Penyelesaian Persamaan Schrӧdinger menggunakan AIM untuk

Penyelesaian Persamaan Schrӧdinger
menggunakan AIM untuk Potensial Scarf II
Terdeformasi-q Plus Potensial Pӧschl-Teller dan
Potensial Scarf Trigonometrik
Fery Widiyanto, Suparmi, dan Cari
Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Jl. Ir Sutami 36 A Surakarta
[email protected]
ABSTRACT
Solution of the Schrӧdinger Equation for combined Pӧschl-Teller Potential, q deformed Scarf II
Potential and Scarf Trigonometric Potential using Asymptotic Iteration Method (AIM). The
combination of the three potential is substituted into the Schrӧdinger Equation is independent of
time, then the separation of variables into radial part, and anguler part and azimuth part. Radial,
anguler and azimuth part equation solved by reducing them to the hipergeometry intermediaries
equation, to further resolved to follow the AIM. With the AIM, the energy equation and the
number equations inovolved 𝜆1 at anguler part and 𝜆2 at azimuth part can be obtained, where both
are interrelated between quantum numbers. Energy equation also numerically solved using Matlab
software, where the increase in the radial quantum number 𝑛𝑟 causes increase and decrease in the
energy. Radial part of the wave function and the angular are defined as hipergeometry functions
and visualized with Matlab software. The results show that the disturbance of Poschl-Teller
potential and Trigonometric Scarf Potential change probability in the wave function of the radial
part and the wave function of the angular and azimuth part.
Keywords: Schrӧdinger equation, Pöschl-Teller potential, deformed-q Scarf II potential,
Trigonometric Scarf Trigonometric, Asymptotic Iteration Method.
ABSTRAK
Penyelesaian Persamaan Schrӧdinger kombinasi potensial Poschl-Teller, potensial Scarf II
terdeformasi-q dan potensial Scarf Trigonometri menggunakan Asymptotic Iteration Method
(AIM). Kombinasi dari ketiga potensial disubstitusikan ke dalam persamaan Schrӧdinger tak
bergantung waktu, kemudian dilakukan pemisahan variabel menjadi bagian radial, sudut anguler,
dan sudut azimuth. Persamaan bagian radial, sudut anguler dan azimut ini diselesaikan dengan
mereduksi menjadi persamaan perantara hipergeometri, untuk selanjutnya diselesaikan mengikuti
AIM. Dengan AIM, persamaan energi dan persamaan bilangan yang melibatkan 𝜆1 untuk bagian
sudut anguler dan 𝜆2 untuk bagian azimuth dapat diperoleh, dimana keduanya saling berkaitan
antar bilangan kuantum. Persamaan energi diselesaikan pula secara numerik menggunakan
sofware Matlab, dimana kenaikan bilangan kuantum radial 𝑛𝑟 menyebabkan kenaikan dan
penurunan nilai energi. Fungsi gelombang bagian radial dan bagian sudut ditentukan dalam bentuk
fungsi hipergeometri dan divisualisasikan dengan software Matlab. Hasilnya menunjukkan bahwa
gangguan yang dilakukan potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf trigonometri mengakibatkan
perubahan probabilitas pada fungsi gelombang bagian radial dan fungsi gelombang bagian sudut
anguler dan azimuth.
Kata kunci: persamaan Schrӧdinger, potensial Pöschl-Teller, potensial Scarf II terdeformasi-q,
potensial Scarf Trigonometrik, metode iterasi asimtot.
1
PENDAHULUAN
Persamaan Schrodinger adalah persamaan gelombang sebagai representasi elektron atau
partikel. Solusi untuk persamaan Schrodinger memperoleh fungsi gelombang yang nantinya
digunakan untuk mengetahui bagaimana perilaku elektron. Persamaan ini dapat diselesaikan
dalam bentuk persamaan energi dan fungsi gelombang suatu sistem partikel. Beberapa jenis
potensial, terutama jenis penyelesaian eksak dari persamaan Schrodinger ini hanya mungkin
untuk momentum sudut = 0. Tetapi pada saat momentum sudutnya ≠ 0 maka persamaan
Schrodinger hanya dapat diselesaikan melalui sebuah pendekatan metode yang sesuai seperti
1
metode Iterasi Asimptotik, metode ekspansi 𝑁 , metode Nikiforov-Uvarov,dan metode
Supersimetri di mekanika kuantum [1]. Dalam mekanika kuantum, digunakan pendekatan
yang berbeda-beda dalam menentukan besaran yang terkait dengan gerak partikel.
Penyelesaian fungsi gelombang dari partikel yang bergerak dapat diperoleh menggunakan
persamaan Schrodinger.[2] Persamaan Schrodinger untuk potensial Scarf II terdeformasi q
plus potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf Trigonometrik dapat diselesaikan
menggunakan metode Iterasi Asimptotik karena metode ini dapat menyelesaikan semua jenis
potensial bagian radial, sudut, dan azimut.
Metode penyelesaian persamaan Schrodinger untuk suatu partikel yang bermuatan pada
potensial sentral dan non sentral telah dikembangkan Metode Iterasi Asimptotik.
Penyelesaian potensial non sentral untuk potensial Poschl-Teller, potensial Scarf II
terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trigonometrik disubstitusikan ke persamaan Schrodinger
dalam bentuk koordinat bola.
Dalam penelitian ini fungsi gelombang dan energi menggunakan persamaan Schrodinger
dalam bentuk ruang 3 dimensi. Jenis potensial yang digunakan untuk penyelesaian persamaan
Schrodinger untuk ruang 3 dimensi ini antara lain Potensial Pӧschl-Teller, Potensial Scarf II
terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trignometrik. Persamaan energi dan fungsi gelombang
persamaan Schrӧdinger dapat divisualisasikan melalui listing program menggunakan
Software Matlab 7.1.
METODOLOGI PENELITIAN
Alat dab Bahan Penelitian
Penelitian ini menggunakan seperangkat laptop LENOVO dan sofware Matlab 7.1. Bahan
yang diteliti adalah persamaan Schrӧdinger untuk kombinasi potensial Scarf II terdeformasi-q
plus potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf trigonometrik, dimana penyelesaiannya
menggunakan Metode Iterasi Asimptotik.
