BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi 2.1.1 Definisi dan Notasi

BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Fungsi
2.1.1 Definisi dan Notasi Fungsi
Menurut Bertrand Russell (1967), fungsi didefinisikan sebagai pemetaan
yang menghubungkan dua himpunan yang terpisah, yakni daerah asal (domain) dan
daerah hasil (range). Lebih jauh lagi John Nolt (1997) menambahkan bahwa suatu
ekspresi / persamaan dapat dikatakan sebagai fungsi hanya jika persamaan tersebut
memiliki suatu hasil unik bagi setiap elemen dalam domain-nya.
Fungsi berbeda dengan relasi. Pada relasi hasil pemetaan dari suatu elemen
dalam domain dapat memiliki lebih dari satu hasil, sedangkan pada fungsi setiap
pemetaan hanya memiliki satu hasil.
Fungsi
Relasi
Gambar 2.1 Ilustrasi Fungsi dan Relasi
Suatu fungsi yang memetakan elemen dari Himpunan A ke Himpunan B
secara umum dinotasikan sebagai f : A → B . Notasi tersebut menunjukkan bahwa
ada sebuah fungsi f yang memetakan dua buah himpunan, yaitu A kepada B. Untuk
menggambarkan bagaimana tepatnya pemetaan tersebut dilakukan dapat digunakan
8 notasi tambahan, misalnya ∀x ∈ A, f : x → x 2 atau dapat pula ditulis sebagai
∀x ∈ A, f ( x) = x 2 . 2.1.2 Sifat-Sifat Fungsi
Menurut S. Lang (1993) berdasarkan jenis pemetaannya, terdapat tiga sifat
dari sebuah fungsi, yaitu sebagai berikut :
a. Fungsi Injektif
Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif / satu-satu jika hasil pemetaan untuk
setiap
elemen
anggota
Himpunan
A
memiliki
hasil
yang
berbeda
∀a, b ∈ A, f ( a ) ≠ f (b) . b. Fungsi Surjektif
Fungsi f : A → B disebut fungsi surjektif / kepada / onto jika untuk setiap
elemen anggota Himpunan B merupakan hasil pemetaan dari paling tidak satu
elemen anggota Himpunan A.
c. Fungsi Bijektif
Fungsi f : A → B disebut fungsi bijektif jika untuk setiap elemen Himpunan B
merupakan hasil pemetaan dari tepat satu elemen Himpunan A. Dengan kata lain,
fungsi bijektif memiliki sifat injektif sekaligus surjektif.
Injektif
Surjektif
Bijektif
Gambar 2.2 Ilustrasi Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif
9 2.2
Struktur dan Sistem Aljabar
2.2.1 Definisi Struktur dan Sistem Aljabar
Menurut Jong Jek Siang (2002,p436) sistem aljabar didefinisikan sebagai
suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan tersebut. Struktur
aljabar secara lepas didefinisikan sebagai karakteristik dari suatu sistem aljabar.
Istilah struktur aljabar juga mengacu kepada cabang ilmu matematika
bernama Aljabar Abstrak yang mempelajari mengenai karakteristik sistem aljabar
seperti Grup, Ring, dan Field.
2.2.2 Tabel Cayley
Operasi biner dari suatu himpunan merupakan operasi antara dua elemen dari
himpunan tersebut. Tabel Cayley merupakan tabel yang dirancang oleh Arthur
Cayley pada abad ke-19 untuk menggambarkan struktur dari Grup berhingga dengan
cara menyusun semua hasil operasi dari elemen Grup tersebut ke dalam tabel persegi.
Tabel 2.1 Tabel Cayley untuk Operasi Penjumlahan Modulo 5
+ 0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
> baris 0 > baris 1 > baris 2 > baris 3 > baris 4 > baris 5 Tabel di atas merupakan contoh tabel Cayley untuk operasi penjumlahan
modulo 5. 0, 1, 2, 3, dan 4 pada baris dan kolom berwarna abu-abu merupakan
elemen dari himpunan, sedangkan “+” melambangkan operasi yang didefinisikan
pada himpunan tersebut. Kotak berwarna putih melambangkan hasil operasi biner
antar masing-masing pasangan elemen dalam himpunan.
10 Perlu diperhatikan bahwa dalam membahas sistem aljabar arti dari suatu
simbol operasi didefinisikan oleh pengguna. Sebagai contoh simbol “+” di atas
belum tentu berarti penjumlahan seperti yang lazim digunakan dalam operasi
aritmatika biasa, namun dapat juga berarti perkalian, pengurangan, dan lain-lain
sesuai definisi yang diberikan pengguna untuk simbol operasi tersebut.
Dalam sistem aljabar, hasil suatu operasi biner antara dua elemen a dengan b
(a+b) belum tentu sama dengan b+a. Untuk menghindari kesalahan pembacaan,
perlu dilakukan penyamaan persepsi mengenai cara pembacaan tabel Cayley. Dalam
skripsi ini digunakan cara pembacaan yang lazim digunakan, yakni elemen pada
baris mewakili elemen pertama dan elemen pada kolom mewakili elemen kedua.
Sebagai contoh, “0” pada baris ke-3 tabel Cayley di halaman sebelumnya merupakan
hasil operasi dari 2*3 = 0.
Tabel Cayley banyak digunakan dalam studi mengenai struktur aljabar
karena penyusunannya dapat menggambarkan sifat-sifat dari Grup. Sebagai contoh,
dapat ditentukan bahwa operasi penjumlahan modulo 5 dari himpunan 0, 1, 2, 3, dan
4 pada halaman sebelumnya merupakan Grup Abelian dengan melihat bahwa hasil
produk operasi pada tabel Cayley saling simetris terhadap sumbu diagonal tabel.
2.2.3 Sifat-Sifat Operasi Aljabar
Operasi biner pada sistem aljabar memiliki sifat-sifat yang digunakan untuk
mengklasifikasikan sistem tersebut, seperti dijelaskan E. H. Connell (2004) yakni :
A. Tertutup
Misalkan (A,) adalah sistem aljabar. Operasi  disebut operasi yang tertutup jika
hasil operasi 2 elemen sembarang dalam A juga merupakan elemen yang tunggal
dari A sendiri.
11 (∀a, b ∈ A) ab ∈ A Ö  tertutup
B. Asosiatif
Misalkan  adalah operasi biner pada himpunan A. Operasi  disebut operasi
asosiatif jika untuk setiap a, b, c ∈ A berlaku (ab)c = a(bc).
