asuransi pensiun hari tua - USD Repository

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ASURANSI PENSIUN HARI TUA
SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat
memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si)
Program Studi Matematika
Oleh :
Maria Kurnia Lestari
NIM : 013114028
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2007
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Karya Ini Kupersembahkan untuk :
Bunda pelindungku, Bunda Maria
Bapak, Ibu & Kakak-kakakku, serta
Almamaterku tercinta
Keindahan Tak Berpenghujung
Cinta
Yang menjadikan langit sebagai batasnya
Itulah keindahan tak berpenghujung
yang kalian berikan padaku
Dari saat Tuhan memberikan nafas kehidupan
Hingga suka duka yang membuatku tumbuh dewasa
Dalam nama cinta
Penyertaan kalian tiada pernah berakhir
Kini, kutelah berhasil
melewati lagi anak tangga menuju masa depan
Terima Kasih kuucapkan
Semoga setiap langkah yang kupijak
Tuk mencapai puncak impian
Dapat membuat kalian bangga
Hingga Keindahan tak berpenghujung
Selalu terpancar dari senyummu
Yang membuat langkah ini selalu berarti
Teruntuk
Kedua Orang Tuaku
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Perhitungan premi asuransi pensiun hari tua, ditetapkan dengan prinsip
equality. Prinsip equality terdapat dalam asuransi jiwa, yaitu nilai tunai premi
(iuran) yang akan datang sama dengan nilai tunai santunan (manfaat) yang akan
datang. Perhitungan preminya dipilih salah satu dari tiga pilihan berikut : masa
kerja, rata-rata gaji per tahun selama masa kerja dan rata-rata gaji per tahun untuk
f tahun terakhir sebelum pensiun. Secara umum, berdasarkan perhitungan urutan
besarnya premi adalah premi berdasarkan masa kerja, premi berdasarkan rata-rata
gaji per tahun untuk f tahun terakhir sebelum pensiun, dan premi berdasarkan
rata-rata gaji per tahun selama masa kerja.
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Premium calculation in old age pension insurance is determined by using
equality principle. The principle is found in life insurance, that is present value of
future premium (contribution) is the same as present value of future claim
(benefit). The premium calculation is taken from one of these three options that is
: the working period, the averages of annual salary during working period, and the
averages of annual salary for f last year before pension. Generally, the amount of
premium sequence is as follows : premium based on working period, premium
based on the averages of annual salary for f last year before pension, and
premium based on the averages of annual salary during working period.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala berkat dan karuniaNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul
Asuransi Pensiun Hari Tua dengan baik.
Skripsi ini disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk
memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) Program Studi Matematika, Jurusan
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Sanata Dharma, Yogyakarta.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bantuan dan
bimbingan dari beberapa pihak, baik yang terlibat secara langsung maupun tidak
langsung. Oleh karena itu, dengan tulus penulis ingin menyampaikan rasa terima
kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Bapak Ir.Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dekan Fakultas MIPA sekaligus
dosen pembimbing skripsi yang dengan penuh kesabaran membimbing selama
penulisan.
2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si.,M.Sc., selaku Ketua Program Studi Matematika,
dosen pembimbing akademik, sekaligus dosen penguji yang telah memberikan
kritik dan saran.
3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih.,S.Si, M.Si., selaku dosen penguji yang telah
memberikan kritik dan saran.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4. Seluruh staf pengajar Fakultas MIPA yang telah memberikan dukungan
kepada penulis baik selama kuliah maupun dalam penyusunan skripsi ini,
sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik.
5. Bapak Z. Tukija dan Ibu E. Linda S.H. yang telah membantu dalam urusan
administrasi.
6. Para karyawan Universitas Sanata Dharma yang berada di perpustakaan, di
BAAK dan di AUK, atas kerjasama dan bantuan yang telah diberikan kepada
penulis selama ini.
7. Cinta pertama dan terakhirku Bapak dan Ibu, yang telah memberikan doa,
nasehat, semangat, dukungan serta kesabaran menanti kelulusanku.
8. Mbak Wenna, mbak Erma, mas Krisna, mas Bimo (makasih atas
kesabarannya), Song-song, yang telah memberikan semangat dan dukungan
selama kuliah.
9. Mbah putri, Om, Bulik, adik-adik sepupu, yang selalu menanyakan kapan
kelulusanku, keponakan-keponakan (Detha, Fernand, Ella) terima kasih
keluguan dan kelucuannya.
10. Sr. Fidelis ,OP dan Frans Beerens, terima kasih atas segala perhatian dan
dukungannya.
11. Teman seperjuanganku, Indah. Jengkel, marah, sakit, lelah, puyeng, degdegan, takut, tangis, nekat, senyum, tawa, lucu, haru, lega, puas dan bahagia
pernah kita rasakan bersama selama penulisan. Yakinlah selalu teman, bahwa
“sesuatu hal akan menjadi indah pada waktunya”.
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12. Helen, terima kasih telah menjadi sahabatku selama ini dan Robert Tampa,
terima kasih puisi dan terjemahannya.
13. Teman-teman yang akan selalu kurindukan (Mat’01) antara lain : Andre,
Indah, Tabita, Ariel, Feri, Erika, Wiwit, Agnes, Daniwiati, Vrisca, Upik
(makasih pinjamannya), Ajeng, April, Deta, Fanya (makasih laptopnya), Yuli,
Rita, Ray, Tedy, Alam, Daniel (makasih mo jadi teman curhatku) yang telah
memberikan kebersamaan selama kuliah.
14. Semua pihak yang tidak dapat disebut satu persatu yang telah membantu
dalam penyusunan skripsi dan selama kuliah.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh
karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang
bermanfaat bagi penulis.
Yogyakarta,…………………2007
Penulis
Maria Kurnia Lestari
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL...................................................................................
i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .........................................
ii
HALAMAN PENGESAHAN.......................................................................
iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................
iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................................
v
ABSTRAK ....................................................................................................
vi
ABSTRACT..................................................................................................
vii
KATA PENGANTAR .................................................................................. viii
DAFTAR ISI.................................................................................................
xi
BAB I PENDAHULUAN .............................................................................
1
A. Latar Belakang Masalah ................................................................
1
B. Perumusan Masalah.......................................................................
4
C. Pembatasan Masalah......................................................................
4
D. Tujuan Penulisan ...........................................................................
5
E. Manfaat Penulisan .........................................................................
5
F. Metode Penulisan ..........................................................................
5
G. Sistematika Penulisan ....................................................................
5
BAB II LANDASAN TEORI .......................................................................
5
A. Tabel Mortalita (Mortality Table) ..................................................
7
B. Percepatan Mortalita (Forces of Mortality) ....................................
14
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
C. Tabel Penyusutan Jamak (Multiple of Decrement Table) .............
18
D. Percepatan Penyusutan Jamak (Forces of Decrement) .................
22
E. Tingkat Bunga…………………………………………………....
26
F. Anuitas (Annuity)…………………………………………………. 28
G. Asuransi Jiwa……………………………………………………... 37
1. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tunggal………….. 38
a. Asuransi Berjangka…………………………………….. 38
b. Asuransi Seumur Hidup………………………………… 41
2. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tahunan………….. 44
BAB III ASURANSI PENSIUN HARI TUA...............................................
47
A. Dana Pensiun .................................................................................
47
B. Tabel Pelayanan.............................................................................
49
C. Jenis Manfaat Pensiun ...................................................................
51
D. Fungsi Manfaat ..............................................................................
53
BAB IV PENERAPAN PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENSIUN
HARI TUA....................................................................................................
61
BAB V KESIMPULAN................................................................................
66
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................
67
LAMPIRAN..................................................................................................
66
1. Tabel Mortalita Indonesia ........................................................
68
2. Komutasi ..................................................................................
71
3. Tabel Pelayanan .......................................................................
74
4. Komutasi ..................................................................................
75
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Keberhasilan pembangunan Nasional telah dirasakan oleh rakyat dengan
meningkatnya kesejahteraan pada umumnya. Tetapi hasil pembangunan juga telah
menimbulkan masalah-masalah sosial lainnya. Salah satunya yaitu masalah
ketidakpastian sosial ekonomi yang dihadapi oleh sebagian besar tenaga kerja
Indonesia. Bagi perseorangan ketidakpastian ini perlu diatasi, karena dapat
mengakibatkan hilangnya penghasilan. Sebab utama dari gangguan penghasilan
ini adalah hari tua, cacat/sakit dan kecelakaan serta kematian. Kondisi kehidupan
yang menurun pada hari tua merupakan masalah utama bagi setiap tenaga kerja,
karena pada saat itu kemampuan untuk memperoleh penghasilan menjadi
menurun/merosot atau hilang sama sekali, tetapi biaya hidup terus diperlukan. Hal
ini dijelaskan dengan menggunakan model Hipotesa Siklus Hidup Konsumsi (life
–cycle hypothesis of consumption) dari Ando Modigliani (Branson, 1979).
Hipotesa siklus hidup konsumsi menekankan adanya hubungan antara
produktivitas, pendapatan dengan konsumsi. Menurut model ini perjalanan hidup
seseorang (life time) dibagi dalam tiga kurun waktu, yaitu:
(1) masa produktivitas rendah
(2) masa produktivitas tinggi
(3) masa produktivitas menurun.
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Nilai Pendapatan/Konsumsi
kurva konsumsi
B
C0
A
Y0
kurva pendapatan
0
T1
T2
Waktu
T3
Gambar 1. Hipotesa Siklus Hidup Konsumsi
Kurva
konsumsi
menunjukkan
aliran
konsumsi
individu
yang
berkencenderungan meningkat seiring dengan perjalanan hidup seorang dan tidak
mungkin mengalami penurunan. Sedangkan kurva pendapatan menunjukkan
aliran pendapatan dimana berlaku siklus hidup yang membagi perjalanan hidup
seseorang kedalam tiga periode. Gambar (1) menunjukkan bahwa tahun awal
perjalanan hidup seseorang merupakan periode hutang (net borrower), sebab
meskipun belum ada aliran pendapatan, aliran konsumsi tetap berjalan (C 0 > Y0 ) .
Periode antara T1 dan T2 menunjukkan periode produktivitas tinggi, sehingga
aliran pendapatan lebih dari konsumsi (Y > C ) . Pada masa ini, individu sudah
dapat melunasi semua hutang pada periode hutang dan kemudian menyisihkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
pendapatannya (net surplus). Pada periode akhir (setelah titik B), masa
produktivitas individu menurun sehingga menyebabkan kemampuan memperoleh
pendapatan juga menurun (net deficit) seiring dengan bertambahnya usia. Titik T2
dapat dikatakan batas usia pensiun dimana pendapatan sama besarnya dengan
konsumsi. Setelah titik B, individu mengalami masa defisit dimana pendapatannya
lebih kecil dari konsumsinya. Banyak orang yang bersedia menerima penghasilan
yang kecil pada masa aktif bekerja, asalkan mendapatkan cukup jaminan pada hari
tua.
Pengertian pensiun secara umum adalah berakhirnya masa kerja pegawai
karena sesuatu hal (misal : cacat/sakit) atau telah mencapai batas usia tertentu
(usia pensiun). Meskipun masa pensiun hanya akan berlangsung dalam jangka
pendek, tetap dibutuhkan jumlah investasi yang cukup besar. Sedangkan setiap
orang tidak mengetahui apakah dia masih hidup sampai hari tua dan berapa lama
dia dapat bertahan setelah melewati masa pensiun. Demikian juga seseorang tidak
dapat memperkirakan berapa besar dana yang harus diinvestasikan untuk
memenuhi biaya hidup di hari tua. Jika ditangani secara individual maka akan
terjadi kesulitan, karena setiap orang mempunyai keterbatasan pengetahuan
tentang dunia investasi.
Untuk mengatasi masalah tersebut, pihak perusahaan/pemberi kerja
menawarkan kepada pegawainya suatu bentuk simpanan/tabungan sebagai
jaminan di hari tua melalui sebuah Program Pensiun. Pada pelaksanaan program
pensiun, pegawai/peserta program diwajibkan membayar iuran yang berupa
anuitas dari awal masuk menjadi anggota sampai mencapai pensiun, yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
kemudian dibayarkan kembali dalam bentuk anuitas dari usia pensiun sampai
seumur hidup. Pembayaran anuitas didasarkan pada masa kerja dan gaji pegawai
yang bersangkutan. Penyetoran iuran harus dilakukan setiap jangka waktu
tertentu, karena dana tersebut harus segera diinvestasikan dan bunganya
diperhitungkan untuk setiap kali penyetoran.
B. Perumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat ditulis
dengan beberapa pertanyaan berikut :
1. Bagaimana cara menghitung peluang seorang pegawai keluar dari
kelompok karena pensiun pada saat usia x ?
2. Bagaimana cara menghitung besar premi (iuran) yang harus dibayarkan
peserta program pensiun menurut masa kerja, rata-rata gaji tahunan dan
rata-rata gaji beberapa tahun terakhir sebelum pensiun pada saat usia x ?
