survivor selection. Berikut ini adalah penjelasan
mengenai kedua seleksi tersebut:
• Parent selection.
Vektor yang terpilih ditandai dengan nilai
fungsi terbaik dan probabilitas seleksi tertinggi.
Metode ini dalam memberikan probabilitas
seleksi membutuhkan tambahan asumsi tentang
bagaimana menggambarkan nilai fungsi tujuan
menjadi probabilitas.
• Survivor selection.
Metode ini juga bisa disebut replacement.
Untuk mengetahui apakah vektor menjadi
anggota generasi Y 0 1, maka vektor uji N,JO
dibandingkan dengan vektor target C,J
menggunakan kriteria greedy. Jika vektor N,JO
menghasilkan fungsi biaya yang lebih kecil
daripada C,J maka C,JO akan diatur menjadi
N,JO , dan bila sebaliknya maka nilai C,J yang
5
lama dipertahankan. Apabila penjelasan di atas
ditunjukkan dalam persamaan, maka hasilnya
adalah sebagai berikut:
Q QFN,J G QFC,J GX
N
23
C,JO Z ,J
C,J
-VW.W
function hasil = DEport(N,D,CR,F)
%%% inisialisasi
x = rand(N,D);
while fnew > retTrue
fval = risk(x);
%%% mutasi−crossover
v = r1 + F*(r2−r3);
u(rd <= CR,:) = v(rd<=cr, :);
%%% seleksi
fit = risk(u);
if fit <= fval
new_x = u;
new_f = fit;
%%% update populasi
fnew = minf;
retTrue = xs’ * ret’;
end
Gambar 4. Algoritma Differential Evolution
5.5 Kriteria Penghentian Iterasi
Setelah populasi baru dihasilkan dalam
tahapan seleksi, proses mutasi, rekombinasi, dan
seleksi akan terus berulang hingga mencapai
optimal. Perulangan hingga global optima pada
beberapa kondisi akan memakan waktu yang
sangat lama, karena itulah dibutuhkan kriteria
yang dapat menunjukkan kapan iterasi akan
berhenti. Batasan iterasi ini antara lain:
1. Nilai fungsi tujuan pada toleransi
tertentu tercapai
2. Jumlah
maksimum iterasi
yang
dilakukan
3. Penentuan statistik populasi mendekati
angka tertentu
4. Penentuan lama waktu iterasi
Ketika mencapai salah satu batas iterasi ini
maka pencarian titik optimal akan berhenti dan
vektor populasi yang memberikan nilai fungsi
terbaik sampai saat itu akan menjadi titik
optimal.
6. Perubahan Constrained Optimization
Menjadi Unconstrained Optimization
Model pemilihan portofolio yang diajukan
oleh Chang et al. pada tahun 2000 sebagai
pengembangan model Markowitz memiliki
beberapa konstrain yang harus dipenuhi dalam
pencarian solusi portofolio yang optimal.
Konstrain ini dapat menghindarkan proses
optimasi dari jebakan local optima dan
meminimasi
kemungkinan
konvergensi
prematur. Di sisi lain, seperti model heuristik
yang lain, differential evolution mengalami
kesulitan dalam menyelesaikan permasalahan
berkonstrain.
Ini
dikarenakan
konstrain
membatasi ruang gerak DE untuk mencari titik
optimal yang terletak di luar area inisialisasi.
Untuk mengatasi dua hal yang berlawanan
ini, maka permasalahan berkonstrain yang ada
harus diubah terlebih dahulu menjadi
permasalahan unkonstrain (tanpa konstrain).
Dikutip dari Sunarto (2009), Fox mengusulkan
metode external penalty function method yaitu
dengan memberikan penalti dalam nilai besar
untuk solusi-solusi yang melanggar konstrain
sehingga solusi akan bergerak ke titik lain yang
tidak melanggar konstrain.
Berikut ini adalah model Chang yang telah
ditransformasi menjadi model unkonstrain:
min 0 [ R 0 [M RM 0 [\ R\24
M
. . R FminF0, ∑
$ GG
RM ^_DC `0, $ 1ab
R\ ^_DC `0, < $ =ab
M
M
25
26
27
28
< < , 1, … , 29
< 3 >0, 1?, 1, … , Persamaan (24) merupakan transformasi
dari persamaan (13), [, [M , ED [\ adalah faktor
pengali penalti dimana nilainya diberikan
sebesar mungkin. Persamaan (25), (26), dan (27)
berisi formulasi untuk R , RM , ED R\ merupakan
transformasi dari persamaan (14), (15), dan (16).
