Prinsip Inklusi Eksklusi

PRINSIP INKLUSI-­‐EKSKLUSI INCLUSION-­‐EXCLUSION PRINCIPLE Prinsip Inklusi-Eksklusi
Ada berapa anggota dalam gabungan dua
himpunan hingga?
|A1 ∪ A2| = |A1| + |A2| - |A1 ∩ A2|
Contoh 1
Ada berapa bilangan bulat positif lebih kecil atau sama
dengan 100 yang habis dibagi 6 atau 9?
Solusi.
Misalkan A: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100
yang habis dibagi 6
B: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100
yang habis dibagi 9.
Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, banyaknya
bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 atau 9
adalah
| A∪ B | = | A| + | B | − | A∩ B |
= ⎣100 / 6⎦ + ⎣100 / 9⎦ − ⎣100 / 18⎦
= 16 + 11 + 5 = 22
Contoh 2
Misalkan ada 1467 mahasiswa angkatan 2011 di ITB. 97 orang di
antaranya adalah mahasiswa Prodi Informatika, 68 mahasiswa Prodi
Matematika, dan 12 orang mahasiswa double degree Informatika dan
Matematika. Ada berapa orang yang tidak kuliah di Departemen
Matematika atau Informatika?
Solusi.
Misalkan
A: himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen
Informatika
B: himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen
Matematika
Maka |A|=97, |B|=68, dan |A∩B|=12.
Banyaknya mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika atau
Matematika adalah
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|= 97 + 68 – 12 = 153
Jadi, terdapat 1467 – 153 = 1314 mahasiswa angkatan 2004 yang tidak
kuliah di Departemen Matematika atau Informatika.
Perluasan Prinsip Inklusi-Eksklusi
untuk tiga himpunan
Angka 1 merah menunjukkan daerah yang terlibat
ketika |A| dihitung,
angka 1 hijau menunjukkan daerah yang terlibat
ketika |B| dihitung,dan
angka 1 biru menunjukkan daerah yang terlibat
ketika |C| dihitung. Terlihat bahwa daerah yang beririsan dihitung
berulang-ulang.
|A ∩ B| dikurangkan (dua 1 merah diambil),
|A ∩ C| dikurangkan (dua 1 biru diambil), dan
|B ∩ C| dikurangkan (dua 1 hijau diambil)
Terlihat bahwa penghitungan hampir benar,
kecuali pada daerah di mana ketiga
himpunan sama-sama beririsan.
Maka perlu ditambahkan kembali |A ∩ B ∩
C|.
Perluasan Prinsip Inklusi-Eksklusi untuk
tiga himpunan (2)
Jadi,
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C|
- |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C|
+ |A ∩ B ∩ C|
Contoh 3
Sebanyak 115 mahasiswa mengambil mata kuliah
Matematika Diskrit, 71 Kalkulus Peubah Banyak,
dan 56 Geometri. Di antaranya, 25 mahasiswa
mengambil Matematika Diskrit dan Kalkulus
Peubah Banyak, 14 Matematika Diskrit dan
Geometri, serta 9 orang mengambil Kalkulus
Peubah Banyak dan Geometri. Jika terdapat 196
mahasiswa yang mengambil paling sedikit satu dari
ketiga mata kuliah tersebut, berapa orang yang
mengambil ketiga mata kuliah sekaligus?
Contoh 3 (2)
Solusi.
Misalkan MD: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah
Matematika Diskrit,
KPB: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah
Kalkulus Peubah Banyak, dan
G: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah
Geometri.
Maka
|MD| = 115, |KPB| = 71, |G| = 56,
|MD ∩ KPB| = 25, |MD ∩ G| = 14, |KPB ∩ G| = 9, dan
|MD ∪ KPB ∪ G| = 196
Dengan mempergunakan prinsip inklusi-eksklusi:
|MD∪KPB∪G| = |MD| + |KPB| + |G| - |MD∩KPB| - |MD∩G|
- |KPB∩G| + |MD∩KPB∩G|
196
= 115 + 71 + 56 - 25 - 14 - 9 + |MD ∩ KPB ∩ G|
Jadi, |MD ∩ KPB ∩ G| = 2
Soal 1
Carilah banyaknya anggota dari |A ∪ B ∪ C| jika
terdapat 100 anggota dalam setiap himpunan dan jika
a.  ketiga himpunan tersebut tidak ada yang saling
beririsan
b.  terdapat 50 anggota yang sama dalam setiap pasang
himpunan dan tidak ada anggota yang sama dalam
ketiga himpunan sekaligus
c.  terdapat 50 anggota yang sama dalam setiap pasang
himpunan dan 25 anggota yang sama dalam ketiga
himpunan sekaligus
d.  irisan setiap pasang himpunan dan irisan ketiga
himpunan berukuran sama
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Teorema 1.