(∀a, b, c ∈ A) (ab)c = a(bc) Ö  asosiatif
C. Komutatif
Misalkan (A,) adalah sistem aljabar. Operasi  disebut operasi yang komutatif
apabila untuk setiap a,b ∈ A berlaku sifat ab = ba.
(∀a, b ∈ A) ab = ba Ö  komutatif
D. Memiliki Elemen Identitas
Misalkan (A,) adalah suatu sistem aljabar dengan  merupakan oprasi biner
pada A. Suatu elemen e1 ∈ A disebut identitas kiri jika untuk semua elemen a ∈ A
berlaku e1a = a. Sedangkan suatu elemen e2 ∈ A disebut identitas kanan jika untuk
semua elemen a ∈ A berlaku ae2 = a. Jika suatu elemen e ∈ A merupakan identitas
kiri dan sekaligus identitas kanan, maka e disebut elemen identitas. Dalam simbol
matematika :
(∀a ∈ A) e1a = a
Ö e1 ∈ A adalah identitas kiri
(∀a ∈ A) ae2 = a
Ö e2 ∈ A adalah identitas kanan
(∀a ∈ A) ea = ae = a Ö e ∈ A adalah elemen identitas
Suatu sistem aljabar (A,) paling banyak memiliki satu buah elemen
identitas. Hal ini dapat dibuktikan dengan melakukan pengandaian terhadap sebuah
himpunan yang memiliki dua kandidat elemen identitas e1 dan e2. Hasil operasi
12 antara kedua elemen identitas e1e2 akan memberikan hasil antara e1 atau e2. Sesuai
sifat elemen identitas ea = ae = a, hasil operasi suatu elemen identitas dengan
elemen sembarang lainnya adalah elemen pasangannya dan bukan elemen identitas
itu sendiri. Oleh karena itu hanya ada 1 elemen identitas yang mungkin terdapat
dalam suatu himpunan.
E. Memiliki Invers
Misalkan (A,) adalah suatu sistem aljabar dengan elemen identitas e dan
elemen a ∈ A.
Suatu elemen b ∈ A disebut invers kiri a jika ba = e.
Suatu elemen c ∈ A disebut invers kanan a jika ac = e.
Jika ada suatu anggota A yang merupakan invers kiri sekaligus invers kanan elemen
a, maka anggota tersebut disebut invers a (simbol a-1).
a-1a = aa-1 = e Ö a-1 ∈ A adalah invers dari a
F. Distributif
Misalkan (A,,) adalah suatu sistem aljabar dengan dua buah operasi biner 
dan . Operasi dikatakan bersifat distributif terhadap operasi  apabila untuk
setiap a, b, c ∈ A berlaku a(bc) = (ab)  (ac). Contohnya pada operasi
perkalian terhadap penjumlahan biasa : a × (b + c ) = ( a × b) + ( a × c ) .
(∀a, b, c ∈ A) a(bc) = (ab)(ac) Ö distributif terhadap 
atau
(∀a, b, c ∈ A) (ab)c = (ac)(bc) Ö distributif terhadap 
13 2.2.4 Klasifikasi Struktur Aljabar
Berdasarkan sifat-sifat pada operasinya, menurut John R. Durbin (2002) struktur
suatu sistem aljabar dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa kategori, yakni :
2.2.4.1 Klasifikasi Sistem Aljabar dengan 1 Operasi Biner
A. Semigrup
Misalkan (A,) adalah suatu sistem aljabar. (A,) disebut
Semigrup bila
memenuhi kondisi-kondisi :
1.  merupakan operasi tertutup
2.  merupakan operasi asosiatif
Contoh :
A adalah himpunan bilangan-bilangan bulat genap positif = {2, 4, 6, ...}, dengan
 adalah operasi penjumlahan biasa.
Pembuktian sifat-sifat :
1. Tertutup
A adalah himpunan bilangan genap positif, oleh karenanya setiap
elemen dalam A memenuhi sifat bilangan bulat, yaitu 2n (n>0, n bilangan
bulat positif).
Hasil penjumlahan antar elemen dalam A yang dilakukan operasi 
juga akan membentuk pola bilangan genap positif 2m (m>0, m bilangan bulat
positif).
Terbukti  merupakan operasi tertutup.
2. Asosiatif
Himpunan A merupakan bagian dari himpunan bilangan bulat. Pada
himpunan bilangan bulat operasi penjumlahan biasa akan memberikan hasil
14 yang sama meskipun urutannya pengerjaannya berbeda. Oleh karena itu
(ab)c = a(bc).
Terbukti  merupakan operasi asosiatif.
3. Elemen identitas
Pada himpunan bilangan bulat genap positif, tiap operasi penjumlahan biasa
antar 2 elemen sembarang akan memberikan hasil lebih besar dari kedua
elemen sembarang tersebut, ab>a dan ab>b. Oleh karena itu sifat elemen
identitas tidak dapat dipenuhi.
4. Invers
(A,) tidak memiliki elemen identitas, maka (A,) tidak memiliki invers.
(A,) memenuhi sifat tertutup dan asosiatif. Maka (A,) merupakan Semigrup.
B. Monoid
Misalkan (A,) adalah suatu sistem aljabar. (A,) disebut
Monoid bila
memenuhi kondisi-kondisi :
1. (A,) merupakan Semigrup
2. (A,) memiliki elemen identitas
Contoh :
A adalah himpunan atlit dari suatu klub basket tertentu dengan tinggi yang
bervarisi, dan  didefinisikan sebagai :
(∀a, b ∈ A) ab = a (jika a lebih tinggi dari b)
(∀a, b ∈ A) ab = b (jika b lebih tinggi dari a)
15 Pembuktian sifat-sifat :
1. Tertutup
Definisi operasi  menunjukkan bahwa jangkauan hasil dari suatu operasi
ab pasti berkisar antara a atau b tergantung kondisi yang dipenuhi.
Terbukti  merupakan operasi tertutup.
2. Asosiatif
Baik (ab)c maupun a(bc).akan memberikan hasil yang sama, yakni
elemen dengan tinggi yang lebih besar.
Terbukti  merupakan operasi asosiatif.