Studi literatur
Dalam penelitian ini, dilakukan studi literatur terkait persamaan Schrӧdinger untuk
kombinasi potensial Scarf II terdeformasi-q plus potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf
Trigonometri. Selain itu, juga dilakukan studi literatur terkait metode Iterasi Asimtot yang
akan digunakan untuk menyelesaikan potensial-potensial tersebut sehingga diperoleh
persamaan energi dan fungsi gelombang bagian radial, sudut anguler, dan sudut azimuth.
Penulisan Persamaan Schrӧdinger Kombinasi Potensial Scarf II Terdeformasi-q plus
Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometrik.
Pada tahapan ini dilakukan penulisan persamaan kombinasi potensial Scarf II terdeformasi-q
plus potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf trigonometrik yang diperoleh dari studi
literatur. Kombinasi ketiga potensial tersebut adalah sebagai berikut:
2
ћ2
𝑉(𝑟, 𝜃, 𝜑) =
𝐵2 +𝐴(𝐴−1)
1
𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2𝜃
(
𝑐𝑜𝑠2 𝜑
2𝑚
[𝛼 2
(
𝑏2 +𝑎(𝑎+1)
2 𝛼𝑟
𝑠𝑖𝑛ℎ𝑞
1
2
𝑐𝑜𝑠 2 𝜑
2𝐵(𝐴− ) 𝑠𝑖𝑛 𝜑
+
−
1
2
2𝑏(𝑎+ )𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟
2 𝛼𝑟
𝑠𝑖𝑛ℎ𝑞
𝑘(𝑘−1)
𝜆(𝜆−1)
) + (𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃) +
)]
(1)
Untuk k, λ merupakan konstanta kedalaman pada potensial Poschl-Teller, sedangkan a, b ,α
merupakan konstanta kedalaman pada potensial Scarf II dan A, B merupakan konstanta pada
kedalaman potensial Scarf Trignometrik.
Penulisan Persamaan Schrӧdinger Kombinasi Potensial Scarf II Terdeformasi-q plus
Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometri dengan Koordinat Bola untuk
gabungan bagian radial, sudut anguler, dan sudut azimuth.
Penentuan Persamaan Schrӧdinger dalam koordinat bola dari kombinasi potensial Scarf II
(𝑉𝑆𝐹𝐼𝐼 ) terdeformasi-q plus potensial Pӧschl-Teller (𝑉𝑃𝑇 ) dan potensial Scarf Trigonometrik
(𝑉𝑆𝐹 ) sebagai berikut:
ћ2
𝑉𝑃𝑇(𝜃)=
𝛼2 (
2𝑚
𝑉𝐺𝐼𝑉 (𝜑) =
𝜕
𝑅(𝑟) 𝜕𝑟
( 𝑠𝑖𝑛2𝜃 +
ћ2
𝑉𝑆𝐹(𝑟)=
1
𝑘(𝑘−1)
2𝑚
(𝑟 2
2𝑚
ћ2
2𝑚
𝜕
𝜆(𝜆−1)
𝑐𝑜𝑠 2𝜃
𝑏2 +𝑎(𝑎+1)
(
2 𝛼𝑟
𝑠𝑖𝑛ℎ𝑞
𝐵2 +𝐴(𝐴−1)
𝑐𝑜𝑠 2𝜑
𝑅(𝑟)) +
𝜕𝑟
2𝑚
1
)
−
+
(2)
1
2
2𝑏(𝑎+ )𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟
𝑠𝑖𝑛ℎ𝑞2 𝛼𝑟
1
2
𝑐𝑜𝑠 2 𝜑
2𝐵(𝐴− ) 𝑠𝑖𝑛 𝜑
1
𝜕
(sin 𝜃
sin 𝜃 𝛩(𝜃) 𝜕𝜃
2𝑚 𝑉𝑆𝐹𝑇 (𝜑)
)
(3)
)
(4)
𝜕
𝛩(𝜃 )) +
𝜕𝜃
2𝑚𝑟 2
1
𝑠𝑖𝑛2𝜃
1
𝜕2
𝜙(𝜑) 𝜕𝜑2
𝜙 (𝜑 ) −
𝑟 2 𝑉𝑆𝐹𝐼𝐼 (𝑟) − ћ2 𝑉𝑃𝑇 (𝜃 ) − ћ2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = − ћ2 𝐸
(5)
untuk persamaan (4) dipisahkan menjadi persamaan Schrӧdinger bagian radial, bagian sudut
anguler dan sudut azimuth. Untuk bagian radial, hasilnya sebagai berikut:
1 𝜕
𝜕
2𝑚
(𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅(𝑟)) − ћ2 𝑟 2 (𝑉𝑆𝐹𝐼𝐼 (𝑟) − 𝐸) − 𝜆1 = 0
(6)
𝑅(𝑟) 𝜕𝑟
ћ2
sedangkan untuk bagian angular ditunjukkan pada Persamaan (4),
1
𝜕
𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝛩(𝜃) 𝜕𝜃 (𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
𝛩(𝜃 )) −
2𝑚
ћ2
𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑉𝑃𝑇 (𝜃 ) + 𝜆1 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 − 𝜆2 = 0
(7)
dan bagian sudut azimut dinyatakan pada Persamaan (5):
1
𝜕2
𝜙(𝜑) 𝜕𝜑2
𝜙 (𝜑 ) −
2𝑚
ћ2
𝑉𝑆𝐹𝑇 (𝜑) + 𝜆2 = 0
(8)
Penentuan Fungsi Energi dan Fungsi Gelombang untuk bagian Radial, Anguler dan
Azimuth Persamaan Schrӧdinger dengan Koordinat Bola untuk Kombinasi Potensial
Scarf II Terdeformasi-q plus Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometrik
Persamaan bagian radial yang ditunjukkan pada Persamaan (6), sedangkan bagian angular
pada Persamaan (7) dan bagian azimuth pada Persamaan (8) akan direduksi menjadi
persamaan perantara hipergeometri dengan pemisalan variabel yang sesuai ditunjukkan pada
persamaan (9)[2] :
𝐹 (𝑧) = 𝑧 𝛼 (1 − 𝑧)𝛽 𝑓(𝑧)
(9)
dari Persamaan (9) ditransformasikan ke persamaan diferensial orde dua tipe AIM sebagai
berikut [3]:
𝑓 ′′(𝑥 ) − 𝜆0 (𝑥 )𝑓 ′(𝑥 ) − 𝑠𝑜 (𝑥 )𝑓(𝑥 ) = 0
(10)
dari langkah tersebut, maka bisa diperoleh nilai 𝜆0 dan 𝑠𝑜 , untuk kemudian dilakukan iterasi
dengan mengacu persamaan (10) berikut ini[4]:
3
𝜆𝑖 (𝑥 ) = 𝜆𝑖−1 ′ + 𝜆𝑖−1 𝜆0 + 𝑠𝑖−1
𝑠𝑖 (𝑥 ) = 𝑠𝑖−1 ′ + 𝑠𝑜 𝜆𝑖−1
𝑖 = 1,2,3, …
(11)
selanjutnya harga nilai eigen dapat dicari dengan Persamaan (12) berikut:
𝜆𝑖 (𝑥)𝑠𝑖−1 (𝑥) − 𝜆𝑖−1 (𝑥)𝑠𝑖 (𝑥) = 0 = ∆𝑖 , 𝑖 = 1,2,3 ….
