pemrograman komputer kode modul: tin 202
advertisement
PEMROGRAMAN KOMPUTER
KODE MODUL: TIN 202
MODUL II
PENGANTAR MATLAB
LABORATORIUM TEKNIK INDUSTRI
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURAKARTA
2013
Pemrograman Komputer - Modul II -
1
MODUL II
PENGENALAN MATLAB
I. TUJUAN:
Modul ini bertujuan agar tiap-tiap siswa mampu mengenal lebih detail mengenai software
Matlab, komputasi masalah teknik, mengintegrasikan komputasi, visualisasi, dan
pemrograman selain itu juga memecahkan banyak masalah teknis yang terkait dengan
komputasi, kususnya yang berhubungan dengan matrix dan formulasi vektor.
Item penilaian terdiri dari kebenaran mengerjakan soal menggunakan software Matlab
dan kemampuan individu dalam mengkomunikasikan hasil.
II. PROSEDUR PELAKSANAAN ATAU LINGKUP MODUL II:
Prosedur pelaksanaan dan penyelesaian modul 2 antara lain :
1. Sebelum memulai pelatihan modul dua, masing-masing siswa diminta
mengumpulkan tugas pendahuluan modul 2 (tugas pendahuluan terlampir). Alokasi
waktu 10 menit.
2. Seluruh kelompok mengikuti sesi pelatihan software Matlab di ruang komputer yang
menjelaskan secara detail mengenai penggunaan software Matlab dalam fungsi
matematika umum, fungsi logika dan relasional, dan matriks. Catatan: tiap-tiap siswa
harus mengerjakan latihan soal pada software Matlab.
3. Sesi pelatihan selanjutnya adalah software Matlab yang harus diikuti oleh semua
siswa yang diselenggarakan di ruang komputer, meliputi:
Pengerjaan soal tentang matriks, yaitu: penjumlahan matriks, perkalian dua buah
matriks, perkalian matriks dan skalar, operasi perpangkatan matriks, determinan matriks,
inverse matriks, transpose matriks, matriks kompleks, integral dan deferensial.
4. Tahap selanjutnya, masing-masing siswa diminta mengerjakan soal latihan ada 15
soal tentang matriks menggunakan software Matlab.
5. Berikutnya, masing-masing siswa mengerjakan soal tugas sebanyak 10 soal tentang
matriks menggunakan software Matlab.
6. Komunikasikan hasil pengolahan latihan 1, 2, 3 dan 4 dengan asisten dan dosen
pengampu.
7. Kumpulkan portofolio hasil latihan tersebut kepada asisten.
Pemrograman Komputer - Modul II -
2
MODUL II
PENGANTAR MATLAB
Nama Matlab merupakan singkatan dari matrix laboratory. Matlab adalah sebuah
bahasa dengan (high-performance) kinerja tinggi untuk komputasi masalah teknik.
Matlab mengintegrasikan komputasi, visualisasi, dan pemrograman dalam suatu model
yang sangat mudah untuk pakai dimana masalah-masalah dan penyelesaiannya
diekspresikan dalam notasi matematika yang familiar.
Matlab merupakan suatu sistem interaktif yang memiliki elemen data dalam suatu
array sehingga tidak lagi kita dipusingkan dengan masalah dimensi. Hal ini
memungkinkan kita untuk memecahkan banyak masalah teknis yang terkait dengan
komputasi, kususnya yang berhubungan dengan matrix dan formulasi vektor, yang mana
masalah tersebut merupakan momok apabila kita harus menyelesaikannya dengan
menggunakan bahasa level rendah seperti Pascall, C dan Basic.
1. Kelengkapan pada Sistem Matlab
Sebagai sebuah system, Matlab tersusun dari 5 bagian utama:
a. Development Environment. Merupakan sekumpulan perangkat dan fasilitas yang
membantuanda untuk menggunakan fungsi-fungsi dan file-file Matlab. Beberapa
perangkat ini merupakan sebuah graphical user interfaces (GUI). Termasuk
didalamnya adalah Matlab desktop dan Command Window, command history, sebuah
editor dan debugger, dan browsers untuk melihat help, workspace, files, dan search
path.
b. Matlab Mathematical Function Library. Merupakan sekumpulan algoritma
komputasi mulai dari fungsi-fungsi dasar sepertri: sum, sin, cos, dan complex
arithmetic, sampai dengan fungsi-fungsi yang lebih kompek seperti matrix inverse,
matrix eigenvalues, Bessel functions, dan fast Fourier transforms.