3. Elemen identitas
Jika diambil suatu elemen e dalam himpunan A, yakni atlit yang paling
pendek, maka tiap operasi e dengan elemen sembarang manapun dari A (ea
atau ae) akan menghasilkan nilai a karena mereka memiliki tinggi yang
lebih dari e. Oleh karena e merupakan identitas kiri dan identitas kanan dari
(A,) maka atlit paling pendek (e) merupakan elemen identitas dari (A,).
Terbukti (A,) memiliki elemen identitas gabungan e
4. Invers
Karena e merupakan atlit paling pendek, maka tidak ada operasi yang dapat
menghasilkan nilai e. Oleh karena itu (A,) tidak memiliki invers.
(A,) memenuhi sifat tertutup, asosiatif, dan memiliki elemen identitas. Maka
(A,) merupakan Monoid.
16 C. Grup
Misal (A,) adalah suatu sistem aljabar. (A,) disebut Grup bila memenuhi
kondisi-kondisi :
1. (A,) merupakan Monoid
2. Setiap elemen dalam A memiliki invers
Contoh :
A adalah himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, dengan  adalah
operasi penjumlahan biasa.
Pembuktian sifat-sifat :
1. Tertutup
Hasil operasi penjumlahan biasa dari sembarang elemen dalam himpunan
bilangan bulat juga akan menghasilkan suatu bilangan bulat tertentu.
Terbukti  merupakan operasi tertutup.
2. Asosiatif
Dalam himpunan bilangan bulat, hasil dari suatu operasi penjumlahan biasa
akan sama meskipun urutan pengerjaannya berbeda (ab)c = a(bc).
Terbukti  bersifat asosiatif.
3. Elemen identitas
Dalam himpunan bilangan bulat terdapat suatu elemen, yakni 0, yang jika
dilakukan operasi penjumlahan biasa dengan elemen sembarang lainnya
dalam himpunan A akan memberikan hasil berupa elemen itu sendiri, 0a =
a dan a0 = a. Oleh karena 0 merupakan identitas kiri dan identitas kanan
dari (A,), maka 0 merupakan elemen identitas dari (A,).
Terbukti (A,) memiliki elemen identitas gabungan; e = 0
17 4. Invers
Jika a dan b merupakan elemen sembarang dalam himpunan A, maka ab =
0 dan ba = 0 jika b merupakan nilai negatif dari a. Karena b merupakan
invers kanan dan invers kiri dari a, maka b disebut sebagai invers a. Setiap
elemen sembarang selain elemen identitas (0) dalam himpunan bilangan bulat
A memiliki pasangan inversnya (-1 dengan 1, -2 dengan 2, dan seterusnya).
Terbukti (A,) memiliki invers.
(A,) memenuhi sifat tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas, dan
memiliki invers. Maka (A,) merupakan Grup.
2.2.4.2 Klasifikasi Sistem Aljabar dengan 2 Operasi Biner
Klasifikasi pada bagian sebelumnya melibatkan suatu himpunan dengan sebuah
operasi biner. Selain itu terdapat klasifikasi untuk himpunan yang memiliki dua
macam operasi biner berbeda. Berdasarkan hubungan sifat dari masing-masing
operasi binernya, himpunan dengan dua operasi biner dapat diklasifikasikan
sebagai berikut :
A. Ring
Misalkan (A,,) adalah sebuah sistem aljabar. (A,,) disebut Ring bila
memenuhi kondisi-kondisi :
1. (A,) merupakan Grup Komutatif (Abelian)
2. (A,) memenuhi sifat tertutup dan asosiatif (Semigrup)
3. Operasi bersifat distributif terhadap 
18 Contoh :
A adalah himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} dengan 
didefinisikan sebagai operasi penjumlahan aritmatika biasa dan didefinisikan
sebagai operasi perkalian biasa.
Pembuktian sifat-sifat :
1. Untuk sistem aljabar (A,)
a. Pada contoh pembuktian Grup di halaman 15 telah dibuktikan bahwa
(A,) adalah Grup.
b. Pada operasi penjumlahan biasa hasil dari ab akan sama dengan ba.
Terbukti  bersifat komutatif
(A,) adalah Grup dan operasi  bersifat komutatif, maka (A,) adalah Grup
Komutatif.
2. Untuk sistem aljabar (A,)
Dengan mengikuti cara pembuktian sifat-sifat operasi aljabar pada bagian
sebelumnya akan didapatkan bahwa.
a. bersifat tertutup, hasil perkalian antar bilangan bulat juga anggota A.
b. bersifat asosiatif, a(bc) = (ab) c
(A,) memenuhi sifat tertutup dan asosiatif, maka (A,) setidaknya adalah
Semigrup.
3. terhadap 
Sesuai sifatnya, operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi
penjumlahan, a × (b + c ) = ( a × b) + ( a × c ) atau a(bc) = (ab)  (ac).
(A,,) memenuhi ketiga sifat Ring, maka (A,,) adalah Ring. 19 B. Field
Sebuah Ring juga dapat dikategorikan sebagai Field jika dengan pembuktian
lanjutan didapatkan bahwa kedua operasi biner memenuhi sifat Grup Komutatif.
Dengan demikian syarat Field adalah :
1. (A,) merupakan Grup Komutatif (Abelian)
2. (A,) merupakan Grup Komutatif
3. Operasi bersifat distributif terhadap 
2.2.5 Bentuk-Bentuk Grup Khusus
Kategori-kategori seperti yang telah dijelaskan sebelumnya merupakan
klasifikasi sistem aljabar secara umum. Kategori-kategori ini dapat dikelompokan
lagi ke dalam kategori-kategori khusus berdasarkan sifat yang lebih spesifik.
Untuk Grup sendiri terdapat beberapa jenis Grup khusus yang dapat dilihat
dengan menganalisis sifat-sifat tambahan pada sistem aljabarnya. Bentuk-bentuk
khusus ini antara lain :
A. Grup Komutatif (Abelian)
Misalkan (A,) adalah suatu Grup. Grup (A,) disebut sebagai Grup Komutatif
bila memenuhi kondisi-kondisi :
1. (A,) merupakan Grup
2.  bersifat komutatif
Contoh Grup Siklik misalnya pada himpunan bilangan bulat dengan operasi
penjumlahan biasa.
20 B. Grup Siklik
Misalkan (A,) adalah suatu Grup. Grup (A,) disebut sebagai Grup
Siklik bila ada suatu elemen a ∈ A sedemikian sehingga setiap elemen A dapat
dinyatakan sebagai hasil operasi a dengan dirinya sendiri sebanyak n kali (n
berhingga). Elemen a yang bersifat seperti itu disebut sebagai Generator.