Misalkan A1, A2, …, An himpunan hingga.
Maka
| A1 ∪ A2 ∪  ∪ A2 | = ∑ | Ai | − ∑ | Ai ∩ Aj |
1≤i ≤ n
+
1≤i ≤ j ≤ n
n +1
|
A
∩
A
∩
A
|
−

+
(
−
1
)
| A1 ∩ A2 ∩ ∩ An |
∑ i j k
1≤i ≤ j ≤ k ≤ n
Contoh 4
Carilah banyaknya anggota dari |A ∪ B ∪ C ∪ D| jika
setiap himpunan berukuran 50, setiap irisan dari dua
himpunan berukuran 30, setiap irisan dari tiga himpunan
berukuran 10, dan irisan dari keempat himpunan berukuran
2.
Solusi.
|A∪B∪C∪D|=|A| + |B| + |C| + |D|
- |A∩B|-|A∩C|-|A∩D|-|B∩C|
- |B∩D|- |C∩D|
+ |A∩B∩C|+ |A∩B∩D|+|A∩C∩D|
+ |B∩C∩D| - |A ∩ B ∩ C ∩ D|
= 4 . 50 – 6 . 30 + 4 . 10 – 2 = 58
Soal
Soal 2.
Ada berapa banyak permutasi dari ke-26 huruf
dalam alfabet yang memuat paling sedikit satu dari
kata FIGHT, BALKS, MOWER.
Soal 3.
Ada berapa banyak permutasi dari ke-26 huruf
dalam alfabet yang memuat paling sedikit satu dari
kata CAR, CARE, SCARE, SCARED.
APLIKASI DARI PRINSIP INKLUSI-­‐
EKSKLUSI Beberapa Aplikasi
Inklusi-Eksklusi
•  Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil
dari suatu bilangan bulat positif
•  Banyaknya fungsi pada dari suatu
himpunan hingga ke himpunan hingga
lainnya.
•  Masalah derangement: penitipan topi ( the
hatcheck problem )
Bentuk Alternatif Inklusi-Eksklusi
Misalkan S: himpunan dengan jumlah anggota N.
Ai: subhimpunan yang memuat anggota dengan sifat Pi.
N ( P1P2 !Pn ) : banyaknya anggota dengan semua sifat P1, P2 ,!, Pn dan
N (P1 ' P2 ' Pn ') : banyaknya anggota yang tidak memiliki sifat P1 , P2 ,, Pn
maka
N ( P1P2 !Pn ) = | A1 ! A2 !!! An |
N (P1 ' P2 ' Pn ') = N − | A1 ∪ A2 ∪ ∪ An |
Dengan prinsip inklusi-eksklusi,
N (P1 ' P2 ' Pn ') = N −
∑ N (P ) + ∑ N (P P )
i
1≤i ≤ n
−
i
j
1≤i ≤ j ≤ n
n
N
(
P
P
P
)
+

+
(
−
1
)
N ( P1P2  Pn )
∑ i jk
1≤i ≤ j ≤ k ≤ n
Contoh 1
Ada berapa solusi yang dimiliki oleh
x1 + x2 + x3 = 11
dengan x1, x2, x3 bilangan bulat tak negatif dan x1 ≤ 3, x2 ≤ 4,
dan x3 ≤ 6.
Solusi.
Misalkan P1: sifat x1 > 3, P2: sifat x2 > 4, dan P3: sifat x3 > 6.