c. Matlab Language. Merupakan suatu high-level matrix/array language dengan
control flow statements, functions, data structures, input/output, dan fitur-fitur
object-oriented programming. Ini memungkinkan bagi kita untuk melakukan kedua
hal baik "pemrograman dalam lingkup sederhana " untuk mendapatkan hasil yang
cepat, dan "pemrograman dalam lingkup yang lebih besar" untuk memperoleh hasilhasil dan aplikasi yang komplek.
d. Graphics. Matlab memiliki fasilitas untuk menampilkan vector dan matrices sebagai
suatu grafik. Didalamnya melibatkan high-level functions (fungsi-fungsi level tinggi)
untuk visualisasi data dua dikensi dan data tiga dimensi, image processing,
animation, dan presentation graphics. Ini juga melibatkan fungsi level rendah yang
memungkinkan untuk membiasakan diri untuk memunculkan grafik mulai dari
benutk yang sederhana sampai dengan tingkatan graphical user interfaces pada
aplikasi Matlab anda.
e. Matlab Application Program Interface (API). Merupakan suatu library yang
memungkinkan program yang telah ditulis dalam bahasa C dan Fortran mampu
berinterakasi dengan Matlab. Ini melibatkan fasilitas untuk pemanggilan routines
dari Matlab (dynamic linking), pemanggilan Matlab sebagai sebuah computational
engine, dan untuk membaca dan menuliskan MAT-files.
Pemrograman Komputer - Modul II -
3
2.
Variabel Pada Matlab
Matlab hanya memiliki dua jenis tipe data yaitu numeric dan strings. Dalam
matlab setiap variabel akan disimpan dalam bentuk matrik. User dapat langsung
menuliskan variabel baru tanpa harus mendeklarasikannya terlebih dahulu pada command
window.
Contoh pembuatan variabel pada matlab :
>> varA=1500
varA =
1500
>> varB=[8 17 45 10]
varB =
8 17 45 10
>> varC='test variabel'
varC =
test variabel
Penamaan variabel pada matlab bersifat casesensitif karena itu perlu diperhatikan
penggunaan huruf besar dan kecil pada penamaan variabel. Apabila terdapat variabel
lama dengan nama yang sama maka matlab secara otomatis akan me-replace variabel
lama tersebut dengan variabel baru yang dibuat user.
3. Komentar dan Tanda Baca
Semua teks sesudah tanda % dianggap sebagai statemen komentar, contoh :
>> semester=8 %jumlah semester S1
semester =
8
Variabel semester diisi dengan nilai 8 dan statemen sesudah tanda % diangap sebuah
komentar. Statemen ini berguna untuk mendokumentasikan apa yang sudah anda
kerjakan. Tanda titik koma ( ; ) dalam matlab berguna untuk mencegah menampilkan
hasil, contoh :
>> semester=8;
4. Bilangan dan Operator Matematika di Matlab
Terdapat tiga tipe bilanga di matlab, yaitu :
Bilangan bulat (integer)
Bilangan real
Bilangan kompleks
Contoh bilangan bulat
>> x=17
x=
17
Contoh bilangan real
>> x=11.05
x=
11.0500
Didalam matlab tidak perlu penanganan khusus untuk bilangan kompleks. Bilangan
kompleks diberi tanda i atau j , contoh :
Pemrograman Komputer - Modul II -
4
>> y=sqrt(-2) %akar negatif 2
y=
0 + 1.4142i
>> real(y)
ans =
0
>> imag(y)
ans =
1.4142
>> abs(y)
ans =
1.4142
>> angle(y)
ans =
1.5708
Matlab mempunyai variabel yang bukan merupakan bilangan yang dilambangkan
dengan:
-inf
Inf
Nan
Daftar operasi aritmatika dasar dalam Matlab
Matlab dapat melakukan operasi-operasi aritmatika dasar berikut:
Operasi
Simbol
Penambahan
+
Pengurangan
Perkalian
*
Pembagian
/ atau \
Perpangkatan
^
Urutan operasi tersebut yang dikerjakan dalam suatu ekspresi yang mengikuti urutan
prioritas yang biasa, ekspresi dikerjakan dari kiri kekanan dengan peangkatan
mempunyai prioritas tertinggi, diikuti dengan perkalian atau pembagian dilanjutkan
dengan penambahan dan pengurangan. Tanda kurung dapat digunakan untuk merubah
urutan pengerjaan, bagian yang dikerjakan lebih dahulu adalah bagian yang berada dalam
tanda kurung terdalam kemudian keluar.