(12)
sementara untuk menetukan fungsi eigen untuk penentuan fungsi gelombang, digunakan
Persamaan (12)[5]:
𝑓(𝑥 ) = 𝐶′𝑒 − ∫ 𝛼𝑛(𝑥)𝑑𝑥
(13)
untuk 𝐶′ merupakan konstanta normalisasi dari Persamaan (13) dengan menggunakan aspek
asimtotik dari metode iterasi untuk nilai 𝑖, nilai ∆ didefinisikan sebagai:
𝑠𝑖
𝑠
= 𝜆𝑖−1 ≡ ∆
(14)
𝜆
𝑖
𝑖−1
Persamaan (13) dapat digeneralisasikan menjadi Persamaan (15), diperoleh:
𝑓(𝑥 ) = (−1)𝑛 𝐶 ′(𝑁 + 2)𝑛 (𝜎)𝑛 2𝐹1 (−𝑛, 𝑝 + 𝑛, 𝜎, 𝑏𝑥 𝑁+2 )
dimana,
(2𝑐+1)𝑏+2𝑡
Γ(𝜎+𝑛)
2𝑐+𝑁+3
(𝜎 )𝑛 =
,𝜎=
𝑝 = (𝑁+2)𝑏
Γ(𝜎)
𝑁+2
(15)
(16)
Parameter-parameter pada Persamaan (16), diperoleh dengan membandingkan antara
persamaan tipe AIM yang terbentuk untuk bagian radial ataupun sudut bagian anguler dan
azimuth dengan Persamaan (16), yaitu[6]:
𝑡𝑥 𝑁+1
𝑐+1
𝑊𝑥 𝑁
𝑓 ′′(𝑥 ) = 2 (1−𝑏𝑥𝑁+2 − 𝑥 ) 𝑓 ′(𝑥 ) − 1−𝑏𝑥𝑁+2
(17)
sehingga dapat diperoleh eigen energi dan fungsi gelombang dari Persamaan Schrodinger
untuk kombinasi potensial potensial Scarf II terdeformasi-q plus Poschl-Teller dan potensial
Scarf trigonometrik.
Visualisasi Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang dengan Software Matlab 7.1
Hasil perhitungan yang diperoleh untuk fungsi gelombang dan energi yang nilainya
bergantung pada bilangan kuantum dan konstanta potensial diselesaikan secara numerik dan
divisualisasikan dengan software Matlab 7.1. yaitu dengan memasukkan angka ke dalam
masing-masing bilangan kuantum dan konstanta potensial yang mempengaruhi fungsi
gelombang dan fungsi energi.
Analisis Energi dan Fungsi Gelombang
Analisis yang dilakukan adalah analisis secara teori dari kombinasi potensial potensial Scarf
II terdeformasi-q plus Poschl-Teller dan potensial Scarf trigonometri menggunakan metode
iterasi asimtot. Berdasarkan persamaan energi dan fungsi gelombang yang diperoleh
dilakukan analisis bagaimana pengaruh keberadaan potensial potensial Scarf II terdeformasiq plus Poschl-Teller dan potensial Scarf trigonometri terhadap fungsi gelombang dan energi
persamaan Schrӧdinger.
Kesimpulan
Penarikan kesimpulan dilakukan berdasarkan penyelesaian fungsi gelombang dan energi,
serta visualisasi yang diperoleh.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penyelesaian Bagian Radial dari Kombinasi Potensial Scarf II terdeformasi-q plus
Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometrik
Persamaan bagian radial ditunjukkan pada Persamaan (6) diselesaikan dengan pendekatan
berikut:
1
𝛼2
1
≈ 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝛼𝑟 = 4𝑞𝑧(𝑧−1)
𝑟²
𝑞
(18)
dengan mensubstitusikan Persamaan (18) ke Persamaan (6) dan dengan menyederhanakan
persamaan serta dilakukan subtitusi variabel 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟 = (1 − 2𝑧)√𝑞, dapat diperoleh:
4
𝜕2
1
𝜕
𝑧(1 − 𝑧) 𝜕𝑧 2 𝑈(𝑧) + 2 (1 − 2𝑧) 𝜕𝑧 𝑈(𝑧) + [
(−𝑏−2𝑎𝑏)√𝑞−(𝑏2 +𝑎(𝑎+1)+𝜆1 )
𝑞
4(1−𝑧)
−
2𝑚𝐸
ћ2 𝛼 2
(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞−(𝑏2 +𝑎(𝑎+1)+𝜆1 )
𝑞
4𝑧
+
] 𝑈 (𝑧 ) = 0
(19)
Persamaan (19) harus direduksi ke persamaan perantara hipergeometri, dengan substitusi
variabel berikut:
𝑈(𝑧) = 𝑧 𝜌 (1 − 𝑧)𝛽 𝑓(𝑧)
(20)
sehingga Persamaan (19) menjadi:
𝑧 (1 − 𝑧 )𝑓
2𝜌𝛽 +
′′ (
1
𝑧) + [(2 𝜌 + 2) − (2𝜌 + 2𝛽 + 1)𝑧] 𝑓′(𝑧) + [
(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞−(𝑏2 +𝑎(𝑎+1)+𝜆1 )
𝑞
4𝑧
+
(−𝑏−2𝑎𝑏)√𝑞−(𝑏2 +𝑎(𝑎+1)+𝜆1 )
𝑞
4(1−𝑧)
−
1
2
𝜌2 − 𝜌
𝑧
2𝑚𝐸
ћ2 𝛼 2
+
1
2
𝛽2 − 𝛽
1−𝑧
− 𝜌 2 − 𝛽2 −
] 𝑓 (𝑧 ) = 0
(21)
dimana,
1
−(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞+(𝑏2+𝑎(𝑎+1)+𝜆1 )
1
𝜌 = 4−2 √
1
1
𝛽 = 4−
2
𝑞
(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞+ (𝑏 2 +𝑎(𝑎+1)+𝜆1 )
√
𝑞
1
+4
+
(22)
1
(23)
4