Maka banyaknya solusi adalah:
N (P1 ' P2 ' P3 ') = N − N ( P1 ) − N ( P2 ) − N ( P3 )
+ N ( P1 P2 ) + N ( P1 P3 ) + N ( P2 P3 ) − N ( P1 P2 P3 )
Contoh 1 (2)
• 
• 
• 
• 
• 
N: jumlah solusi total = C(3+11-1,11) = 78
N(P1): jumlah solusi dengan x1 ≥ 4 = C(3+7-1,7) = 36
N(P2): jumlah solusi dengan x2 ≥ 5 = C(3+6-1,6) = 28
N(P3): jumlah solusi dengan x3 ≥ 6 = C(3+5-1,5) = 15
N(P1 P2): jumlah solusi dengan x1 ≥ 4 dan x2 ≥ 5 = C(3+2-1,2)
=6
•  N(P1 P3): jumlah solusi dengan x1 ≥ 4 dan x3 ≥ 7 = C(3+0-1,0)
=1
•  N(P2 P3): jumlah solusi dengan x2 ≥ 5 dan x3 ≥ 7 = 0
•  N(P1P2P3): jumlah solusi dengan x1 ≥ 4, x2 ≥ 5 dan x3 ≥ 7 = 0
Jadi, N(P1 P2 P3 ) =78 - 36 - 28 - 15 + 6 + 1 + 0 - 0 =6
The Sieve of Erotosthenes
•  Mencari banyaknya bilangan prima yang tidak melebihi
suatu bilangan bulat positif tertentu.
•  Suatu bilangan komposit hanya dapat dibagi oleh bilangan
prima yang tidak melebihi akar bilangan tersebut.
Contoh 2.
Tentukan banyaknya bilangan prima yang tidak melebihi 100.
Solusi.
Faktor prima dari bilangan yang kurang dari 100 tidak akan
melebihi 10.
Jadi, bilangan yang kurang dari 100 habis dibagi 2, 3, 5, atau 7.
The Sieve of Erotosthenes (2)
Misalkan P1: sifat bilangan habis dibagi 2, P2: sifat bilangan habis
dibagi 3, P3: sifat bilangan habis dibagi 5, dan P4: sifat bilangan
habis dibagi 7.
Maka banyaknya bilangan prima yang lebih besar 1 dan tidak
melebihi 100 adalah: 4 + N(P1 P2 P3 P4 )
Jadi, menurut inklusi-eksklusi:
N (P1 ' P2 ' P3 ' P4 ') = 99 − N ( P1 ) − N ( P2 ) − N ( P3 ) − N ( P4 )
+ N ( P1 P2 ) + N ( P1 P3 ) + N ( P1 P4 ) + N ( P2 P3 ) + N ( P2 P4 ) + N ( P3 P4 )
− N ( P1 P2 P3 ) − N ( P1 P2 P4 ) − N ( P1 P3 P4 ) − N ( P2 P3 P4 )
− N ( P1 P2 P3 P4 )
⎢100 ⎥ ⎢100 ⎥ ⎢100 ⎥ ⎢100 ⎥
= 99 − ⎢
− ⎢
− ⎢
− ⎢
⎥
⎥
⎥
⎣ 2 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ 5 ⎦ ⎣ 7 ⎥⎦
⎢100 ⎥ ⎢100 ⎥ ⎢ 100 ⎥ ⎢100 ⎥ ⎢100 ⎥ ⎢100 ⎥
+ ⎢
+ ⎢
+ ⎢
+ ⎢
+ ⎢
+ ⎢
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎣ 2 ⋅ 3 ⎦ ⎣ 2 ⋅ 5 ⎦ ⎣ 2 ⋅ 7 ⎦ ⎣ 3 ⋅ 5 ⎦ ⎣ 3 ⋅ 7 ⎦ ⎣ 5 ⋅ 7 ⎥⎦
⎢ 100 ⎥ ⎢ 100 ⎥ ⎢ 100 ⎥ ⎢ 100 ⎥ ⎢ 100 ⎥
− ⎢
− ⎢
− ⎢
− ⎢
− ⎢
= 21
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎣ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⎦ ⎣ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⎦ ⎣ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⎦ ⎣ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⎦ ⎣ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⎦
The Sieve of Erotosthenes (3)
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Banyaknya fungsi pada
Ada berapa banyak fungsi pada dari himpunan dengan 6
anggota ke himpunan dengan 3 anggota?
Solusi.
Misalkan anggota-anggota dari kodomain adalah b1, b2, dan
b3. Misalkan P1, P2, dan P3 adalah sifat bahwa b1, b2, dan b3
tidak berada dalam range fungsi.