Contoh 1 :
Misalnya anda mengambil kuliah sebanyak 12 SKS, yang terdiri dari seismologi 4 sks,
analisis sinyal 3 sks, tomografi 2 sks dan gravitasi 3 sks. Lalu pada akhir semester anda
mendapat nilai sebagai berikut seismologi A, analisis sinyal B, tomografi C dan gravitasi
A. dengan point nilai A=4, B=3, C=2 berapa nilai IP anda? Untuk menyelesaikan ini
digunakan pendekatan seperti perhitungan di kalkulator :
>> ip=(4*4+3*3+2*2+3*4)/(4+3+2+3)
ip =
3.4167
Pemrograman Komputer - Modul II -
5
Sebagai alternatif anda dapat menyelesaikan masalah di atas dengan terlebih dahulu
menyimpan informasi yang kita punya pada variabel. Contoh :
>> ip=(4*4+3*3+2*2+3*4)/(4+3+2+3)
ip =
3.4167
>> seismologi=4
seismologi =
4
>> tomografi=2
tomografi =
2
>> analisis_sinyal=3
analisis_sinyal =
3
>> gravitasi=4
gravitasi =
4
>> total_sks=12
total_sks =
12
>> ip=(seismologi*4+tomografi*2+analisis_sinyal*3+gravitasi*3)/total_sks
ip =
3.4167
5.
Fungsi-fungsi Matematika Umum
Matlab mempunyai berbagai fungsi matematika umum yang biasa digunakan dalam
matematika. Sebagian besar fungsi tersebut hampir sama dengan bila anda menulisnya
secara matematis. Sebagai contoh :
>> pi
ans =
3.1416
>> y=sin(pi/6)
y=
0.5000
>> y=asin(0.5)
y=
0.5236
Fungsi Trigonometri
Deskripsi
sin, asin, sinh, asinh
Sinus, anti sinus, hiperbolik sinus, hiperbolik anti sinus
cos, acos, cosh, acosh cosines, anti cosines, hiperbolik cosines, hiperbolik anti
tan, atan, tanh, atanh
cosines
cot, acot, coth, acoth
tangent, anti tangent, tangent hiperbolik, anti tangent
sec, asec, sech, asech
hiperbolik
csc, acsc, csh, acsh
cotangent, anti tangent, cotangent hiperbolik, anti
cotangent hiperbolik
secan, antisecan, secan hiperbolik, anti secan hiperbolik
Pemrograman Komputer - Modul II -
6
Fungsi matematika
dasar
Abs
Angle
Sqrt
Real
Imag
Conj
Round
Fix
Floor
Ceil
Rem
Exp
Log
Log 10
6.
cosecant, anti cosecant, cosecant hiperbolik, anti cosecant
hiperbolik
Deskripsi
Nilai absolute atau amplitude bilangan kompleks
Sudut fasa
Akar kuadrat
Bagian real dari bilangan kompleks
Bagian imaginer dari bilangan kompleks
Konjugat bilangan kompleks
Pembulatan ke bilangan kompleks
Pembulatan kea rah nol
Pembulatan kearah -∞
Pembulatan kearah ∞
Sisa
Exponensial berbasis bilangan e
Logaritma murni
Logaritma basis 10
Operator Logika dan Relasional
Operator
Deskripsi
Kurang dari
<
Kurang dari dama dengan
<=
Lebih dari
>
Lebih dari sama dengan
>=
Sama dengan
==
Tidak sama dengan
~=
Operator
logika
|
&
~
Deskripsi
or
and
not
7.
Matriks
Dapat diasumsikan bahwa didalam matlab setiap data akan disimpan dalam bentuk
matriks. Dalam membuat suatu data matriks pada matlab, setiap isi data harus dimulai
dari kurung siku ‘[‘ dan diakhiri dengan kurung siku tutup ‘]’. Untuk membuat variabel
dengan data yang terdiri beberapa baris, gunakan tanda ‘titik koma’ (;) untuk
memisahkan data tiap barisnya.