3. Bagaimana penerapan perhitungan premi asuransi pensiun hari tua?
C. Pembatasan Masalah
Dalam skripsi ini dilakukan beberapa batasan sebagai berikut :
1. Satuan waktu adalah tahunan.
2. Faktor penyebab penyusutan adalah faktor penyebab independent.
3. Tingkat bunga manfaat pensiun adalah 10% .
4. Tabel Pelayanan yang digunakan adalah Service Table by Bowers.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
D. Tujuan Penulisan
Penulisan ini bertujuan untuk memahami perhitungan iuran yang harus
dibayarkan peserta asuransi pensiun hari tua untuk mendapatkan manfaat pensiun.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah penulis dapat mengetahui
dan memahami dasar perhitungan aktuaria pada asuransi pensiun hari tua .
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah
dengan metode studi literatur/pustaka. Studi literatur dilakukan dengan
mempelajari materi dari buku-buku acuan tanpa ada penemuan baru.
G. Sistematika Penulisan
Sistem penulisan laporan skripsi ini terdiri dari 5 bab dengan urutan
sebagai berikut :
BAB I Pendahuluan
Menjelaskan uraian mengenai hal-hal yang menjadi dasar dalam
pembahasan skripsi ini. Uraian tersebut mengenai latar belakang masalah,
perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan
dan sistematika penulisan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II Landasan Teori
Menjelaskan tentang penyusutan anggota kelompok karena satu dan
lebih dari satu faktor penyebab, antara lain: tabel mortalita, percepatan
mortalita, tabel penyusutan jamak dan percepatan penyusutan jamak, tingkat
bunga, macam-macam anuitas antara lain: anuitas tentu, anuitas seumur hidup
dan anuitas sementara, asuransi jiwa dengan premi tunggal dan premi tahunan.
BAB III Asuransi Pensiun Hari Tua
Menjelaskan tentang perhitungan dasar dari manfaat pensiun, jika
dilihat dari masa kerja, rata-rata gaji tahunan pegawai selama masa kerja dan
rata-rata gaji untuk f tahun terakhir sebelum usia pensiun.
BAB IV Penerapan Perhitungan Premi Asuransi Pensiun Hari Tua
Menjelaskan penerapan perhitungan premi asuransi pensiun hari tua.
BAB V Penutup
Menjelaskan kesimpulan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Tabel Mortalita (Mortality Table)
Tabel mortalita adalah tabel yang menggambarkan peluang meninggal
seseorang berusia x untuk periode n tahun berikutnya dari sekelompok orang
yang diasuransikan (kelompok pemegang polis asuransi). Perhitungan dilakukan
setiap tahun secara terus-menerus yaitu pada usia x , x + 1 , x + 2 , …. Sehingga
waktu yang berjalan adalah diskrit. Ada dua jenis kelompok pemegang polis
asuransi, yaitu kelompok terbuka dan kelompok tertutup. Kelompok terbuka
adalah kelompok yang mengalami pengurangan anggota sekaligus penambahan
anggota baru (bayi yang dilahirkan), sedangkan kelompok tertutup adalah
kelompok pemegang polis yang tiap tahunnya mengalami pengurangan anggota
tanpa ada penambahan anggota baru. Secara teori jenis kelompok yang digunakan
adalah kelompok tertutup, karena berkurangnya anggota setiap tahun pada
kelompok tertutup lebih stabil daripada kelompok terbuka yang terus menerima
anggota baru. Sehingga untuk selanjutnya kelompok pemegang polis yang
dimaksud adalah anggota dari kelompok tertutup.
Anggota dari kelompok dianggap mengalami kelahiran yang bersamaan
sebanyak l 0 orang. Satu tahun berikutnya telah terjadi kematian sebanyak d 0
orang, sehingga banyak orang yang dapat mencapai usia x + 1 adalah l 0 − d 0 = l1
orang. Dua tahun berikutnya terjadi kematian sebanyak d1 orang, sehingga
7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
banyak orang yang dapat mencapai usia x + 2 adalah l1 − d1 = l 2 orang. Proses
pengurangan tersebut akan berlangsung terus menerus sampai semua orang
meninggal atau l w +1 = 0 dengan w adalah usia terakhir dalam kelompok. Proses
tersebut dapat dinyatakan dengan persamaan berikut :
l x − d x = l x +1
d x = l x − l x +1
(2.1)
dengan l x menyatakan banyak orang yang masih hidup pada usia x dan d x
adalah banyaknya orang yang meninggal pada usia x dalam kelompok.
Komponen terpenting dalam penyusunan tabel adalah mencari peluang
seseorang akan meninggal dalam kelompok, yaitu hasil bagi antara banyaknya
anggota kejadian dengan banyaknya anggota ruang sampel. Perhitungan ini
selanjutnya diterapkan untuk menentukan peluang meninggalnya seseorang pada
usia x yang dinyatakan dengan q x .
Misal A adalah himpunan orang yang meninggal pada usia x , dan
n( A) = d x = banyaknya orang yang meninggal pada usia x maka didapat :
qx ≈
dx
lx
qx ≈
l x − l x +1
lx
(2.2)
Dengan asumsi bahwa p x + q x = 1 dengan p x menyatakan peluang hidup
seseorang pada usia x , maka dapat dinyatakan bahwa :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
px = 1 − qx
⎛l −l ⎞
p x = 1 − ⎜⎜ x x +1 ⎟⎟
⎝ lx ⎠
px =
l x − (l x − l x +1 )
lx
px =
l x +1
lx
(2.3)
Pada persamaan (2.2) dan (2.3) peluang dihitung untuk waktu satu tahun
(n = 1) , maka persamaan peluang untuk waktu lebih dari satu tahun (n > 1) adalah
n
dengan
n
qx =
l x − l x+n
lx
(2.4)
q x menyatakan peluang meninggal seseorang berusia x dalam jangka
waktu n tahun. Jika
n
p x menyatakan peluang hidup seseorang berusia x dalam
jangka waktu n tahun maka diperoleh :
n
p x = 1− n q x
⎛ l x − l x+n
⎜⎜
=
−
p
1
n x
⎝ lx
n px =
n
px =
⎞
⎟⎟
⎠
l x − (l x − l x + n )
lx
l x+n
lx
(2.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Bila n =1 indeks n disebelah kiri p x dan q x tidak perlu dituliskan, jadi notasi
1
q x = q x dan 1 p x = p x .
Sedangkan peluang seseorang berusia x akan hidup n tahun dan kemudian
meninggal dalam satu tahun berikutnya didefinisikan sebagai berikut :
n | qx =
n
| qx =
n
d x+n
lx
l x + n − l x + n +1
lx
| q x = n p x − n +1 p x
Indeks n menyatakan periode (jangka waktu) hidupnya seseorang. Peluang
seseorang saat berusia x akan meninggal dalam jangka waktu n tahun, dapat
terjadi pada tahun pertama, tahun kedua dan seterusnya sampai tahun ke n − 1 .
Jika
n
n
p x + n q x = 1 maka dapat dinyatakan berikut :
q x = 1− n p x
⎛l
= 1 − ⎜⎜ x + n
⎝ lx
=
=
⎞
⎟⎟
⎠
l x − l x+n
lx
(l x − l x+1 ) + (l x+1 − l x+ 2 ) + .... + (l x+ n−1 − l x+ n )
lx
⎛l −l ⎞ ⎛l −l
= ⎜⎜ x x +1 ⎟⎟ + ⎜⎜ x +1 x + 2
lx
⎝ lx ⎠ ⎝
⎛l
⎞
−l
⎟⎟ + .... + ⎜⎜ x + n −1 x + n
lx
⎝
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
= q x + 1 | q x + 2 | q x + ....+ n −1 | q x
n −1
= ∑ t | qx
t =0
Pada penyusunan tabel mortalita, harapan hidup ikut diperhitungkan.
Harapan hidup adalah perkiraan rata-rata seseorang berusia x akan hidup
mencapai beberapa tahun lagi. Konsep ini tidak lain adalah konsep nilai harapan
(rata-rata) yang dikenal dalam statistika yang definisinya sebagai berikut :
Definisi 2.1.
Nilai harapan didefinisikan dengan :
∞
E (T ) = ∑ t f (t ) , untuk t diskrit
t =0
Ada dua macam harapan hidup, yaitu harapan hidup ringkas (curtate
expectation of life) dan harapan hidup lengkap (complete expectation of life).
Perhitungan dalam harapan hidup ringkas hanya memperhatikan tahun yang
penuh (tahun lengkap) dialami seseorang berusia x . Dengan kata lain pecahan
tahun tidak ikut dihitung. Sebagai contoh : seseorang lahir pada tanggal 10 Juni
1965, kemudian dia meninggal pada tanggal 15 November 2006. Hal ini berarti
dia meninggal pada usia 41,4 tahun. Nilai 0,4 ini yang dimaksud dengan pecahan
tahun yang pada harapan hidup ringkas dihilangkan. Jadi orang tersebut dianggap
meninggal pada usia 41 tahun. Misal peluang seseorang berusia x dapat bertahan
hidup 0,1,2,…, w − x tahun, masing-masing dinyatakan dengan
0
| qx ,
1
| qx ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
2
| q x ,… w− x | q x maka sesuai dengan definisi 2.1, harapan hidup orang tersebut
adalah :
e x = 0 q x + 1 | q x + 2 2 | q x + .... + ( w − x ) w− x | q x
⎛l −l ⎞ ⎛l −l ⎞
⎛l −l ⎞
= 1⎜⎜ x +1 x + 2 ⎟⎟ + 2⎜⎜ x + 2 x +3 ⎟⎟ + .... + ( w − x)⎜⎜ w w+1 ⎟⎟
lx
lx
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝ lx ⎠
=
1
[1(l x+1 − l x+2 ) + 2(l x+2 − l x+3 ) + .... + (w − x)(lw − lw+1 )]
lx
=
1
(l x+1 − l x+2 + 2l x+2 − 2l x+3 + .... + (w − x)lw − (w − x)lw+1 )
lx
=
1
l x +1 + l x + 2 + .... + l w
lx
=
l x+1 l x+ 2
l
+
+ .... + w
lx
lx
lx
(
)
= p x + 2 p x + ....+ w− x p x
w− x
= ∑ t px
t =1
dengan e x menyatakan harapan hidup ringkas.
Bila dalam harapan hidup ringkas pecahan tahun tidak ikut dihitung, maka
untuk harapan hidup lengkap pecahan tahun ikut dihitung. Jadi pecahan tahun 0,4
pada contoh sebelumnya ikut dihitung. Dengan demikian orang tersebut dianggap
telah meninggal pada usia 41,4 tahun. Sehingga waktu t yang dibutuhkan dari l x
orang untuk menuju tahun-tahun berikutnya tidak selalu bilangan bulat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Definisi 2.2.
