BAB III PEMBAHASAN

BAB III
PEMBAHASAN
Pada bab pembahasan ini akan dibahas mengenai Geometri Hiperbolik yang
didasarkan kepada enam postulat pada Geometri Netral dan Postulat Kesejajaran
Hiperbolik. Akan dibahas sifat-sifat Geometri Hiperbolik yaitu mengenai sifatsifat ketegaklurusan, kesejajaran dan segitiga asimptotik.
A. Sifat-sifat Ketegaklurusan pada Geometri Hiperbolik
Sifat-sifat ketegaklurusan pada Geometri Hiperbolik maupun Geometri
Euclid dipengaruhi oleh postulat kesejajaran yang berlaku pada masing-masing
geometri. Akibatnya, sifat-sifat ketegaklurusan pada kedua geometri memiliki
perbedaan. Pada Geometri Euclid sifat-sifat kesejajaran dan ketegaklurusan
memunculkan persegi. Berdasar Teorema 2.12 menunjukan bahwa tidak ada
persegi pada Geometri Hiperbolik.
Pada subbab ini akan dibahas mengenai sifat–sifat ketegaklurusan pada
Geometri Hiperbolik. Sifat-sifat ketegaklurusan pada Geometri Hiperbolik terkait
dengan adanya garis tegaklurus persekutuan (common perpendicular). Garis
tegaklurus persekutuan terkait dengan Teorema 2.12 yang menyebutkan bahwa
bahwa tidak ada persegi pada Geometri Hiperbolik.
Adanya garis tegaklurus persekutuan pada Geometri Hiperbolik mengubah
cara berfikir mengenai sifat-sifat ketegaklurusan dan memberikan gambaran yang
benar-benar baru mengenai adanya klasifikasi garis sejajar. Pada Geometri Euclid,
tidak terdapat klasifikasi garis-garis sejajar (hanya ada satu jenis garis sejajar).
Teorema 2.8 mengenai Sudut Dalam Berseberangan pada Geometri Netral
mengatakan bahwa “dua garis
dan
38
yang dipotong oleh tranversal
.”
sedemikian hingga sepasang sudut berseberangannya kongruen, maka
Teorema 2.8 berlaku pada kedua geometri. Pada Geometri Euclid Teorema 2.8
berlaku seperti apa yang digambarkan pada Teorema 2.8. Pada Geometri
Hiperbolik, Teorema 2.8 dapat berlaku jika terdapat kondisi dimana Postulat
Kesejajaran Hiperbolik berlaku. Kondisi berlakunya Teorema 2.8 dalam Geometri
Hiperbolik dipengaruhi adanya garis tegaklurus persekutuan.
Geometri Euclid memberikan pemahaman bahwa garis-garis sejajar sebagai
garis-garis yang memiliki jarak yang tetap sama untuk setiap pasangan titik
bersesuaian. Pada Geometri Euclid, sebarang titik
maka untuk setiap titik
berlaku (
pada
)
pada
berlaku (
)
. Pada Geometri Hiperbolik
berlaku Teorema 3.1 berikut.
Teorema 3.1 (Venema, 2012: 138).
Jika adalah sebuah garis, adalah titik eksternal dan adalah sebuah garis
sedemikian hingga berada pada , maka hanya ada sebuah titik dimana
)
berada pada m, dan (
(
).
Bukti:
Misalkan
dan
pada
dan
adalah dua garis. Andaikan ada tiga titik berbeda
sehingga
(
)
(
)
(
adalah kaki-kaki dari garis tegaklurus dari
). Misalkan
dan
dan
Jika
ke
diperhatikan pada Gambar 22, tidak satupun dari tiga titik P, Q, dan R
berada pada
karena d(P, )>0. Setidaknya ada dua dari tiga garis haruslah
berada pada sisi yang sama dari
(Postulat Pemisahan Bidang).
39
P
Q
R
P’
Q’
R’
Gambar 22. Tiga Titik
dan Berjarak Sama terhadap
pada Teorema 3.1
Misalkan
dan
berada pada sisi yang sama pada . Maka
segiempat Saccheri. Oleh karena
ketiga tititk
Andaikan bahwa
dan
adalah
(Teorema 2.9, bagian keempat) dan
terletak pada sisi yang sama dari .
. Maka S
adalah segiempat Saccheri. Jadi sudut
dan S
dan
lancip. Tetapi hal ini berlawanan dengan fakta
keduanya
keduanya adalah
bahwa
dan
keduanya adalah suplemen. Pengandaian ditolak dan disimpulkan
bahwa tidak mungkin bagi tiga titik pada
memiliki jarak yang
sama dari .
Teorema 3.1 di atas menjelaskan sifat pada Geometri Hiperbolik yaitu garisgaris sejajar tidaklah memiliki jarak yang selalu sama pada setiap titik
bersesuaian, tidak mungkin ada tiga titik berlainan yang memiliki jarak sama
terhadap garis kedua. Lebih lanjut, akan dibahas konsekuensi dari adanya dua
titik pada
yang memiliki jarak sama terhadap
(Teorema 3.1). Konsekuensi
tersebut adalah adanya garis tegaklurus persekutuan. Penggambaran garis
tegaklurus persekutuan dijelaskan pada Definisi 3.1 berikut.
40
Definisi 3.1 Garis Tegaklurus Persekutuan (Venema, 2012: 139).
Garis dan
memiliki sebuah garis tegaklurus persekutuan jika ada sebuah
garis n sedemikian hingga
dan
. Jika dan memiliki sebuah garis
tegaklurus persekutuan, maka garis memotong sebuah garis
pada sebuah
titik P dan memotong pada sebuah titik Q.
Gambar 23. Garis Tegaklurus Persekutuan
Pada Gambar 23 garis
dinamakan garis perpotongan tegaklurus
persekutuan sedangkan ruas garis ̅̅̅̅ dinamakan
persekutuan, dan
ruas garis tegaklurus
disebut kaki dari ruas garis tegaklurus ̅̅̅̅.
Teorema 3.2 berikut menjelaskan adanya garis tegaklurus persekutuan pada
dua garis sejajar yang memenuhi Teorema 3.1. Pembuktian Teorema dapat
menggunakan Gambar 24.
Teorema 3.2 ( Venema, 2012: 139)
Jika dan m adalah garis-garis sejajar dan ada dua titik pada
yang sama
jarak dari , maka dan memiliki sebuah garis tegaklurus persekutuan.
Bukti:
Garis
dan
adalah dua garis sejajar yang mengikuti Teorema Sudut
Dalam Berseberangan (Teorema 2.8) dan Teorema 3.1. Andaikan S
adalah segiempat Saccheri, maka L
dan L
adalah segiempat
Lambert. Pada segiempat Lambert dalam Geometri Hiperbolik berlaku
Teorema 2.13, sehingga
,
̅̅̅̅ ada.