Konstrain pada persamaan (28) tidak berbeda
dengan persamaan (17) karena konstrain ini
dapat diatasi oleh differential evolution dengan
menjadikannya sebagai upper bound maupun
lower bound.
6
akan
kan bernilai 0 apabila total perkalian
proporsi modal yang dikucurkan untuk aset i
dengan return aset i sama dengan atau lebih
besar dari ekspektasi return yang diharapkan.
akan bernilai 0 apabila total proporsi modal
yang dikucurkan untuk aset i sama dengan atau
kurang dari 1 yaitu maksimal proporsi modal.
akan bernilai 0 apabila total aset yang
dikucuri modal sama dengan atau kurang dari
total aset yang diharapkan. Dan ini ditunjukkan
oleh persamaan (29), dimana
akan bernilai 1
apabila aset i dikucuri dana atau bernilai 0
apabila aset i tidak mendapatkan dana.
7. Pengujian Model
Pada bab ini akan digunakan permasalahan
simpel untuk mengetahui bagaimana model
berjalan. Apabila dinyatakan valid, maka model
digunakan untuk menyelesaikan problem besar.
b
7.1 Contoh Numerik
Untuk mengetahui apakah algoritma
differential evolution (DE) yang dikembangkan
dapat menyelesaikan permasalahan kompleks
pemilihan portofolio atau tidak, kasus sederhana
dengan menggunakan jumlah data kecil
digunakan sebagai data uji. Pengujian untuk
contoh numerik ini menggunakan 5 aset dari
sektor basic industry and
nd chemicals pada Bursa
Efek Indonesia (BEI).
Tabel 1. Return Saham Contoh Numerik
KODE RETURN
-0.0207
0.0207
SMCB
0.0087
INTP
0.0110
SMGR
-0.0494
0.0494
ARNA
AMFG
-0.0259
0.0259
nilai F 0.9. Dan untuk mengetahui konsistensi
solusi, maka pengujian ini direplikasi sebanyak
10 kali untuk masing-masing
masing CR. Parameter
yang memberikan solusi terbaik kemudian akan
dibandingkan dengan solusi yang diberikan oleh
Solver.
8. Analisis dan Interpretasi
nterpretasi
Untuk kasus contoh numerik 5 aset,
diketahui bahwa solusi yang diberikan oleh
differential evolution dengan
engan F 0.9 dan
crossover rate (CR) 0.9 memiliki kemiripan
pada aset yang dipilih. Kedua metode ini (Tabel
3 dan Gambar 5) sama-sama
sama memilih aset INTP
dan SMGR untuk dimasukkan dalam
portofolionya.
Terpilihnya INTP dan SMGR masuk ke
dalam portofolio sebenarnya dapat diperkirakan
dengan melihat return masing-masing
masing
aset.
Dengan kondisi seperti ini, investor dapat saja
memasukkan modal ke salah satu aset, namun
diversifikasi portofolio lebih baik dilakukan
mengingat varian-kovarian
kovarian dari kelima aset
memberikan pengaruh kepada apa yang akan
diterima oleh investor. Selain itu, diversifikasi
akan memberi investor safety financial yaitu
dengan adanya kombinasi aset yang tingkat
risikonya rendah dalam ekspektasi return
tertentu.
Tabel 3. Output Perhitungan Dengan Solver
Compute time
Return Porto
1.38
0.01011
Aset Terpilih
2
Risiko
0.01441
INTP
0.3918
SMGR
0.6082
Tabel 2. Matriks Varian-Kovarian
Kovarian Saham Contoh
Numerik
SMCB
INTP
SMGR
ARNA
AMFG
SMCB
0.0584
0.0371
0.0172
0.0164
0.0257
INTP
0.0371
0.0331
0.0116
0.0121
0.0199
SMGR
0.0172
0.0116
0.0104
0.0049
0.0058
ARNA
0.0164
0.0121
0.0049
0.0568
0.0033
AMFG
0.0257
0.0199
0.0058
0.0033
0.0215
7.2 Pengujian Algoritma
Sub bab ini akan menguji algoritma DE
dalam menyelesaikan permasalahan kompleks
pemilihan portofolio dengan set data 50 aset.
