P(x)

Selamat Datang
di
MA 2151 Matematika Diskrit
Semester I, 2012/2013
Rinovia Simanjuntak & Edy Tri Baskoro
1
Referensi
Pustaka
Kenneth H. Rosen,
Discrete Mathematics and its Applications,
7th edition, 2007.
On the Web
http://courses.fmipa.itb.ac.id/
(Berisi informasi perkuliahan, slide, bahan kuliah, dan tugas. Juga
memuat forum diskusi yang dapat dimanfaatkan peserta kuliah)
Daftarkan diri Anda dengan enrolment key:
diskritrino untuk kelas Rinovia Simanjuntak (K-01)
diskritedy untuk kelas Edy Tri Baskoro (K-02)
2
Evaluasi
• Ujian: UTS dan UAS
50%
• Tugas Kelompok: 3 kali
30%
• Tugas Individu: 2 kali
10%
• Tugas Pemrograman (Kelompok): 4 kali
10%
3
Matematika Diskrit?
Cabang matematika yang mempelajari tentang obyek diskrit.
(Diskrit berarti memuat elemen yang berbeda dan tak terhubung).
Berbagai masalah yang dapat dipecahkan dengan menggunakan matematika
diskrit:
– Ada berapa cara untuk memilih password yang valid untuk suatu sistem
komputer?
– Berapa peluang untuk menang dalam suatu undian?
– Apakah ada link antara dua komputer dalam suatu jaringan komputer?
– Bagaimana mengenali e-mail spam?
– Bagaimana cara mengenkripsi pesan sehingga hanya orang tertentu dapat
membacanya?
– Bagaimana menentukan lintasan terpendek antara dua kota dengan
menggunakan sistem angkutan umum?
– Bagaimana mengurutkan suatu kumpulan data?
– Berapa langkah yang diperlukan untuk melakukan pengurutan tersebut?
– Ada berapa alamat internet yang valid?
– Bagaimana memetakan genetik manusia? (Genome project)
– Bagaimana mengatur jadwal take-off/landing/parkir pesawat-pesawat di
bandara?
4
Mengapa Belajar Matematika Diskrit ?
• Dapat dibangun kedewasaan dalam bermatematika, yaitu
kemampuan untuk memahami dan membuat argumen matematis.
• Merupakan landasan berbagai bidang matematika: logika, teori
himpunan, teori bilangan, aljabar linier dan abstrak,
kombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit).
• Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma,
teori basis data, bahasa formal, teori automata, teori compiler,
sistem operasi, dan pengamanan komputer (computer security).
• Memuat latar belakang matematis yang diperlukan untuk
memecahkan masalah dalam riset operasi (optimasi diskrit),
kimia, ilmu rekayasa, biologi, dsb.
5
Silabus
• Logika (1.1-1.5)
• Bukti (1.6-1.8)
• Struktur Disktrit
–
–
–
–
Himpunan (2.1-2.2, 2.5)
Fungsi (2.3)
Barisan dan Deret (2.4)
Matriks (2.6)
• Algoritma (3.1-3.3)
• Induksi (5.1-5.2)
• Rekursi (5.3)
• Counting
–
–
–
–
Dasar counting (6.1)
Prinsip Sarang Merpati (6.2)
Permutasi dan Kombinasi (6.3)
Koefisien Binomial (6.4)
• Peluang Diskrit (7.1-7.2)
• Teknik Counting Lanjut
– Relasi recurrence (8.1-8.2)
– Fungsi pembangkit (8.4)
– Inklusi-Ekslusi (8.5-8.6)
• Relasi (9.1, 9.3-9.6)
6
Bab 1
The Foundations: Logic and Proofs
1.1. PROPOSITIONAL LOGIC
7
Logika dan Proposisi
• Logika merupakan dasar dari semua penalaran matematis.
• Aturan logika memberikan arti pada pernyataan matematika dan
digunakan untuk membedakan pernyataan yang valid dan tidak
valid.