0
Harapan hidup lengkap yang dinyatakan dengan e x , didefinisikan dengan :
w− x
e =
0
x
l x +t
dt
lx
∫
0
w− x
e =
0
x
∫
t
p x dt
(2.6)
0
Integral diatas dapat dievaluasi dengan pendekatan distribusi seragam
(uniform) yang memberi pernyataan bahwa kematian dalam setahun dapat
dimisalkan terjadi pada pertengahan tahun (Sembiring,1986). Dalam statistika
fungsi distibusi seragam didefinisikan sebagai berikut :
1
β −α
f ( x) =
0
α ≤x≤β
lainnya
dengan :
β
E( X ) = ∫
α
=
x dx
β −α
β +α
2
Hasil pendekatan tersebut adalah :
0
1
e x = e x + ∫ x dx
0
0
e x = ex +
1
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
B. Percepatan Mortalita (Forces of Mortality)
Pada tabel mortalita, nilai l x hanya menggambarkan keadaan suatu
kelompok untuk x bilangan bulat. Pada prakteknya selama perjalanan waktu nilai
x tidak hanya bilangan bulat. Sehingga dapat dinyatakan bahwa l x adalah fungsi
kontinu. Pada interval usia x sampai x + 1 banyak orang yang meninggal (d x )
adalah
l x − l x +1 dan qx =
d x l x − l x +1
=
. Sedangkan untuk interval usia x
lx
lx
sampai x + Δt banyak orang yang meninggal adalah
l x − l x + Δt , sehingga
peluang meninggalnya adalah :
Δt
qx=
l x − l x + Δt
lx
Jika persamaan diatas dibagi dengan Δt , maka didapatkan tingkat mortalita yaitu :
q x l x − l x + Δt
=
Δtl x
Δt
Δt
(2.7)
Dengan Δt → 0 maka persamaan (2.7) disebut sebagai percepatan mortalita
(forces of mortality) yang didefinisikan berikut :
μ x = lim
Δt →0
qx
Δt
Δt
l x − l x + Δt
Δt → 0
Δtl x
= lim
= lim −
Δt → 0
(l x + Δt − l x )
l x Δt
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
μx = −
1 dl x
l x dt
(2.8)
atau dapat juga dinyatakan dengan :
μx = −
d ln l x
dt
(2.9)
d ln l x = − μ x .dt
Kemudian diintegralkan dari 0 sampai x yaitu :
x
∫ d ln l
x
t
0
ln l t
= − ∫ μ t dt
0
]
x
0
x
= − ∫ μ t dt
0
x
ln l x − ln l 0 = − ∫ μ t dt
0
x
∫
lx
=e 0
l0
− μ t dt
Sehingga diperoleh berikut :
x
l x = l 0 .e
∫
− μ t dt
0
Jika persamaan (2.8) dinyatakan dengan :
μ x l x dt = −dl x
maka untuk usia x + t dengan t = 1,2,3,... persamaan diatas menjadi :
(2.10)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
μ x +t l x +t dt = − dl x +t
(2.11)
atau dapat dinyatakan dengan :
μ x +t l x +t = −
Jika
dl x +t
dt
(2.12)
d x = l x − l x +1 maka dengan menggunakan definisi Integral Riemann
diperoleh
⎛ dl ⎞
l x − l x +1 = ∫ ⎜ − x +t ⎟ dt
dt ⎠
0⎝
1
⎛ dl ⎞
d x = ∫ ⎜ − x +t ⎟ dt
dt ⎠
0⎝
1
(2.13)
Kemudian substitusikan persamaan (2.12) ke (2.13) sehingga diperoleh :
1
d x = ∫ (l x +t μ x +t )dt
(2.14)
0
Jika q x =
dx
maka didapat :
lx
1
qx =
∫l
x +t
μ x +t dt
0
lx
1
q x = ∫ t p x μ x +t dt
0
Untuk n > 1 persamaan (2.15) menjadi :
n
n
q x = ∫ t p x μ x +t dt
0
Persamaan (2.11) dapat juga dinyatakan dengan :
(2.15)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
μ x +t = −
1 dl x +t
l x +t dt
=−
1 d tpx
dt
t px
=−
d ln t p x
dt
⎛l
d ln⎜⎜ x +t
⎝ lx
=−
dt
⎞
⎟⎟
⎠
⎛ l x +t
⎝ lx
⎞
⎟⎟
⎠
μ x +t dt = −d ln⎜⎜
Kemudian diintegralkan dari 0 sampai n yaitu :
⎛ l x +t
∫0 μ x+t dt = −∫0 d ln⎜⎜⎝ l x
n
n
n
∫μ
x +t
⎞ ⎡ ⎛ l x +t
⎟⎟ = ⎢− ln⎜
⎜
⎠ ⎣ ⎝ lx
n
⎞⎤
⎟⎟⎥
⎠⎦ 0
= − ln
l x+n
l
+ ln x
lx
lx
= − ln
l x+n
lx
dt = − ln n p x
(2.16)
0
Sehingga diperoleh :
n
n px = e
∫
− μ x + t dt
0
(2.17)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
dan
n
n
qx = 1 − e
∫
− μ x + t dt
0
(2.18)
C. Tabel Penyusutan Jamak ( Multiple Decrement Table)
Tabel mortalita merupakan contoh praktek dari tabel penyusutan yang
terjadi karena satu faktor penyebab (kematian) atau disebut juga dengan Tabel
Penyusutan Tunggal (Single Decrement Table). Penyusutan adalah berkurangnya
anggota kelompok karena faktor penyebab. Sedangkan tabel penyusutan yang
terjadi karena lebih dari satu faktor penyebab disebut sebagai Tabel Penyusutan
Jamak ( Multiple Decrement Table).
Faktor penyebab penyusutan ada dua jenis, yaitu : faktor penyebab yang
tidak saling bebas (dependent) dan faktor penyebab yang saling bebas
(independent). Contoh faktor penyebab dependent, misal dari 1000 orang dengan
usia yang sama, pada permulaan tahun 50 orang meninggal dan pada akhir tahun
10 orang menjadi cacat. Dengan demikian, hanya 950 orang yang mempunyai
kesempatan keluar dari kelompok asuransi dengan penyebab menjadi cacat pada
akhir tahun, sedangkan 50 orang yang telah meninggal tidak akan pernah dapat
keluar dari kelompok dengan penyebab menjadi cacat. Contoh faktor penyebab
independent, misal dari 1000 orang dengan usia yang sama, pada permulaan
tahun ada 50 orang meninggal dan 10 orang menjadi cacat. Dengan demikian,
pada permulaan tahun ada 1000 orang mempunyai kesempatan keluar dari
kelompok asuransi dengan penyebab meninggal atau menjadi cacat. Pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
asuransi pensiun penyusutan kelompok dihitung pada permulaan tahun, sehingga
menggunakan faktor penyebab independent (Futami, 1993). Konsep ini tidak lain
adalah konsep indepedensi yang dikenal dalam statistika yang definisinya sebagai
berikut :
Definisi 2.3.
(1)
Andaikan d x menyatakan banyak orang yang meninggal pada usia x dan
d x( 2 ) menyatakan banyak orang yang menjadi cacat pada usia x . Dua kejadian
d x(1) dan d x( 2 ) dikatakan independent jika :
(
)
( )( )
P d x(1) ∩ d x( 2 ) = P d x(1) P d x( 2 )
Pada keadaan awal kelompok, l 0 orang akan mengalami penyusutan
anggota karena lebih dari satu faktor penyebab. Jika penyusutan dari l x orang
(1)
terjadi karena faktor penyebab satu maka dinyatakan dengan d x , faktor
( 2)
penyebab dua dinyatakan dengan d x dan seterusnya sampai faktor penyebab m
(m)
yang dinyatakan dengan d x
, atau :
m
d x + d x + ..... + d x = ∑ d x( k )
(1)
(2)
(m )
k =1
(k )
dengan d x
menyatakan banyak orang berusia x yang mengalami penyusutan
karena faktor penyebab ke- k (k = 1,2,...., m ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Komponen terpenting dalam menyusun tabel adalah Peluang seseorang
keluar dari kelompok karena faktor penyebab ke- k pada usia x .
Definisi 2.4.
Peluang seseorang keluar dari kelompok karena faktor penyebab ke- k pada usia
x adalah :
q
(T )
dengan l x
d x( k )
= (T )
lx
(k )
x
menyatakan banyak orang yang tetap menjadi anggota kelompok
(T )
pada usia x . Muncul nilai l x
yang sama, dapat terjadi karena asumsi
independensi (definisi 2.3).
(k )
Jika p x
= 1 − q x( k ) , maka dapat dinyatakan bahwa :
p
p
(k )
dengan p x
(k )
x
(k )
x
⎛ d x( k )
= 1 − ⎜⎜ (T )
⎝ lx
⎞
⎟⎟
⎠
l x(T ) − d x( k )
=
l x(T )
menyatakan peluang seseorang tetap berada
dalam kelompok
karena faktor penyebab ke- k pada usia x .
(T )
Jika d x
menyatakan jumlahan dari banyak orang yang keluar dari
kelompok karena faktor penyebab ke- k (untuk k = 1,2,....., m ) pada usia x , atau :
m
d
(T )
x
= ∑ d x(k )
k =1
(2.19)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
yang kemudian dengan menggunakan persamaan (2.2) maka diperoleh :
q
(T )
x
d x(T )
= (T )
lx
m
q x(T ) =
∑d
k =1
(k )
x
l x(T )
d x( k )
(T )
k =1 l x
m
q x(T ) = ∑
m
q
(T )
x
= ∑ q x( k )
k =1
(T )
dengan q x menyatakan peluang seseorang keluar dari kelompok karena semua
faktor penyebab pada usia x .
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (2.3) dapat dicari peluang
seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua faktor penyebab pada usia
x , yaitu :
(T )
x
l x(T ) − d x(T )
=
l x(T )
(T )
x
l x(T+1)
= (T )
lx
p
p
Untuk peluang seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua
faktor penyebab pada usia x selama jangka waktu n tahun ( n > 1 ) dapat
dinyatakan bahwa:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
n
p
(T )
x
l x(T+ n)
= (T )
lx
Sedangkan peluang seseorang keluar dari kelompok karena semua faktor
penyebab pada usia x selama jangka waktu n tahun adalah :
n
q
(T )
x
l x(T ) − l x(T+ n)
=
l x(T )
D. Percepatan Penyusutan Jamak (Forces of Multiple Decrement).
Percepatan total penyusutan jamak pada usia x didefinisikan dengan
menggunakan persamaan (2.9) yaitu :
μ
(T )
x
d ln l x(T )
=−
dt
Kemudian dengan menggunakan persamaan (2.10) dan (2.14) maka dapat
dinyatakan bahwa :
x
l x(T ) = l 0(T ) .e
∫
− μ t( T ) dt
0
dan
1
d
(T )
x
= ∫ l x(T+t) .μ x(T+t) dt
0
Dengan menggunakan persamaan (2.15) maka didapat :
1
q x(T ) = ∫ t p x(T ) μ x(T+t) dt
0
Untuk n > 1 persamaan di atas menjadi :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
n
n
q
(T )
x
= ∫ t p x(T ) μ x(T+t) dt
0
Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (2.17) dan (2.18) didapat :
n
(T )
=e
n px
∫
− μ x( T+ t) dt
0
dan
n
n
Tingkat
penyusutan
q x(T ) = 1 − e
karena
∫
− μ x( T+ t) dt
0
penyebab
ke- k
dirumuskan
dengan
menggunakan definisi 2.1 yaitu :
Δt
q x( k ) l x( k ) − l x( k+)Δt
=
Δt
Δtl x(T )
Jika Δt → 0 maka diperoleh percepatan penyusutan
decrement) yaitu :
μ
(k )
x
q x( k )
= lim
Δt →0
Δt
Δt
l x( k ) − l x( k+)Δt
= lim
Δt →0
Δtl x(T )
= lim −
Δt → 0
μ
(k )
x
(l x( k+)Δt − l x( k ) )
l x(T ) Δt
1 dlx( k )
= − (T )
l x dt
μ x(k ) (forces of
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
⇔
μ x( k ) l x(T ) dt = − dl x( k )
Persamaan di atas terjadi untuk usia x , sedangkan untuk usia x + t adalah :
μ x( k+)t l x(T+ t) dt = − dl x( k+)t
atau
μ l
( k ) (T )
x +t x +t
(k )
Jika diketahui bahwa d x
dl x( k+)t
=−
dt
= l x( k ) − l x( k+1) maka didapat :
⎛ dl x( k+)t
= ∫ ⎜⎜ −
dt
0⎝
1
d
(k )
x
d
(k )
x
⎞
⎟⎟ dt
⎠
1
= ∫ l x(T+t) .μ x( k+)t dt
0
(T )
Kemudian dibagi dengan l x , didapat :
1
(k )
x
(T )
x
d
l
=
∫l
(T )
x +t
.μ x( k+)t dt
0
l x(T )
1
q
(k )
x
q
(k )
x
l x(T+t) ( k )
= ∫ (T ) μ x +t dt
l
0 x
1
= ∫ t p x(T ) μ x( k+)t dt
0
Untuk n > 1 persamaan di atas menjadi berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
n
n
q
(k )
x
= ∫ t p x(T ) μ x( k+)t dt
0
Jika dari persamaan (2.16) diturunkan untuk penyusutan k yaitu :
n
∫μ
(k )
x +t
dt = − ln n p x( k )
0
yang kemudian diperoleh :
n
(k )
=e
n px
∫
− μ x( k+)t dt
0
dan
n
n
q x( k ) = 1 − e
∫
− μ x( k+)t dt
0
m
m
k=x
k=x
(T )
(k )
(T )
(k )
Jika d x = ∑ d x
maka begitu juga untuk l x = ∑ l x . Sehingga
hubungan antara
μ x(k )
dan
μ x(T ) adalah :
μ x(T ) = −
1 dl x(T )
l x(T ) dt
1 dl x(1) + dl x(2 ) + ..... + dl x( m)
= − (T )
dt
lx
=−
dl x(m ) ⎤
1 ⎡ dl x(1) dl x(2 )
+
+
+
......
⎢
⎥
dt
dt ⎦
l x(T ) ⎣ dt
= μ x(1) + μ x(2 ) + .... + μ x(m )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
μ
m
(T )
x
= ∑ μ x( k )
k =1
Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa percepatan penyusutan
yang dikarenakan semua penyebab adalah sama dengan jumlahan dari semua
percepatan penyusutan untuk semua m penyebab.
F. Tingkat Bunga
Perhitungan manfaat pensiun sangat dipengaruhi oleh tingkat bunga, karena
saat dana yang telah terkumpul maka akan segera diinvestasikan dalam waktu
tertentu. Waktu investasi diasumsikan sama dengan waktu yang dibutuhkan untuk
banyaknya kali melakukan pembayaran, misalnya n kali (tahun). Dana yang
diinvestasikan tersebut akan dikembangkan oleh dana pensiun semaksimal
mungkin, sehingga diharapkan dapat mencukupi pemenuhan kewajiban yang
harus dibayarkan kepada peserta program saat mencapai usia pensiun. Pendapatan
bunga dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: bunga tunggal dan bunga majemuk.