41
, dan
. Jadi ruas garis
D
C
P
B
A
Q
Gambar 24. Segiempat Lambert L
dan L
dalam Segiempat Saccheri S
Sifat lainnya dari garis tegaklurus persekutuan adalah apabila ada dua garis
yang sejajar memiliki garis tegaklurus persekutuan, maka garis tegaklurus
persekutuan itu tunggal. Ketunggalan garis tegaklurus persekutuan ditegaskan
pada Teorema 3.3 berikut.
Teorema 3.3 (Venema, 2012: 138).
Jika
dan m adalah garis-garis sejajar yang memiliki garis tegaklurus
persekutuan, maka garis tegaklurus persekutuan tersebut tunggal.
Bukti:
Pada faktanya
dan
adalah dua garis sejajar yang mengikuti Teorema
Sudut Dalam Berseberangan (Teorema 2.8). Jika diperhatikan pada Gambar
24, andaikan S
adalah segiempat Saccheri. Jika
dan
memiliki
(garis tegak lurus persekutuan yang lain), maka segiempat
adalah persegi panjang dan tidak ada persegi panjang dalam Geometri
Hiperbolik (Teorema 2.12). Jadi garis tegak lurus persekutuan tersebut
tunggal.
42
Garis tegaklurus persekutuan tunggal dapat diamati pada Gambar 25 yaitu
ruas garis ̅̅̅̅̅. Menurut Teorema 2.9, segiempat S
Saccheri,
adalah segiempat
adalah titik tengah dari ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅̅̅ sehingga ̅̅̅̅̅ tegaklurus
dan
terhadap ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅̅̅. Ruas garis ̅̅̅̅̅ adalah ruas garis tegaklurus persekutuan
dan ia tunggal.
P
Q
R
P’
Q’
R’
Gambar 25. Garis Tegaklurus Persekutuan
pada Garis dan adalah Tunggal
Sifat selanjutnya adalah keterkaitan antara garis-garis sejajar, garis
tranversal dan garis tegaklurus persekutuan. Menurut Teorema Sudut Dalam
Berseberangan (Teorema 2.8), dua garis yang sejajar yang dipotong oleh sebuah
tranversal dan membentuk sudut dalam berseberangan saling kongruen, maka
kedua garis itu sejajar. Hanya pada kondisi tertentu, Teorema 2.8 dapat berlaku
pada dua garis sejajar dalam Geometri Hiperbolik. Kondisi tersebut dijelaskan
dalam Teorema 3.4 berikut.
Teorema 3.4 (Venema, 2012: 138).
Misalkan dan m adalah garis-garis paralel yang dipotong oleh garis trasversal
t. Sudut dalam berseberangan yang dibentuk oleh dan m dengan tranversal t
adalah kongruen jika dan hanya jika dan m memiliki sebuah garis tegaklurus
persekutuan dan t memotong titik tengah ruas garis tegaklurus persekutuan.
43
Bukti:
Misalkan
dan m adalah garis sejajar yang dipotong oleh sebuah garis
tranversal t. Misalkan R adalah titik perpotongan t dengan ℓ dan S adalah
titik potong
t dengan m. Gambar 26 berikut merupakan alat bantu
pembuktian Teorema 3.4.
Q
S
M
R P
Gambar 26. Tranversal Memotong Titik Tengah
Garis Tegak Lurus Persekutuan
Pertama andaikan bahwa kedua pasang sudut dalam berseberangan yang
dibentuk oleh ℓ dan m dengan transversal t adalah
kongruen. Akan
ditunjukkan bahwa ℓ dan m memiliki garis tegaklurus persekutuan dan t
melewati titik tengah ruas garis tegaklurus persekutuan. Andaikan bahwa
sudut dalam berseberangan tersebut bukanlah sudut siku-siku. Jika sudut
dalam berseberangan yang terbentuk oleh ℓ dan m dan tranversal t adalah
sudut siku-siku, maka t adalah garis tegaklurus persekutuan dan pembuktian
selesai.
Misalkan M adalah titik tengah ̅̅̅̅. Buat sebuah garis tegaklurus dari M ke
ℓ di titik P. Buat garis tegaklurus dari M ke m dan Q. Pada faktanya sudut
dalam berseberangan pada sisi yang berlawanan pada t adalah kombinasi
44
kongruen dengan Teorema Sudut Luar untuk menunjukkan bahwa P dan Q
ada pada sisi berlawanan dari t. Jika sudut dalam berseberangan tersebut
adalah sudut lancip, maka keduanya adalah sudut dalam untuk
SQM dan
RPM dan jika keduanya adalah sudut tumpul maka keduanya adalah sudut
luar untuk
SQM dan
RPM. Oleh karena itu
(pengandaian dan sd-sd-s) dan juga
. Karena itu
dan
adalah sinar garis yang saling berlawanan dan ruas garis ̅̅̅̅ adalah
ruas garis tegaklurus persekutuan untuk garis ℓ dan garis m.
Teorema 3.4 menunjukkan bahwa sebuah garis tranversal ⃡
memotong
dua garis sedemikian, hingga sudut dalam berseberangan yang terjadi kongruen,
maka kedua garis itu mempunyai garis tegaklurus persekutuan yaitu ̅̅̅̅. Dapat
diamati pada Gambar 26 bahwa ̅̅̅̅̅ tegaklurus terhadap garis
tegaklurus terhadap
. Segitiga
SQM dan
dan
̅̅̅̅̅
RPM adalah segitiga yang saling
kongruen, hal ini menyebabkan ̅̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅̅ berada dalam satu garis yaitu ̅̅̅̅.
Dalam Geometri Hiperbolik, dua garis dalam yang dilalui oleh garis
tranversal
dan memenuhi Teorema 3.4 disebut garis-garis ultraparalel
(ultraparallel). Garis ultraparalel merupakan salah satu bentuk dari dua klasifikasi
garis sejajar. Pada Geometri Euclid, dua buah garis yang dipotong oleh tranversal
sejajar jika memenuhi Teorema 2.8.
B. Sifat-sifat Kesejajaran pada Geometri Hiperbolik
Garis sejajar pada Geometri Euclid digambarkan sebagai garis-garis yang
memiliki jarak sama (hal ini menyebabkan adanya persegi). Pada Geometri
Euclid, sudut kesejajaran adalah sudut siku-siku dan besar nilai kritisnya 90°.
Pada Geometri Hiperbolik tidak demikian, Postulat Kesejajaran Hiperbolik
45
menyebabkan beberapa sifat pada Geometri Euclid berbeda dengan sifat-sifat
pada Geometri Hiperbolik.