Contoh pembuatan data matriks pada matlab :
>> DataMatrik = [1 2 3;4 5 6]
DataMatrik =
1 2 3
4 5 6
Pemrograman Komputer - Modul II -
7
Matlab menyediakan beberapa fungsi yang dapat kita gunakan untuk menghasilkan
bentuk-bentuk matriks yang diinginkan. Fungsi-fungsi tersebut antara lain :
zeros : untuk membuat matriks yang semua datanya bernilai 0
ones : matriks yang semua datanya bernilai 1
rand : matriks dengan data random dengan menggunakan distribusi uniform
randn : matriks dengan data random dengan menggunakan distribusi normal
eye : untuk menghasilkan matriks identitas
contoh penggunaan fungsi-fungsi diatas :
>> a=zeros(2,3)
a=
0 0 0
0 0 0
>> b=ones(1,4)
b=
1 1 1 1
>> c=rand(3,2)
c=
0.9501 0.4860
0.2311 0.8913
0.6068 0.7621
>> d=randn(2,3)
d=
-0.4326 0.1253 -1.1465
-1.6656 0.2877 1.1909
>> e=eye(3,3)
e=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Untuk memanggil isi dari suatu matriks, gunakan tanda kurung ‘()’ dengan isi indeks
dari data yang akan dipanggil. Contoh penggunaan:
>> c(2,2)
ans =
0.8913
>> c(3,2)
ans =
0.7621
Untuk pemanggilan data berurutan seperti a(1,2,3) dapat disingkat dengan
menggunakan tanda titik dua ’:’ sehingga menjadi a(1:2). Penggunaan tanda titik dua ‘:’
juga dapat digunakan untuk memanggil ndata matriks perbaris atau perkolom.
Contoh penggunaan :
c(2:5) = memanggil data matriks baris 2 sampai baris 5
a(1,:) = memanggil data matriks pada baris pertama
b(:,3) = memanggil data matriks pada kolom ketiga
Ada beberapa kaidah untuk operasi matriks di MATLAB. Berikut contoh langsung
penggunaannya di MATLAB.
Pemrograman Komputer - Modul II -
8
a.
Operasi Penjumlahan Matriks
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> B=[4 5 3;2 6 1;3 7 2]
B=
4 5 3
2 6 1
3 7 2
>> A+B
ans =
5 7 6
6 11 7
10 15 11
>> C=[20 30 40]
C=
20 30 40
>> A+C
??? Error using ==> plus
Matrix dimensions must agree.
Pesan kesalahan yang menunjukkan bahwa dimensi dari penjumlahan matriks
tersebut tidak sesuai.
b.
Operasi Perkalian Dua Buah Matriks
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> B=[10 15 11;12 20 17;13 18 16]
B=
10 15 11
12 20 17
13 18 16
>> A*B
ans =
73 109 93
178 268 225
283 427 357
>> C=[19 20 21]
C=
19 20 21
>> C*A
ans =
246 306 366
Pemrograman Komputer - Modul II -
9
>> A*C
??? Error using ==> mtimes
Inner matrix dimensions must agree.
Pesan kesalahan karena matriks A berdimensi 3x3 sedangkan matriks C berdimensi
1x3
c.
Perkalian Matriks dan Skalar
>> A
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> D=4
D=
4
>> D*A
ans =
4 8 12
16 20 24
28 32 36
>> A*D
ans =
4 8 12
16 20 24
28 32 36
d.
Operasi Perpangkatan Matriks
Ada dua operator yang digunakan untuk memangkatkan matriks, yaitu :
‘^’
‘.^’
A^n, berarti An, yaitu A*A*A*…*A sebanyak n kali. Untuk melakukan operasi
perpangkatan matriks, syaratnya adalah matriks harus persegi (baris dan kolom memiliki
ukuran yang sama).
A.^n, berarti masing-masing elemen matrik A dipangkatkan n. Operator kedua tidak
memerlukan syarat matriks persegi.
>> A
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> A^2
ans =
30 36 42
66 81 96
102 126 150
>> A.^3
ans =
1 8 27
Pemrograman Komputer - Modul II -
10
64 125 216
343 512 729
e.
Determinan Matriks
>> A
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> det(A)
ans =
0
>> B
B=
10 15 11
12 20 17
13 18 16
>> det(B)
ans =
91
>> C
C=
19 20 21
>> det(C)
??? Error using ==> det
Matrix must be square.
Pesan kesalahan yang menyatakan matriks harus berbentuk persegi agar bias
didapatkan determinannya.
f.
Invers Matriks
Sebuah matriks persegi A dikatakan mempunyai invers jika terdapat matriks X
sedemikian rupa sehingga BX=XB=I, dimana I adalah matriks identitas dan X=B-1
sebagai invers matriks B. Syarat lain adalah determinan B tidak boleh nol.