Bunga tunggal adalah perhitungan bunga yang hanya didasarkan pada
perbandingan pokok dan jangka investasi. Misal besar pokok R , tingkat bunga
tunggal i , jangka investasi n tahun, maka besar bunga I = R.n.i dan total pokok
berikut bunganya untuk n tahun adalah sebesar :
Rn = R + I
Rn = R + R.n.i
Rn = R.(1 + n.i )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Bunga majemuk adalah perhitungan bunga dengan besar pokok jangka
investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah dengan besar
bunga yang diperoleh. Misal besar pokok R , tingkat bunga tunggal i , jangka
investasi n tahun. Pada akhir tahun pertama jumlah bunga dan pokoknya adalah
R.(1 + i ) dan jumlah tersebut merupakan pokok yang baru pada permulaan tahun
ke dua, atau R1 = R.(1 + i) . Pada akhir tahun kedua besar bunga menjadi
i.R1 = i.R(1 + i), jadi pada akhir tahun kedua besar bunga dengan pokoknya
adalah
R1 + i.R1 = R1 (1 + i) = R.(1 + i)(1 + i ) = R.(1 + i ) 2 atau dapat dinyatakan
dengan R2 = R.(1 + i ) 2 . Pada permulaan tahun ketiga diperoleh besar pokok yang
baru yaitu R3 = R.(1 + i ) 3 . Sehingga dengan jalan yang sama total pokok beserta
bunganya pada akhir tahun ke n atau permulaan tahun ke n + 1 yang dinyatakan
dengan Rn , adalah :
R n = R.(1 + i ) n
Untuk mencari besar pokok R , diperoleh dengan merubah persamaan di
atas menjadi berikut :
R = Rn (1 + i ) − n
R = Rn . v
dengan
v = (1 + i ) −1
n
(2.20)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
G. Anuitas (Annuity)
Anuitas adalah serangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu yang
dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu. Anuitas terbagi atas dua macam
yaitu : Anuitas Tentu (Certain Annuity) dan Anuitas Hidup (Life Annuity).
Anuitas tentu adalah anuitas yang setiap pembayarannya dilakukan tanpa
syarat (pembayaran pasti). Misal diketahui suatu anuitas tentu dengan n kali
pembayaran sebesar Rp.1 yang dilakukan pada tiap akhir tahun. Maka
pembayaran pertama dilakukan pada akhir tahun pertama, kemudian pembayaran
kedua dilakukan pada akhir tahun kedua, dan seterusnya sampai pada akhir tahun
ke n .
Nilai Rp.1 adalah nilai yang sudah termasuk bunga (Rn ) , sedangkan dalam
anuitas yang akan dicari adalah nilai tanpa bunga (nilai tunai( R )). Dengan
menggunakan persamaan (2.20) maka nilai tunai dari pembayaran tahun pertama
adalah: R = R1 .v
2
maka R = Rp1.v = v ,nilai tunai tahun kedua: R = R2 .v
2
2
maka R = Rp1.v = v dan
seterusnya
sampai
nilai
tunai
tahun
ke- n :
R = Rn .v n maka R = Rp1.v n = v n . Sehingga nilai tunai keseluruhan ( A )
adalah jumlahan dari pembayaran tahun pertama sampai tahun ke n . Proses
tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :
A = v + v 2 + .... + v n
(2.21)
Pembayaran anuitas dapat dilakukan dengan dua cara yaitu pembayaran
&&n atau
pada awal tahun (anuitas tentu awal) yang dinotasikan sebagai a
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
pembayaran pada akhir tahun (anuitas tentu akhir) yang dinotasikan sebagai
an .
&&n = 1 + a n . Pada pemisalan di
Selisih antara kedua anuitas adalah satu, atau a
atas yaitu A yang dilakukan pada akhir tahun merupakan anuitas tentu akhir
( A = a n ) maka persamaan (2.21) menjadi :
a n = v + v 2 + .... + v n
(2.22)
Anuitas di atas merupakan deret geometri dengan suku pertama adalah v dan
rasio adalah v yang jumlah deretnya adalah:
v(1 − v n ) 1 − v n
1− vn
1− vn
an =
=
=
=
1
i
1− v
(1 + i ) − 1
−1
v
Sehingga persamaan (2.22) menjadi berikut :
an =
1− vn
i
(2.23)
Untuk anuitas tentu awal yang dinyatakan dengan :
a&&n = 1 + v + v 2 + .... + v n −1
&&n =
Terlihat bahwa a
(2.24)
1
a dengan jumlah deretnya adalah :
v n
1 ⎛1− vn
a&&n = ⎜⎜
v⎝ i
⎞ 1− vn
⎟⎟ =
iv
⎠
Sehingga persamaan (2.24) menjadi berikut :
a&&n =
1− vn
iv
(2.25)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Contoh 2.1
Sebuah rumah dibeli dengan uang muka Rp.20.000.000,00 dan cicilan tiap akhir
tahun sebesar Rp. 5.000.000,00 selama 20 tahun ( i = 5% ). Berapa harga rumah
bila dibeli secara tunai?
Jawab :
Dengan mempergunakan persamaan (2.23) maka nilai tunai dari cicilan selama 20
tahun, adalah :
⎛ 1 − (1 + 0,05) −20
Rp. 5.000.000 ,00 a 20 = Rp.5.000.000,00 ⎜⎜
0,05
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
= Rp.5.000.000,00 (12,4622)
= Rp.62.311.051,71
Jadi total harga rumah secara tunai adalah:
Rp. 20.000.000,00 + Rp.62.311.051,71 = Rp.82.311.051,71
Anuitas hidup adalah anuitas yang pembayarannya memperhatikan hidup
matinya tertanggung (annuitan) dan pembayaran akan terus berlangsung selama
annuitan masih hidup. Anuitas hidup yang sering digunakan tergantung pada lama
dan waktu pembayaran (awal atau akhir tahun). Anuitas hidup ada dua macam
yaitu: Anuitas Sementara (Berjangka) dan Anuitas Seumur Hidup.
Anuitas sementara adalah pembayaran anuitas yang tidak dilakukan
sepanjang usia tertanggung x , tetapi hanya selama n tahun asal tertanggung
masih hidup. Jika tertanggung yang berusia x meninggal sebelum mencapai usia
x + n , maka pembayaran dianggap selesai.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Al x = vl x +1 + v 2 l x + 2 + .... + v n l x + n
A=
vl x +1 + v 2 l x + 2 + .... + v n l x + n
lx
⎛l
⎛l ⎞
⎛l ⎞
A = v⎜⎜ x +1 ⎟⎟ + v 2 ⎜⎜ x + 2 ⎟⎟ + .... + v n ⎜⎜ x + n
⎝ lx ⎠
⎝ lx ⎠
⎝ lx
⎞
⎟⎟
⎠
A = vp x + v 2 2 p x + .... + v n n p x
(2.26)
&&x:n dan nilai tunai
Nilai tunai anuitas akhir ( A) sementara dinyatakan dengan a
anuitas awal sementara dinyatakan dengan a x:n . Dengan pemikiran yang sama
pada anuitas seumur hidup hanya bedanya pembayarannya dibatasi sampai n
&&x:n = 1 + a x:n −1 . Persamaan (2.26) digunakan untuk menentukan nilai
tahun dan a
tunai anuitas akhir sementara yaitu :
n
a x:n =∑ v t t p x
(2.27)
t =1
dan nilai tunai anuitas awal sementara :
n −1
a&&x:n = 1 + ∑ v t t p x
t =1
n −1
a&&x:n =∑ v t t p x
(2.28)
t =0
Cara yang lebih sederhana dalam penghitungan disebut dengan komutasi.
Misal D x = v l x dan N x = D x + D x +1 + D x + 2 + .... + Dw ,
x
(2.27) dan (2.28) dapat dinyatakan menjadi berikut :
maka
persamaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
a x:n
vl x+1 + v 2 l x+ 2 + .... + v n l x+ n
=
lx
v x +1l x +1 + v x + 2 l x + 2 + .... + v x + n l x + n
v xlx
Dx +1 + Dx + 2 + .... + Dx + n
=
Dx
N − N x + n +1
a x:n = x +1
Dx
=
(2.29)
dan
a&&x:n = 1 + a x:n −1
N x +1 − N x + n +1
Dx
D x + N x +1 − N x + n
=
Dx
N − N x+n
a&&x:n = x
Dx
=1 +
(2.30)
Contoh 2.2
Pada usia 55 tahun, Tono mempunyai dua pilihan yaitu: menerima
Rp.30.000.000,00 dari suatu perusahaan asuransi yang akan membungakannya
dengan tingkat bunga 4% setahun, dan dia akan menerima dengan cara tentu tiap
permulaan tahun selama 30 tahun (anuitas tentu selama 30 tahun) atau
membiarkan uangnya pada perusahaan tersebut dan menerima sejumlah uang
yang sama besarnya tiap permulaan tahun selama 30 tahun bila dia masih hidup
(anuitas hidup). Hitunglah besar penerimaan Tono tersebut setiap tahun dalam
kedua hal. Bila ternyata dia meninggal tepat sebelum mencapai 80 tahun,
berapakah besar uang yang akan diterima Tono ?
Jawab :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Misalkan perusahaan membayar tahunan kepada Tono sebesar B rupiah, maka
dengan menggunakan persamaan (2.25) dan Tabel II Lampiran didapat :
(a) Nilai tunai anuitas awal tentu selama 30 tahun :
&&30 =Rp.30.000.000,00
Ba
B=
B =
B=
Rp.30.000.000,00
a&&30
Rp.30.000.000,00
⎛ 1 − (1 + 0,04) −30 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
(
0
,
04
)(
1
,
04
)
⎝
⎠
Rp.30.000.000,00
17,9837
B = Rp.1.668.175,937
Bila ternyata dia meninggal sebelum berusia 80 tahun maka pembayaran
masih tersisa 5 kali (5 tahun). Nilai tunai sisa pembayaran ini adalah :
−5
&&5 = Rp.1.668.175,937 ⎛⎜⎜ (1 − (1 + 0,04) ⎞⎟⎟
Rp.1.668.175,937 . a
⎝ (0,04)(1,04) ⎠
= Rp.7.723.479,804
(b) Dengan menggunakan persamaan (2.30) didapat besar pembayaran tahunan
untuk anuitas hidup awal sementara pada usia 55 tahun untuk jangka waktu
30 tahun adalah :
&&55:30 = Rp.30 .000 .000 ,00
Ba
B=
Rp.30.000.000,00
a&&55:30
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
B =
Rp.30.000.000,00
N 55 − N 85
D55
⎛ D55 ⎞
⎟⎟
B = Rp .30 .000 .000 ,00 ⎜⎜
−
N
N
85 ⎠
⎝ 55
B = Rp. 2.356.081,41
Sedangkan anuitas seumur hidup adalah anuitas yang pembayarannya
dilakukan sepanjang usia annuitan (jangka waktu n pada anuitas sementara
diganti dengan w − x ). Misal tiap orang dari sebanyak l x menyerahkan sejumlah
A rupiah ke suatu perusahaan. Pada saat seseorang berusia x + 1 maka
perusahaan akan membayar sebesar Rp.1, pada saat seseorang berusia x + 2 maka
perusahaan akan membayar sebesar Rp.1 dan seterusnya sampai semua orang dari
l x meninggal. Sehingga dana yang terkumpul di perusahaan adalah Al x rupiah.
Nilai tunai pada tahun pertama : R = R1 .v maka R = ( Rp1.l x +1 )v = l x +1 .v , nilai
2
2
2
tunai pada tahun kedua : R = R 2 .v maka R = ( Rp1.l x + 2 )v = l x + 2 v sampai nilai
w− x
w− x
= l w .v w− x
tunai pada tahun ke w − x : R = R w − x .v
maka R = ( Rp1.l w )v
Jika semua nilai tunai dijumlahkan maka diperoleh A , yaitu :
A.l x = vl x +1 + v 2 l x + 2 + .... + v w− x l w
vl x +1 + v 2 l x + 2 + .... + v w− x l w
A=
lx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
⎛l ⎞
⎛l
A = v⎜⎜ x +1 ⎟⎟ + v 2 ⎜⎜ x + 2
⎝ lx ⎠
⎝ lx
⎛l ⎞
⎞
⎟⎟ + .... + v w− x ⎜⎜ w ⎟⎟
⎠
⎝ lx ⎠
A = vp x + v 2 2 p x + .... + v w− x w− x p x
(2.31)
Nilai A tersebut merupakan anuitas akhir seumur hidup karena pembayaran
dilakukan tiap akhir tahun ( a x ) yang berselisih satu dengan anuitas awal seumur
&&x ) atau a&&x = 1 + a x −1 . Sehingga persamaan (2.31) disebut nilai tunai
hidup ( a
akhir seumur hidup yaitu :
a x = vp x + v 2 2 p x + ..... + v w− x w− x p x
w− x
t
a x = ∑ v t px
(2.32)
t =1
Kemudian untuk nilai tunai awal seumur hidup adalah :
a&&x = 1 +
w− x −1
∑v
t =1
t
t
px
a&&x = 1 + vp x + v 2 2 p x + ..... + v w− x−1 w− x−1 p x
a&&x =
w− x −1
∑v
t =0
t
t
px
x
Misal D x = v l x dan N x = D x + D x +1 + D x + 2 + .... + Dw ,
(2.32) dan (2.33) menjadi berikut :
a x = vp x + v 2 2 p x + .... + v w− x w− x p x
⎛ vl x +1 + v 2 l x + 2 + .... + v w− x l w ⎞ v x
⎟⎟ x
= ⎜⎜
lx
⎝
⎠v
(2.33)
maka
persamaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
v x +1l x +1 + v x + 2 l x + 2 + .... + v w l w
=
v xlx
D x +1 + D x + 2 + .... + Dw
=
Dx
N
a x = x +1
Dx
dan
N x +1
Dx
D x + N x +1
=
Dx
N
a&&x = x
Dx
a&&x = 1 +
(2.34)
Tabel komutasi yang digunakan dalam contoh-contoh berikut adalah Tabel
Komutasi Indonesia 1993 ( i = 4% ).