Parameter yang digunakan dalam DE diubahdiubah
ubah untuk mengetahui pengaruh yang
diberikan pada hasil komputasi. Parameter yang
akan diujikan adalah CR 0.9 dan CR 0.2 dengan
deng
Gambar 5. Proporsi Modal 5 Aset Hasil Komputasi
Differential Evolution
Hasil pada contoh numerik ini menunjukkan
bahwa DE mampu menyelesaikan permasalahan
7
kompleks pemilihan portofolio dengan baik.
Bahkan seperti dapat dilihat pada Gambar 6,
risiko yang dihasilkan lebih kecil pada tingkat
return yang lebih besar. Atas dasar inilah, DE
digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
yang sama dengan jumlah aset yang
ya lebih besar.
Gambar 6. Perbandingan Risiko
ko Hasil Komputasi
Differential Evolution dan Solver
Pengujian parameter dari DE ditujukan
untuk mengetahui parameter manakah yang
mampu menghasilkan solusi yang lebih baik,
baik dari segi waktu komputasi maupun risiko
dari portofolio yang terbentuk.
Rekap data pada Tabel 4 menunjukkan
bahwa iterasi yang dibutuhkan untuk
menyelesaikan
permasalahan
kompleks
portofolio ini lebih besar dengan parameter CR
= 0.9. Dari 10 replikasi, 7 diantaranya
membutuhkan iterasi di atas 5000 generasi,
bahkan 5 dari 10 replikasi melebihi 10000
iterasi. Parameter CR = 0.2 membutuhkan
iterasi yang lebih sedikit
dikit yaitu 9 dari 10
replikasi hanya di bawah 500 iterasi. Selisih
iterasi yang mencolok ini mengakibatkan waktu
komputasi lebih lama untuk CR = 0.9 yang
sebagian replikasinya membutuhkan waktu di
atas 100 detik, sedangkan parameter CR = 0.2
hanya
membutuhkan
hkan
waktu
komputasi
maksimum 3.3125 detik.
dan 0.0016 untuk CR = 0.2. Hasil ini
menunjukkan bahwa DE memiliki konsistensi
yang baik dalam memberikan
kan solusi. Dan ketika
nantinya komputasi dilakukan kembali, maka
solusi akan berada di dalam rentang tersebut.
Dalam
penyelesaian
permasalahan
kompleks
pemilihan
portofolio,
dapat
dinyatakan bahwa parameter CR yang diujikan
memberikan pengaruh dalam waktu komputasi
tetapi tidak memberikan pengaruh secara
signifikan terhadap nilai fungsi.
Apabila diamati lebih lanjut, CR = 0.2
menghasilkan kombinasi proporsi modal pada
aset yang lebih baik daripada yang dihasilkan
CR = 0.9. Dari 10 replikasi, best known risk
yang muncul adalah 0.001395 dengan return
sebesar 0.0103. Risiko dan return ini didapatkan
dengan kombinasi alokasi modal pada 6 aset,
yaitu SMGR sebesar 14.22%, TOTO 17.56%,
ITMA 14.22%, SOBI 14.22%, AKPI 15.8%,
dan MAIN 17.56%.
Kelebihan lain dari penggunaan
peng
parameter
CR = 0.2 adalah pada tingkat risiko dan return
yang sebanding, jumlah aset terpilih lebih
sedikit. Meskipun dalam penelitian ini tidak
dihitung besar nilai modal maupun biaya lain
yang ditimbulkan dari aktivitas investasi, tetapi
sudah diketahui
etahui bahwa jumlah aset yang banyak
membutuhkan orang atau manajemen yang lebih
banyak. Dan ini berarti biaya yang harus
dipersiapkan oleh investor lebih banyak lagi.
Tabel 4. Rekap Pengujian Parameter CR
CR = 0.9
CR = 0.2
best risiko
0.001442
0.001395
rata-rata risiko
0.019397703
0.003598081
st.deviasi risiko
rata-rata waktu
komputasi
st.deviasi waktu
komputasi
0.048123558
0.001672212
210.55
1.0421875
248.2673757
0.910849499
Meskipun menghasilkan waktu komputasi
yang berbeda jauh, output yang dihasilkan dari
kedua parameter tidaklah jauh berbeda.
Persebaran nilai fungsi ini pun tidak lebar yaitu
dengan standar deviasi 0.048 untuk CR = 0.9
Gambar 7. Proporsi Modal Aset Terpilih Best
Solution CR 0.2 dalam 10 Replikasi
Apabila dibandingkan dengan solusi yang
diberikan oleh Solver, differential evolution
(DE) dalam 10 replikasi mampu menghasilkan
risiko terkecil sebesar 0.0014 pada return
portofolio sebesar 0.0106. Hasil ini lebih baik
daripada risiko yang dihasilkan oleh Solver
yaitu sebesar 0.01 dengan return portofolio
0.0022.