Karena fungsi akan pada jhj fungsi tersebut tidak memiliki
semua sifat P1, P2, atau P3, maka banyaknya fungsi pada dari
himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota
adalah
N (P1 ' P2 ' P3 ') = N − N ( P1 ) − N ( P2 ) − N ( P3 )
+ N ( P1 P2 ) + N ( P1 P3 ) + N ( P2 P3 ) − N ( P1 P2 P3 )
Banyaknya fungsi pada (2)
•  N: banyaknya fungsi dari himpunan dengan 6 anggota ke
himpunan dengan 3 anggota = 36.
•  N(Pi): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai bi dalam
range = 26.
•  N(Pi Pj): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai bi dan bj
dalam range = 16 = 1.
•  N(P1 P2 P3): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b1,
b2, dan b3 dalam range = 0.
Jadi, banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota
ke himpunan dengan 3 anggota adalah
36 - C(3,1) 26 + C(3,2) 1 – 0 = 540
Banyaknya fungsi pada & aplikasinya
Teorema 1
Misalkan m dan n bilangan bulat positif dengan m ≥ n. Maka,
terdapat
nm - C(n,1) (n-1)m + C(n,2) (n-2)m – … + (-1)n-1 C(n,2) 1m
fungsi pada dari himpunan dengan m anggota ke himpunan
dengan n anggota.
Soal 1.
Terdapat berapa cara untuk mendelegasikan lima pekerjaan
yang berbeda pada empat karyawan yang berbeda jika setiap
karyawan ditugasi minimal satu pekerjaan?
Soal 2.
Ada berapa cara untuk mendistribusikan enam mainan yang
berbeda pada tiga anak jika setiap anak mendapatkan minimal
satu mainan?
Derangements
Derangement adalah permutasi objek sehingga tidak ada
objek yang menempati tempat aslinya.
Contoh 3.
Permutasi 654123 adalah derangement dari 123456.
Permutasi 653124 bukanlah derangement dari 123456.
Dn menyatakan banyaknya derangement dari n obyek.
Contoh 4. D3 = 2
Banyaknya derangement dari n objek
Suatu permutasi dikatakan memiliki sifat Pi jika permutasi tersebut
mengakibatkan anggota i tetap pada tempatnya.
Jelas derangement dalam himpunan dengan n anggota adalah permutasi
yang tidak memiliki sifat Pi, i=1,2,…,n. Jadi,
Dn = N (P1 ' P2 ' Pn ') = N −
∑ N (P ) + ∑ N (P P )
i
1≤i ≤ n
−
i
j
1≤i ≤ j ≤ n
n
N
(
P
P
P
)
+

+
(
−
1
)
N ( P1P2  Pn )
∑ i jk
1≤i ≤ j ≤ k ≤ n
o  N: banyaknya permutasi dengan n anggota = n!
o  N(Pi): banyaknya permutasi yang menetapkan satu anggota
= (n-1)!
o  N(Pi Pj): banyaknya permutasi yang menetapkan dua anggota
= (n-2)!
o  N(Pi1 Pj2 …Pjm): banyaknya permutasi yang menetapkan m
anggota = (n-m)!
Banyaknya derangement dari n objek (2)
Karena terdapat C(n,m) cara untuk memilih m dari n
anggota, maka
o  Σ N(Pi) = C(n,1) (n-1)!
o  Σ N(Pi Pj) = C(n,2) (n-2)!
o  Dan secara umum, Σ N(Pi1 Pj2 …Pjm) = C(n,m) (n-m)!
Sehingga,
Teorema 2.
Banyaknya derangement dalam himpunan dengan n
anggota adalah
⎡ 1 1 1
n 1 ⎤
Dn = n! ⎢1 − + − +  + (−1) ⎥
n!⎦
⎣ 1! 2! 3!
The Hatcheck Problem
Seorang pegawai baru di tempat penitipan topi
suatu rumah makan menerima titipan topi dari n
pengunjung, tetapi ia lupa untuk menomori topitopi tersebut.
Ketika para pengunjung hendak mengambil
kembali topi mereka, pegawai ini memilih secara
acak dari topi yang tersisa. Berapakah peluangnya
bahwa tidak ada seorang pun yang menerima
topinya kembali.
The Hatcheck Problem (2)
Solusi.
Peluang bahwa tidak ada seorang pun yang
menerima topinya kembali adalah
Dn
1 1
n 1
= 1 − + −  + (−1)
n!
1! 2!
n!
Jika n membesar tanpa batas.
∞
Dn
1
n 1
lim
= ∑ (−1)
= ≈ 0,368
n →∞ n!
n! e
n =1