>> A
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> inv(A)
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 1.541976e-018.
ans =
1.0e+016 *
-0.4504 0.9007 -0.4504
0.9007 -1.8014 0.9007
-0.4504 0.9007 -0.4504
>> B
Pemrograman Komputer - Modul II -
11
B=
10 15 11
12 20 17
13 18 16
>> inv(B)
ans =
0.1538 -0.4615 0.3846
0.3187 0.1868 -0.4176
-0.4835 0.1648 0.2198
>> C=[10 11 12;13 14 15;16 17 18]
C=
10 11 12
13 14 15
16 17 18
>> inv(C)
Warning: Matrix is singular to working precision.
ans =
Inf Inf Inf
Inf Inf Inf
Inf Inf Inf
>> D=[19 20 21]
D=
19 20 21
>> inv(D)
??? Error using ==> inv
Matrix must be square.
Hasil dari invers suatu matriks, dan hasil inversnya kita inverskan lagi maka tidak
akan didapat matrik semula.
>> A
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> inv(A)
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 1.541976e-018.
ans =
1.0e+016 *
-0.4504 0.9007 -0.4504
0.9007 -1.8014 0.9007
-0.4504 0.9007 -0.4504
>> inv(inv(A))
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 1.541976e-018.
Warning: Matrix is singular to working precision.
ans =
Pemrograman Komputer - Modul II -
12
Inf Inf Inf
Inf Inf Inf
Inf Inf Inf
g.
Transpose Matriks
>> A
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> A'
ans =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
>> B=[10 15 18]
B=
10 15 18
>> B'
ans =
10
15
18
Apabila melakukan dua kali transpose pada suatu matriks, maka hasil yang didapat
adalah matriks asalnya.
>> A
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> A'
ans =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
>> A''
ans =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
h.
Matriks Kompleks
Jika X adalah suatu matrik kompleks seperti :
X=
maka dalam matlab dapat dimasukkan sebagai berikut:
>> X=[1 j;-j*5 2]
X=
1.0000
0 - 5.0000i
0 + 1.0000i
2.0000
Pemrograman Komputer - Modul II -
13
8.
Integral dan Differensial
Differensial dan integral merupakan operasi fundamental dalam kalkulus dan
hampir setiap bidang matematika, sains dan teknik. Menentukan turunan fungsi secara
analitik mungkin menyulitkan meskipun relatif langsung. Pembalikan dari proses ini akan
menentukan integral fungsi, tapi lebih sering sulit jika secara analitik atau bahkan tidak
mungkin.
a. Differensial
Dalam Matlab, differensial untuk fungsi polinom adalah relatif mudah. Misalnya f(x)
= x4 + 2x3 +2x2 – x +7 maka ambilah koefisien koefisiennya:
Contoh:
>> g=[1 2 2 -1 7]
g=
1 2 2 -1 7
>> h=polyder(g)
h=
4 6 4 -1
Bentuk-bentuk differensial lain juga bisa diperoleh apalagi jika menggunakan symbolyc
math toolbox.
Ada beberapa fungsi diff:
No.
Perintah
Keterangan
1.
Diff (f)
Mencari turunan f terhadap variabel x
2.
Diff (f,’s’)
Mencari turunan f terhadap variabel s
3.
Diff (f,n)
Mencari turunan n dari f ke x
4.
Diff (f,’s’,n)
Mencari turunan n dari f ke s
Dalam matematika, turunan dari suatu fungsi adalah satu dari dua konsep utama
dalam kalkulus. Invers dari turunan disebut anti turunan atau integral tak tentu. Fungsi
diff selain digunakan untuk mencari turunan dari fungsi simbolik, dapat juga digunakan
untuk mencari turunan dalam array simbolik.
Contoh mencari differensial, turunan pertama dan kedua:
>> s=sym('5*x^2-3*x+5')
s=
5*x^2-3*x+5
>> a=diff(s)%turunan pertama dari s
a=
10*x-3
>> b=diff(a)%turunan kedua dari s
b=
10
Dalam differensial, juga bisa disederhanakan dengan menggunakan simplify.