untuk diselesaikan menggunakan AIM, maka Persamaan (21) harus ditransformasi dalam
bentuk persamaan diferensial tipe AIM seperti ditunjukkan pada Persamaan (10), maka
1
Persamaan (20) harus dikalikan dengan 𝑧(1−𝑧), sehingga diperoleh:
𝑓
′′ (
1
2
(2 𝜌+ )−(2𝜌+2𝛽+1)𝑧
𝑧) + [
𝑧(1−𝑧)
2𝑚𝐸
] 𝑓′(𝑧) +
− 2 2 −(𝜌+𝛽)2
[ ћ𝛼
𝑧(1−𝑧)
] 𝑓 (𝑧 ) = 0
(24)
Persamaan (24) sudah sesuai dengan persamaan tipe AIM seperti Persamaan (10), sehingga
dapat diperoleh,
𝜆0 (𝑧) =
𝑠𝑜 (𝑧) =
1
2
(2𝜌+2𝛽+1)𝑧−(2𝜌+ )
𝑧(1−𝑧)
2𝑚𝐸
(𝜌+𝛽)2 + 2 2
ћ 𝛼
𝑧(1−𝑧)
(25)
(26)
Selanjutnya dilakukan iterasi nilai 𝜆𝑖 dan 𝑠𝑖 , dimana i menyatakan iterasi, untuk mendapatkan
nilai eigen dari persamaan. Dengan menggunakan Persamaan (11), eigen nilai energi dapat
diperoleh. Penyelesaian iterasi yang mengacu Persamaan (11) diselesaikan menggunakan
software Matlab, yang hasilnya adalah sebagai berikut:
∆0 𝜀0 = (𝜌 + 𝛽)2
∆1 𝜀1 = (2𝜌 + 2𝛽 + 1) + (𝜌 + 𝛽)2 = (𝜌 + 𝛽 + 1)2
∆2 𝜀2 = (4𝜌 + 4𝛽 + 4) + (𝜌 + 𝛽)2 = (𝜌 + 𝛽 + 2)2
∆3 𝜀3 = (6𝜌 + 6𝛽 + 9) + (𝜌 + 𝛽)2 = (𝜌 + 𝛽 + 3)2
∆4 𝜀4 = (8𝜌 + 8𝛽 + 16) + (𝜌 + 𝛽)2 = (𝜌 + 𝛽 + 4)2
(26)
dan seterusnya hingga ∆𝑖 . Persamaan (26), dapat digeneralisasikan menjadi:
∆𝑛 𝜀𝑛 = (𝜌 + 𝛽 + 𝑛𝑟 )2
(27)
sehingga persamaan energi dengan mensubstitusikan Persamaan (22) dan Persamaan (23),
diperoleh:
5
1
1
𝐸 = −𝛼 2 (2 − 2 √
1
2
√
−(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞+(𝑏2 +𝑎(𝑎+1)+𝜆1)
(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞+(𝑏2 +𝑎(𝑎+1)+𝜆1 )
𝑞
𝑞
1
+4−
2
+
1
4
+ 𝑛𝑟 )
(28)
dimana nr adalah bilangan kuantum radial (𝑛𝑟 = 0,1,2 …) dan 𝜆1 merupakan bilangan kuantum
orbital yang diperoleh dari penyelesaian eigen nilai bagian sudut anguler pada persamaan
(28), yaitu:
1
1
1
1
1
2
𝜆1 = − 4 +4 (2 − 2 √𝜆2 + 𝑘 (𝑘 − 1) + (2 𝜆 − 4) + 𝑛𝜃 )
(29)
dan 𝜆2 merupakan bilangan kuantum orbital yang diperoleh eigen nilai bagian sudut azimut
pada persamaan (29), yaitu:
𝜆2 = 𝐴 + 𝑛𝜑
(30)
Persamaan energi yang diperoleh pada Persamaan (28) merupakan persamaan energi secara
analitis, dan untuk lebih memahami maknanya, maka dilakukan penyelesaian secara numerik
menggunakan bantuan Matlab yang hasilnya ditunjukkan pada Gambar 1.
Tingkat energi (1/fm) dari partikel yang dipengaruhi oleh Potensial Scarf II trigonometrik
untuk variasi α.
Gambar 1
Gambar 1
Dari Gambar 1 di atas ditunjukkan bahwa kulit atom yang terkait bilangan
kuantum 𝑛𝑟 menyebabkan nilai energi pada saat 𝑛𝑟 = 0,1,2 semakin meningkat dan akan
mencapai maksimum energi 𝐸 bernilai negatif yang akan mengikat suatu elektron pada sub
kulit 𝑛𝑟 untuk variasi 𝛼 pada saat nilai 𝑛𝑟 =2. Energi ini dapat menggambarkan kekuatan inti
atom yang mengikat elektron akan semakin kuat ketika jangkauan kulit atomnya berkisar
antara nilai 0 ≤ 𝑛𝑟 ≤ 2, kemudian pada saat nilai sub kulit 𝑛𝑟 = 3 sampai 𝑛𝑟 = ∞ nilai
energi 𝐸 pun semakin menurun. Hal ini akan menggambarkan kekuatan inti atom yang
mengikat elektron semakin lemah pada saat sub kulit atom dari bilangan kuantum radial 𝑛𝑟 =
3 menuju ke 𝑛𝑟 = ∞. Nilai energi untuk variasi α pada Potensial Scarf II terdeformasi-q
bahwa nilai energi menurun sangat tajam ketika berada pada subkulit 𝑛𝑟 = 5 dibandingkan
dengan nilai energi yang menurun sangat kecil ketika berada pada subkulit 𝑛𝑟 = 2. Hasil
tersebut menggambarkan enegi ikatan elektron yang bergerak selama menggambarkan
subkulit- 𝑛𝑟 tertentu menyebabkan nilai energi tersebut bergerak secara parabola dan
6
mencapai titik tertinggi berada pada subkulit 𝑛𝑟 = 2. Untuk subkulit 𝑛𝑟 adalah 3 menuju ke
tak hingga hasil spektrum energi tersebut sesuai dengan teori atom Bohr yang menyatakan
bahwa besar nilai energi tersebut akan berbanding terbalik dengan subkulit atomnya.