Telah dibahas sebelumnya mengenai garis tegak lurus persekutuan dan
ultraparalel, secara umum pada subbab ini akan dibahas mengenai garis-erapa
garis sejajar dalam Geometri Hiperbolik yang tidak memiliki garis tegaklurus
persekutuan (garis-garis tersebut tidak ultraparalel). Hal ini mengindikasikan
adanya klasifikasi lain pada garis-garis sejajar dalam geometri Hiperbolik selain
garis-garis ultraparalel. Adanya garis semacam ini pada Geometri Hiperbolik
terkait dengan sifat sudut kesejajaran dan nilai kritis yang muncul akibat Postulat
Kesejajaran Hiperbolik.
Pada subbab sebelumnya telah dibahas mengenai sinar-sinar garis sejajar
memiliki sebuah garis tegaklurus persekutuan yang tunggal dan unik. Selanjutnya
akan dibahas mengenai sifat-sifat dalam Geometri Hiperbolik mengenai sudut
kesejajaran dan limit sinar-sinar garis sejajar atau sinar-sinar sejajar asimptotik.
Tidak semua garis sejajar dalam Geometri Hiperbolik memiliki garis
tegaklurus persekutuan. Sifat-sifat mengenai sudut kesejajaran dan sinar-sinar
sejajar asimptotik akan memberikan gambaran mengenai bentuk kedua dari dua
garis yang sejajar dalam Geometri Hiperbolik. Bentuk pertama adalah garis-garis
sejajar yang memiliki tegak lurus persekutuan dan bentuk kedua adalah adanya
garis-garis sejajar yang tidak memiliki garis tegak lurus persekutuan.
1.
Sudut Kesejajaran
Sudut kesejajaran diawali dengan mengkonstruksi himpunan beririsan K
(intersecting set K) yang hampir serupa dngan mengkonstruksi batas atas atas
(supremum) pada analisis real. Selanjutnya pada subbab ini juga akan dibahas
46
nilai kritis (critical number), sudut kesejajaran (angle of parallelism), dan fungsi
kritis (critical function).
Sebelum membahas sifat-sifat mengenai sudut kesejajaran, akan dibahas
mengenai himpunan beririsan
. Anggap sebuah garis
dan titik eksternal
.
Menggunakan Teorema Sudut Dalam Berseberangan (Teorema 2.8), dua garis
tegaklurus ganda melalui
adalah garis yang sejajar .
Teorema 2.8 berlaku pada Geometri Netral dan Geometri Hiperbolik
(dalam kondisi tertentu). Konvers dari Teorema 2.8 yaitu “ Jika ada dua garis
sejajar dipotong oleh sebuah garis tranversal, maka kedua sudut dalam
bersesuaiannya kongruen” ekuivalen dengan Postulat Kesejajaran Euclid. Jika
Konvers dari Teorema 2.8 tidak berlaku pada Geometri Hiperbolik, maka ada
garis sejajar yang lain yang melalui
(garis-garis tersebut akan dibahas pada
subbab selanjutnya mengenai sinar garis sejajar asimptotik). Kesejajaran tersebut
memiliki sinar-sinar garis yang membentuk sudut kurang dari 90° dengan
dimana
,
adalah kaki dari garis tegaklurus dari P ke .
Misalkan
adalah sebuah garis dan
garis tegaklurus dari
setiap bilangan
ke
di titik
dengan
adalah sebuah titik diluar . Tarik
Terdapat
ada titik
sebagaimana , sedemikian hingga (
)
*
pada
dan
. Untuk
, pada sisi yang sama dari ⃡
. Dengan K adalah
+.
Definisi 3.2 Himpunan Beririsan (Venema,2012: 141).
Himpunan K merupakan himpunan beririsan (intersecting set) untuk
47
dan
P
A
B
Gambar 27. Konstruksi
(Himpunan Beririsan untuk
dan
Sesuai dengan Definisi 3.2 mengenai himpunan
menggambarkan konstruksi dari himpunan beririsan
dibentuk oleh
dan
, Gambar 27
. Sudut
adalah sudut yang
.
Dapat diamati bahwa
,
K dan
. Jadi
adalah subset dari interval
). Pada faktanya Teorema 3.5 memperlihatkan bahwa
setengah terbuka dari rumus ,
mengindikasikan bahwa
)
adalah interval
). Bagian pertama Teorema 3.5
adalah sebuah
berikut
interval dan bagian dua teorema
memperlihatkan interval tersebut terbuka kanan.
Teorema 3.5 (Venema, 2012: 141).
Misalkan K adalah irisan untuk
dan
. Jika
,
1.
2.
Bukti:
1.
Andaikan
adalah himpunan bagian dari
dan
dalam . Misalkan R adalah sebuah titik dimana
Gambar 28). Jika
Jadi
, maka
memotong ̅̅̅̅ di titik
dan
48
dan beberapa nilai
memotong
berada di antara
dan
(lihat
=
berada pada himpunan bagian.
.
2.
Diambil sebuah titik
(
sedemikian hingga
). Karena
dan definisikan
didapat
menggunakan postulat protractor didapat
. Selain itu,
.
Definisi 3.3 (Venema, 2012: 141).
Pada Teorema 3.5,
berada pada sebuah interval terbuka ,
dinamakan nilai kritis untuk dan
). Bilangan
P
A
T
R
S
Gambar 28. Ilustrasi dari Himpunan Beririsan pada Sinar Garis
Gambar 28 menjelaskan bahwa
rumus ,
). Bilang
adalah interval setengah terbuka dari
kritis dalam artian bahwa sebarang sinar garis dari
yang membentuk sudut kurang dari
dengan
berpotongan dengan
sedangkan
sebuah sinar garis yang membuat sudut lebih dari
tidak akan berpotongan
dengan .
merupakan batas bawah
sehingga
merupakan himpunan tak kosong dan
merupakan supremum pada kajian Analisis Nyata.
Definisi 3.4 (Venema, 2012: 141).
Misalkan P, A dan B seperti dalam definisi himpunan bagian dan bahwa
adalah nilai kritis untuk
dan
. Misalkan D adalah sebuah titik pada sisi
⃡
)
yang sama dari
sebagaimana B sehingga (
. Sudut
dinamakan sudut kesejajaran untuk dan
.
Terdapat dua cara mendasar yang berbeda untuk memilih titik
menentukan sinar garis
dalam
(satu dari setiap sisi dari ⃡ ) yaitu dua sudut yang
49
berhubungan dengan
ditentukan oleh
dan
dan
(satu ditentukan oleh
dan
dan yang lainya
).
P
D’
D
B’
B
A
Gambar 29. Dua Sudut Kesejajaran untuk
dan
Gambar 29 menunjukkan dua sudut kesejajaran yang kongruen, terlihat
bahwa sudut kesejajaran hanya dipengaruhi oleh jarak P ke . Refleksi terhadap
⃡
memperlihatkan, bahwa
dan
merupakan sudut yang saling
kongruen dan keduanya merupakan sudut lancip.