(A,) Grup SiklikÙ (∃a ∈ A)(∀x ∈ A) x = an = aa...a (n berhingga)
Contoh :
Himpunan A = {0, 1, 2} dengan operasi penjumlahan modulo 3.
Tabel 2.2 Operasi Penjumlahan Modulo 3
 0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
Dengan pembuktian sifat akan didapatkan bahwa (A,) memenuhi sifat-sifat
Grup, yakni :
1.  bersifat tertutup
2.  bersifat asosiatif
3. (A,) memiliki elemen identitas e = 0
4. Setiap elemen dalam A memiliki invers (0-1 = 0, 1-1 = 2, 2-1 = 1)
Elemen 1 dan 2 pada himpunan A memenuhi sifat Generator untuk Grup Siklik.
0 = 111
n=3
0 = 222
n=3
1 = 1111 n = 4
1 = 22
n=2
2 = 11
2 = 2222 n = 4
n=2
21 C. Grup Permutasi
I. Pengertian Umum Permutasi
Misalkan terdapat suatu himpunan A = {a, b, c, d}. Bila terdapat suatu
fungsi injektif / satu-satu yang memetakan seluruh elemen himpunan A, maka
fungsi tersebut disebut sebagai permutasi dari himpunan A. Permutasi himpunan
umumnya disajikan dalam bentuk matriks. Misalnya fungsi pada himpunan A
memetakan a ke b, b ke d, c ke c, dan d ke a, maka hasil permutasinya dapat
ditulis sebagai :
⎛a b c d ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝b d c a⎠
Baris pertama pada matriks merupakan elemen domain himpunan A, sedangkan
baris kedua merupakan hasil pemetaan dari masing-masing elemen.
Jika suatu himpunan A terdiri dari n elemen, maka ada n! buah
kemungkinan permutasi dari elemen anggotanya. Sebagai contoh, terdapat suatu
himpunan A dengan 3 elemen {a, b, c} dan himpunan P yang merupakan
himpunan dari seluruh kemungkinan permutasi pada himpunan A. Semua
permutasi yang mungkin dari a, b, dan c adalah : abc, acb, bac, bca, cab, dan cba,
sehingga ada 6 kemungkinan permutasi dari elemen himpunan A. Hal ini sesuai
dengan rumus n! di mana kemungkinan permutasi A dengan n=3 berjumlah 3! =
3×2×1 = 6 kemungkinan. Penyajian seluruh kemungkinan permutasi tersebut
yakni sebagai berikut :
⎛a b c⎞
⎟⎟
p1 = ⎜⎜
⎝a b c⎠
⎛a b c⎞
⎟⎟
p2 = ⎜⎜
⎝a c b⎠
⎛a b c⎞
⎟⎟
p3 = ⎜⎜
⎝b a c⎠
22 ⎛a b c⎞
⎟⎟
p4 = ⎜⎜
⎝b c a⎠
⎛a b c⎞
⎟⎟
p5 = ⎜⎜
⎝c a b⎠
⎛a b c⎞
⎟⎟
p6 = ⎜⎜
⎝c b a⎠
Dengan demikian didapatkan anggota dari P yang merupakan himpunan hasil
permutasi A, yaitu P = {p1, p2, p3, p4, p5, p6}.
Sesuai penjelasan di atas, John R. Durbin (1992, p38) mendefinisikan
bahwa suatu Grup disebut Grup Permutasi apabila setiap elemen dari Grup
tersebut merupakan hasil permutasi dengan komposisi sebagai operasinya. Suatu
Grup Permutasi dari himpunan A tidak harus berisi seluruh kemungkinan
permutasi dari himpunan A tersebut.
II. Operasi Komposisi pada Himpunan Permutasi
Operasi komposisi merupakan operasi yang digunakan antar elemen
permutasi himpunan. Operasi komposisi umumnya dilambangkan dengan simbol
komposisi “y”.
Contoh :
Komposisi antara dua permutasi suatu himpunan dengan anggota {1, 2, 3, 4}
⎛ 1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞ ⎛ 1 2 3 4 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ • ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 2 4 1 3 ⎠ ⎝ 3 4 1 2 ⎠ ⎝1 3 2 4 ⎠
Pada operasi komposisi pengerjaan dilakukan dari elemen kedua ke elemen
pertama, atau dari kanan ke kiri. Pada contoh operasi komposisi di atas cara
membacanya adalah :
1Æ3Æ1
3Æ1Æ2
2Æ4Æ3
4Æ2Æ4
⎛1 2 3 4 ⎞
⎟⎟
Sehingga didapatkan hasil = ⎜⎜
⎝1 3 2 4 ⎠
23 Sebagai perbandingan, hasil operasi komposisi antara elemen yang sama dengan
urutan yang berbeda adalah :
⎛1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ • ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 3 4 1 2 ⎠ ⎝ 2 4 1 3 ⎠ ⎝ 4 2 3 1⎠
Elemen permutasi memiliki invers. Invers permutasi didapatkan dengan
cara membalik urutan baris domain dengan hasil pemetaan dari elemen
permutasi tersebut. Berikut adalah contoh invers dari suatu elemen permutasi :
−1
⎛1 2 3 4 ⎞
⎛1 2 3 4 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 2 4 3 1⎠
⎝ 4 1 3 2⎠
Hasil operasi komposisi antara elemen permutasi dengan inversnya akan
menghasilkan pemetaan suatu elemen terhadap dirinya sendiri.
⎛ 1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ • ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
2
4
3
1
4
1
3
2
1
2
3
4
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
Untuk mempermudah penyajian elemen permutasi, sering digunakan cara
penulisan yang dinamakan notasi siklus (cycle notation). Jika suatu elemen
permutasi dari himpunan A disajikan dengan notasi siklus (a1 a2 ... ak) itu berarti
pemetaan yang terjadi dari elemen-elemen domain di dalamnya adalah a1Æa2,
a2Æa3, ..., ak-1Æak, akÆa1. Elemen domain yang tidak ditulis dalam notasi siklus
berarti hasil pemetaan elemen tersebut adalah dirinya sendiri.
