makalah kf iii - WordPress.com

1
BAB I
PENDAHULIAN
1.1 Latar Belakang
Dalam mekanika kuantum semua sifat yang ada didalam mekanika kuantum
dapat di representasikan dengan fungsi gelombang. Dimana fungsi gelombang
terdiri dari fungsi radial dan fungsi angular. Melalui fungsi angular akan dapat
diperoleh bilangan kuantum azimut dan bilangan kuantum magnetik.
Sedangkan dari fungsi radial akan didapatkan bilangan kuantum utama,
dengan menggunakan penurunan persamaan Schrodinger pada postulat tiga
tentang fungsi eigen.
Dalam penyelesaian persamaan Schrodinger ini, hanya untuk atom hidrogen
dan atom mirip hidrogen, karena atom hidrogen
merupakan atom paling
sederhana yang terdiri dari satu proton sebagai nukleus dan satu elektron yang
mengitarinya. Pada pembahasanini akan diuraikan penyelesaian persamaan
Schrodinger untuk atom hidrogen dan visualisasinya. Persamaan Schrodinger
untuk mendiskripsikan gerak elektron relatif terhadap proton sehingga energi
potensial sistem adalah energi potensial elektron terhadap inti. Karena
elektron mengorbit inti pada lintasan stasioner yang berbentuk bola maka
fungsi
gelombang
ditentukan
berdasarkan
penyelesaian
persamaan
Schrodinger dengan koordinat polar sferis yang nantinya fungsi gelombang
tersebut akan dapat dipisahkan antara variabel radial dan variabel angularnya.
Sehingga akan didapatkan bentuk persamaan radial dan dapat dihubungkan
dengan persamaan Laguerre dan dari persamaan yang diperoleh didapatkan
visualisasi fungsi gelombang radial. Agar lebih jelas mengenai bentuk
persamaan radial dan persamaan laguerre sehingga diperoleh bilangan
2
kuantum utama dan bagaimana visualisasi ukuran orbital maka penulis
menjelaskannya dalam makalah ini.
1.2 Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Untuk mengetahui bentuk persamaan radial.
2. Untuk mengetahui bentuk persamaan Laguerre.
3. Untuk mengetahui fungsi gelombang radial
4. Untuk mengetahui visualisasi ukuran orbital.
5. Untuk mengetahui visualisasi fungsi gelombang radial.
3
BAB II
ISI
2.1 Persamaan Radial dan Persamaan Lagguerre
Atom seperti hidrogen adalah atom dengan nomor Z dan hanya satu elektron
seperti He+, Li2+, Be+, .... dalam atom tersebut hanya memiliki satu elektron
dan satu proton. Adapun persamaan Schrodinger tiga dimensi yang tidak
bergantung waktu adalah
Penyelesaian persamaan ini menggunakan koordinat polar speris
Yang apabila Pada persamaan ini adalah persamaan radial disubtitusikan ke
dalam persamaan Schrodinger
Dalam persamaan ini variabelnya harus dipisahkan dengan menuliskan
=
Sehingga diperoleh
Karena yang dicari adalah fungsi gelombang radial maka dikalikan dengan
1
𝑌(𝜃,∅)
4
Tampak pada persamaan radial ini terdapat nilai atau energi eigen E. Pada
pembahasan di sini dibatasi pada keadaan terikat yaitu keadaan dengan energi
negatif E=-|E|.
