PERTEMUAN 11

B. CIRI-CIRI HABIS DIBAGI
Dosen Pengampu
Majid
Sifat Dasar dari Ciri-Ciri Habis Dibagi :
1. k │ 0 untuk semua k ϵ Z dan k ≠ 0
karena 0 = 0.k dan 0 ϵ Z, maka jelas bahwa k │ 0
jadi: 2 │ 0, 3 │ 0, -10 │ 0, adalah pernyataan2 benar.
2. 1 │ k untuk semua k ϵ Z
karena k = k.1 dan k ϵ Z, maka jelas bahwa 1 │ k
Jadi: 1 │ 2, 1 │ 3, 1 │ -10, adalah pernyataan2 benar.
3. k │ m → k ϵ x.m untuk semua x ϵ Z
jadi: 2 │ 6 → 2 │ 3.6, 2 │ 7.6, 2 │ 11.6, 2 │ 39.6
3 │ 27 → 3 │ 5.27, 3 │ 16.27, 3 │ 65.27,
4. k │m1 dan k │m2 ϵ k │ (m1 ± m2 )
k │m1 dan k │m2 dan … dan k │mi maka k │(m1 ± m2 ± … ± mi)
jadi: 3 │ 6 dan 3 │ 15 → 3 │ (6 + 15) dan 3 │ (6 – 15)
4 │ 12 dan 4 │ 28 dan 4 │ 32 → 4 │ (12 ± 28 ± 32)
5. {(k, m) = 1 dan k │ mn)} → k │ n
jadi: {(2, 3) = 1 dan 2 │ 3.8} → 2 │ 8
{(3, 4) = 1 dan 3 │ 4.15} → 3 │ 15
{(4, 5) = 1 dan 4 │ 5.28} → 4 │ 28
6. {k │ m dan k │ m+n} → k │ n
k │m1 dan k │m2 dan … dan k │mi maka k │(m1 + m2 + … +
mi) + n} → k │ n
jadi: {3 │ 6 dan 3 │ 9 dan 3 │ 15 dan 3 │ (6+9+15)+36} → 3 │ 36
{7 │ 14 dan 7 │ 28 dan 7 │ 42 dan 7 │ 56 dan 7 │ (14 + 28
+ 42 + 56) + 84} → 7 │ 84
Selanjutnya suatu bilangan asli:
N = ak. 10k + ak-1 . 10k-1 + … + a3 . 103 + a2 . 102 + a1 . 101 + a0
Dengan ai = 0, 1, 2, 3, … , 9, ai = 0 untuk i = k
Dilambangkan dengan :
N = (ak ak-1 … a3 a2 a1 a0)
1. Ciri Habis Dibagi 2
Perhatikan : N = ak. 10k + ak-1 . 10k-1 + … + a2 . 102 + a1 . 101 + a0
yang mana: 2 │ 10 → 2 │ ai . 10
2 │ 10 → 2 │ 10.10 → 2 │ 102 → 2 │ a2 . 102
2 │ 10 → 2 │ 100.10 → 2 │ 103 → 2 │ a3 . 103
dan seterusnya
2 │ 10
…
→ 2 │ ak-1 . 10k-1
2 │ 10 → ……………………………. → 2 │ ak . 10k
2 │ ak . 10k dan 2 │ ak-1 . 10k-1 dan … dan 2 │ a1 . 10
→ 2 │ (ak . 10k + ak-1 . 10k-1 +… + a2 . 102 + a1 . 10)
2 │ N → 2 │ (ak . 10k + ak-1 . 10k-1 +… + a2 . 102 + a1 . 10) + a0
Akibatnya: 2 │ a0
Jadi : Suatu bilangan N habis dibagi oleh 2 jika angka terakhir dari
lambang bilangan N (yaitu a0) habis dibagi oleh 2 ( 2 │ a0 → a0 =
2t → a0 adalah bilangan genap).