Contoh :
(1
⎛1 2 3 4 5 ⎞
⎟⎟ 2 4 ) = ⎜⎜
⎝ 2 4 3 1 5⎠
(3
⎛1 2 3 4 5 ⎞
⎟⎟ 4) = ⎜⎜
⎝1 2 4 3 5 ⎠
24 (1
⎛1 2 3 4 5 ⎞ ⎛1 2 3 4 5 ⎞
⎟⎟ • ⎜⎜
⎟⎟
2 4)(3 4) = ⎜⎜
⎝ 2 4 3 1 5 ⎠ ⎝1 2 4 3 5 ⎠
⎛1 2 3 4 5 ⎞
⎟⎟ = (1 2 4 3)
= ⎜⎜
⎝ 2 4 1 3 5⎠
(1) = (2) = (3) = (4) = (5) = ⎛⎜⎜
1 2 3 4 5⎞
⎟⎟
⎝1 2 3 4 5 ⎠
III. Tabel Cayley pada Himpunan Permutasi
Tabel Cayley juga dapat digunakan untuk menyusun hasil operasi
pasangan elemen permutasi dan memudahkan pemeriksaan sifat dari himpunan
permutasi tersebut.
Contoh :
Tabel 2.3 Operasi Komposisi pada Himpunan Permutasi
y (1) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 3 2) (1 3 2) (1) (1 2 3) Tabel Cayley di atas mewakili hasil operasi komposisi antara elemen
anggota dalam suatu himpunan permutasi P = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}. Dengan
melakukan pembuktian sifat operasi sistem aljabar akan didapatkan bahwa :
1. y bersifat tertutup
2. y bersifat asosiatif
3. (P,y) memiliki elemen identitas e = (1)
4. Setiap elemen permutasi memiliki invers
Sistem aljabar (P,y) memenuhi sifat-sifat Grup, maka (P,y) merupakan Grup
Permutasi.
25 D. Homomorfisma Grup
I. Pengertian Umum Homomorfisma
John R. Durbin (1992, p152) mendefinisikan bahwa jika G adalah sebuah
Grup dengan operasi * dan H adalah sebuah Grup dengan operasi #, maka
pemetaan θ: GÆH adalah sebuah homomorfisma jika :
θ ( a * b) = θ ( a )# θ (b) untuk semua a,b ∈ G.
Jika terdapat hubungan homomorfisma dari G ke H, maka H disebut
sebagai homomorphic image atau citra homomorfis dari G.
Contoh :
Misalkan terdapat 2 buah himpunan G dan H
G = himpunan bilangan bulat tidak negatif = {0, 1, 2, ...}
H = {genap, ganjil}
Kedua himpunan G dan H memiliki operasi biner masing-masing * dan #,
yang didefinisikan sebagai operasi penjumlahan biasa.
Untuk himpunan G :
a. Bilangan bulat ganjil*bilangan bulat ganjil = bilangan bulat genap.
b. Bilangan bulat ganjil*bilangan bulat genap = bilangan bulat ganjil.
c. Bilangan bulat genap*bilangan bulat ganjil = bilangan bulat ganjil.
d. Bilangan bulat genap*bilangan bulat genap = bilangan bulat genap.
Untuk himpunan H :
a. Ganjil#ganjil = genap
b. Ganjil#genap = ganjil
c. Genap#ganjil = ganjil
d. Genap#genap = genap
26 Dari pemeriksaan di halaman sebelumnya dapat dilihat bahwa hasil
operasi pada himpunan G memiliki sifat yang sama dengan hasil operasi pada
himpunan H, yaitu berupa bilangan genap atau ganjil. Selain itu G dan H masingmasing memenuhi syarat sebagai Grup. Maka H adalah citra homomorfis dari G.
Citra homomorfis suatu himpunan mewarisi sifat-sifat dari himpunan
yang dicerminkannya. Pewarisan sifat inilah yang menjadi manfaat utama dari
homomorfisma Grup. Pada contoh sebelumnya dapat dilihat karakteristik hasil
operasi antar elemen pada himpunan G yang tidak berhingga dengan melihat
hasil operasi dari himpunan H yang jumlahnya jauh lebih sedikit namun tetap
mencerminkan sifat-sifat hasil operasi himpunan G, yaitu bilangan genap atau
bilangan ganjil.
Sifat homomorfisma terutama banyak digunakan untuk meneliti
karakteristik sistem aljabar dengan jumlah anggota yang besar dan sulit diteliti
secara manual, sehingga dengan homomorfisma efisiensi penelitian jauh
meningkat.
Contoh :
Himpunan G adalah himpunan bilangan bulat positif dengan operasi perkalian.
G = {x} ; x = 1, 2, 3, ...
; * = perkalian
Sedangkan H adalah himpunan dengan operasi penjumlahan yang elemen
anggotanya adalah hasil pemetaan dari tiap anggota himpunan G, yaitu nilai
logaritma dari elemen yang dipetakan tersebut.
H = {y | y = log(x)} ; x = 1, 2, 3, ... ; # = penjumlahan
Perbandingan hasil operasi antara kedua himpunan G dan H adalah sebagai
berikut :
27 Tabel 2.4 Perbandingan hasil operasi (G,*) dan (H,#) (1)
* 1 2 3 4 dst 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 (G,*)
4 4 8 12 16 dst # log 1 log 2 log 3 log 4 dst log 1 log 1 log 2 log 3 log 4 log 2 log 2 log 4 log 6 log 8 log 3 log 3 log 6 log 9 log 12 log 4 dst log 4 log 8 log 12
log 16
(H,#)
Pemetaan himpunan G ke H didefinisikan dengan fungsi θ: GÆH di
mana θ(x) = log x.
θ(1) = log 1
θ(2) = log 2
θ(3) = log 3
dan seterusnya.
Dengan pengujian sifat operasi biner dapat dibuktikan bahwa sistem
aljabar (G,*) dan (H,#) keduanya adalah Grup. Operasi penjumlahan pada
himpunan H mengikuti sifat penjumlahan logaritma, yaitu log a + log b = log ab.
Selanjutnya perlu dibuktikan syarat homomorfisma antara G dengan H.
θ(1*1) = θ(1) = log 1 sama dengan 1 = log 1 # log 1 = θ(1) # θ(1)
θ(2*3) = θ(6) = log 6 sama dengan 6 = log 2 # log 3 = θ(2) # θ(3)
θ(3*4) = θ(12) = log 12 sama dengan 12 = log 3 # log 4 = θ(3) # θ(4)
dan seterusnya.