Perubahan variabel
ρ= (
8𝑚ₑ|𝐸| 1/2
) r
ħ²
membuat persamaan (4.8c) tereduksi menjadi
1 𝑑
(ρ²
𝜌 𝑑𝜌
𝑑𝑅
𝑑𝜌
)−
𝑙(𝑙+1)
𝜌2
𝜆
1
𝜌
4
R+( − )𝑅 =0
Dengan
𝜆=
𝑒²
2𝜋𝜀ħ2
𝑚ₑ
(8|𝐸|)1/2
Untuk menentukan solusi persamaan (4.23) kita selidiki terlebih dahulu
(perilaku) persamaan tersebut pada dua daerah ekstrim yaitu daerah jauh
sekali dan daerah pusat koordinat. Sebelumnya tuliskan terlebih dahulu
persamaan (4.23) dalam bentuk
𝑑²𝑅
𝑑𝜌2
2 𝑑𝑅
+ 𝜌² 𝑑𝜌 −
𝑙(𝑙+1)
𝜌2
𝜆
1
𝑅 + (𝜌 − 4) 𝑅 = 0
(4.23*)
Untuk daerah jauh sekali ρ∞, persamaan (4.23*) secara efektif menjadi
𝑑²𝑅 1
− 𝑅=0
𝑑𝜌² 4
Solusi persamaan ini adalah
R∝ e-ρ/2
Sedangkan pada daerah titik asal, R ditulis sebagai
R(ρ)=
𝑈(𝜌)
𝜌
Dan substitusikan ke dalam suku pertama persamaan (4.23*) diperoleh
1 𝑑 2𝑑 𝑈
𝑑²𝑈
{𝜌 𝑑𝜌 ( )} =
𝜌
𝜌² 𝑑𝜌
𝜌𝑑𝜌²
5
Karena itu persamaan (4.23) tereduksi menjadi persamaan diferensial untuk U
𝑑²𝑈 𝑙(𝑙 + 1)
𝜆 1
−
𝑈 + ( − )𝑈 = 0
2
𝑑𝜌
𝜌
𝜌 4
Selanjutnya kalikan dengan ρ² dan ambil limit mendekati pusat koordinat
lim {𝜌
2
𝑑2 𝑈
𝑑𝜌
𝜌→0
1
𝑑2𝑈
− 𝑙(𝑙 + 1)𝑈 + 𝜆𝜌𝑈 − 𝜌2 𝑈} = (𝜌2
) − 𝑙(𝑙 + 1)𝑈 = 0
4
𝑑𝜌
Tampak bahwa suku dominannya adalah
𝑑 2 𝑈 𝑙(𝑙 + 1)
−
𝑈=0
𝑑𝜌
𝜌2
Solusi yang memenuhi persamaan suku dominan ini dan kondisi fisis
keberhinggaan ρ0 adalah
U≈ 𝜌l+1
Karena itu solusi untuk daerah asal (koordinat), menggunakan hasil (4.29)
dan hubungan (4.26) diberikan oleh:
R≈ 𝜌l
Mempertimbangkan solusi-solusi untuk daerah ekstrim di depan, solusi
umumnya diusulkan berbentuk perkalian antara solusi titik asal, posisi jauh
sekali dan fungsi umum terhadap jarak
R(ρ)=ρl e-ρ/2 L(ρ)
Substitusi ungkapan (4.31) ke dalam persamaan (4.23) didapatkan persamaan
untuk L, yaitu
𝑑2 𝐿
𝑑𝐿
Ρ𝑑𝜌2 + {2(𝑙 + 1) − 𝜌} 𝑑𝜌 + {𝜆 − (𝑙 + 1)}𝐿 = 0
Solusi deret
s
L=∑∞
𝑠=0 𝑎 sρ
Akan memberi rumus rekursi
𝑠+𝑙+1+𝜆
as+1 =(𝑠+1)(𝑠+2𝑙+2) 𝑎 s
6
tampak bahwa deret akan berhingga jika λ adalah bilangan bulat, misalkan
λ=n
maka as+1 dan seterusnya akan menjadi nol jika
s=n−𝑙 − 1
sehingga L(ρ) merupakan polinomial
s
𝐿 = ∑𝑛−𝑙−1
𝑠=0 𝑎 sρ
Menggunakan pemilihan λ=n, persamaan (4.17) menjadi
𝑑2 𝐿
𝑑𝐿
Ρ𝑑𝜌2 + {2(𝑙 + 1) − 𝜌} 𝑑𝜌 + {𝑙 + 1)}𝐿 = 0
Persamaan (4.38) ini tidak lain adalah persamaan diferensial Laguerre
terasosiasi, yang mempunyai bentuk umum
𝑝
𝑑2 𝐿
Ρ𝑑𝜌2 + {𝑝 + 1 − 𝜌}
𝑑𝐿𝑞
𝑑𝜌
+ {𝑞 − 𝑝}𝐿𝑝𝑞 = 0
Solusinya disebut polinim Laguerre terasosiasi 𝐿𝑝𝑞 dapat diperoleh dari rumus
Rodrigues
𝑑𝑞
𝑞!
𝐿𝑝𝑞 (𝜌) = (𝑞−𝑝)! 𝑒 ρ 𝑑𝜌𝑞 (𝑒 −𝜌 𝜌𝑞−𝑝 )
Untuk kasus kita koefisien p dan q dihubungkan dengan bilangan kuantum
orbital 𝑙 dan bilangan bulat n yang nantinya disebut bilangan kuantum utama
menurut
p= 2𝑙+1
q= n+𝑙
karena itu solusi persamaan (4.38) diberikan oleh
L≡ 𝐿𝑝𝑞 = 𝐿2𝑙+1
𝑛+𝑙 (𝜌)
Dengan demikian, solusi radial R diberikan oleh
𝜌
R≡ 𝑅𝑛𝑙 = 𝑁𝑛𝑙 𝜌𝑙 𝑒 − 2 𝐿2𝑙+1
𝑛+𝑙 (𝜌)
dengan 𝑁𝑛𝑙 adalah konstanta normalisasi
∞
(𝑅𝑛𝑙 , 𝑅𝑛′𝑙′ ) = ∫0 𝑅 +nl𝑅𝑛′𝑙′ 𝑟 2 𝑑𝑟 = 𝛿𝑛𝑛′ 𝛿𝑙𝑙′
7
Dan diberikan oleh
𝑁𝑛𝑙 = √(
1
𝑛−𝑙−1
)³
2𝜋𝜀ₒ𝑛𝑎ₒ 2𝑛(𝑛 + 𝑙)!