Teorema 3.6 memperlihatkan fakta bahwa nilai kritis hanya bergantung
kepada jarak P ke
dan tidak membedakan dua sudut yang saling kongruen yang
ditentukan oleh dua sinar berlawanan
dan
Teorema 3.6 (Venema, 2012: 142).
Nilai kritis hanya bergantung kepada (
pada .
).
Bukti:
Misalkan garis ,
lurus dari
merupakan titik eksternal,
ke , dan
Diberikan
dan
adalah kaki dari garis tegak
adalah sebuah titik pada
yang berbeda dari
adalah rancangan lain sedemikian hingga
. Akan dibuktikan bahwa nilai kritis untuk
dengan nilai kritis
dan
.
.
50
dan
sama
Katakanlah himpunan bagian tersebut adalah
Maka
memotong
pada titik
sedemikian hingga
jadi
dan
. Dipilih sebuah titik
. Maka ada
.
pada
(S,Sd,S) dan
. Dengan cara yang sama apabila
karena itu
. Misalkan
, maka
. Oleh
dan pembuktian selesai.
P
A’
T
Gambar 30. Nilai kritis bergantung hanya pada jarak titik ke garis
Nilai kritis hanya bergantung pada jarak
(
merupakan sebuah fungsi dari bilangan real.
), sehingga nilai kritis
Gambar 30
merupakan
penggambaran dari pembuktian Teorema 3.6 yaitu dengan melihat keduanya
adalah segitiga yang kongruen dengan aturan Sisi-Sudut-Sisi sehinga sudut
bersesuaian sama besar.
Diberikan sebuah bilangan real , tempatkan titik
hingga
(
)
. Maka didefinisikan fungsi
dihubungkan dengan
fungsi
( )
(
dan . Pilih sebuah titik
), dimana
sedemikian
( ) menjadi nilai kritis yang
pada
dan didefinisikan
adalah sudut kesejajaran untuk P dan
. Sesuai dengan Teorema 3.6, fungsi
(well defined) dari
dan garis
adalah yang didefinisikan dengan baik
sendiri dan tidak bergantung pada pilihan tertentu dari , ,
atau . Didefinisikan fungsi ( )sebagai berikut.
51
Definisi 3.5 Fungsi Kritis (Venema, 2012: 143).
) (
Fungsi (
- dan dinamakan fungsi kritis.
Teorema 3.7 (Venema, 2012: 143).
(
) (
Fungsi
- adalah sebuah fungsi turun,
( )
( ).
berimplikasi
Bukti:
Andaikan a dan b adalah dua bilangan positif
sehingga a<b. Ambil , ,
dan
sehingga
kesejajaran pada
sehingga
⃡
. Akan dibuktikan bahwa besar sudut
(
(
) dan ambil sebuah titik E pada setengah bidang
)
. Semua titik dari ⃡
sedangkan
dan ⃡
⃡
. Jadi ⃡
tidak berpotongan
ada pada setengah bidang yang dibatasi
pada setengah bdang lainya. Karena
himpunan beririsan (intersecting set) untuk
kurang dari nilai kritis untuk
karena itu
. Kemudian
tidak lebih besar dari pada .
Didefinisikan
dengan
adalah empat titik sedemiian hingga
adalah sudut kesejajaran untuk P dan
pilih Q pada
⃡
, dan
(bilangan real positif)
dan
dan
,
tidaklah dapat
(menggunakan Teorema 3.5). Oleh
merupakan besar sudut kesejajaran pada
sama dengan besar sudut kesejajaran pada .
52
tidak termasuk
, lebih besar atau
E
P
b
D
a
A
B
Gambar 31. Besar Sudut Kesejajaran Bersifat Turun (Nonincreasing)
berimplikasi ( )
Pada Gambar 31,
( ). Hal ini memperlihatkan
bahwa fungsi kritis merupakan fungsi turun.
Sudut kesejajaran dapat digunakan untuk membedakan Geometri Hiperbolik
dan Geometri Euclid. Setiap sudut kesejajaran pada Geometri Euclid adalah
sebesar sebuah sudut siku-siku dan setiap sudut kesejajaran pada Geometri
Hiperbolik adalah sudut lancip. Sudut kesejajaran adalah kunci untuk memahami
segititiga, bentuk kedua dari garis paralel (garis-garis sejajar asimptotik) dan
defek (defek tidak dibahas dalam karya tulis ini). Teorema 3.8 berikut
menegaskan bahwa besar sudut kesejajaran pada Geometri Hiperbolik kurang dari
90°.
Teorema 3.8 (Venema, 2012: 144).
Setiap sudut kesejajaran adalah lancip dan setiap nilai kritis kurang dari 90°.
Bukti:
Misalkan
pada
adalah sebuah garis dan misalkan
. Dibuat sebuah garis tegaklurus
dibuktikan
(
)
.
53
adalah sebuah titik tidak
melewati
di titik
. Akan
P
m
n
A
Gambar 32. Ada Paling Sedikit Dua Garis Parallel, Salah Satunya Membentuk
Sudut Lancip
Jika diperhatikan pada Gambar 32, misal
hingga
berada pada
adalah sebuah garis sedemikian
⃡ , dan
dan
. Dengan menggunakan
Postulat Kesejajaran Hiperbolik, ada setidaknya sebuah garis
berbeda dengan
,
terletak pada
dengan ⃡ , besar sudut antara
dan
dan
. Karena
sehingga
tidak tegaklurus
haruslah kurang dari
setengah bidang atau setengah bidang lainya. Ukuran sudut antara
pada
dan
bukanlah himpunan beririsan, jadi nilai kritisnya tidak lebih besar dari
daripada ukurannya. Oleh karenanya nilai kritis kurang dari 90° dan sudut
kesejajaran adalah lancip.
2.
Sinar-sinar Sejajar Asimptotik
Pada Geometri Euclid, berlaku Postulat Kesejajaran Euclid. Hal ini hanya
memungkinkan sebuah sebuah garis yang melalui titik
dan sejajar garis . Pada
Geometri Hiperbolik, telah dibahas mengenai salah satu jenis kesejajaran yaitu
ultraparalel. Selanjutnya akan dibahas sinar-sinar sejajar asimptotis. Sinar-sinar
sejajar asimptotik adalah sinar-sinar yang membentuk sudut kesejajaran. Sinar-
54
sinar sejajar asimptotik merupakan klasifikasi kedua dari garis-garis sejajar dalam
Geometri Hiperbolik.
Pada subbab ini akan dibahas mengenai sifat-sifat dari sinar-sinar garis
sejajar asimptotik.