Jika diteruskan, akan terlihat bahwa pemetaan dari hasil operasi perkalian
untuk setiap pasang elemen dalam himpunan G akan sama dengan operasi
penjumlahan pasangan pemetaan elemennya dalam himpunan H. Maka terbukti
28 syarat homomorfisma θ ( a * b) = θ ( a )# θ (b) untuk semua a,b
∈ G.
Terbukti
bahwa H adalah citra homomorfis dari G.
Karena telah dibuktikan bahwa H adalah citra homomorfis dari G, maka
H dapat dijadikan sebagai alternatif untuk meneliti hasil atau karakteristik dari
sistem aljabar G. Hal ini lebih efisien bagi komputer karena komputasi
penjumlahan lebih ringan dibanding komputasi perkalian. Untuk mengembalikan
nilai elemen di H kembali ke nilai G dapat dilakukan dengan merubah elemen di
H ke nilai invers dari elemen tersebut. Dalam contoh ini nilai elemen himpunan
G didapat dari : x = y-1 = 10y = 10log x.
II. Isomorfisma, Monomorfisma, dan Epimorfisma
Selain bentuk homomorfisma yang umum terdapat juga bentuk-bentuk lain dari
homomorfisma, yaitu :
a. Isomorfisma
Jika G adalah Grup dengan operasi * dan H adalah grup dengan operasi #,
maka H disebut sebagai citra isomorfis dari G apabila memenuhi syaratsyarat berikut :
1. θ ( a * b) = θ ( a )# θ (b) untuk semua a,b ∈ G
2. θ: GÆH merupakan fungsi bijektif
Contoh :
Sistem aljabar (G,*) adalah Grup Permutasi dengan anggota G = {(1), (1 2 3),
(1 3 2)} dan operasi komposisi, sedangkan (H,#) adalah Grup dengan
anggota H = {0, 1, 2} dan operasi penjumlahan modulo 3.
Tabel Cayley untuk kedua sistem aljabar tersebut adalah sebagai berikut :
29 Tabel 2.5 Perbandingan hasil operasi (G,*) dan (H,#) (2)
* (1) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 3 2) (1 3 2) (1) (1 2 3) # 0 1 2 0 0 1 2 (G,*)
1
1
2
0
2
2
0
1
(H,#)
Hasil pemetaan θ: GÆH :
θ((1)) = 0
θ((1 2 3)) = 1
θ((1 3 2)) = 2
Pengujian sifat fungsi :
1. Hasil pemetaan elemen G ke H tidak ada yang sama. Fungsi injektif.
2. Seluruh elemen H merupakan hasil pemetaan dari G. Fungsi surjektif.
3. Sifat injektif dan surjektif dipenuhi. Fungsi bijektif.
Pengujian syarat homomorfisma :
θ((1)*(1)) = θ((1)) = 0 sama dengan 0 = 0 # 0 = θ((1)) # θ((1))
θ((1)*(1 2 3)) = θ((1 2 3)) = 1 sama dengan 1 = 0 # 1 = θ((1)) # θ((1 2 3))
θ((1)*(1 3 2)) = θ((1 3 2)) = 2 sama dengan 2 = 0 # 2 = θ((1)) # θ((1 3 2))
θ((1 2 3)*(1)) = θ((1 2 3)) = 1 sama dengan 1 = 1 # 0 = θ((1 2 3)) # θ((1))
θ((1 2 3)*(1 2 3)) =θ((1 3 2))= 2 sama dengan 2=1 # 1= θ((1 2 3)) # θ((1 2 3))
θ((1 2 3)*(1 3 2)) = θ((1)) = 0 sama dengan 0 = 1 # 2 = θ((1 2 3)) # θ((1 3 2))
θ((1 3 2)*(1)) = θ((1 3 2)) = 2 sama dengan 2 = 2 # 0 = θ((1 3 2)) # θ((1))
θ((1 3 2)*(1 2 3)) = θ((1)) = 0 sama dengan 0 = 2 # 1 = θ((1 3 2)) # θ((1 2 3))
θ((1 3 2)*(1 3 2))= θ((1 2 3))=1 sama dengan 1=2 # 2 = θ((1 3 2)) # θ((1 3 2))
30 Untuk semua kemungkinan operasi pasangan elemen terpenuhi syarat
θ ( a * b) = θ ( a )# θ (b) untuk semua a,b ∈ G. Maka H adalah image isomorfis
dari G
b. Monomorfisma
Jika G adalah Grup dengan operasi * dan H adalah grup dengan operasi #,
maka H disebut sebagai citra monomorfis dari G apabila memenuhi syaratsyarat berikut :
1. θ ( a * b) = θ ( a )# θ (b) untuk semua a,b ∈ G
2. θ: GÆH merupakan fungsi injektif
Contoh :
Sistem aljabar (G,*) adalah Grup dengan anggota G = {0, 1, 2} dan operasi
penjumlahan modulo 3, sedangkan (H,#) adalah Grup Permutasi dengan
anggota H = {(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2), (1 3), (2 3)} dan operasi komposisi.
Tabel Cayley untuk kedua sistem aljabar adalah sebagai berikut :
Tabel 2.6 Perbandingan hasil operasi (G,*) dan (H,#) (3)
* 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2
2
0
1
# (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3) (G,*)
Hasil pemetaan θ: GÆH :
θ(0) = (1)
θ(1) = (1 2 3)
θ(2) = (1 3 2)
(1) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (2 3) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1 3 2) (1) (1 2 3) (1 3) (2 3) (1 2) (H,#)
(1 2) (1 2) (1 3) (2 3) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (1 3) (2 3) (1 2) (1 3 2) (1) (1 2 3) (2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) 31 Pengujian sifat fungsi :
1. Hasil pemetaan elemen G ke H tidak ada yang sama. Fungsi injektif.
2. Ada elemen H yang bukan hasil pemetaan dari elemen G, yaitu {(1 2),
(1 3), (2 3)}. Fungsi tidak surjektif.