2. Ciri Habis Dibagi 4
Perhatikan : N = ak. 10k + ak-1 . 10k-1 + … + a2 . 102 + a1 . 101 + a0
yang mana: 4 │ 100 → 4 │ 102 → 2 │ a2 . 102
4 │ 100 → 4 │ 10.100 → 4 │ 103 → 4 │ a3 . 103
dan seterusnya
4 │ 10
…
→ 4 │ ak-1 . 10k-1
4 │ 100 → ……………………………. → 4 │ ak . 10k
Maka :
4 │ (ak . 10k + ak-1 . 10k-1 +… + a2 . 102)
4 │ N → 4 │ {ak . 10k + ak-1 . 10k-1 +… + a2 . 102 + (a1 . 10 + a0)}
Akibatnya: 4 │ (a1 . 10 + a0) atau 4 │ a1a0
Jadi : Suatu bilangan N habis dibagi oleh 4 jika bilangan yang
dilambangkan oleh dua angka terakhir dari N habis dibagi
oleh 4
3. Ciri Habis Dibagi 8
Perhatikan : N = ak. 10k + ak-1 . 10k-1 + … + a2 . 102 + a1 . 101 + a0
yang mana: 8 │ 1000 →
8 │ 103 → 8 │ a3 . 103
8 │ 1000 → 8 │ 10.1000 → 8 │ 104 → 8 │ a4 . 104
dan seterusnya
8 │ 1000 → ……………………………. → 8 │ ak . 10k
Maka :
8 │ (ak . 10k + ak-1 . 10k-1 +… + a2 . 102)
8 │ N → 8 │ {ak . 10k + ak-1 . 10k-1 +… + a3 . 103) + (a2 . 102 +
a1 . 10 + a0)}
Akibatnya: 8 │ (a2 . 102 + a1 . 10 + a0) atau 8 │ a2a1a0
Jadi : Suatu bilangan N habis dibagi oleh 8 jika bilangan yang
dilambangkan oleh tiga angka terakhir dari N habis dibagi oleh 8
4. Ciri Habis Dibagi 16
Perhatikan : N = ak. 10k + ak-1 . 10k-1 + … + a2 . 102 + a1 . 101 + a0
Karena : 16 │ 10000 →
16 │ 104 → 16 │ a4 . 104
16 │ 10000 → 8 │ 10.10000 → 16 │ 105 → 16 │ a5 . 105
dan seterusnya
16 │ 10000 → ……………………………. → 16 │ ak . 10k
Maka :
16 │ (ak . 10k + ak-1 . 10k-1 +… + a4 . 104)
16 │ N → 16 │ {ak . 10k + ak-1 . 10k-1 +… + a4 . 104 ) + (a3 . 103
+ a2 . 102 + a1 . 10 + a0)}
Akibatnya: 16 │ (a3 . 103 + a2 . 102 + a1 . 10 + a0) atau 16
│a3a2a1a0
Jadi : Suatu bilangan N habis dibagi oleh 16 jika bilangan yang
dilambangkan oleh empat angka terakhir dari N habis dibagi
oleh 16
Contoh 3.3
1. Selidiki apakah 44768 habis dibagi oleh 2, 4, 8, dan 16.
Jawab : N = 44768 = (a4a3a2a1a0)
Karena (a0)
=8
dan 2 │ 8,
maka 2 │ 44768
Karena (a1a0)
= 68 dan 4 │ 68,
maka 4 │ 44768
Karena (a2a1a0)
= 768 dan 8 │ 768, maka 8 │ 44768
Karena (a3a2a1a0) = 4768 dan 16 │ 4768, maka 16 │ 44768
2. Selidiki apakah 71413880 habis dibagi oleh 2, 4, 8, dan 16.
Jawab : N = 71413880 = (a7a6a5a4a3a2a1a0)
Karena (a0)
=0
dan 2 │ 0,
maka 2 │ 71413880
Karena (a1a0)
= 80
dan 4 │ 80,
maka 4 │ 71413880
Karena (a2a1a0)
= 880 dan 8 │ 880, maka 8 │ 71413880
Karena (a3a2a1a0) = 3880 dan 16 │ 3880, maka 16 │ 71413880
5. Ciri Habis Dibagi 3
Perhatikan : N = ak. 10k + ak-1 . 10k-1 + … + a2 . 102 + a1 . 101 + a0
Karena : a1 . 10 = a1(9+1) = a1 . 9 + a1
a2 . 102 = a2 . 100 = a2 (99+1) = a2 . 99 + a2
a3 . 103 = a3 . 1000 = a3 (999+1) = a3 . 999 + a3
dan seterusnya
ak . 10k = ………………………………… = ak . 999 … 9 + ak
Maka :
N = ak . 999…9 + … + a3 . 999 + a2 . 99 + a1 . 9
Sdari hasil di atas dapat ditentukan bahwa :
3 │ 9 → 3 │ a1 . 9