Contoh 2.3
Hitunglah nilai tunai suatu anuitas awal seumur hidup dengan pembayaran
Rp.600.000,00 setahun untuk seseorang pada saat usia 20 tahun dan 60 tahun !
Jawab :
Dengan menggunakan persamaan (2.34) maka :
(i) Nilai tunai pada saat x = 20 adalah :
⎛ N 20
⎝ D20
&&20 = Rp.600.000,00 ⎜⎜
Rp.600.000,00 a
= Rp. 12.972.182,75
(ii) Nilai tunai pada saat x = 60 adalah :
⎞
⎟⎟
⎠
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
⎛ N 60
⎝ D60
&&60 = Rp.600.000,00 ⎜⎜
Rp.600.000,00 a
⎞
⎟⎟
⎠
= Rp. 6.722.394,49
Perhatikan bahwa premi tunggal bersih untuk orang yang berusia 20 tahun, lebih
tinggi (mahal) dibandingkan dengan orang yang berusia 60 tahun, karena hidup
orang yang berusia muda dianggap lebih lama dari orang yang berusia tua,
sehingga orang yang berusia 20 tahun akan menerima anuitas yang lebih besar.
H. ASURANSI JIWA
Pada dasarnya asuransi jiwa merupakan usaha kerjasama (koperasi) dari
sejumlah orang yang sepakat memikul kesulitan keuangan bila terjadi suatu
musibah terhadap salah seorang anggotanya. Usaha kerjasama ini dilakukan
melalui suatu perusahaan asuransi. Perusahaan yang besar dengan pemegang
saham yang banyak maka akan mudah mengatasi pembayaran santunan asuransi
(claim) kepada pewaris anggotanya yang meninggal. Setiap orang yang
mengasuransikan jiwanya pada suatu perusahaan asuransi berarti sepakat terhadap
suatu kontrak tertulis antara tertanggung dengan perusahaan tersebut. Isi kontrak
adalah besar premi yang harus dibayar tertanggung ke perusahaan beserta jadwal
pembayaran, dan besar claim yang akan diterima tertanggung bila terjadi suatu
musibah. Kontrak tersebut sering disebut sebagai polis asuransi. Besar claim
tergantung atas tiga hal penting, yaitu : peluang meninggal ( q x ), tingkat bunga
( i ), dan biaya operasional.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Dana yang sudah terkumpul dari pembayaran premi oleh para pemegang
polis diinvestasikan dengan tingkat bunga tertentu, dan sebagian dari bunga
tersebut merupakan milik para pemegang polis. Setiap perusahaan asuransi tidak
dapat bekerja tanpa biaya operasional, antara lain: biaya pegawai untuk
mengeluarkan polis, mengadministrasikan polis dan membayarkan claim, biaya
untuk membayar pajak, komisi, dan sebagainya. Dalam skripsi ini biaya
operasional tidak ikut dibahas, tetapi hanya memperhatikan peluang meninggal
dan tingkat bunga. Premi yang dihitung tanpa memperhitungkan faktor biaya
disebut premi bersih (net premi). Premi dapat dibayarkan sekaligus disebut premi
tunggal, dapat juga seumur hidup (premi tahunan seumur hidup), dan dapat juga
selama jangka tertentu (premi tahunan berjangka). Jika pemegang polis meninggal
sebelum berakhir jangka waktu pembayaran maka dianggap pembayaran telah
selesai.
1. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tunggal
a. Asuransi Berjangka
Asuransi berjangka merupakan bentuk asuransi yang paling sederhana.
Dalam kontrak ini uang santunan asuransi (claim) akan dibayarkan perusahaan
kepada pewaris pemegang polis bila pemegang polis meninggal dalam jangka
waktu tertentu (jangka waktu polis). Untuk perhitungan yang lebih sederhana,
jangka waktu dihitung untuk satu tahun. Tingkat bunga dianggap stabil untuk
setiap tahunnya.
Andaikan ada sebanyak l x orang pemegang polis, menyerahkan premi
tunggal bersih sebesar Z rupiah ke suatu perusahaan asuransi dan tiap akhir tahun
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
akan dibayarkan Rp.1 kepada tiap pewaris dari tertanggung yang meninggal. Jika
ternyata tertanggung mampu hidup mencapai usia x + 1 maka claim tidak akan
dibayarkan. Sehingga sekarang dana di perusahaan ada sebanyak Zl x rupiah.
Banyaknya yang meninggal dalam interval waktu setahun adalah sebanyak d x ,
maka dana yang dikeluarkan perusahaan pada akhir tahun sebesar Rp.1( d x ) atau
d x rupiah. Bila dana yang terkumpul di perusahaan dikenai bunga, maka dana
yang ada di perusahaan pada akhir tahun pertama ada sebanyak :
d x = Zl x (1 + i )
Z=
dx
l x (1 + i )
Z = v.
Misalkan
dx
lx
A1x:n adalah nilai tunai asuransi atau premi tunggal bersih
asuransi sebesar Rp.1 untuk seseorang yang berusia x selama interval waktu n
tahun. Bila seseorang yang berusia x meninggal sebelum usia x + n , maka
kepada pewarisnya akan dibayarkan sebesar Rp.1 pada akhir tahun orang tersebut
meninggal. Tetapi bila orang tersebut mampu hidup mencapai usia x + n , maka
orang tersebut tidak akan mendapat claim. Bila seseorang yang berusia x
meninggal pada akhir tahun pertama, maka nilai tunainya adalah v.
seseorang yang berusia x
dx
. Bila
lx
meninggal pada akhir tahun kedua, nilai tunainya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
2
adalah v .
d x +1
, dan bila seseorang yang berusia x meninggal pada akhir tahun
lx
n
ke n , maka nilai tunainya adalah v .
d x + n −1
. Sehingga keseluruhan nilai tunainya
lx
adalah :
A1x:n = v
d
d
dx
+ v 2 x +1 + ... + v n x + n −1
lx
lx
lx
n −1
A1x:n = ∑ v t +1
t =0
(2.35)
d x+t
lx
(2.36)
Jika menggunakan simbol komutasi yang didapat dengan cara mengalikan
pembilang dan penyebut dengan
1
x:n
A
vd x + v 2 d x +1 + ... + v n d x + n −1
=
lx
A1x:n =
Jika v
x +1
v x , maka dari persamaan (2.35) didapat :
⎛ vx
⎜⎜ x
⎝v
⎞
⎟⎟
⎠
v x +1 d x + v x + 2 d x +1 + ... + v x + n d x + n −1
v xlx
d x = C x dan C x + C x +1 + C x + 2 + ... + C w = M x maka :
A1x:n =
C x + C x +1 + ... + C x + n −1
Dx
A1x:n =
M x − M x+n
Dx
(2.37)
Selain dinyatakan dalam simbol komutasi, persamaan (2.36) dapat juga
dinyatakan dalam bentuk anuitas, yaitu :
n −1
A1x:n = ∑ v t +1
t =0
d x +t
lx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
n −1
A1x:n =∑ v t +1 t q x
t =0
Sehingga persamaan (2.36) dapat ditulis menjadi :
A1x:n = vq x + v 2 q x + ... + v n n−1 q x
&& x:n ) − a x:n
Akan dibuktikan bahwa : Ax:n = v(a
1
Bukti :
A1x:n = v (1 − p x ) + v 2 ( p x − 2 p x ) + ... + v n ( n−1 p x − n p x )
= v − vp x + v 2 p x − v 2 2 p x + ... + v n n −1 p x − v n n p x
= (v + v 2 p x + ... + v n n −1 p x ) − (vp x + v 2 2 p x + ... + v n n p x )
= v(1 + vp x + ... + v n −1 n p x ) − (vp x + v 2 2 p x + ... + v n n p x )
n −1
n
t =0
t =1
= v∑ v t t p x − ∑ v t t p x
A1x:n = v(a&& x:n ) − a x:n
b. Asuransi Seumur Hidup
Asuransi berjangka relatif sederhana dan murah (preminya rendah). Akan
tetapi bila jangka waktu sudah habis maka tertanggung tidak memperoleh apapun
dari
perusahaan
asuransi.
Bila
tertanggung
mempunyai
keinginan
mengasuransikan dirinya terus menerus maka dia harus membeli polis baru karena
kontraknya sudah selesai. Pembelian polis baru akan memakan biaya yang relatif
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
mahal mengingat usianya yang semakin bertambah tua sehingga peluang
meninggal makin tinggi. Asuransi seumur hidup merupakan solusi tepat untuk
mengatasi situasi tersebut, karena lebih murah dan praktis dibandingkan dengan
asuransi berjangka yang bersambung. Uang santunan asuransi (claim) dalam
asuransi seumur hidup pasti akan dibayar oleh perusahaan tanpa mempedulikan
kapan tertanggung meninggal.
Misalkan Ax menyatakan nilai tunai atau premi tunggal bersih dari asuransi
seumur hidup sebesar Rp.1 bagi seseorang yang berusia x . Bila seseorang berusia
x meninggal, maka kepada pewarisnya akan dibayarkan Rp.1 pada akhir tahun
orang tersebut meninggal. Dengan cara yang sama pada asuransi berjangka, maka
nilai tunai seluruh pembayaran tiap tahunnya adalah :
Ax = v
dx
d
d
+ v 2 x +1 + ... + v w− x +1 w
lx
lx
lx
(2.38)
w− x
Ax = ∑ v t +1 t q x
t =0
vx
Komutasinya didapat dari mengalikan persamaan (2.38) dengan x , yaitu :
v
vd x + v 2 d x +1 + ... + v w− x +1d w ⎛ v x
⎜⎜ x
Ax =
lx
⎝v
v x +1d x + v x + 2 d x +1 + ... + v w+1d w
=
v xlx
=
C x + C x +1 + ... + C w
Dx
⎞
⎟⎟
⎠
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Ax =
Mx
Dx
(2.39)
Contoh 2.4.
Tono pada saat berusia 50 tahun, membeli polis asuransi jiwa dengan claim
sebesar Rp.50.000.000,00 (i = 4% ) jika :
a) Tono membeli polis asuransi berjangka selama 15 tahun. Dengan
menggunakan persamaan (2.37) maka besar premi yang harus dibayarkan
adalah :
⎛ M 50 − M 65 ⎞
⎟⎟
D50
⎝
⎠
Rp.50.000.000,00 A50:15 = Rp.50.000.000,00 ⎜⎜
1
= Rp.8.773.969,98
b) Tono membeli polis asuransi seumur hidup. Dengan menggunakan persamaan
(2.39) maka besar premi yang harus dibayarkan adalah :
⎛M
Rp.50.000.000,00 A50 = Rp.50.000.000,00 ⎜⎜ 50
⎝ D50
⎞
⎟⎟
⎠
= Rp.21.946.654,15
Selain dengan komutasi, persamaan (2.38) dapat juga dinyatakan dalam
bentuk anuitas.
&&x ) − a x
Akan dibuktikan bahwa : Ax = v(a
Bukti :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Jika n qx =
n −1
∑
t
t =1
| q x maka persamaan (2.38) dapat dinyatakan dengan :
Ax = vq x + v 2 q x + v 3 2 | q x + ... + v w− x w− x −1 | q x
Selanjutnya diperoleh berikut :
Ax = v (1 − p x ) + v ( p x − 2 p x ) + ... + v
2
w− x
( w− x −1 p x − w− x p x )
= v − vp x + v 2 p x − v 2 2 p x + ... + v w− x w− x −1 p x − v w− x w− x p x
= (v + v 2 p x + ... + v w− x w− x −1 p x ) − (vp x + v 2 2 p x + ... + v w− x w− x p x )
= v (1 + vp x + v 2 2 p x ... + v w− x −1 w− x −1 p x ) − (vp x + v 2 2 p x + ... + v w− x w− x p x )
=v
w− x −1
∑v
t =0
w− x
t
t
px − ∑ vt t px
t =1
Ax = v(a&&x ) − a x
2. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tahunan
Jika pembayaran dilakukan secara tahunan, maka perhitungan harus
didasarkan pada prinsip equality, yaitu : Nilai tunai premi yang akan datang =
nilai tunai claim yang akan datang. Alasan perusahaan asuransi memberlakukan
prinsip equality adalah untuk menghindari terjadinya kerugian salah satu pihak.
Jika keseluruhan pembayaran premi lebih besar dari besar claim yang diterima
maka pemegang polis akan merasa rugi, begitu juga sebaliknya.