Solusi yang dihasilkan DE dapat dinyatakan
lebih baik karena berdasarkan perhitungan
deviasi antara risiko terbaik yang diberikan DE
8
dengan risiko dari Solver, menunjukkan angka 37.15%. Nilai negatif
atif ini menunjukkan bahwa
risiko yang dihasilkan DE lebih baik (lebih
kecil) sebesar 37.15%, mengingat risiko adalah
fungsi tujuan minimasi.
Dalam menghasilkan sebuah solusi, DE
mampu memberikan kombinasi proporsi modal
dengan jumlah aset yang tidak banyak
banya
dibandingkan GRG2 Solver. Seperti yang telah
disebutkan pada sub bab sebelumnya, meski
dalam penelitian besar nilai modal atau biaya
lain tidak diperhitungkan, tetapi pada umumnya
jumlah aset yang banyak akan membutuhkan
orang atau manajemen yang lebih banyak
b
untuk
penanganannya. Dan ini berarti biaya yang
harus dipersiapkan oleh investor lebih banyak
lagi.
Tabel 5. Perbandingan Hasil Differential Evolution
dan Solver Untuk 50 Aset
GRG2
DE
best risk
0.001395
0.0022196
best return
0.0118
0.01
rata-rata return
0.0107
0.0100
rata-rata risiko
0.0036
0.0022196
Gambar 8. Proporsi Modal Aset Terpilih Hasil
Komputasi Solver
Kelebihan lainnya adalah DE mampu
memberikan alternatif solusi pada setiap
replikasi. Apabila Solver hanya menghasilkan
satu model portofolio saja, maka kombinasi aset
yang dihasilkan DE akan sebanyak jumlah
replikasinya. Banyaknya alternatif solusi ini
dapat
pat memberikan banyak pilihan pada investor
untuk memilih portofolio mana yang ingin dia
gunakan sesuai tingkat risiko dan return yang
dikehendakinya.
8. Kesimpulan dan Saran
Bab ini mengemukakan kesimpulan
yang ditarik dari kegiatan penelitian dan terkait
dengan tujuan penelitian dan permasalahan yang
diangkat, serta akan dikemukakan beberapa
saran yang berkaitan dengan penelitian lebih
lanjut.
8.1 Kesimpulan
Berdasarkan pelaksanaan penelitian,
maka berikut ini disampaikan kesimpulan yang
dapat diberikan:
1. Memasukkan aset ke dalam portofolio
hanya dengan melihat nilai return-nya
tidak mampu menunjukkan kombinasi
proporsi modal yang optimal. Risiko yang
dimiliki aset juga harus diperhatikan.
2. DE dengan parameter CR = 0.2 dan 0.9
memiliki akurasi yang baik yaitu
yai
menghasilkan solusi yang konsisten yaitu
masing-masing
masing dengan standar deviasi
0.0016 dan 0.048.
3. DE dengan crossover rate 0.2
memberikan waktu komputasi yang lebih
cepat daripada crossover rate 0.9.
4. DE mampu menghasilkan kombinasi aset
dengan jumlah yang lebih sedikit
dibandingkan kombinasi aset GRG2
(Solver) dan dengan tingkat risiko yang
lebih rendah serta return yang lebih
tinggi.
5. Solusi yang dihasilkan DE lebih baik
daripada solusi yang dihasilkan GRG2
(Solver).
8.2 Saran
Berikut ini adalah saran yang dapat
penulis berikan terkait penelitian selanjutnya:
1. Menambahkan kriteria pemilihan aset
yang lain dalam model portfolio selection
sehingga didapatkan kombinasi aset
dalam portofolio yang memenuhi
konstrain dunia nyata.
2. Mengembangkan penelitian sehingga
menghasilkan solusi yang lebih baik,
misal dengan menggabungkan algoritma
DE dengan algoritma yang lain.
9. Daftar Pustaka
Aranha, C., dan Iba, H. (2009). The Memetic Tree
Based Genetic Algorithm and Its Application to
Portfolio Optimization.. Memetic Computing,
Vol.1, pp.139-151.
151. Springer-Verlag,
Springer
Berlin.
Chang, T.-J.,
J., Meade, N., Beasley, J.E., dan Sharaiha,
Y.M. (2000). Heuristics for Cardinality
Constrained Portfolio Optimisation. Computer
& Operations Research, Vol.27, pp.1271-1302.