Hasil dari penyelesaian numerik menggunakan software Matlab untuk Persamaan (28) yaitu
persamaan energi menunjukkan bahwa kenaikan konstanta 𝑎, 𝑏, deformasi 𝑞, konstanta 𝛼
pada potensial Scarf II, kenaikan konstanta 𝜅, 𝜂 pada potensial Poschl-Teller, dan kenaikan
konstanta A dan B pada potensial Scarf Trignometrik menyebabkan energi naik mencapai
titik tertinggi pada saat bilangan kuantum radialnya (𝑛𝑟 = 2).
Selanjutnya untuk menentukan fungsi gelombang radial, yaitu dengan membandingkan
Persamaan (24) dan Persamaan (17), diperoleh:
3
1
𝑐 = 𝜌 − 4 , 𝑁 = −1 , 𝑡 = 𝛽 + 4 , 𝑏 = 1
(31)
mengacu dari Persamaan (16) maka diperoleh,
( 2𝑐+1 )𝑏+2𝑡
2𝑐+𝑁+3
1
𝜎 = 𝑁+2 = 2𝜌 + 2 dan 𝑝 = (𝑁+2)𝑏 = 2𝜌 + 2𝛽
(32)
Sehingga dapat diperoleh fungsi gelombang radial,
1
1
𝑓(𝑧) = (−1)𝑛𝑟 𝐶 ′(1)𝑛𝑟 (2𝜌 + )𝑛𝑟 2 𝐹1 (−𝑛𝑟 , 2𝜌 + 2𝛽 + 𝑛𝑟 , 2𝜌 + , 𝑧)
(33)
2
2
Persamaan (33) disubtitsikan ke Persamaan (20), sehingga diperoleh fungsi gelombang radial,
yaitu:
1
𝐹 (𝑧) = 𝑧 𝜌 (1 − 𝑧)𝛽 (−1)𝑛𝑟 𝐶 ′(1)𝑛𝑟 (2𝜌 + )𝑛𝑟 2 𝐹1 (−𝑛𝑟 , 2𝜌 + 2𝛽 + 𝑛𝑟 , 2𝜌 +
1
2
2
, 𝑧)
(34)
1
1 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟
2
2
dimana 𝑧 = −
√𝑞
𝜌+𝛽
1
𝐹 (𝑅 ) = (2)
1
1
1 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟
2
2
dan 1 − 𝑧 = +
(1 −
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟 𝜌
√𝑞
) (1 +
) 𝐹 (−𝑛𝑟 , 2𝜌 + 2𝛽 + 𝑛𝑟 , 2𝜌 +
2 𝑛𝑟 2 1
1
2
1
√𝑞
) (−1)𝑛𝑟 𝐶 ′(1)𝑛𝑟 (2𝜌 +
1 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟
,2 − 2
𝐶′adalah konstanta normalisasi radial. Sementara
1
, maka fungsi gelombang diperoleh:
√𝑞
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟 𝛽
√𝑞
2 𝐹1
)
(35)
merupakan fungsi hypergeometric
dan (2𝜌 + 2 )𝑛𝑟 adalah simbol Pochamer.
Persamaan (35) merupakan penyelesaian analitis fungsi gelombang radial tak ternormalisasi,
dimana dengan software Matlab diperoleh hasil grafik yang ditampilkan pada Gambar 2.
7
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 2
Gambar 2. Fungsi gelombang bagian radial tak ternormalisasi persamaan Schrodinger untuk potensial Poschl-Teller,
potensial Scarf II terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trigonometri (a).variasi nr (b) variasi a (c) variasi 𝑘 (d)
variasi 𝐵
Gambar 2.a.. menggambarkan fungsi gelombang bagian radial untuk variasi nilai 𝑛𝑟 semakin
naik untuk kondisi keadaan dasar 𝑛𝑟 = 0, sesuai penelitian yang dilakukan oleh (Aisyah,
2014)[7] hal ini disebabkan fungsi gelombang radial dalam penelitian ini mengakibatkan pada
keadaan dasar 𝑛𝑟 = 0 dan 𝑛𝑟 = 1 menggambarkan probabilitas distribusi normal yang
terbentuk mendapatkan tinggi amplitudo tertentu ketika dibandingkan dengan nilai bilangan
kuantum 𝑛𝑟 = 2 nilai fungsi gelombang tersebut menunjukkan amplitudo gelombang yang
terbentuk akan menuju ke tak terhingga. Dari pengamatan pada Gambar 2.a. menunjukkan
tinggi amplitudo yang paling besar. Hal tersebut menunjukkan bahwa semakin tinggi kulit
atom dari keadaan dasar pada bilangan kuantum 𝑛𝑟 = 0 menuju ke bilangan kuantum 𝑛𝑟 =
2, maka jarak partikel tersebut akan makin jauh terhadap pusat dimana keadaan partikel
menggambarkan probabilitas yang sangat tajam, sehingga jarak antar partikel tersebut
semakin jauh terhadap inti pusat.
Gambar 2.b. partikel Schrӧdinger mengalami gangguan dari potensial Scarf II pada variasi
kedalaman a yang menyebabkan fungsi gelombang terganggu, hal ini dipengaruhi oleh
8
panjang sumur a yang menyebabkan nilai probabilitasnya berubah dengan perbedaan yang
sangat kecil dan fungsi gelombang yang dibentuk akan menuju ke tak terhingga ketika
pengaruh kedalaman pada panjang sumur a diperpanjang. Partikel pada keadaan Potensial
Scarf II menyebabkan berubahnya keadaan probabilitas dari partikel semakin terganggu
karena Potensial Scarf II berubah menjadi bebas, sehingga energi ikatnya semakin kecil.