• Blok pembangun logika adalah proposisi.
Proposisi: pernyataan yang bernilai benar atau salah, tapi tidak
keduanya.
• Untuk menotasikan proposisi, digunakan alfabet seperti p, q, r, s
• Kita katakan bahwa nilai kebenaran dari suatu proposisi adalah
benar (T) atau salah (F).
• Berkorespondensi dengan 1 dan 0 dalam dunia digital.
8
Contoh Proposisi
“Gajah lebih besar daripada kucing.”
Ini suatu pernyataan ?
ya
Ini suatu proposisi ?
ya
Apa nilai kebenaran dari
proposisi ini ?
T
9
Contoh Proposisi (2)
“1089 < 101”
Ini pernyataan ?
ya
Ini proposisi ?
ya
Apa nilai kebenaran dari
proposisi ini ?
F
10
Contoh Proposisi (3)
“y > 15”
Ini pernyataan ?
ya
Ini proposisi ?
tidak
Nilai kebenaran bergantung pada nilai y yang
tidak spesifik.
Pernyataan seperti ini kita sebut fungsi
proposisi atau kalimat terbuka.
11
Contoh Proposisi (4)
“Bulan ini Februari dan 24 < 5.”
Ini pernyataan ?
ya
Ini proposisi ?
ya
Nilai kebenaran dari
proposisi tersebut ?
F
12
Contoh Proposisi (5)
“Jangan tidur di kelas.”
Ini pernyataan ?
tidak
Ini permintaan.
Ini proposisi ?
tidak
Hanya pernyataan yang dapat menjadi
proposisi.
Perintah dan pertanyaan bukanlah proposisi.
13
Contoh Proposisi (6)
“Jika gajah berwarna merah,
mereka dapat berlindung di bawah pohon cabe.”
Ini pernyataan ?
ya
Ini proposisi ?
ya
Apa nilai kebenaran
proposisi tersebut ?
F (?)
14
Contoh Proposisi (7)
“x < y jika dan hanya jika y > x.”
Ini pernyataan ?
ya
Ini proposisi ?
ya
… sebab nilai kebenarannya
tidak bergantung pada nilai
x dan y.
Apa nilai kebenaran dari
proposisi tsb ?
T
15
Proposisi Majemuk
Satu atau lebih proposisi dapat digabung membentuk
sebuah proposisi majemuk dengan menggunakan
beberapa operator logika.
–
–
–
–
–
–
Negasi (NOT)
Konjungsi - Conjunction (AND)
Disjungsi - Disjunction (OR)
Eksklusif Or (XOR)
Implikasi (IF-THEN)
Bikondisional (IF AND ONLY IF)
Tabel kebenaran dapat digunakan untuk menunjukkan
nilai kebenaran dari proposisi majemuk.
16
Negasi (NOT)
Operator Uner, Simbol: 
P
P
true
false
false
true
17
Konjungsi (AND)
Operator Biner, Simbol: 
P
Q
PQ
true
true
true
true
false
false
false
true
false
false
false
false
18
Disjungsi (OR)
Operator Biner, Simbol: 
P
Q
PQ
true
true
true
true
false
true
false
true
true
false
false
false
19
Exclusive Or (XOR)
Operator Biner, Simbol: 
P
Q
PQ
true
true
false
true
false
true
false
true
true
false
false
false
20
Implikasi (IF-THEN)
Implikasi p  q adalah proposisi yang bernilai salah
jika p benar dan q salah, dan bernilai benar jika
lainnya.
P
Q
PQ
true
true
true
true
false
false
false
true
true
false
false
true
21
Implikasi p  q
•
•
•
•
•
•
Jika p, maka q
Jika p, q
p mengakibatkan q
p hanya jika q
p cukup untuk q
Syarat perlu untuk p
adalah q
•
•
•
•
•
•
q jika p
q ketika p
q diakibatkan p
q setiap kali p
q perlu untuk p
Syarat cukup untuk q
adalah p
22
Contoh Implikasi
Implikasi
“Jika hari ini hari Jumat maka 2+3 > 7.”
bernilai benar untuk semua hari kecuali hari Jumat,
walaupun 2+3 > 7 bernilai salah.