3 │ 9 → 3 │ 11 . 9 → 3 │99 → 3 │ a2 . 9
3 │ 9 → 3 │ 111 . 9 → 3 │999 → 3 │ a3 . 9
dan seterusnya
3 │ 9 → …………………………… → 3 │ ak . 999…9
Maka :
3 │ 9 → …………………………… → 3 │ ak . 999…9
Sehingga : 3 │ (ak . 999…9 + … + a3 . 999 + a2 . 99 + a1 . 9 )
Karena :
3 │ N → 3 │ (ak . 999…9 + … + a3 . 999 + a2 . 99 + a1 . 9 ) + (ak + ak-1
+ … + a1 + a0)
dan 3 │ (ak . 999…9 + … + a3 . 999 + a2 . 99 + a1 . 9 )
Maka 3 │ (ak + ak-1 + … + a1 + a0)
Jadi : Suatu bilangan N habis dibagi oleh 3 jika jumlah angkaangka dari lambang bilangan N habis dibagi oleh 3
6. Ciri Habis Dibagi 9
Dari uraian ciri habis dibagi 3 diketahui bahwa :
N = (ak . 999…9 + … + a3 . 999 + a2 . 99 + a1 . 9) + (ak + ak-1 + … + a1 + a0)
Karena :
9 │ 9 → 9 │ a1 . 9
9 │ 9 → 9 │ 11 . 9 → 9 │99 → 9 │ a2 . 9
9 │ 9 → 9 │ 111 . 9 → 9 │999 → 9 │ a3 . 9
dan seterusnya
9 │ 9 → …………………………… → 9 │ ak . 999…9
Maka : 9 │ 9 → …………………………… → 9 │ ak . 999…9
Karena :
9 │ N → 9 │ (ak . 999…9 + … + a3 . 999 + a2 . 99 + a1 . 9) + (ak + ak-1 + … + a1 + a0)
dan 9 │ (ak . 999…9 + … + a3 . 999 + a2 . 99 + a1 . 9)
Maka :
9 │ (ak + ak-1 + … + a1 + a0)
Jadi : Suatu bilangan N habis dibagi 9 jika jumlah angka-angka dari
lambang bilangan N habis dibagi oleh 9
Contoh 3.4
1. Selidiki apakah 5187 habis dibagi oleh 3 dan habis dibagi 9
Jawab :
N = 5187 → N = (a3a2a1a0)
a3 = 5, a2 = 1, a1 = 8, dan a0 = 7
a3 + a2 + a1 + a0 = 5 + 1 + 8 + 7 = 21
karena : 3 │ 21, maka 3 │ 5187
karena : 9 │ 21, maka 9 │ 5187
2. Selidiki apakah 62871741 habis dibagi 3 dan habis dibagi oleh 9
Jawab :
N = 62871741 → N = (a7a6a5a3a2a1a0)
a7 = 6, a6 = 2, a5 = 8, a4 = 7, a3 = 1, a2 = 7, a1 = 4, a0 = 1
a7 + a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = 6+2+8+7+1+7+4+1 = 36
karena : 3 │ 36, maka 3 │ 62871741
karena : 9 │ 36, maka 9 │ 62871741
7. Ciri Habis Dibagi 5
Perhatikan : N = ak. 10k + ak-1 . 10k-1 + … + a2 . 102 + a1 . 101 + a0
Karena :
5 │ 10 → 5 │ a1 . 10
5 │ 10 → 5 │ 10.10 → 5 │ 102 → 5 │ a2 . 102
5 │ 10 → 5 │ 100.10 → 5 │ 103 → 5 │ a3 . 103
dan seterusnya
5 │ 10 → …………………………… → 5 │ ak . 10k
Maka : 5 │ (ak. 10k + ak-1 . 10k-1 + … + a2 . 102 + a1 . 10)
karena :
5 │ N → (ak. 10k + ak-1 . 10k-1 + … + a2 . 102 + a1 . 101 ) + a0
dan 5 │ (ak. 10k + ak-1 . 10k-1 + … + a2 . 102 + a1 . 10)
Maka : 5 │ a0
5 │ ak → (a0 = 0 atau a0 = 5)
Jadi : Suatu bilangan N habis dibagi oleh 5 ika angka terakhir
dari lambang bilangan N adalah 0 atau 5.
8. Ciri Habis Dibagi 6
Jika diketahui 6 │ N, maka 6 merupakan faktor dari 6, yaitu : N =
6k ( k ϵ Z)
(N = 6k dan 6 = 2 . 3) → N = 2.3.k = 2(3.k) → 2 │ N
(N = 6k dan 6 = 2 . 3) → N = 2.3.k = 3(2.k) → 3 │ N
Jadi :
Suatu bilangan N habis dibagi oleh 6 jika N habis dibagi oleh 2
dan N habis dibagi oleh 3.
TUGAS
1. Download Jurnal Materi Habis dibagi
2, 4, 8, dan 16
2. Selesaikan tes formatif