Serta jarak partikel terhadap inti pada kulit atom juga berubah.
Gambar 2.c. partikel Schrӧdinger mengalami gangguan pada Potensial Pӧschl-Teller akibat
pengaruh dari panjang sumur 𝑘 yang menyebabkan fungsi gelombang juga terganggu, hal ini
pula dipengaruhi oleh panjang sumur 𝑘 yang menyebabkan nilai probabilitasnya berubah
dengan perbedaan posisi yang relatif sangat kecil dan fungsi gelombang yang dibentuk akan
menuju ke tak terhingga ketika pengaruh kedalaman pada panjang sumur k diperpanjang.
Partikel pada keadaan Potensial Poschl-Teller menyebabkan berubahnya keadaan probabilitas
dari partikel semakin terganggu karena Potensial Poschl-Teller mengalami gangguan yang
menjadi bebas, sehingga energi ikatanya semakin kecil. Serta jarak partikel terhadap inti pada
kulit atom juga berubah
Gambar 2.d. bahwa fungsi gelombang bagian radial untuk variasi konstanta 𝐵 pada Potensial
Scarf Trigonometrik nilai probabilitasnya menurun dalam perbedaan probabilitasnya relatif
sangat kecil, hal ini disebabkan fungsi gelombang radial dalam penelitian ini menggambarkan
probabilitas distribusi normal turun yang sangat tajam ketika konstanta 𝐵 nya diperpanjang,
fungsi gelombang tersebut menunjukkan bahwa amplitudo gelombang yang terbentuk akan
menuju ke tak terhingga ke arah nilai negatif sehingga Amplitudo tersebut akan makin
berkurang. Pada hasil pengamatan menunjukkan bahwa semakin tinggi pengaruh Potensial
Scarf Trigonometrik pada parameter konstanta 𝐵, maka nilai probabilitasnya juga akan turn
dan jarak partikel tersebut akan makin jauh terhadap pusat dimana keadaan partikel
menggambarkan probabilitas akan turun tajam, sehingga jarak antar partikel tersebut semakin
jauh terhadap intinya.
Penyelesaian Bagian Sudut Anguler untuk Kombinasi Potensial Poschl-Teller
Terdeformasi-q plus Potensial Scarf II dan Potensial Scarf Trigonometri
H
Bagian anguler dari Persamaan (7). Dengan melakukan subtitusi variabel Θ =
serta dilanjutkan penyederhanaan dimana 𝛩(𝜃 ) =
1
𝑇 ′′(𝜃 ) + (4
𝑇(𝜃)
1
√sin θ
, maka diperoleh:
𝑠𝑖𝑛2 𝜃
−𝜆2 −𝑘(𝑘−1)
𝑠𝑖𝑛2 𝜃
−
𝜆(𝜆−1)
𝑐𝑜𝑠 2𝜃
1
+ 𝜆1 + 4 ) 𝑇(𝜃 ) = 0
(36)
Selanjutnya, dilakukan subtitusi variabel untuk mereduksi Persamaan (36) menjadi
persamaan tipe hipergeometri. Subtitusi variabel yang digunakan yaitu:
𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = 𝑧
(37)
Dengan mensubtitusikan Persamaan (37) yang disesuaikan dengan parameter yang sesuai
dengan Persamaan (36), maka Persamaan (36) menjadi:
𝑧 (1 − 𝑧 )
𝜕 2 𝑇(𝑧)
𝜕𝑧 2
1
+ 2 (1 − 2𝑧)
𝜕𝑇(𝑧)
𝜕𝑧
1
+ (4
−𝜆2 −𝑘(𝑘−1)
4𝑧
𝜆(𝜆−1)
− 4(1−𝑧) +
1
4
𝜆1 +
4
) 𝑇 (𝑧 ) = 0
(38)
Persamaan (38) harus dibawa ke persamaan tipe AIM yaitu dengan melakukan subtitusi
pemisalan fungsi gelombang sebagai berikut:
𝑇 ( 𝑧 ) = 𝑧 𝛾 ( 1 − 𝑧 ) 𝜔 𝑓 (𝑧 )
(39)
Dengan mensubtitusikan Persamaan (39) ke dalam Persamaan (38), serta dilakukan operasi
penyederhanaan, maka diperoleh persamaan perantara hipergeometri bagian anguler berikut,
9
1
𝑧(1 − 𝑧)𝑓 ′′ (𝑧) + [(2𝛾 + 2) − (2𝛾 + 2 𝜔 + 1)𝑧] 𝑓 ′ (𝑧) + [𝛾(𝛾 − 1)
𝑧
1
1
𝜔(𝜔 − 1) 1−𝑧 − 2𝛾𝜔 + 2 𝛾 𝑧 −
1
4
𝜆1 +
1
1
𝑧
1
𝜔
− 𝛾 + 𝜔 1−𝑧 + 4
2 1−𝑧
−𝜆2 −𝑘(𝑘−1)
4𝑧
(1−𝑧)
𝑧
+
𝜆(𝜆−1)
− 4(1−𝑧) +
] 𝑓 (𝑧 ) = 0
(40)
dimana,
1
1
𝛾 = 4 ± 2 √𝜆2 + 𝑘 (𝑘 − 1)
(41)
4
1
1
1
𝜔 = 4 ± (2 𝜆 − 4)
(42)
Persamaan (40) diubah ke persamaan diferensial tipe AIM dengan dikalikan
1
𝑧(1−𝑧)
,
diperoleh:
1
2
(2𝛾+ )−(2𝛾+2 𝜔+1)𝑧
𝑓 ′′(𝑧) + [
𝑧(1−𝑧)
] 𝑓’(𝑧) + [
1
𝜆1 +
4 −(𝛾+𝜔)2
4
𝑧(1−𝑧)
] 𝑓 (𝑧 ) = 0
(43)
Selanjutnya Persamaan (40) diselesaikan mengikuti metode iterasi asimtot, dimana eigen
nilai persamaan (40) menghasilkan persamaan bilangan kuantum orbital sebagai berikut:
𝜆1 +
1
4
(𝛾 + 𝜔 + 𝑛𝜃 )2 =
(44)
4
dimana 𝑛𝜃 adalah bilangan kuantum anguler. Selanjutnya untuk memperoleh persamaan
fungsi gelombang anguler, menggunakan Persamaan (15), yang melalui subtitusi parameter,
diperoleh fungsi gelombang angular total tak ternormalisasi sebagai berikut:
1
𝑇(𝜃 ) = (𝑠𝑖𝑛2 𝜃 )𝛾 (𝑐𝑜𝑠 2𝜃 )𝜔 (−1)𝑛𝜃 𝐶 ′′(1)𝑛𝜃 (2𝛾 + 2 )𝑛𝜃 2 𝐹1 (−𝑛𝜃 , 2𝛾 + 2𝜔 +
1
𝑛𝜃 , 2𝛾 + 2 , 𝑠𝑖𝑛2 𝜃)
(45)
Selanjutnya, Persamaan (45) diselesaikan secara numerik melalui software matlab, yang