Kapan pernyataan berikut bernilai benar?
“Jika hari tidak hujan maka saya akan pergi ke
Lembang.”
23
Konversi, Kontrapositif, dan Invers
• q  p disebut konversi dari p  q
• q  p disebut kontrapositif dari p  q
• p  q disebut invers dari p  q
24
Bikondisional
(IF AND ONLY IF)
Operator Biner, Simbol: 
P
Q
PQ
true
true
true
true
false
false
false
true
false
false
false
true
25
1.2. APPLICATIONS OF
PROPOSITIONAL LOGIC
26
Bahasa dalam Ekspresi Logika (1)
Contoh. Ubah ke dalam ekspresi logika:
“Anda mempunyai akses internet hanya jika anda mahasiswa
Matematika ITB atau anda bukan mahasiswa TPB”
Solusi. Misal a : “Anda punya akses internet”
m: “Anda mhs Matematika ITB”
f: “Anda mhs TPB”
a  (m   f)
27
Bahasa dalam Ekspresi Logika (2)
Soal 1. Ubah kedalam ekspresi logika.
“Anda tidak boleh naik roller coaster jika tinggi anda
kurang dari 100 cm, kecuali usia anda sudah
melebihi 16 th.”
“Saya akan ingat tentang kuliah besok hanya jika
kamu mengirim sms.”
“Pantai akan erosi ketika ada badai”
28
Puzzle Logika (1)
(Smullyan, ‘98)
Suatu pulau mempunyai dua macam penghuni,
yaitu penjujur (orang yg selalu berkata benar) dan
pembohong (orang yg selalu berkata
salah/bohong).
Anda bertemu dua orang A dan B di pulau itu. Jika
A berkata bhw “B penjujur” dan B berkata bhw
“kami berdua mempunyai tipe yg berlainan”,
maka apa yang dapat anda simpulkan tentang A
dan B.
29
Puzzle Logika (2)
§1.1 No. 60
Alice: Carlos did it. Carlos: Diana did it.
Diana: Carlos is lying. John: I didn’t do it.
Oracle: Only one of them is telling the truth.
Problem: Who did it?
30
Dengan menggunakan tabel kebenaran, cari
baris di mana hanya 1 pernyataan yang benar
31
1.3. PROPOSITIONAL
EQUIVALENCES
32
Salah satu langkah penting dalam argumentasi
matematis adalah mengganti suatu pernyataan
dengan pernyataan lain yang memiliki nilai
kebenaran yang sama.
33
Tautologi dan Kontradiksi
Tautologi adalah suatu pernyataan majemuk yang selalu benar.
Contoh:
• R(R)
• (PQ)(P)(Q)
Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.
Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.
34
Tautologi dan Kontradiksi (2)
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai
salah.
Contoh:
• R(R)
• ((PQ)(P)(Q))
Negasi dari suatu tautologi adalah suatu kontradiksi, negasi dari
kontradiksi adalah suatu tautologi.
35
Pernyataan yang Ekivalen (1)
P
Q
PQ
 (PQ)
(P)(Q)
true
true
true
false
false
true
false
false
true
true
false
true
false
true
true
false
false
false
true
true
36
Pernyataan yang Ekivalen (2)
Dua pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang sama
untuk semua kasus yang mungkin disebut ekivalen secara logika.
Notasi p ≡ q berarti p dan q ekivalen secara logika.
P
Q
(PQ)
(P)(Q)
(PQ)(P)(Q)
true
true
false
false
true
true
false
true
true
true
false
true
true
true
true
false
false
true
true
true
Pernyataan (PQ) dan (P)(Q) ekivalen
(Note: (PQ)(P)(Q) selalu benar)
37
Ekivalen secara Logika
38
Contoh
Tunjukkan bahwa￢(p ∨ (￢p ∧ q)) dan
￢p ∧￢q adalah ekivalen secara logika.