Definisi 3.6 Sinar-sinar Sejajar Asimptotik (Venema, 2012: 147).
Dua garis
dan
dinamakan sinar-sinar garis sejajar asimptotik, ditulis
, jika dan pada setengah bidang yang sama yang dibentuk oleh ⃡ ,
, dan setiap garis di antara
dan
memotong
.
Gambar 33. Sinar Garis
Sejajar Asimptotik dengan
Gambar 33 menunjukkan dua sinar sejajar asimptotik yaitu
Sinar garis
dan
merupakan sudut kritis sehingga setiap garis yang berada di antara
. Sudut
yang berada di antara
Selanjutnya
akan
.
merupakan sinar yang saling sejajar. Hal tersebut
dijelaskan oleh Teorema 3.9. Gambar 33 juga menunjukkan sudut
memotong
dan
yang
dan
juga merupakan sudut kritis sehingga setiap garis
dan
memotong
dibahas
mengenai
merupakan garis-garis yang sejajar.
Teorema 3.9 (Venema, 2012: 145).
⃡ .
Jika
, maka ⃡
55
.
garis-garis
sejajar
asimptotik
Bukti:
Misalkan
dan
adalah dua sinar garis sedemikian hingga
.
Jika diperhatikan pada Gambar 34, andaikan ada sebuah titik
yang berada
di antara
berlawanan
dan
dengan
. Dipilih titik
dan
dan
berlawanan dengan
sehingga
.
dan
berada pada setengah
dan
keduanya berada di
bidang yang sama yang dibatasi ⃡ . Jadi
setengah bidang yang lainya dari ⃡ . Karenanya Teorema 2.2 atau
Teorema-Z berimplikasi bahwa
Terdapat
dan
, jadi itu menjadi sebuah kejadian bahwa
pada sinar garis
dan berada pada
.
berada
.
Gambar 34. Titik Q berada di antara
dan
Dengan menggunakan Teorema Sudut Luar (Teorema 2.7), didapat
(
)
(
sehingga (
⃡
⃡
, jadi
) Karenanya ada sinar
)
(
antara
dan
). Dengan teorema sudut bersesuaian,
. Terdapat kontradiksi terhadap fakta
adalah sinar garis sejajar asimptotik untuk
56
dan pembuktian selesai.
Berdasarkan Definisi 3.6 mengenai sinar-sinar sejajar asimptotik, muncul
sifat bahwa jika
dengan
sejajar asimptotik dengan
, maka
sejajar asimptotik
. Sifat-sifat yang demikian disebut sifat simetri dari sinar-sinar sejajar
asimptotik.
Teorema 3.10 Sifat Simetri Kesejajaran (Venema, 2012: 145).
Jika
, maka
.
Bukti:
Misal
dan
adalah sinar garis sedemikian sehingga
pembuktian tak langsung bahwa setiap sinar antara
memotong
. Andaikan ada sebuah sinar garis
sehingga
Garis
dan
pada
berada di antara
dan oleh karenanya
dan
yang sama. Didapat ̅̅̅̅
⃡
haruslah
berada di antara
dan
merupakan Sudut Kritis
sedemikian hingga (
dan
,
)
(
).
merupakan interior untuk
berada pada setengah bidang yang sama yang
dibentuk ⃡ . Hal tersebut berarti
garis
dan
.
Gambar 35. Sudut
Ambil sebuah titik
. Dengan
dan
berada pada setengah bidang
, jadi ̅̅̅̅ tidak berpotongan dengan sinar
. Menggunakan Teorema Z (Teorema 2.2) diaplikasikan untuk garis
. Ruas garis ̅̅̅̅ tidak berpotongan dengan sinar garis yang berlawanan
57
dengan
juga, jadi
dan
berada pada setengah bidang yang sama yang
dibatasi oleh garis ⃡ . Titik
sinar
berpotongan dengan
adalah interior
di titik
, dengan demikian
menurut Definisi 3.6 mengenai
garis sejajar asimptotik.
Karena
diperoleh
adalah interior bagi
, Menggunakan Teorema 2.4
, karenanya
adalah sudut interior untuk
dimana ukuran sudutnya lebih kecil dari pada sudut dalam jauh yaitu
. Hal ini berlawanan dengan Teorema Sudut Luar, jadi pengandaian
ditolak.
Selain sifat simetri, garis-garis sejajar asimptotik memiliki sifat transitif.
Teorema 3.11 merupakan sifat transitif dari garis-garis sejajar asimptotik.
Pembuktian dari sifat ini tidak dibahas dalam pembahasan karena kerumitan dan
terdapat beberapa lemma yang harus dipenuhi.
Teorema 3.11 Sifat Transitif Kesejajaran (Venema, 2012: 147).
Jika
,
dan
adalah tiga sinar sedemikian hingga
dan
maka
atau
dan
adalah sinar garis yang ekuivalen.
,
Selanjutnya akan dibahas Teorema 3.12 mengenai eksistensi (keberadaan)
dan ketunggalan sinar-sinar sejajar asimptotik.
Teorema 3.12 Eksistensi dan Ketunggalan Sinar-sinar Sejajar Asimptotik
(Venema, 2012: 147).
Jika
adalah sebuah sinar garis dan adalah sebuah sebuah titik yang tidak
berada pada ⃡ , maka ada sebuah sinar garis tunggal
sehingga
.
Sifat selanjutnya dari garis-garis sejajar asimptotik adalah terdapatnya
akibat dari dua garis sejajar yang memiliki dan tidak memiliki garis tegak lurus
persekutuan. Telah dibahas pada subbab sebelumnya mengenai garis tegak lurus
persekutuan. Garis-garis sejajar yang memiliki garis tegaklurus persekutuan
58
bukanlah garis-garis yang sejajar asimptotik melainkan garis-garis ultraparallel.
Hal tersebut ditegaskan dalam Teorema 3.13 berikut.
Teorema 3.13 (Venema, 2013: 152).
Jika dan m memikiki sebuah garis tegaklurus perpotongan maka keduanya
bukan garis-garis yang sejajar asimptotik.
Sebagai konsekuensinya garis-garis sejajar yang tidak memiliki garis tegak
lurus persekutuan merupakan garis-garis sejajar asimptotik. Hal tersebut
merupakan kontrapositif dari Teorema 3.13 yang dinyatakan dengan Teorema
3.14.
Teorema 3.14 (Venema, 2013: 152).