Misal suatu claim asuransi seumur hidup ( Ax ) sebesar Rp.1 dengan premi
&&x ). Jika premi tahunan sebesar P ,
tahunan yang dibayarkan tiap awal tahun ( a
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
maka menurut prinsip equality harus dicari nilai P sampai diruas kiri didapatkan
Rp.1 yaitu:
P.a&&x = ( Rp.1) Ax
P=
Ax
a&&x
(2.40)
Contoh 2.5.
Dari contoh 2.4 (b) Tono (50) ternyata merasa keberatan dengan pembayaran
premi tunggal sebesar Rp.21.946.654,15 untuk mendapatkan claim sebesar
Rp.50.000.000,00. Kemudian ia memutuskan untuk membeli polis asuransi
seumur hidup dengan premi tahunan. Dengan menggunakan persamaan (2.40)
maka besar premi yang harus dibayarkan adalah :
P=
Rp.21.946.654,15
a&&50
P=
Rp.21.946.654,15
N 50
D50
P = Rp 1.504.458,84
Asuransi berjangka dengan pembayaran premi tahunan adalah suatu
kontrak asuransi untuk jangka waktu n tahun, dengan pembayaran preminya
sebanyak n kali. Menurut prinsip equality maka didapat :
P.a&&x:n = A1x:n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
P=
A1x:n
(2.41)
a&&x:n
Contoh 2.6
Dari contoh 2.4 (a) Tono (50) memutuskan membeli polis asuransi jiwa secara
tahunan dengan jangka waktu 15 tahun. Dengan menggunakan persamaan (2.41)
maka besar premi yang harus dibayarkan, adalah :
P = Rp.21.946.654,15
1
A50
:15
a&&50:15
⎛M
−M
⎞
65
⎟⎟
P = Rp.21.946.654,15 ⎜⎜ 50
⎝ N 50 − N 65 ⎠
P = Rp.362.802,82
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
ASURANSI PENSIUN HARI TUA
A. Dana Pensiun
Dana pensiun adalah lembaga perantara keuangan yang menjembatani saat
seseorang mengalami peningkatan penghasilan (usia produktif) dan penurunan
penghasilan (usia tua), sehingga kehidupan di masa tuanya akan terjamin
secara finansial (Wijayanto dkk,2001). Atau dapat dikatakan bahwa dana pensiun
merupakan penyelenggara program pensiun di suatu perusahaan. Sebagai lembaga
perantara keuangan, dana pensiun secara aktif memobilisasi dana para pegawai
melalui pengumpulan iuran pensiun dari anggota, dan melakukan investasi (misal
di pasar keuangan) untuk mengembangkan dana yang terkumpul agar kelak dana
yang dimiliki mencukupi untuk membayar manfaat pensiun masing-masing
anggota.
Ada tiga fungsi dana pensiun yaitu : fungsi tabungan, fungsi asuransi dan
fungsi pensiun. Fungsi tabungan berarti dana pensiun bertugas mengumpulkan
dan mengembangkan dana. Dana yang terkumpul merupakan akumulasi dan iuran
pemberi kerja/perusahaan dan pegawai, yang diberlakukan seperti tabungan.
Fungsi asuransi berarti dana pensiun bertugas membayarkan manfaat pensiun
kepada peserta program baik yang mengalami cacat atau meninggal sebelum atau
sesudah memasuki usia pensiun yang besarnya sesuai dengan yang dijanjikan
dalam peraturan dana pensiun (UU No. 11 tahun 1992). Fungsi pensiun
47
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
berarti dana pensiun memberi jaminan kelangsungan pendapatan dalam bentuk
pembayaran secara berkala seumur hidup setelah mencapai usia pensiun.
Faktor yang paling menentukan dalam asuransi pensiun hari tua adalah usia
pensiun atau batas usia minimum penerima manfaat pensiun. Usia pensiun di tiap
negara berbeda-beda, hal tersebut menunjukkan bahwa konsepsi hari tua tidak
semudah
yang
dibayangkan
(K.Soentonoe,1982).
Dalam
survei
yang
diselenggarakan ILO (International Labour Organization) terhadap 84 negara
pada tahun 1967 diperoleh distribusi usia pensiun sebagai berikut :
Usia
Pria
70
68
67
67
65
65
65
Usia
Jumlah
Negara
Wanita
70
68
67
62
65
62
60
2
1
2
1
15
1
13
Pria
63
62
60
60
55
55
50
Wanita
60
57
60
55
55
50
50
Jumlah
Negara
1
2
15
19
8
3
1
Kriteria yang dipergunakan untuk menentukan usia pensiun adalah :
1) Harapan hidup
2) Keadaan fisik tenaga kerja
3) Keadaan kesempatan kerja
4) Biaya penyelenggaraan
5) Struktur keluarga
Usia pensiun normal baik pegawai negeri maupun pegawai swasta adalah 56
tahun, akan tetapi dana pensiun tidak berkeberatan jika pegawai bersangkutan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
bekerja lebih lama, misal bekerja sampai usia 60 tahun (Peraturan Pensiun No 32 /
tahun 1979).
Penyusutan jumlah pegawai pada suatu perusahaan yang diakibatkan lebih
dari satu faktor penyebab digambarkan melalui sebuah tabel penyusutan jamak
atau yang disebut dengan Tabel Pelayanan (Service Table). Tabel tersebut terbagi
menjadi dua bagian. Bagian pertama memperlihatkan penyusutan kelompok dari
usia masuk kerja (misal 26 tahun) sampai sebelum usia pensiun (misal 55 tahun)
dengan tiga faktor penyebab, yaitu: kematian (mortality), cacat/sakit permanen
(disability) dan keluar secara sukarela (withdrawal). Sedangkan, bagian kedua
memperlihatkan penyusutan kelompok dari usia normal pensiun sampai usia pasti
pensiun (misal 56-60 tahun) dengan dua faktor penyebab, yaitu: kematian dan
pensiun (retirement).
B. Tabel Pelayanan (Services Table).
Secara keseluruhan tabel pelayanan menggambarkan penyusutan anggota
kelompok yang diakibatkan oleh empat faktor penyebab. Jika d x(T ) menyatakan
banyak peserta aktif yang berhenti kerja pada usia x karena semua faktor
penyebab, dengan menggunakan persamaan (2.19) didapat :
d x(1) + d x(2) + d x(3) + d x(4) = d x(T )
(1)
dengan d x
(3.1)
adalah banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena meninggal
( 2)
pada usia x , d x adalah banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
( 3)
cacat/sakit pada usia x , d x
banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena
( 4)
keluar sukarela pada usia x , d x
banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena
telah mencapai usia pensiun pada usia x .
(T )
(T )
(T )
Diketahui bahwa: l x +1 = l x − d x
maka dengan menggunakan persamaan
(3.1) banyak peserta aktif untuk satu tahun berikutnya adalah :
l x(T+1) = l x(T ) − d x(1) − d x( 2 ) − d x( 3) − d x( 4 )
dengan peluang seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua faktor
penyebab pada usia x , yaitu:
p
(T )
x
l x(T+1)
= (T )
lx
=
l x(T ) − d x(1) − d x( 2 ) − d x( 3) − d x( 4 )
l x(T )
= 1−
d x(1) d x( 2 ) d x( 3) d x( 4 )
−
−
−
l x(T ) l x(T ) l x(T ) l x(T )
Dan peluang keluar dari kelompok karena semua faktor penyebab pada usia x
adalah :
q x(T ) =
d x(T )
l x(T )
( 4)
Untuk tabel pelayanan bagian pertama, faktor d x
peserta untuk satu tahun berikutnya adalah :
l x(T+1) = l x(T ) − d x(1) − d x( 2 ) − d x( 3)
dengan
tidak ada maka banyak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
p
(T )
x
d x(1) d x( 2 ) d x( 3)
= 1 − (T ) − ( T ) − ( T )
lx
lx
lx
Dan
q
(T )
x
d x(T ) − d x( 4)
=
l x(T )
(2)
( 3)
Untuk tabel pelayanan bagian kedua, d x dan d x
tidak ada maka banyak
peserta untuk satu tahun berikutnya adalah :
l x(T+1) = l x(T ) − d x(1) − d x( 4 )
dengan
p
(T )
x
d x(1) d x( 4 )
= 1 − ( T ) − (T )
lx
lx
Dan
q x(T ) =
d x( 2) + d x(3)
l x(T )
C. Jenis Manfaat Pensiun
Manfaat pensiun adalah pembayaran berkala yang dilakukan oleh dana
pensiun kepada peserta program yang telah mencapai usia pensiun dalam jangka
panjang untuk menghadapi risiko hari tua, cacat dan kematian pada saat dan
dengan cara yang ditetapkan dalam Peraturan Dana Pensiun (UU No.11 Th.1992).
Dengan demikian manfaat pensiun tidak hanya menjamin hari tua yaitu kehidupan
setelah mencapai batas usia tertentu, tetapi pensiun juga menjamin jika terjadi
cacat tetap-total sebelum batas usia pensiun atau disebut hari tua prematur
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
(premature old age), dan jika meninggal sebelum batas usia pensiun atau disebut
sebagai kematian prematur (premature death).
Sesuai Peraturan Pensiun, manfaat pensiun bagi peserta program terdiri dari :
1. Manfaat Pensiun Normal (MPN) adalah manfaat pensiun bagi peserta yang
mulai dibayarkan pada saat peserta mencapai usia pensiun normal.
2. Manfaat Pensiun Dipercepat (MPD) adalah manfaat pensiun bagi peserta yang
dibayarkan bila peserta pensiun pada usia tertentu sebelum usia pensiun
normal .
3. Manfaat Pensiun Cacat (MPC) adalah manfaat pensiun bagi peserta yang di
bayarkan bila peserta mengalami cacat/sakit permanen.
4. Pensiun Ditunda (PD) adalah hak atas manfaat pensiun bagi peserta yang
berhenti bekerja sebelum mencapai usia pensiun normal
yang ditunda
pembayarannya sampai pada saat peserta pensiun sesuai dengan peraturan
dana pensiun.
Hal tersebut mencerminkan salah satu fungsi program pensiun yaitu fungsi
asuransi, fungsi yang memberikan jaminan kepada peserta untuk menutupi resiko
kehilangan pendapatan (Subardi & Dwiarto, 1996).
Program pensiun oleh dana pensiun dapat dibedakan menjadi dua, yaitu :
Program Pensiun Manfaat Pasti/PPMP (Defined Benefit Plan) dan Program
Pensiun Iuran Pasti/PPIP (Defined Contribution Plan). PPMP adalah program
pensiun yang manfaatnya ditetapkan dalam peraturan Dana Pensiun atau program
pensiun lain yang bukan merupakan PPIP. Sedangkan PPIP adalah program
pensiun yang iurannya ditetapkan dalam peraturan Dana Pensiun dan seluruh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
iuran serta hasil pengembangannya dibukukan pada rekening masing-masing
peserta sebagai manfaat pensiun. Untuk selanjutnya manfaat pensiun dan program
pensiun yang dimaksud adalah MPN dan PPMP, dan manfaat pensiun cukup
disebut dengan manfaat (benefit).
D. Fungsi Manfaat
Manfaat pasti (defined benefit) berarti besar manfaat yang akan datang
(anuitas) sudah ditentukan terlebih dahulu, baru kemudian setiap tahun dilakukan
perhitungan iurannya (contribution). Iuran peserta yang dibayarkan setiap awal
tahun dalam asuransi disebut premi bersih tahunan. Dana pensiun melakukan
perhitungan manfaat pensiun berdasarkan pada prinsip equality, yaitu : nilai tunai
iuran (premi) yang akan datang = nilai tunai manfaat (santunan) yang akan datang.
Ada tiga hal penting yang digunakan untuk menentukan besar manfaat yang akan
datang, yaitu:
1) Masa kerja.
Penentuan besar manfaat tidak ada hubungannya dengan besar
gaji
pegawai, namun masa kerja pegawai yang bersangkutan. Misal x adalah usia
pegawai masuk menjadi peserta program pensiun (misal 26 tahun) dan r adalah
usia pensiun peserta program (misal 56 tahun), maka masa kerja pegawai adalah
t = 30 .