Solusi.
METODA 1 dengan menggunakan Tabel
Kebenaran
METODA 2 dengan menggunakan sekumpulan
ekivalensi
39
￢(p ∨ (￢p ∧ q)) ≡ ￢p ∧￢(￢p ∧ q)
Hukum De Morgan
≡ ￢p ∧ [￢(￢p)∨￢q]
Hukum De Morgan
≡ ￢p ∧ (p ∨￢q)
≡ (￢p ∧ p) ∨ (￢p ∧￢q)
Sifat distributif
≡ F ∨ (￢p ∧￢q)
￢p ∧ p ≡ F
≡ (￢p ∧￢q) ∨ F
Sifat komutatif
≡ ￢p ∧￢q
40
1.4. PREDICATES AND QUANTIFIERS
41
Predikat dan Kuantifier
Pernyataan “x > 3” punya 2 bagian, yakni “x” sebagai
subjek dan “ adalah lebih besar 3” sebagai predikat P.
Kita dpt simbolkan pernyataan “x > 3” dengan P(x).
Sehingga kita dapat mengevaluasi nilai kebenaran dari
P(4) dan P(1).
Subyek dari suatu pernyataan dapat berjumlah lebih
dari satu.
Contoh. Q(x,y): x - 2y > x + y
42
Kuantifikasi Universal
“P(x) benar untuk semua nilai x dalam domain
pembicaraan”
x P(x).
Soal 2.
Tentukan nilai kebenaran x (x2  x) jika:
x bilangan real
x bilangan bulat
Untuk menunjukkan x P(x) salah, cukup dengan mencari
satu nilai x dalam domain shg P(x) salah.
Nilai x tersebut dikatakan contoh penyangkal (counter
example) dari pernyataan x P(x).
43
Kuantifikasi Eksistensi
“Ada nilai x dalam domain pembicaraan sehingga P(x)
bernilai benar”
x P(x).
Soal 3.
Tentukan nilai kebenaran dari x P(x) bila P(x)
menyatakan “x2 > 12” dan domain pembicaraan
meliputi semua bilangan bulat positif tidak lebih dari 4.
44
Negasi
“Setiap mhs dalam kelas ini telah mengambil Kalkulus
IA”
x P(x)
Apakah negasi dari pernyataan ini….?
“Ada seorang mhs dalam kelas ini yang belum
mengambil Kalkulus IA”
x  P(x)
Jadi,  x P(x)  x  P(x).
45
Negasi (2)
Soal 4.
Carilah negasi dari pernyataan berikut:
“Ada politikus yang jujur”
“Semua orang Indonesia makan pecel lele”
Soal 5.
Tentukan negasi dari:
x(x2 > x)
x (x2 = 2)
46
1.5. NESTED QUANTIFIERS
47
Kuantifier Bersusun
x y (x+y = y+x)
berarti x+y = y+x berlaku untuk semua bilangan real
x dan y.
x y (x+y = 0)
berarti untuk setiap x ada nilai y sehingga x+y = 0.
x y z (x+(y+z) = (x+y)+z)
berarti untuk setiap x, y dan z berlaku hukum
asosiatif x+(y+z) = (x+y)+z.
48
Soal
Soal 6. Artikan kalimat ini dalam bhs Indonesia:
x (C(x)  y ( C(y)  F(x,y))),
bila C(x) : “x mempunyai komputer”,
F(x,y): “x dan y berteman”,
dan domainnya adalah semua mhs di kampus.
Soal 7. Bagaimana dengan berikut ini:
x y z((F(x,y)  F(x,z)  (y  z)  F(y,z))
Soal 8. Nyatakan negasi dari pernyataan
x y (xy=1).
49