3. Fungsi injektif tapi tidak surjektif. Fungsi bukan bijektif.
Dengan cara pengujian syarat homomorfisma seperti di bagian sebelumnya
akan
didapat
bahwa
untuk
setiap
a,b
∈
G
terpenuhi
syarat
θ ( a * b) = θ ( a )# θ (b) . Maka H adalah image monomorfis dari G.
c. Epimorfisma
Jika G adalah Grup dengan operasi * dan H adalah grup dengan operasi #,
maka H disebut sebagai citra epimorfis dari G apabila memenuhi syaratsyarat berikut :
1. θ ( a * b) = θ ( a )# θ (b) untuk semua a,b ∈ G
2. θ: GÆH merupakan fungsi surjektif
Contoh epimorfisma misalnya terdapat pada Grup G = bilangan bulat tidak
negatif dengan operasi penjumlahan dan H = {genap, ganjil} dengan operasi
penjumlahan yang sifat homomorfisnya telah dibuktikan di halaman 25.
Hasil pemetaan θ: GÆH adalah :
θ(1) = ganjil
θ(2) = genap
θ(3) = ganjil
θ(4) = genap
dan seterusnya.
32 Pengujian sifat fungsi :
1. Hasil pemetaan elemen G ke H ada yang sama. Fungsi tidak injektif.
2. Seluruh elemen H merupakan hasil pemetaan dari G. Fungsi surjektif.
3. Fungsi surjektif tapi tidak injektif. Fungsi bukan bijektif.
Maka H adalah image epimorfis dari G.
2.3
Perancangan Program
Perancangan program merupakan langkah yang krusial dalam pembuatan suatu
program aplikasi. Perancangan diperlukan untuk membuat bentuk dasar dan langkahlangkah yang perlu dilakukan dalam tahapan-tahapan pembuatan aplikasi.
2.3.1 Rekayasa Piranti Lunak
Rekayasa Piranti Lunak menurut Roger S. Pressman (2005, p23) adalah
penetapan dan pemakaian prinsip-prinsip rekayasa dalam rangka mendapatkan
piranti lunak yang ekonomis, terpercaya, dan bekerja efisien pada mesin (komputer).
Rekayasa piranti lunak secara garis besar mencakup 3 elemen yang mampu
mengontrol proses pengembangan piranti lunak, yaitu :
1. Metode-metode (methods)
Menyediakan cara-cara teknis untuk membangun piranti lunak.
2. Alat-alat bantu (tools)
Menyediakan dukungan otomatis atau semi otomatis untuk metode-metode,
seperti CASE (Computer Aided Software Engineering) yang mengkombinasikan
software, hardware, dan software engineering database.
3. Prosedur-prosedur (procedure)
Merupakan pengembangan metode dan alat bantu.
33 Dalam perancangan software dikenal istilah SDLC (Software Development
Life Cycle) yaitu serangkaian kegiatan yang dilakukan selama masa pengembangan
software. Pemakaian metode SDLC yang cocok ditentukan oleh beberapa aspek
seperti jenis bahasa pemrograman yang digunakan atau kompleksitas aplikasi.
Contohnya, Waterfall Model merupakan model yang paling umum dan paling dasar
pada SDLC. Rapid Application Development (RAD) dan Joint Application
Development (JAD) cocok untuk software berbasis objek (OOP), sedangkan Spiral
Model cocok untuk pengembangan aplikasi yang rumit dan cenderung mahal
pembuatannya.
Tahapan-tahapan dari kegiatan pada SDLC model Waterfall menurut (A. Dix,
1997) adalah sebagai berikut :
1. Spesifikasi kebutuhan
Pada tahapan ini, pengembang dan klien mengidentifikasi apa saja
fungsi-fungsi yang diharapkan dari sistem dan bagaimana sistem memberikan
layanan yang diminta. Pengembang berusaha mengumpulkan berbagai informasi
dari klien.
2. Perancangan Arsitektur
Pada tahapan ini, terjadi pemisahan dari keseluruhan detil aplikasi yang
akan dibuat ke dalam komponen-komponen (modul) sesuai dengan fungsinya
masing-masing.
3. Rancangan detil
Setelah sistem dipecah ke dalam komponen-komponen, pada tahapan ini
akan dibuat rancangan proses dari masing-masing komponen untuk digunakan
dalam proses pengembangan.
34 4. Coding and unit Testing
Pada tahapan ini, hasil rancangan diterjemahkan ke dalam bahasa
pemrograman untuk dieksekusi. Setelah itu tiap komponen diuji apakah sesuai
dengan fungsinya masing-masing.
5. Integration and Testing
Setelah pengujian tiap komponen dilakukan, komponen-komponen
tersebut disatukan (diintegrasikan) ke dalam sistem utama. Kemudian dilakukan
pengujian terhadap sistem utama secara keseluruhan apakah sudah sesuai dengan
kriteria yang diminta klien.
6. Implementasi dan Pemeliharaan
Setelah sistem dimplementasikan, tahapan terakhir adalah pemeliharaan
terhadap sistem. Umumnya pemeliharaan sistem berupa perbaikan terhadap error
atau bug yang muncul setelah sistem terimplementasi.
Gambar 2.3 Waterfall Model untuk Software Development Life Cycle
(Sumber : A. Dix, 1997, p181)
35 2.3.2 Interaksi Manusia dan Komputer
Menurut J. Finlay (1993), interaksi manusia dan komputer merupakan
disiplin ilmu yang berhubungan dengan perancangan, evaluasi, dan implementasi
sistem komputer interaktif untuk digunakan oleh manusia, serta studi fenomenafenomena besar yang berhubungan dengannya.
Pada interaksi manusia dan komputer ditekankan pada pembutan antarmuka
pemakai (user interface), di mana user interface yang dibuat diusahakan sedemikian
rupa sehingga seorang user dapat dengan baik dan nyaman menggunakan aplikasi
piranti lunak yang dibuat. Antarmuka pemakai (user interface) adalah bagian sistem
komputer yang memungkinkan manusia berinteraksi dengan komputer. Tujuan
antarmuka pemakai adalah agar sistem komputer dapat digunakan oleh pemakai.
Istilah tersebut digunakan untuk menunjukkan kemampuan yang dimiliki oleh piranti
lunak atau program aplikasi yang mudah dioperasikan dan dapat membantu
menyelesaikan suatu persoalan dengan hasil yang sesuai dengan keinginan pengguna.
2.4
Borland Delphi
Borland Delphi merupakan sebuah software yang dibuat untuk merancang
aplikasi pada Microsoft Windows. Bahasa pemrograman pada Delphi menggunakan
bahasa pemrograman Object Pascal yang merupakan pengembangan dari bahasa Pascal,
dan dirancang untuk mendukung pemrograman berorientasi objek dan pemrograman
dengan IDE (Integrated Development Environment) / lingkungan pengembangan
terpadu. Pemrograman dengan IDE memberikan dukungan fasilitas menyeluruh bagi
pengguna. Dukungan fitur IDE umumnya berupa :
a. Editor source code program.