Jika dan m garis-garis yang sejajar asimptotik, maka
garis tegaklurus persekutuan.
dan m tidak memiliki
Teorema 3.13 dan 3.14 menunjukan dua bentuk klasifikasi dari garis
sejajar. Klasifikasi pertama adalah dua garis sejajar asimptotik tidak memiliki
tegak lurus persekutuan. Klasifikasi kedua adalah dua garis sejajar yang memiliki
garis tegak lurus persekutuan ia bukan garis-garis sejajar asimptotik. Pembuktian
Teorema 3.13 dan Teorema 3.14 disajikan dalam Lampiran 1.
Tidak semua garis-garis yang sejajar dalam Geometri Hiperbolik memiliki
garis tegak lurus persekutuan, garis-garis sejajar yang tidak memiliki garis tegak
lurus persekutuan merupakan garis-garis sejajar asimptotik. Garis-garis asimptotik
dan sifat-sifatnya adalah dasar dari bentuk geometri yaitu segitiga. Segitiga yang
dimaksud adalah segitiga asimptotik.
C. Segitiga Asimptotik pada Geometri Hiperbolik
Definisi 2.14 mengenai segitiga pada Geometri Netral, juga berlaku pada
Geometri Euclid dan Hiperbolik. Segitiga pada Geometri Euclid digambarkan
persis seperti pada Definisi 2.14. Pada Geometri Hiperbolik, selain terdapat
59
segitiga biasa (segitiga dengan sisi berhingga) juga terdapat segitiga dengan sisi
tak berhingga yang dikenal dengan segitiga asimptotik.
Menghubungkan dua titik pangkal dari dua sinar garis sejajar asimptotik
membentuk sebuah “segitiga” dengan sebuah titik ideal. Segitiga dengan titik
ideal tersebut merupakan sebuah segitiga asimptotik. Menamakan dengan
“segitiga” sebenarnya suatu keanehan, segitiga asimptotik memiliki dua sudut dan
tiga
sisi.
Beberapa
istilah
lain
mengenai
segitiga
asimptotik
adalah
segitiga terbuka, pada karya tulis ini digunakan istilah segitiga asimptotik
mengingat adanya sinar garis asimptotik yang terdapat pada segitiga tersebut.
Definisi 3.7 (Venema, 2012: 146).
Sebuah segitiga asimptotik terdiri atas dua sinar garis sejajar asimptotik yang
tergubung bersama dengan sebuah ruas menghubungkan titik sudut. Secara
khusus, jika
maka
. Penulisan simbol lain
adalah segitiga
.
Gambar 36. Segitiga Asimptotik Single
atau
Gambar 36 adalah sebuah segitiga asimtotik DPAB atau
. Segitiga
asimptotik memiliki sebuah segitiga terbuka yang diikuti oleh empat titik. Titik
kedua dan ketiga adalah sudut-sudut vertex dari segitiga asimptotik dan sinar garis
dan
garis sejajar
adalah dua sinar garis sejajar. Nama asimptotik diambil karena sinar
dan
secara asimptotik hampir bertemu ujung-ujungnya di
suatu titik ideal, titik ideal tersebut dinotasikan dengan
(huruf alfabet yunani
kapital untuk membedakan titik pada segitiga dengan sisi berhingga). Titik
60
dikatakan ideal karena titik tersebut tidaklah benar-benar ada pada bidang
hiperbolik.
1.
Jenis-jenis Segitiga Asimptotik pada Geometri Hiperbolik
a.
Segitiga asimptotik single.
Gambar 36 di atas merupakan segitiga asimptotik single (singly
asymptotic). Pada segitiga asimptotik single terdapat satu titik ahir atau satu titik
ideal dan sebuah sisi berhingga (finite). Segitiga asimptotik single merupakan
aplikasi dari Teorema 3.9 yaitu dua garis sejajar asimptotik keduanya merupakan
garis sejajar.
b. Segitiga asimptotik dobel.
Segitiga dobel asimptotik merupakan gabungan dari dua segitiga siku-siku
asimptotik. Pada Gambar 37, apabila ditarik garis
akan terlihat bahwa segitiga
dobel asimptotik terdiri dari dua segitiga siku-siku single asimptotik. Pada
Gambar 37
adalah sebuah segitiga dobel asimptotik (doubly asymptotic).
Sebuah segitiga dobel memiliki sebuah sudut tak nol dan tidak mempunyai sisi
berhingga. Nilai kritis suatu segitiga dobel asimptotik bergantung pada jarak
ke
. Dengan kata lain, segitiga dobel asimptotik merupakan aplikasi Teorema 3.6
mengenai nilai kritis (jarak dan sudut kesejajaran).
A
Gambar 37. Segitiga Asimptotik Dobel
61
Segitiga dobel asimptotik ditentukan oleh sudut tak nol, dengan kata lain
kekongruenan segitiga dobel ditentukan oleh sudut positif. Hal tersebut
dijelaskan pada sub-subbab kekongruenan segitiga dobel asimptotik.
Menurut Teorema 3.14, jika
dan
dan
garis-garis yang sejajar asimptotik, maka
tidak memiliki garis tegaklurus persekutuan, sebagai gantinya dua garis
yang sejajar asimptotik memiliki garis sejajar persekutuan (common parallel).
Pada Gambar 37, garis sejajar persekutuan ditunjukkan dengan garis .
c.
Segitiga asimptotik trebel.
Pada Gambar 38 berikut, segitiga
merupakan segitiga
asimptotik trebel. Segitiga asimptotik trebel memiliki tiga titik akhir yaitu
,
,dan
dan tidak memiliki sisi berhingga. Segitiga asimptotik trebel terdiri
atas dua segitiga asimptotik dobel siku-siku.
Ω’’
Ω’
Ω
Gambar 38. Segitiga Asimptotik Trebel
2.
Kekongruenan dan Kesebangunan pada Geometri Hiperbolik
Pada Geometri Hiperbolik konstruksi segitiga-segitiga yang sebangun
dan tidak kongruen sangat sulit untuk dibentuk. Postulat Wallis pada Geometri
Netral mengatakan “Jika
maka ada sebuah titik
adalah segitiga dan ̅̅̅̅̅ adalah sebuah ruas garis,
dimana terdapat kesebangunan
62
Postulat Wallis setara dengan Postulat Kesejajaran Hiperbolik. Sehingga pada
Geometri Hiperbolik tidak terdapat konstruksi kesebangunan namun tidak
kongruen.
Sebagai konsekuensi dari tidak berlakunya Postulat Wallis pada
Geometri Hiperbolik, kesebangunan dalam Geometri Hiperbolik hanya berlaku
pada segitiga-segitiga yang kongruen. Sebagai hasilnya, kondisi Sudut-SudutSudut berlaku pada segitiga-segitiga yang saling kongruen. Teorema 3.15 berikut
menjamin bahwa segitiga-segitiga yang sebangun dan tidak kongruen dalam
Geometri Hiperbolik tidak berlaku.
Teorema 3.15 Sudut-Sudut-Sudut (Venema, 2012: 136).