Dengan aₒ= ħ² / (mₑ e²) adalah radius Bohr.
Dengan demikian, solusi lengkap persamaan (4.8c) terbentuk
𝑛−𝑙−1
𝑟
𝑅𝑛𝑙 (𝑟) = {(2𝜋𝜀ₒ𝑛𝑎ₒ)-³ 2𝑛(𝑛+𝑙)!}1/2 (2𝜋𝜀ₒ𝑛𝑎ₒ)l𝑒
−
𝑟
4𝜋𝜀ₒ𝑛𝑎ₒ
𝑟
𝐿2𝑙+1
𝑛+𝑙 (2𝜋𝜀ₒ𝑛𝑎)
Dari hubungan p,q,n dan l serta penyebut pada ungkapan (4.41) didapatkan
bahwa q-p harus lebih besar atau sama dengan nol, atau
P≤ 𝑞
Atau (2𝑙 + 1) ≤ 𝑛 + 𝑙, tepatnya
𝑙 ≤𝑛−1
Jadi untuk n tertentu maka
𝑙 = 0,1,2,3, … . , 𝑛 − 1
Bilangan bulat n ini disebut bilangan kuantum utama.
2.2 Fungsi Gelombang Radial
Fungsi gelombang untuk system satu elektrondisebut orbital. Untuk system
atom H disebut orbital atom. Visualisasi fungsi-fungsi ini sangat menolong
bila fungsi radial dan rapat kebolehjadian terpisah.
Fungsi radial Rne ( r ) untuk atom seperti hydrogen bergantung pada bilangan
kuantum utama, n, bilangan kuantum azimuth, l, dan nomor atom Z.
Fungsi radial selalu mengandung factor e-zr/nao , dimana n adalah bilangan
kuantum utama. Bila Z bertambah, amplitude fungsi gelombang turun lebih
cepat dengan bertambahnya r, menyatakan bahwa electron tertarik lebihdekat
ke inti yang bermuatan positif.
8
Untuk mengetahui kebolehjadian menemukan elektronorbital sejarak tertentu dari
inti,maka [Pnl ( r )]2harus dikalikan dengsnvolum kulit sferik4𝜋r2 dr, sehingga
rapat kebolehjadian radial Pn e ( r ) dinyatakan sebahai :
Pne ( r ) = 4 𝜋 r2 R2ne ( r )
Fungsi radial dan rapat kebolehjadian radial tertera pada gambar berikut :
9
BAB III
PENUTUPAN
3.1 Kesimpulan
Adapun Kesimpulan dari makalah ini adalah :
1. Persamaan radial yaitu
2. Berdasarkan makna fisik dari persamaan Laguerre diperoleh nilai
n=1.2.3.. dimana n adalah bilangan kuantum utama.
3. Dari penyelesaian persamaan Laguerre dapat diperoleh persamaan radial
polinomial yang dipengaruhi oleh nilai n dan l nya.
4. Probabilitas ditemukannya elektron dalam suatu orbital dapat diperoleh
menggunakan persamaan radial.
5. Berdasarkan visualisasi orbital atom, diketahui bahwa dalam orbital atom
terdapat daerah yang memiliki probabilitas ditemukannya elektron yang
besar, daerah yang memiliki probabilitas ditemukan elektron yang kecil
dan terdapat daerah yang tidak memiliki probabilitas ditemukannya
elektron.
10
DAFTAR PUSTAKA
Atkins,PW. 1996.Ikimia Fisik Jilid 1 Edisi Ke Empat. Jakarta : Erlangga.
Hanna,Melvin,W. 1969. Quantum Mechanic In Chemistry Second Edition. USA :
W.A.Benjamin,INC.
Purwanto, Agus. 2005.Fisika Kuantum. Yogyakarta : PT. Gaya Media.
Surdiya,Noer Mansdsjoeriah. 1993. Ikatan Dan Struktur Molekul. Bandung : ITB.