36 b. Compiler dan/atau penerjemah kode.
c. Alat-alat (tools) untuk membangun bagian aplikasi secara otomatis.
d. Debugger program
Pemrograman dengan IDE umumnya disajikan dalam bentuk pemrograman
visual, yaitu pemrograman di mana pengguna dapat merancang tampilan program secara
intuitif dengan mengklik tombol atau menggeser objek dibanding pemrograman non
visual di mana tampilan dirancang dengan menggunakan kode program.
Delphi merupakan pionir era pengembangan aplikasi secara rapid dengan
memperkenalkan fitur-fitur penting seperti framework aplikasi dan window perancang
layout visual yang secara signifikan mengurangi waktu yang dibutuhkan dalam
mengembangkan maupun menguji prototipe aplikasi. Delphi juga memiliki VCL (Visual
Component Library) yang cukup ekstensif dan dukungan yang luas untuk komponen
tambahan dari pihak ketiga.
2.4.1 Sejarah Delphi
Software Delphi pertama dirilis pada tahun 1995. Pada mulanya Delphi
merupakan proyek riset rahasia di perusahaan Borland yang kemudian berkembang
menjadi aplikasi dengan nama AppBuilder. Tidak lama sebelum Borland
AppBuilder diluncurkan, produk saingan dengan nama Novell AppBuilder lebih
dahulu dirilis. Hal itu menyebabkan Borland membutuhkan nama baru untuk
software mereka. Nama Delphi dipilih oleh salah seorang programmer di tim
pengembang Delphi yang bernama Danny Thorpe. Kepala perancang software
Delphi adalah Anders Hejlsberg, yang sebelumnya telah merancang Turbo Pascal.
Sejarah pengembangan Delphi yakni sebagai berikut :
37 -
Borland Delphi 1 sampai 5
Dirilis pada tahun 1995 untuk sistem operasi Windows 3.1 16-bit.
Borland Delphi 1 merupakan penerus Turbo Pascal, dan menjadi contoh awal
dari alat pendukung pengembangan aplikasi secara rapid (RAD).
Borland Delphi 2 dirilis pada tahun 1996 dan sudah mendukung
lingkungan Windows 32-bit. Menyusul setelahnya, Borland Delphi 3 dirilis pada
1997, Borland Delphi 4 pada tahun 1998, Borland Delphi 5 pada tahun 1999, dan
Borland Delphi 6 pada tahun 2002.
-
Kylix
Merupakan versi Linux dari Delphi yang dirilis pada tahun 2001.
-
Borland Delphi 7
Borland Delphi 7 dirilis pada tahun 2002 dan hingga saat ini menjadi versi yang
paling banyak digunakan dibanding versi Delphi lainnya. Hal ini dikarenakan
stabilitas yang lebih baik dari Delphi 7 serta komputasi cepat dan persyaratan
kebutuhan hardware yang rendah.
-
Borland Delphi 8 sampai 10
Borland Delphi 8 dirilis pada 2003 dan mulai mendukung pengembangan .NET.
Borland Delphi 2005 (Delphi 9) dirilis pada tahun 2005 dengan dukungan
aplikasi Win32 dan .Net. Borland Delphi 2006 (Delphi 10) dirilis pada akhir
2005 dengan dukungan pengembangan gabungan C# dan Delphi.Net.
-
CodeGear Delphi 2007 (Delphi 11)
Dirilis pada tahun 2007. Merupakan versi Delphi pertama yang dikembangkan
oleh CodeGear, yakni suatu divisi pengembangan di bawah Borland yang
38 nantinya dijual menjadi milik perusahaan Embarcadero Technologies pada tahun 2008.
-
Embarcadero Delphi
Merupakan versi terbaru Delphi setelah lisensinya dimiliki oleh Embarcadero
Technologies. Versi yang sudah dirilis antara lain Embarcadero Delphi 2009
(Delphi 12), Embarcadero Delphi 2010 (Delphi 14), dan Embarcadero Delphi
XE.
2.4.2 Keunggulan dan Keterbatasan Delphi
Keunggulan dari Delphi antara lain :
a. Bahasa pemrograman Delphi strongly typed, artinya bahasa pemrograman
memiliki batasan-batasan pada penggunaan campuran tipe data. Hal ini
membantu mencegah terjadi kesalahan penggunaan tipe data dengan cara yang
tidak valid. Contohnya penjumlahan antara tipe data String dengan Integer.
b. Delphi datang dengan dukungan pemrograman IDE dan dukungan komponen
library yang luas. Bahasa pemrograman Delphi cocok untuk pengembangan
aplikasi secara rapid (Rapid Application Development), yaitu pengembangan
aplikasi yang lebih berfokus pada pengembangan prototipe dan revisi dari uji
prototipe, sehingga dengan demikian laju perancangan program dapat dilakukan
lebih cepat.
c. Komponen library DLL tambahan dapat diintegrasikan ke dalam satu file
executable (*.exe) sehingga programmer tidak perlu menambahkan file-file
lainnya untuk menjalankan program.
39 d. Setiap pengembangan versi baru Delphi memberikan dukungan backward
compatibility yang cukup baik bagi bahasa yang digunakan pada versi-versi
sebelumnya.
Sedangkan batasan-batasan dari Delphi antara lain :
a. Belum ada dukungan untuk sistem Windows 64-bit. Sejauh ini Delphi hanya bisa
digunakan untuk merancang aplikasi yang berjalan di Windows 32-bit.
b. Tidak lintas platform. Delphi sendiri hanya dapat berjalan di sistem operasi
Windows. Pengembangan versi Delphi terbaru serta beberapa variannya sedang
dirancang untuk dapat berjalan lintas platform di Windows, Linux, dan Mac OS.
c. Dukungan backward compatibility yang diberikan Delphi bagi versi-versi yang
lebih lama sediit banyak menyebabkan pengembangan bahasa pemrograman
Delphi menjadi lebih terbatas.
Pada bab 2 ini telah dibahas mengenai berbagai metode dan teori yang akan
digunakan sebagai dasar untuk merancang aplikasi pengujian struktur aljabar. Metode
dan teori tersebut dijelaskan sesuai dengan batasan dalam pembuatan aplikasi ini.