Sesuai prinsip equality nilai kumulatif dari nilai tunai premi yang dibayarkan
yaitu jumlahan nilai tunai iuran dari usia x sampai r − 1 harus sama dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
jumlahan nilai tunai manfaat ( U ) yang dibagikan kepada peserta program pensiun
selama seumur hidup. Pernyataan tersebut dapat dirumuskan dengan :
r − x −1
P ∑ v t l x(T+t) = U .a&&r v r − x lr(T )
(3.3)
t =0
Menggunakan persamaan (2.28), maka nilai tunai anuitas awal sementara untuk
semua faktor penyebab adalah :
(T )
x:r − x
a&&
=
r − x −1
∑v
t =0
t
t
p x(T )
Untuk komutasinya, digunakan persamaan (2.30) yaitu :
(T )
x::r − x =
a&&
N x(T ) − N r(T )
Dx(T )
Jika persamaan (3.3) dibagi dengan l x(T ) maka didapat berikut :
(T )
⎞
⎛ l x(T+t) ⎞
r − x ⎛ lr
P ∑ v ⎜⎜ (T ) ⎟⎟ = U .a&&r v ⎜⎜ (T ) ⎟⎟
t =0
⎝ lx ⎠
⎝ lx ⎠
r − x −1
t
r − x −1
P ∑ v t t p x(T ) = U .a&&r v r − x r − x p x(T )
t =0
P.a&&x(T:r )− x = U .a&&r .v r − x r − x p x(T )
Sehingga preminya adalah :
U .a&&r v r − x r − x px(T )
P=
a&&x(T:r)− x
(T )
Misal D x
= v x l x(T ) dan N x(T ) = Dx(T ) + Dx(T+1) + ... + Dr(T ) maka :
(3.4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
⎛ vr ⎞⎛ l r(T ) ⎞
U .a&&r ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ (T ) ⎟⎟
⎝ v x ⎠⎝ l x ⎠
P=
a&&x(T:r )− x
⎛ D (T ) ⎞
U .a&&r ⎜⎜ r(T ) ⎟⎟
⎝ Dx ⎠
P=
⎛ N x(T ) − N r(T ) ⎞
⎜⎜
⎟⎟
(T )
D
x
⎝
⎠
P=
U .a&&r .Dr(T )
N x(T ) − N r(T )
(3.5)
Dengan menggunakan persamaan (2.34), jika x = r maka didapat :
N r(T )
a&&r = (T )
Dr
Kemudian disubstitusikan ke persamaan (3.5) maka diperoleh :
P=
U .N r(T )
N x(T ) − N r(T )
(3.6)
2) Rata-rata gaji per tahun selama masa kerja (r − x ) .
Penentuan besar manfaat berkaitan dengan tingkat kenaikan gaji setiap
tahunnya. Hubungan antara usia dengan gaji pegawai merupakan suatu fungsi
yang monoton naik, karena semakin bertambah usia pegawai besar gaji yang
diperoleh semakin meningkat (premi asuransipun ikut meningkat).
Definisi 3.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Jika s x menyatakan gaji tahunan pada usia x , maka gaji t tahun berikutnya
adalah :
t
S x +t = ∑ s x +i −1
i =1
dengan t = 1,2,..., r − x
Definisi 3.2.
Rata-rata gaji tahunan didefinisikan dengan :
S x +t
(r − x )
Definisi 3.3.
Andaikan β adalah tingkat manfaat tahunan yang telah ditetapkan perusahaan.
Manfaat didefinisikan sebagai hasil kali antara rata-rata gaji tahunan
dengan β (r − x ) , atau :
V =
S x +t
β (r − x )
(r − x)
V = β .S x +t
Definisi 3.4.
Gaji pada saat usia pensiun ( r ) adalah S r . Sehingga manfaat yang diperoleh
adalah :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
V = β Sr
Definisi 3.5.
Nilai tunai anuitas hidup awal sementara yang dipengaruhi oleh rata-rata gaji
⎛ s x +t
⎝ sx
tahunan ⎜⎜
⎞
⎟⎟ dengan subscript s adalah indeks, didefinisikan dengan :
⎠
s
a&&x(T:r)− x =
r − x −1
∑
t =0
s x + t t (T )
.v t p x
sx
Atau
s
a&&x(T:r )− x =
r − x −1
∑
t =0
s x+t t l x(T+t)
.v (T )
sx
lx
vx
Kemudian ruas kanan persamaan di atas dikalikan dengan x :
v
s
a&&
s
(T )
x:r − x
(T )
x:r − x
a&&
=
r − x −1
∑
s x +t t l x(T+t) v x
.v (T ) . x
sx
lx v
r − x −1
s x+t v x+t l x(T+t)
.
s x v x l x(T )
t =0
=
∑
t =0
Misal D x(T ) = v x l x(T ) dan D x(T+t) = v x +t l x(T+t) maka didapat komutasinya, yaitu :
s
(T )
x:r − x
a&&
=
r − x −1
∑
t =0
s x +t Dx(T+t)
.
s x Dx(T )
Andaikan α adalah tingkat premi tahunan, atau dapat dinyatakan dengan :
P = α .s x
Dengan menggunakan persamaan (3.4) maka prinsip equality-nya menjadi :
(3.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
α .s x s a&&x(T:r )− x = V .a&&r v r − x r − x p x(T )
Dengan demikian tingkat preminya adalah :
V .a&&r v r − x r − x p x(T )
α=
s x .s a&&x:r − x
dan komutasinya yaitu :
⎛ N r(T ) ⎞⎛ Dr(T ) ⎞
V .⎜⎜ (T ) ⎟⎟⎜⎜ (T ) ⎟⎟
D
D
α = ⎝ r − xr−1 ⎠⎝ x (T )⎠
s D
s x . ∑ x +t x(T+t)
t =0 s x Dx
⎛ N r(T ) ⎞
V .⎜⎜ (T ) ⎟⎟
⎝ Dx ⎠
α=
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ r − x −1
s x ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ (T ) ⎟⎟. ∑ s x +t .Dx(T+t)
⎝ s x ⎠⎝ Dx ⎠ t =0
⎛ N r(T ) ⎞ (T )
V .⎜⎜ (T ) ⎟⎟ Dx
D
α = r −⎝x−1 x ⎠
∑ s x+t .Dx(T+t)
t =0
V .N r(T )
α = r − x−1
∑s
t =0
x +t
.D
(T )
x +t
(3.8)
3. Rata-rata gaji per tahun untuk f tahun terakhir (misal 5 tahun) sebelum
pensiun.
Gaji terakhir pegawai digunakan sebagai penentu (patokan) besar perolehan
manfaat, karena jika menggunakan gaji tahun-tahun sebelumnya yang nilainya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
lebih kecil, maka akan terjadi ketidakseimbangan iuran dengan manfaat yang akan
datang.
Definisi 3.6.
Rata-rata gaji f tahun terakhir didefinisikan dengan :
r − x −1
∑s
t =r − x− f
x +t
f
Definisi 3.7.
Andaikan γ
menyatakan tingkat manfaat tahunan yang ditetapkan oleh
perusahaan. Manfaat didefinisikan sebagai hasil kali antara rata-rata gaji f tahun
terakhir dengan γ (r − x ) , atau :
W=
1 ⎛ r − x −1 ⎞
⎜ ∑ sx + t ⎟γ (r − x )
f ⎜⎝ t = r − x − f ⎟⎠
W=
r − x −1
⎞
1 ⎛ r − x −1
⎜ ∑ sx + t − ∑ sx + t ⎟γ (r − x)
⎟
f ⎜⎝ t = x
t =r − f
⎠
W = γ (r − x )
Sr − Sr − f
f
Dengan menggunakan persamaan (3.8) maka besar premi adalah :
W .a&&r v r − x r − x p x(T )
α=
s x .s a&&x:r − x
dan komutasinya yaitu :
(3.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
W .N r(T )
α = r − x−1
∑s
t =0
x +t
.D
(T )
x +t
(3.10)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
PENERAPAN PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENSIUN HARI TUA
Seorang pegawai suatu perusahaan, masuk menjadi peserta program pensiun
pada usia 26 tahun. Gaji permulaan tahunnya sebesar Rp. 500.000,00, dengan
asumsi kenaikan gaji 5% setiap tahunannya. Pegawai tersebut diharuskan
membayar iuran setiap tahun (premi tahunan) untuk mendapat manfaat pensiun
sebesar 75% dari gaji tahunannya. Jika pegawai tersebut pensiun di usia 56 tahun.
Akan dicari besar premi tahunan yang harus dibayarkan kepada dana pensiun.
Jika x adalah usia masuk menjadi peserta program pensiun, r adalah usia
pensiun peserta dan s x adalah gaji tahunan pada usia x , maka tabel gajinya
adalah :
sx
x
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
500000
525000
551250
578813
607753
638141
670048
703550
738728
775664
814447
855170
897928
942825
989966
1039464
1091437
1146009
1203310
1263475
1326649
1392981
61
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
48
49
50
51
52
53
54
55
1462630
1535762
1612550
1693177
1777836
1866728
1960065
2058068
Perhitungan besarnya premi menurut :
1. Masa kerja
Jika diketahui besar manfaat : U = Rp.800.000,00
Dengan menggunakan persamaan (3.6) besarnya premi adalah :
U .N 56(T )
P = (T )
N 26 − N 56(T )
P = Rp. 6.731,34
2. Rata-rata gaji per tahun dengan masa kerja 30 tahun.
Dengan menggunakan definisi 3.4 didapat manfaat :
V = 75 % x S 56
V = 75 % x Rp. 33.219.424,00
V = Rp.24.914.568,00
Dengan menggunakan persamaan (3.8) didapat tingkat premi :
α=
V .N 56(T )
29
∑s
t =0
α = 0,30
26+t
(T )
.D26
+t
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Sehingga didapat tabel premi berikut :
Premi
x
sx
(30% x s x )
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
500000
525000
551250
578813
607753
638141
670048
703550
738728
775664
814447
855170
897928
942825
989966
1039464
1091437
1146009
1203310
1263475
1326649
1392981
1462630
1535762
1612550
1693177
1777836
1866728
1960065
2058068
149736,72
157223,56
165084,73
173338,97
182005,92
191106,22
200661,53
210694,60
221229,33
232290,80
243905,34
256100,61
268905,64
282350,92
296468,47
311291,89
326856,48
343199,31
360359,27
378377,24
397296,10
417160,90
438018,95
459919,90
482915,89
507061,69
532414,77
559035,51
586987,28
616336,65
3. Rata-rata gaji per tahun untuk 5 tahun terakhir sebelum pensiun.
Dengan menggunakan persamaan (3.9) didapat manfaat :
W = 0,13 x 30 x Rp.3.722.714,00
W = Rp. 18.613.569,00
Dengan menggunakan persamaan (3.10) didapat tingkat premi :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
α=
W .N 56(T )
29
∑s
t =0
26+t
(T )
.D26
+t
α = 0,22
Sehingga didapat tabel premi berikut :
Premi
x
sx
(22% x s x )
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
500000
525000
551250
578813
607753
638141
670048
703550
738728
775664
814447
855170
897928
942825
989966
1039464
1091437
1146009
1203310
1263475
1326649
1392981
1462630
1535762
1612550
1693177
1777836
1866728
1960065
2058068
111867,67
117461,06
123334,11
129500,81
135975,86
142774,65
149913,38
157409,05
165279,50
173543,48
182220,65
191331,68
200898,27
210943,18
221490,34
232564,86
244193,10
256402,76
269222,89
282684,04
296818,24
311659,15
327242,11
343604,21
360784,43
378823,65
397764,83
417653,07
438535,72
460462,51
Dari ketiga pilihan perhitungan premi tersebut, terlihat bahwa premi yang
paling rendah adalah pilihan pertama dan premi yang paling tinggi adalah pilihan
kedua. Untuk perusahaan asuransi, pilihan kedua sangat menguntungkan, karena
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
premi yang tinggi, tetapi memberatkan pesertanya. Sehingga diambil jalan
tengahnya agar kedua pihak saling menguntungkan, yaitu perhitungan premi
menurut pilihan ketiga.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
KESIMPULAN
Pengertian pensiun hari tua adalah berakhirnya masa kerja seorang pegawai
di tempatnya bekerja, karena telah mencapai usia pensiun. Konsep perhitungan
premi pada asuransi pensiun hari tua tidak terlepas dari konsep asuransi jiwa. Jika
pada asuransi jiwa, seseorang akan mendapat santunan jika dia meninggal, maka
pada asuransi pensiun hari tua, seseorang akan mendapat santunan (manfaat
pensiun) jika dia telah mencapai usia pensiun. Prinsip yang berlaku adalah nilai
tunai premi (iuran) yang akan datang harus sama dengan nilai tunai santunan
(manfaat pensiun) yang akan datang (prinsip equality). Premi dibayarkan secara
berkala selama menjadi peserta aktif program pensiun untuk mendapatkan
santunan yang juga diberikan secara berkala seumur hidup peserta, setelah
mencapai usia pensiun. Perhitungan manfaat pensiun dapat ditentukan oleh salah
satu dari tiga pokok berikut : masa kerja, rata-rata gaji per tahun selama masa
kerja dan rata-rata gaji pertahun untuk f tahun terakhir sebelum pensiun. Dalam
prakteknya, alternatif ketiga lebih banyak menjadi pilihan.
66
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Bowers Jr,N.L.,Gerbers,H.U.,Hickman, J.C., Jones, D.A., Nesbitt,C.J. (1997).
Aktuarial Mathematics, Second Edition, The Society of Actuaries,
Schaumbers, Illinois.
Futami, T., terj. Herlianto, G. (1988). Matematika Asuransi Jiwa, Edisi Pertama,
The Kyoei Life Insurance.co, LTD, Tokyo, Japan.
Futami, T., terj. Herlianto, G. (1993). Matematika Asuransi Jiwa, Edisi Kedua,
The Kyoei Life Insurance.co, LTD, Tokyo, Japan.
Kertonegoro,S.(1982). Jaminan Sosial Prinsip dan Pelaksanaannya di Indonesia,
Jakarta.
Larson, R.E and Gaumnitz, E.A. (1951). Life Insurance Mathematics, New York
John Wiley and Sons. Inc., London.