hasilnya ditampilkan pada Gambar 3:
Gambar 3
Gambar 3.. Fungsi Gelombang bagian anguler tak ternormalisasi kombinasi potensial Scarf II terdeformasi-q plus potensial
Poschl-Teller dan potensial Scarf Trigonometri dengan variasi nl
Gambar 3 menggambarkan probabilitas keberadaan suatu partikel dalam suatu atom, yang
berdasarkan koordinat bola yang tergantung oleh 𝑟 , sudut 𝜃 dan 𝜑. Gambar 3 merupakan
10
gambar 3D fungsi gelombang anguler tak ternormalisasi koordinat bola yang
menggambarkan distribusi elektron pada suatu atom. Dari gambar di atas dapat diasumsikan
bahwa semakin besarnya nilai 𝑛𝜃 , maka semakin banyak gelombang yang terbentuk sehingga
semakin meningkatnya degenerasi partikel merupakan fungsi gelombang yang dihasilkan
berbeda tetapi energi yang dimilikinya sama. Dalam koordinat bola semakin banyak
gelombang akibat pengaruh dari 𝑛𝜃 , maka distribusi partikel akan terkukung pada dua luasan
yang sama dan simetris yang mungkin dapat ditempati elektron kemudian pada saat fungsi
gelombang sudut dipenagruhi nilai 𝑛𝜃 = 1 dan 𝑛𝜃 = 3 mewujudkan bentuk gelombang dari
dua luasan yang sama besar menjadi bentuk dua luasan yang sama makin mengecil
Penyelesaian Bagian Sudut Azimuth untuk Kombinasi Potensial Scarf II Terdeformasiq plus Potensial Poschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometri
Bagian azimuth dari persamaan diperoleh pada Persamaan (8) serta dengan dilakukan
penyederhanaan maka diperoleh:
1
𝜕2
𝜕𝜑
2 𝜙(𝜑) − (
2𝐵(𝐴−2) 𝑠𝑖𝑛 𝜑
𝐵2 +𝐴(𝐴−1)
+
− 𝜆2 ) 𝜙(𝜑)
𝑐𝑜𝑠2 𝜑
𝑐𝑜𝑠2 𝜑
=0
(46)
Selanjutnya, dilakukan subtitusi variabel untuk mereduksi Persamaan (46) menjadi
persamaan tipe hipergeometri. Subtitusi variabel yang digunakan yaitu:
𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 1 − 2𝑧
(47)
Dengan mensubtitusikan Persamaan (47) yang disesuaikan dengan parameter yang sesuai
dengan Persamaan (46), maka Persamaan (46) menjadi:
𝜕 2 𝜙(𝑧)
1
𝜕𝜙(𝑧)
𝑧(1 − 𝑧)
+ ( − 𝑧)
𝜕𝑧 2
2
𝜕𝑧
1
+ (𝜆2 −
2𝐵(𝐴−2)+𝐵2 +𝐴(𝐴−1)
4𝑧
−
1
− 2𝐵(𝐴−2)+𝐵2 +𝐴(𝐴−1)
4(1−𝑧)
) 𝜙(𝑧) = 0
(48)
Persamaan (48) harus dibawa ke persamaan tipe AIM yaitu dengan melakukan subtitusi
pemisalan fungsi gelombang sebagai berikut:
𝜙(𝑧) = 𝑧 𝜀 (1 − 𝑧)𝜇 𝑓(𝑧)
(49)
Dengan mensubtitusikan Persamaan (49) ke dalam Persamaan (48), serta dilakukan operasi
penyederhanaan, maka diperoleh persamaan perantara hipergeometri bagian azimuth berikut,
1
𝑧(1 − 𝑧)𝑓 ′′ (𝑧) + [(2 𝜀 + 2) − (2𝜀 + 2𝜇 + 1)𝑧] 𝑓’(𝑧) + [𝜀(𝜀 − 1)
𝜇(𝜇 − 1)
𝑧
1−𝑧
1
1
1
1
𝑧
− 2𝜀𝜇 + 2 𝜀 𝑧 − 2 𝜇 1−𝑧 − 𝜀 + 𝜇 1−𝑧 + (𝜆2 −
1
2
− 2𝐵(𝐴− )+𝐵2 +𝐴(𝐴−1)
4(1−𝑧)
(1−𝑧)
𝑧
+
1
2
2𝐵(𝐴− )+𝐵2 +𝐴(𝐴−1)
4𝑧
)] 𝑓 (𝑧) = 0
−
(50)
dimana,
1
1
1
1
1
1
𝜀 = 4 ± 2 √(𝐴 + 𝐵)2 − (𝐴 + 𝐵) + 4
(51)
𝜇 = 4 ± 2 √(𝐴 − 𝐵)2 − (𝐴 − 𝐵) + 4
(52)
1
Persamaan (50) diubah ke persamaan diferensial tipe AIM dengan dikalikan 𝑧(1−𝑧) , sehingga
diperoleh:
𝑓
′′ (
1
2
(2 𝜀+ )−(2𝜀+2𝜇+1)𝑧
𝑧) + [
𝑧(1−𝑧)
] 𝑓’(𝑧) + [
𝜆2 − (𝜀+𝜇)2
𝑧(1−𝑧)
] 𝑓 (𝑧 ) = 0
(53)
Selanjutnya Persamaan (53) diselesaikan mengikuti metode iterasi asimtot, dimana eigen
nilai persamaan (53) menghasilkan persamaan bilangan kuantum orbital, yaitu:
11
1
1
1
𝜆2 = (2 ± 2 √(𝐴 + 𝐵)2 − (𝐴 + 𝐵) + 4 ±
2
1
2
√(𝐴 −
𝐵 )2
1
− (𝐴 − 𝐵) + 4 + 𝑛𝜑 )
(54)
dimana 𝑛𝜑 adalah bilangan kuantum azimuth. Selanjutnya untuk memperoleh persamaan
fungsi gelombang azimut, menggunakan Persamaan (15), yang melalui subtitusi parameter,
diperoleh fungsi gelombang azimut total tak ternormalisasi sebagai berikut:
𝜙 (𝜑 ) =
1−𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝜀
(
1
) (
2
1−𝑠𝑖𝑛 𝜑
1+𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝜇
2
) (−1)𝑛𝜑 𝐶 ′′′(2𝜀 +
1
)
𝐹 (−𝑛𝜑 , 2𝜀
2 𝑛𝜑 2 1
+ 2𝜇 + 𝑛𝜑 , 2𝜀 +
, 2 )
(55)
Selanjutnya, Persamaan (55) diselesaikan secara numerik melalui software matlab, yang
hasilnya ditampilkan pada Gambar 4:
2
Gambar 4
Gambar 4 menggambarkan fungsi gelombang azimuth dengan variasi nilai bilangan kuantum
azimuth 𝑛𝜑 berasarkan dari penelitian (Farizky, 2016) [8] dimana kurva probabilitas yang
dihasilkan berbentuk gelombang pipih, kemudian bilangan kuantum azimuthnya semakin