Chen, W., Yang, L., Xu, W.-J.,
W.
dan Cai, Y.-M.
(2008). Genetic Algorithm with an Application
9
to Complex Portfolio Selection. IEEE Fourth
International
Conference
on
Natural
Computation, Vol.5, pp.333-337.
Crama, Y., dan Schyns, M. (2003). Simulated
Annealing for Complex Portfolio Selection
Problems. European Journal of Operational
Research, Vol.150, pp.546-571.
Das, S., Abraham, A., Chakraborty, U.K., dan Konar,
A. (2009). Differential Evolution Using a
Neighborhood-based Mutation Operator. IEEE
Transactions on Evolutionary Computation,
Vol. 13, pp.526-553.
Differential Evolution for Continuous Function
Optimization (An Algorithm by Kenneth Price
and
Rainer
Storn).
<http://www.icsi.berkeley.edu/~storn/code.html
> diakses pada tanggal 11 Januari 2010.
Eiben, A.E., dan Smith, J.E. (2003). Introduction to
Evolutionary Computing. Natural Computing
Series. Springer, New York.
Fahmi, I., dan Hadi, Y.L. (2009). Teori Portofolio
dan Analisis Investasi: Teori dan Soal Jawab.
Alfabeta, Bandung.
Feoktistov, V. (2006). Differential Evolution: In
Search of Solutions. Springer Optimization and
Its Applications, Vol.5. Springer, New York.
Fleetwood, K. An Introduction to Differential
Evolution.
<http://www.maths.uq.edu.au/MASCOS/MultiAgent04/Fleetwood.pdf> diakses pada tanggal
11 Januari 2010.
Fogel, L.J., Owens, A.J., dan Walsh, M.J. (1966).
Artificial Intelligence Through Simulated
Evolution. John Wiley & Sons, Inc., New York.
Goldberg, D.E. (1989). Genetic Algorithm in
Search, Optimization & Machine Learning.
Addison-Wesley, Reading, MA.
Hagströmer, B., dan Binner, J.M. (2008). Stock
Selection with Full-Scale Optimization and
Differential Evolution.
Halim, A. (2005). Analisis Investasi. Salemba
Empat, Jakarta.
Hartono, J. (2008). Teori Portofolio dan Analisis
Investasi. BPFE-YOGYAKARTA, Yogyakarta.
Holland, J.H. (1975). Adaptation in Natural and
Artificial Systems. University of Michigan
Press, Ann Arbor.
Jones, C.P. (2003). Investment: Analysis &
Management. John Wiley & Sons, Inc., New
Jersey.
Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection. Journal
of Finance, Vol.7, No.1, pp.77-91.
Panji, M. (2008). Multifraktalitas dan Studi
Komparatif Prediksi Indeks dengan Metode
Arima dan Neural Network (Studi Komparatif
pada Indeks LQ 45 Periode 1997-2007).
Skripsi,
Fakultas
Ekonomi,
Universitas
Diponegoro, Semarang.
Perold, A.F. (1984). Large-Scale Portfolio
Optimization. Management Science, Vol.30,
pp.1143-1160.
Price, K.V., Storn, R.M., dan Lampinen, J.A. (2005).
Differential Evolution: A Practical Approach
to Global Optimization. Natural Computing
Series. Springer-Verlag, Berlin.
Schwefel, H.P. (1981). Numerical Optimization of
Computer Models. John Wiley & Sons, Inc.,
New York.
Storn, R., dan Price, K. (1997). Differential
Evolution – A Simple and Efficient Heuristic for
Global Optimization over Continuous Spaces.
Journal of Global Optimization, Vol.11,
pp.341-359. Kluwer Academic Publishers.
Sunarto, A. (2009). Pengembangan Model Airline
Crew Rostering System Menggunakan Metode
Differential Evolution. Tesis, Prodi Manajemen
Industri, Jurusan Teknik Industri, Fakultas
Teknologi Industri, ITS, Surabaya.
Taufiq, W., dan Rostianingsih, S. (2005).
Penggunaan
Algoritma
Genetika
Untuk
Pemilihan Portfolio Saham dalam Model
Markowitz. Jurnal Informatika, Vol.5, No.6,
pp.105-109.
<http://puslit.petra.ac.id/journals/informatics/>
diakses pada tanggal 10 Desember 2009.
http://www.idx.co.id/ diakses pada tanggal 18 Maret
2010.
10