Jika ∆ABC sebangun dengan
, maka
kongruen dengan
.
Bukti:
Misalkan
dan
adalah dua segitiga di mana
Akan ditunjukkan bahwa
.
kongruen dengan sisi bersesuaian
Andaikan
, maka
,
dan
.
Jika salah satu sisi
(Sd.S.Sd).
. Karena ada tiga
perbandingan dan masing-masing dapat dilakukan satu dari dua cara,
setidaknya dua garis harus memiliki panjang sama. Dengan kata lain, baik
ada dua sisi dari
yang keduanya lebih lebih panjang dari sisi yang
bersesuaian pada
atau ada dua sisi dari
panjang dari sisi yang bersesuaian
dan
yang keduanya lebih
Dapat diasumsikan bahwa
. Gambar 39 berikut merupakan alat bantu
pembuktian sudut-sudut-sudut pada kekongruenan duabuah segitiga.
63
C
F
C’
D
B’
B
E
D
Gambar 39. Berlaku Sd-Sd-Sd hanya pada Kekongruenan Segitiga
pada ̅̅̅̅ sedemikian hingga
Ambil titik
pada ̅̅̅̅ sehingga
titik
Segitiga
adalah suplemen dari
, hal itu berakibat 
dari

. Segiempat
adalah konveks.
(memenuhi S-Sd-S), jadi
Karena

dan ambil sebuah

dan

.
adalah suplemen

BCC ' B '  360 , sedangkan
BCC ' B ' <360 . Jadi pengadaian ditolak
dan diputuskan bahwa
.
a.
Kekongruenan segitiga asimptotik single.
Sebuah segitiga asimptotik single memiliki sebuah sisi berhingga dan
sebuah titik ideal. Pada segitiga asimptotik single berlaku kongruensi dengan
kondisi Sisi-Sudut (S-Sd) dan Sudut-Sudut-Sudut (Sd-Sd-Sd). Teorema 3.16
berikut adalah kongruensi dengan kondisi Sisi-Sudut (S-Sd).
Teorema 3.16 Kekongruenan Sisi-Sudut (Venema, 2012:151).
Misal
dan
dan
, maka
adalah dua segitiga asimptotik. Jika
.
64
Bukti:
Misalkan
dan
sehingga
adalah dua segititga asimptotik sedemikian
. Andaikan (
dan
Maka ada sebuah sinar
Karena
di antara
,
dan
)
(
sehingga
.
haruslah berpotongan dengan
mempermudah notasi asumsikan
berada pada
).
. Untuk
.
Gambar 40. Kekongruenan Sisi-Sudut pada
Segitiga
dan
Ada sebuah titik
pada
sedemikian hingga
. Dengan Sd-S-Sd.
. Karena itu
dan bagian
yang keunikannya dari Postulat Konstruksi Sudut berimplikasi bahwa
. Hal ini berkontradiksi dengan fakta
dan pembuktian selesai.
Gambar 40 merupakan alat bantu pembuktian Teorema 3.16.
Sebuah pembuktian yang lain memperlihatkan bahwa (
)
(
)
sangatlah tak mungkin, jadi dapat diputuskan bahwa (
)
(
)
dan pembuktian selesai.
Teorema 3.16 dapat diartikan sebagai dua buah segitiga singly yaitu
kongruen apabila sudut dan sisi bersesuaian
, maka
.
65
dan
dan
Teorema selanjutnya memungkinkan bahwa kondisi kekongruenan Sd-SdSd (sudut-sudut-sudut) pada segitiga asimptotik single. Pada sebuah segitiga
asimptotik single hanya terdapat dua buah sudut tak nol, sehingga kekongruenan
yang terjadi adalah Sudut-Sudut (Sd-Sd).
Teorema 3.17 Sudut-Sudut (Venema, 2012:152).
Misal
dan
adalah dua segitiga asimptotik. Jika
dan
, maka
.
Teorema 3.17 dapat diartikan sebagai “Misalkan dua segitiga asimptotik
memiliki dua pasang sudut (sudut tak nol) yang kongruen. Maka kedua sisi
terbatasnya kongruen.”
b. Kekongruenan segitiga asimptotik dobel.
Selanjutnya akan dibahas mengenai kekongruenan segitiga asimptotik
dobel. Pada segitiga asimptotik dobel, hanya terdapat sebuah sudut tidak nol. Pada
segitiga tersebut berlaku Teorema 3.18.
Teorema 3.18 (Coxeter,1969:294).
Dua segitiga dobel asimptotik kongruen jika segitiga-segitiga itu mempunyai
sudut sama.
Teorema 3.6 tentang nilai kritis bergantung jarak, terdapat garis yang sejajar
dengan kedua sinar asimptotik, sinar tersebut diberinama garis paralel
persekutuan. Sebuah segitiga dobel asimptotik tersusun dari dua sinar asimptotik
dan sebuah garis sejajar persekutuan
(Gambar 29). Kekongruenan dua buah
segitiga dobel asimptotik dapat dibuktikan dengan membuktikan kekongruenan
dua pasang segitiga single asimptotik penyusunnya.
66
c.
Kekongruenan segitiga asimptotik trebel.
Selanjutnya akan dibahas mengenai segitiga asimptotik trebel. Segitiga
asimptotik trebel memiliki tiga titik akhir yaitu
,
,dan
(tidak memiliki
sudut tidak nol). Pada segitiga asimptotik trebel berlaku Teorema 3.19.
Teorema 3.19 (Coxeter,1969:294).
Sebarang dua segitiga asimptotik trebel merupakan segitiga yang kongruen.
Bukti:
Diketahui segitiga asimtotik trebel
dan
. Kedua segitiga
trebel asimptotik dapat diamati pada Gambar 41. Bagi kedua segitiga
menjadi dua segitiga dobel siku-siku dengan menarik suatu garis tinggi
(dimana ia tegaklurus terhadap salah satu sisi dan sejajar dengan sisi lainya
sebagaimana Teorema 3.7. Menurut Teorema 3.18 keempat segitiga dobel
asimtotik itu kongruen. Jadi segitiga asimtotik trebel
dan
kongruen.
’
Gambar 41. Dua Segitiga Trebel Asimptotik
dan
Kongruen
Geometri Euclid telah berperan dalam geometri yang digunakan manusia
selama kurang lebih 2000 tahun. Geometri Euclid didasarkan pada Postulat
Kelima atau Postulat kesejajaran Euclid mengatakan bahwa “Untuk setiap garis
67
’
dan titik P tidak pada garis
melalui titik
P
, maka terdapat dengan tepat satu garis m yang
yang sejajar dengan garis
.” Selama masa bertahannya
Geometri Euclid itu banyak peneliti yang ragu akan kebenaran postulat tersebut.