Sembiring, RK. (1986). Asuransi I modul 1-5. Jakarta: Karunia Universitas
Terbuka Jakarta.
Sembiring, RK. (1986). Asuransi I modul 6-9. Jakarta: Karunia Universitas
Terbuka Jakarta.
Catarya, Indra. (1988). Asuransi II. Jakarta: Karunia Universitas Terbuka Jakarta.
Wijayanto, B, Sopater, S, Sucahyo, U.S., Atmojo, W, Kusjadi, Sunaryo, H,
Suwanto, Suyitno, A. (2001). Memahami Dana Pensiun GKJ dan
Persoalannya, Dana Pensiun Gereja-gereja Kristen Jawa, Salatiga.
67
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LAMPIRAN
TABEL I
Tabel Mortalita Indonesia 1993
x
lx
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
1000000
967770
964247
961721
959788
958156
956642
955169
953794
952545
951459
950479
949557
948645
947715
946710
945536
944127
942446
940552
938539
936493
934433
932359
930280
928150
926043
924033
922166
920442
918822
917232
915608
913932
912214
910463
908669
906788
dx
px
32230
3523
2526
1933
1632
1514
1473
1375
1249
1086
980
922
912
930
1005
1174
1409
1681
1894
2013
2046
2060
2074
2079
2130
2107
2010
1867
1724
1620
1590
1624
1676
1718
1751
1794
1881
2040
68
0,96777
0,99636
0,99738
0,99799
0,99830
0,99842
0,99846
0,99856
0,99869
0,99886
0,99897
0,99903
0,99904
0,99902
0,99894
0,99876
0,99851
0,99822
0,99799
0,99786
0,99782
0,99780
0,99778
0,99777
0,99771
0,99773
0,99783
0,99798
0,99813
0,99824
0,99827
0,99823
0,99817
0,99812
0,99808
0,99803
0,99793
0,99775
qx
0,03223
0,00364
0,00262
0,00201
0,00170
0,00158
0,00154
0,00144
0,00131
0,00114
0,00103
0,00097
0,00096
0,00098
0,00106
0,00124
0,00149
0,00178
0,00201
0,00214
0,00218
0,00220
0,00222
0,00223
0,00229
0,00227
0,00217
0,00202
0,00187
0,00176
0,00173
0,00177
0,00183
0,00188
0,00192
0,00197
0,00207
0,00225
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
904748
902459
899878
896980
893760
890230
886393
882254
877781
872927
867637
861841
855412
848209
840109
831053
821097
810193
798299
785375
771380
756284
740054
722663
704091
684327
663380
641250
617960
593551
568076
541598
514209
486015
457141
427729
397951
367985
338035
308315
279050
250470
222806
196283
171114
147493
125589
105535
2289
2581
2898
3220
3530
3837
4139
4473
4854
5290
5796
6429
7203
8100
9056
9956
10904
11894
12924
13995
15096
16230
17391
18572
19764
20947
22130
23290
24409
25475
26478
27389
28194
28874
29412
29778
29966
29950
29720
29265
28580
27664
26523
25169
23621
21904
20054
18107
0,99747
0,99714
0,99678
0,99641
0,99605
0,99569
0,99533
0,99493
0,99447
0,99394
0,99332
0,99254
0,99158
0,99045
0,98922
0,98802
0,98672
0,98532
0,98381
0,98218
0,98043
0,97854
0,97650
0,97430
0,97193
0,96939
0,96664
0,96368
0,96050
0,95708
0,95339
0,94943
0,94517
0,94059
0,93566
0,93038
0,92470
0,91861
0,91208
0,90508
0,89758
0,88955
0,88096
0,87177
0,86196
0,85149
0,84032
0,82843
0,00253
0,00286
0,00322
0,00359
0,00395
0,00431
0,00467
0,00507
0,00553
0,00606
0,00668
0,00746
0,00842
0,00955
0,01078
0,01198
0,01328
0,01468
0,01619
0,01782
0,01957
0,02146
0,02350
0,02570
0,02807
0,03061
0,03336
0,03632
0,03950
0,04292
0,04661
0,05057
0,05483
0,05941
0,06434
0,06962
0,07530
0,08139
0,08792
0,09492
0,10242
0,11045
0,11904
0,12823
0,13804
0,14851
0,15968
0,17157
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
87428
71321
57222
45094
34854
26381
19521
14097
9915
6778
4493
2881
1782
1061
606
16107
14099
12128
10240
8473
6860
5424
4182
3137
2285
1612
1099
721
455
606
0,81577
0,80232
0,78805
0,77292
0,75690
0,73996
0,72215
0,70334
0,68361
0,66288
0,64122
0,61854
0,59540
0,57116
0
0,18423
0,19768
0,21195
0,22708
0,24310
0,26004
0,27785
0,29666
0,31639
0,33712
0,35878
0,38146
0,40460
0,42884
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
TABEL II
Komutasi
(i = 4% )
x
Dx
Nx
Cx
Mx
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
1000000
930548,07692
891500,55473
854966,46706
820430,80490
787534,38890
756048,06852
725849,93772
696927,93339
669245,48204
642771,60851
617413,03425
593090,50061
569731,60394
547281,79812
525674,45736
504829,40081
484689,54249
465217,84813
446425,88122
428336,94810
410964,59655
394289,03781
378282,59841
362922,20515
348164,66001
334013,73934
320469,95575
307521,58578
295141,02944
283289,97514
271922,83506
261001,33039
250503,43584
240415,90582
230725,40972
221414,21382
212457,57015
203826,54286
195491,21588
187434,72893
22790952,67296
21790952,67296
20860404,59604
19968904,04131
19113937,57425
18293506,76935
17505972,38044
16749924,31192
16024074,37420
15327146,44081
14657900,95877
14015129,35026
13397716,31601
12804625,81540
12234894,21146
11687612,41335
11161937,95598
10657108,55518
10172419,01269
9707201,16456
9260775,28333
8832438,33523
8421473,73868
8027184,70087
7648902,10246
7285979,89731
6937815,23730
6603801,49796
6283331,54222
5975809,95644
5680668,92699
5397378,95185
5125456,11679
4864454,78640
4613951,35056
4373535,44473
4142810,03501
3921395,82119
3708938,25105
3505111,70818
3309620,49231
30990,38462
3257,21154
2245,60480
1652,33650
1341,38504
1196,53619
1119,35894
1004,69903
877,53083
733,66269
636,58931
575,87848
547,72357
537,05183
558,04083
626,80820
723,34290
829,78887
898,97275
918,70692
897,85355
869,22810
841,47642
811,06255
798,99879
759,97221
697,10131
622,60244
552,80304
499,47624
471,37181
462,93409
459,38183
452,78249
443,73049
437,14169
440,71237
459,58228
495,84457
537,59402
580,40543
123424,89719
92434,51258
89177,30104
86931,69624
85279,35974
83937,97470
82741,43851
81622,07957
80617,38054
79739,84970
79006,18702
78369,59770
77793,71922
77245,99566
76708,94383
76150,90300
75524,09481
74800,75190
73970,96303
73071,99028
72153,28336
71255,42981
70386,20171
69544,72530
68733,66275
67934,66396
67174,69175
66477,59044
65854,98800
65302,18496
64802,70872
64331,33691
63868,40282
63409,02098
62956,23849
62512,50800
62075,36632
61634,65395
61175,07167
60679,22710
60141,63308
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
179645,29546
172115,76975
164842,28869
157819,03683
151040,48365
144494,91649
138169,11618
132049,80910
126122,77716
120367,25971
114763,17956
109295,42766
103958,91513
98762,97038
93703,28689
88776,61559
83980,16676
79311,23182
74768,36674
70349,83002
66054,45633
61881,63167
57831,34588
53904,95141
50102,60694
46425,86143
42876,99178
39458,39076
36172,34300
33022,19387
30011,14623
27142,49362
24419,39656
21845,52530
19423,59744
17156,46792
15046,22418
13094,27814
11301,13105
9666,28817
8188,08239
6863,59614
5688,58494
4657,48110
3763,24657
2997,66684
2351,34797
1813,96613
3122185,76338
2942540,46791
2770424,69817
2605582,40947
2447763,37264
2296722,88899
2152227,97250
2014058,85632
1882009,04722
1755886,27007
1635519,01036
1520755,83080
1411460,40314
1307501,48801
1208738,51763
1115035,23074
1026258,61515
942278,44839
862967,21657
788198,84983
717849,01982
651794,56349
589912,93181
532081,58594
478176,63453
428074,02759
381648,16616
338771,17438
299312,78362
263140,44062
230118,24675
200107,10052
172964,60690
148545,21034
126699,68504
107276,08760
90119,61968
75073,39549
61979,11736
50677,98631
41011,69814
32823,61575
25960,01961
20271,43467
15613,95357
11850,70700
8853,04016
6501,69219
620,09128
653,64375
683,16384
708,59023
736,31778
768,30352
805,11031
848,19313
904,64140
974,57016
1053,78345
1132,84223
1197,52494
1261,10771
1322,69872
1381,96362
1438,92853
1492,43309
1542,83031
1589,61099
1632,26865
1670,22304
1702,11194
1729,07710
1749,72217
1763,25959
1769,48596
1768,41735
1758,90517
1740,96326
1714,37775
1679,15501
1634,66370
1581,71534
1520,06808
1450,37959
1373,24512
1289,52100
1200,18400
1106,42546
1009,56001
911,02673
812,31211
715,10065
620,83947
531,02399
446,94538
369,67663
59561,22764
58941,13637
58287,49261
57604,32877
56895,73855
56159,42076
55391,11724
54586,00693
53737,81380
52833,17240
51858,60224
50804,81878
49671,97655
48474,45161
47213,34390
45890,64518
44508,68156
43069,75303
41577,31995
40034,48964
38444,87864
36812,61000
35142,38696
33440,27502
31711,19792
29961,47575
28198,21616
26428,73021
24660,31286
22901,40769
21160,44443
19446,06668
17766,91167
16132,24798
14550,53263
13030,46455
11580,08496
10206,83985
8917,31885
7717,13485
6610,70938
5601,14938
4690,12265
3877,81054
3162,70989
2541,87042
2010,84643
1563,90105
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
1374,52158
1021,53227
743,45961
528,97463
367,30441
248,40414
163,28050
104,07247
64,16665
38,16282
21,84816
11,99882
4687,72605
3313,20447
2291,67221
1548,21260
1019,23797
651,93355
403,52942
240,24891
136,17645
72,00980
33,84698
11,99882
300,12310
238,78296
185,89037
141,32504
104,77318
75,56963
52,92802
35,90303
23,53588
14,84686
9,00902
11,53733
1194,22442
894,10133
655,31837
469,42799
328,10295
223,32977
147,76014
94,83212
58,92909
35,39321
20,54635
11,53733
(Sumber : Futami, 1993)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
TABEL III
Tabel Pelayanan
x
l x(T )
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
100000
79910
65454
55524
49761
45730
42927
40893
39352
38053
36943
36000
35143
34363
33659
32989
32349
31734
31109
30506
29919
29350
28763
28185
27593
27006
26396
25786
25149
24505
23856
19991
18106
15130
13509
d x(1)
100
80
72
61
60
64
64
65
71
72
78
83
91
96
104
112
123
133
143
156
168
182
198
209
226
240
259
276
297
316
313
298
284
271
0
d x( 2)
19990
14376
9858
5702
3971
2693
1927
1431
1181
989
813
720
633
550
505
462
421
413
373
336
299
293
259
251
218
213
182
178
148
120
0
0
0
0
0
d x( 3)
0
0
0
0
0
46
43
45
47
49
52
54
56
58
61
66
71
79
87
95
102
112
121
132
143
157
169
183
199
213
0
0
0
0
0
d x( 4)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3552
1587
2692
1350
13509
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
TABEL IV
Komutasi
( i = 10% )
x
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
l x(T )
100000
79910
65454
55524
49761
45730
42927
40893
39352
38053
36943
36000
35143
34363
33659
32989
32349
31734
31109
30506
29919
29350
28763
28185
27593
27006
26396
25786
25149
24505
23856
19991
18106
15130
0
D x(T )
8368,75712
6078,91370
4526,10810
3490,06374
2843,18812
2375,09826
2026,63156
1754,91917
1535,10766
1349,35062
1190,78116
1054,79043
935,97963
831,92182
740,72421
659,91555
588,22565
524,53177
467,40883
416,63909
371,43746
331,21547
295,05337
262,81389
233,88000
208,07424
184,86728
164,16092
145,53599
128,90456
114,07096
86,89121
71,53651
54,33855
44,10179
N x(T )
44455,93839
36087,18127
30008,26757
25482,15947
21992,09573
19148,90761
16773,80935
14747,17779
12992,25862
11457,15095
10107,80033
8917,01917
7862,22874
6926,24912
6094,32729
5353,60308
4693,68753
4105,46189
3580,93012
3113,52129
2696,88220
2325,44474
1994,22927
1699,17590
1436,36201
1202,48201
994,40777
809,54050
645,37957
499,84358
370,93902
256,86806
169,97685
98,44034
44,10179
( Sumber : Bowers, 1997)