bertambah, maka rapat probabilitasnya akan tampak sedikit searah jam jam. Sehingga bentuk
gelombang tersebut akan terbentuk orbital baru yang ditunjukkan pada variasi 𝑛𝜑 = 2 𝑑𝑎𝑛 3
KESIMPULAN
Persamaan Schrӧdinger untuk kombinasi Potensial Scarf II terdeformasi-q plus Potensial
Pӧschl-Teller, dan Potensial Scarf Trigonometrik telah diselesaikan dengan Metode Iterasi
Asimptotik.
Fungsi gelombang radial, anguler, dan azimuth dari persamaan Schrӧdinger akibat
keberadaan Potensial Scarf II terdeformasi-q Plus Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf
Trigonometrik diperoleh dalam bentuk fungsi hipergeometri dan dihubungkan dengan harga
eigen energi dan bilangan kuantum orbital. Fungsi gelombang radial menunjukkan partikel
yang bergerak akan membentuk suatu parabola dimana nilai eigen energi mencapai titk
12
puncak pada saat nilai bilangan kuantum radial 𝑛𝑟 = 2 sehingga nilai bilangan kuantum
radial 𝑛𝑟 = 3 menuju ke tak terhingga nilai energi ikatnya makin menurun.Sementara pada
fungsi gelombang anguler menunjukkan perbedaan bentuk gelombang yang probabilitasnya
bergantung pada variasi bilangan kuantum orbital dan variasi-variasi yang dipengaruhi oleh
potensial-potensialnya, dan pada fungsi gelombang azimuth menunjukkan perbedaan bentuk
gelombang dengan variasi bilangan kuantum magnetik dan variasi-variasi yang dipengaruhi
oleh potensialnya sehingga bentuk gelombang tersebut membentuk pipih. Secara umum
fungsi gelombang ketiga bagian tersebut dipengaruhi oleh gangguan pada potensial PӧschlTeller, Potensial Scarf II terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trigonometrik.
Fungsi gelombang dan tingkat energi untuk potensial Pӧschl-Teller, Plus Potensial Scarf II
terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trigonometrik dapat divisualisasikan menggunakan
Software Matlab 7.1.
SARAN
Perlu diadakan penelitian lebih lanjut untuk Penyelesaian Persamaan Schrӧdinger untuk
Potensial Pӧschl-Teller, Potensial Scarf II terdeformasi-q, Potensial Scarf Trigonometrik
menggunakan metode lain dengan berbagai variasi potensial dan potensial pengganggunya.
Pemakaian listing program untuk menentukan visualiasi energi dan fungsi gelombang yang
sesuai akan mempermudah hasil numerik pada Command Window pada Software Matlab
7.1. sehingga tidak perlu menghitung secara manual.
.
REFERENSI
[1] Cari dan Suparmi. (2012). Approximate Solution of Schrodinger Equation for
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
Trigonometric Scarf Potential with the Poschl-Teller non-central potential Using
NU Method, Physics Department, Sebelas Maret University, Indonesia
Suparmi. 2011. Mekanika Kuantum I, Jurusan Fisika Fakultas Pascasarjana,
Universitas Sebelas Maret Surakarta.
Rostami, A., & Motavali, H. (2008). Asymtot Iteration Method: a powerfull
approach for analysis of inhomogeneous dielectric slab waveguides. Progress in
Electromagnetic Research B, 4, 171-182
Nurhayati, Suparmi, Variani,V.I., Cari, & Wahyudi. (2012). Analisis fungsi
gelombang dan spektrum energi potensial Gendenshtein II menggunakan metode
hipergeometrik. Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, 14 April
2012, Purworejo
Soylu, A, Bayrak, O & Boztosun, I. (2008). 𝑘 state solutions of the Dirac equation
for the Eckart potential with spin and pseudospin symmetry. Journal of Physics A:
Mathematical and Theoretical, 41
Falaye, B.J, Hamzavi, M & Ikhdair, S.M. (2012). Approximate bound state
solutions of the deformed Woods-Saxon potential using asymptotic iteration
method. arXiv:1207.1218v1
Aisyah, D. (2014). Penyelesaian Persamaan Dirac untuk potensial non-sentral
Poschl-Teller hiperbolik termodifikasi-q plus Manning-Rosen untuk simetri spin
dengan metode Nikivarof-Uvarof. Skripsi. Jurusan Fisika Universitas Sebelas
Maret.
Farizky, M.N., Penyelesaian Persamaan Schrodinger Tiga Dimensi untuk potensial
Non-Sentral Eckart dan Manning-Rosen Menggunakan Metode Iterasi Asimtotik.
Skripsi: Jurusan Fisika Universitas Sebelas Maret.
13
14