Munculnya geometri yang baru merupakan suatu terobosan yang sangat
luar biasa dalam dunia ilmu pengetahuan terutama sains. Meski pada awalnya
terasa berat karena harus “berbeda.” Farkas Bolyai ayah dari Janos Bolyai
menyerah terhadap penelitiannya mengenai garis sejajar. Farkas mengirim surat
terhadap putranya untuk menyudahi usaha pembuktian Postulat Kesejajaran
Euclid. Pada akhirnya Janos menemukan Postulat Kesejajaran Euclid bukanlah
sebuah kesalahan dan ia menemukan bahwa ingkaran dari Postulat Kesejajaran
Euclid yang ia sebut sebagai “dunia baru” dalam surat balasan kepada Farkas
(Greenberg, 1993: 161-162).
Carl Friedrich Gauss, Janos Bolyai, dan Nikolai Ivanovich Lobachevsky
secara terpisah menemukan
gagasan yang benar-benar baru dan berlawanan
dengan Postulat Kesejajaran Euclid. “ Gagasan baru tersebut adalah dikenal
dengan Postulat Kesejajaran Hiperbolik, “Untuk setiap garis
adan untuk setiap
titik P yang tidak terletak pada , ada paling sedikit dua garis m dan n sehingga
P terletak pada m dan n dan m dan n sejajar dengan . Munculnya Postulat
Kesejajaran Hiperbolik adalah dunia baru yaitu sebuah sistem geometri yang
dikenal dengan Geometri Hiperbolik.
Geometri Hiperbolik memiliki kesamaan dan perbedaan dengan
Geometri Euclid yang sebagian pada kajian teori dan pembahasan. Kedua
geometri ini berdasarkan Geometri Netral atau Geometri Absolut dan postulat
68
kesejajaran yang mendasari masing-masing geometri. Sebagai gambaran akan
Geometri Hiperbolik yang termasuk penemuan “baru”, akan disajikan Tabel 1
berikut yang berisikan perbandingan Geometri Euclid dan Geometri Hiperbolik.
Tabel 1. Perbandingan Geometri Euclid dan Geometri Hiperboik
No
1.
Pembeda
Postulat Kesejajaran
Geometri Euclid
Berlaku Aksioma 2.5,
“untuk setiap garis dan
titik P tidak pada garis
, maka terdapat dengan
tepat satu garis m yang
melalui titik P yang
sejajar dengan garis .”
Geometri Hiperbolik
Berlaku Aksioma 2.13,
“untuk setiap garis
adan untuk setiap titik P
yang tidak terletak pada
, ada paling sedikit dua
garis m dan n sehingga
P terletak pada m dan n
dan m dan n sejajar
dengan .”
Berlaku Teorema 2.11,
yang menyatakan bahwa
“Aksioma 2.13
merupakan ingkaran
dari Aksioma 2.5.”
2.
Terdapat Persegi
Ya
3.
Pada Segiempat Saccheri
Ya
(Teorema 2.9)
S
1. Diagonal
dan
kongruen”
Tidak, berlaku Teorema
2.12.
Ya
4.
Pada Segiempat Saccheri
Ya
(Teorema 2.9)
S
2. sudut
puncak
dan
kongruen,
Ya
5.
Pada Segiempat Saccheri
(Teorema 2.9)
S
3. ruas garis yang
menghubungkan
titik tengah dari
dan
tegaklurus
terhadap
Ya,
Garis tersebut adalah
garis tegak lurus
persekutuan.
Ya
69
keduanya,
6.
Pada Segiempat Saccheri
(Teorema 2.9)
S
4.
7.
Ya.
Ya
Ya.
adalah
S
sebuah
parallelogram,
Pada Segiempat Saccheri
(Teorema 2.9)
S
5.
Ya
dalah
S
segiempat konveks,
dan
8.
Pada Segiempat Saccheri
(Teorema 2.9)
S
6. Sudut puncak
dan
keduanya siku-siku
atau lancip.
Sudut puncak segiempat
Saccheri merupakan
sudut siku-siku.
Aksioma Clairaut
menyatakan bahwa
terdapat persegi dalam
Geometri Euclid.
Sudut puncak segiempat
Saccheri merupakan
sudut lancip.
9.
Pada Segiempat Lambert
(Teorema 2.10)
L
Ya
Ya
1.
10.
adalah
L
sebuah
jajaran
genjang,
Pada Segiempat Lambert
Ya
(Teorema 2.10)
L
2.
11.
12.
dalah
L
segiempat
konveks,
Pada Segiempat Lambert
(Teorema 2.10) siku
L
3.
adalah
sudut
siku-siku
atau lancip, dan
Ya
adalah sudut siku-
Pada Segiempat Lambert
(Teorema 2.10)
L
4.
adalah sudut
lancip. Seandainya sikusiku, maka terdapat
persegi panjang
(rectangle).
Teorema 2.13
.
70
13.
Pada garis-garis yang
sejajar ada lebih dari dua
titik dalam sebuah garis
memiliki jarak yang sama
dengan kedua garis
lainnya
Ya
Tidak, paling banyak
dua.
14.
Memiliki satu klasifikasi
garis sejajar
Ya
15.
Ya
Berlaku Teorema Sudut
Dalam Berseberangan atau
Teorema 2.8, “ Jika dan
adalah dua garis yang
dipotong oleh sebuah
tranversal sedemikian
hingga sepasang sudut
dalam berseberanganya
kongruen, maka sejajar
dengan .”
16.
Ada banyak garis n
sedemikian hingga
dan
Ya
Tidak, Geometri
Hiperbolik memiliki dua
jenis garis sejajar. Garisgaris ultraparalel dan
sejajar asimptotik.
Berlaku Teorema 3.4,
“Misalkan dan m
adalah garis-garis
paralel yang dipotong
oleh garis trasversal t.
Sudut dalam
berseberangan yang
dibentuk oleh dan m
dengan tranversal t
adalah kongruen jika
dan hanya jika dan m
memiliki sebuah garis
tegaklurus persekutuan
dan t memotong titik
tengah ruas garis
tegaklurus
persekutuan.”
Hanya satu, yaitu garis
tegaklurus persekutuan
(Teorema 3.2)
17.
Sudut kesejajaran
Siku-siku
Lancip (Teorema 3.8)
18.
Besar sudut kesejajaran
( )
19.
Segitiga
Segitiga biasa dan
asimptotik (single,
dobel,trebel)
20.
Kesebangunan dua
segitiga namun tak
kongruen
Segitiga biasa atau
segitiga dengan ketiga sisi
merupakan sisi berhingga
(finite)
Ya
71
Tidak. Kesebangunan
segitiga berlaku pada
segitiga yang saling
kongruen. Teorema 3.15