Misal:
>> a=sym('(1-t^3)/(1+t^4)')
a=
(1-t^3)/(1+t^4)
>> c=diff(a)
c=
Pemrograman Komputer - Modul II -
14
-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3
>> simplify(c)
ans =
t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2
Contoh-contoh soal:
1)
Mencari turunan
untuk x = 4, maka bila diselesaikan dengan matlab:
>> a=sym('(x^2)/(x^3-2)')
a=
(x^2)/(x^3-2)
>> t1Ax=diff(a)%turunan pertama dari a
t1Ax =
2*x/(x^3-2)-3*x^4/(x^3-2)^2
>> nilai=subs(t1Ax,'x',4)%nilai turunan pertama T untuk x=4
nilai =
-0.0708
2)
Jika mencari turunan dari array simbolik berikut:
>> M=sym('[2*x,4-x^2;7,x^3+5*x]')
M=
[ 2*x, 4-x^2]
[
7, x^3+5*x]
>> t1M=diff(M)%turunan pertama dari M
t1M =
[
2, -2*x]
[
0, 3*x^2+5]
b. Integral
Integral merupakan kebalikan dari proses differensiasi. Integral ditemukan menyusul
ditemukannya masalah dalam differensiasi dimana matematikawan harus berpikir
bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi differensiasi.
Integral biasanya didefinisikan sebagai proses penjumlahan tetapi juga diinterpretasikan
sebagai daerah dibawah kurva y = f(x) dari a ke b. Integral bisa juga disebut antidifferensial.
Daerah diatas x dihitung positif sementara dibawah x dihitung negatif. Banyak
metode numerik untuk integrasi didasarkan pada impretasi untuk mendapatkan
aprokimasi integralnya.
Ada beberapa bentuk dari fungsi integral, yaitu:
No.
Perintah
Keterangan
1.
Int (f)
2.
Int (f,’s’)
Pemrograman Komputer - Modul II -
15
3.
Int (a,b)
4.
Int ( f,’s’,a,b)
Matlab memiliki tiga fungsi untuk menghitung luas area di bawah suatu fungsi
numerik dalam range terbatas, yaitu Trapz, Quad, Quad8.
Terdapat sejumlah metode perhitungan integral secara numerik, misalkan:
Trapz(x,y)
Menghitung integral dari y sebagai fungsi dari x. Vektor x dan y panjangnya harus sama.
Nilai elemen dalam x sebaiknya di sortir.
Trapz(x,A)
Menghitung integral dari setiap kolom di A sebagai fungsi dari x, hasilnya berupa vektor
baris berisi hasil integrasi. Jumlah kolom A harus sama dengan panjang x.
Quad(‘fcn’,a,b)
Menghitung aproksimasi dari integral fungsi fcn pada interval a ≤ x ≤ b. Fungsi fcn harus
didefinisikan terlebih dahulu dalam M-file.
Quad8(...)
Sama dengan command quad, tetapi menghitung dengan akurasi yang lebih tinggi.
Quadl(...)
Sama dengan command quad8(...), namun untuk Matlab versi terbaru.
Berikut adalah contoh sederhana penggunaan fungsi integral:
>> s=sym('5*x^2-3*x+5')
s=
5*x^2-3*x+5
>> a=int(s)%integral terhadap x
a=
5/3*x^3-3/2*x^2+5*x
>> f=sym('sin(s+2*x)')
f=
sin(s+2*x)
>> a=int(f)%integral terhadap x
a=
-1/2*cos(s+2*x)
>> b=int(f,'s')%integral terhadap s
b=
-cos(s+2*x)
>> c=int(f,pi/2,pi)%integral terhadap s dari pi/2 sampai pi
c=
-cos(s)
>> d=int(f,'s',pi/2,pi)%integral terhadap s dari pi/2 sampai pi
d=
2*cos(x)^2-1-2*sin(x)*cos(x)
>> e=simple(int(f,'m','n'))%integral terhadap x dari m ke n'
e=
Pemrograman Komputer - Modul II -
16
-1/2*cos(s+2*n)+1/2*cos(s+2*m)
Fungsi dari simple seperti diatas, digunakan untuk menyederhanakan hasil
pengintegralan.
Contoh lain:
Dengan
inline
untuk
memasukkan
fungsi
integralnya,
yakni:
.
Di dalam matlab, ditulis sebagai berikut:
>> y=inline('x.^5+x.^4-x.^3+x.^2-x')
y=
Inline function:
y(x) = x.^5+x.^4-x.^3+x.^2-x
Dengan quad untuk mengetahui nilai integralnya, yakni:
>> hasil=quad(y,0,2)
hasil=13.733
(y,0,2) artinya y adalah fungsi integral yang diproses, 0 merupakan batas bawah dari
integral dan 2 merupakan baras atasnya.
Pemrograman Komputer - Modul II -
17
