2337-8204 74 SIMULASI ORBIT PLANET DALAM

PRISMA FISIKA, Vol. III, No. 2 (2015), Hal. 69 - 74
ISSN : 2337-8204
SIMULASI ORBIT PLANET DALAM TATA SURYA DENGAN METODE EULER,
LEAPFROG DAN RUNGE-KUTTA
Suraina1), Yudha Arman1), Boni Pahlanop Lapanporo1)
1)
Jurusan Fisika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Tanjungpura Pontianak
*Email : [email protected]
Abstrak
Telah dilakukan simulasi gerak planet yang saling berinteraksi satu sama lain dan berinteraksi dengan
matahari. Simulasi ini bertujuan untuk mengetahui perbandingan hasil integrasi gerak planet dalam tata
surya dengan metode Euler, Leapfrog dan Runge-Kutta orde 4. Dari pemodelan yang telah dilakukan
terlihat bahwa lintasan orbit planet hasil simulasi metode Leapfrog lebih presisi dari pada metode Euler
dan Runge Kutta orde 4. Error energi total dari metode Leapfrog juga lebih kecil yaitu -0,1371. Sedangkan
error energi total dari metode Euler dan Runge-Kutta orde 4 berturut-turut adalah sebesar -0,1429 dan
-0,1442.
Kata kunci : Persamaan dinamika Newton, model gerak planet, energi total
1.
Pendahuluan
Dalam pandangan heliosentris planetplanet cenderung bergerak mengelilingi
matahari. Lintasan planet mengelilingi matahari
sebenarnya adalah elips sebagaimana yang
dikemukakan oleh seorang ahli matematika dan
astronomi dari Jerman bernama Johanes Kepler
(1571-1630). Ia juga menunjukkan bahwa
planet tidak bergerak dengan kelajuan konstan
tetapi bergerak lebih cepat ketika berada dekat
dengan matahari. Lintasan dan gerak planet di
dalam tata surya dijelaskan dalam tiga hukum
Kepler. Ketiga hukum tentang gerak planet
tersebut adalah : pertama, semua planet
bergerak dalam orbit ellips dengan matahari
berada di salah satu fokusnya. Kedua, garis yang
menghubungkan tiap planet ke matahari
menyapu luasan yang sama dalam waktu yang
sama. Ketiga, kuadrat periode tiap planet
sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-rata
planet terhadap matahari (Tipler, 1998).
Pada era modern, hukum Kepler digunakan
untuk mengaproksimasi orbit satelit dan bendabenda yang mengorbit matahari seperti planet
luar dan asteroid. Hukum-hukum ini pada
dasarnya menjabarkan gerakan dua benda yang
saling mengorbit satu sama lain.
Kajian tentang lintasan dan gerak planet
dapat disimulasikan dengan metode komputasi.
Simulasi ini akan menggambarkan bagaimana
gerak yang dihasilkan oleh planet meliputi
kecepatan dan posisi setiap saat yang dialami
oleh planet. Salah satu hal yang menarik dari
simulasi tersebut adalah membandingkan model
gerak planet dengan berbagai metode serta
menganalisis aplikasi metode tersebut dalam
simulasi delapan planet yang saling berinteraksi
satu sama lain dan dengan matahari.
Simulasi ini bertujuan untuk mengetahui
perbandingan hasil integrasi gerak planet dalam
tata surya dengan metode Euler, Leapfrog dan
Runge-Kutta orde 4. Simulasi ini dapat
digunakan untuk mengetahui profil dari gerak
planet melalui analisis solusi numerik yang
didapatkan dengan ketiga metode tersebut serta
dapat memberikan informasi mengenai metode
terbaik
yang
dapat
digunakan
untuk
menyelesaikan model gerak planet.
2. Metodologi
2.1 Model Gerak Planet
Kajian simulasi orbit planet dalam tata
surya dengan metode Euler, Leapfrog dan
Runge-Kutta orde 4 tidak lepas dari analisis dan
perhitungan persamaan differensial biasa.
Persamaan yang digunakan dalam penelitian ini
adalah persamaan dinamika Newton untuk
interaksi delapan buah planet dan matahari
yang dituliskan sebagai berikut :
dvx
GMxb Gmm  xm  xb  Gmv  xv  xb 



dt
rb 3
rbm 3
rbv 3


Gmr  xr  xb 
rbr 3
Gmu  xu  xb 
rbu 3
Gm j  x j  xb  Gms  xs  xb 


rbj 3
rbs 3

(1)
Gmn  xn  xb 
rbn3
dan
74
PRISMA FISIKA, Vol. III, No. 2 (2015), Hal. 69 - 74
dv y
dt



GMyb Gmm  ym  yb  Gmv  yv  yb 


rb 3
rbm 3
rbv 3
Gmr  yr  yb 
rbr 3
Gmu  yu  yb 
rbu
3


Gm j  y j  yb 
rbj 3

Gms  ys  yb 
rbs 3
(2)
Gmn  yn  yb 
rbn
dengan x1 dan y1 merupakan posisi planet 1 pada
bidang x dan y, x2 dan y2 merupakan posisi
planet 2 pada bidang x dan y. Untuk
memudahkan perhitungan batas awal yang
digunakan adalah y0  0 dan x0  r , dimana
y0 dan x0 merupakan posisi awal planet dalam
arah x dan y, sedangkan r merupakan jarak ratarata planet dengan matahari. Berikut data planet
yang digunakan dalam simulasi ini yang meliputi
data jarak rata-rata planet ke matahari dan
periode setiap planet.
Tabel 1. Data planet yang digunakan dalam
hukum III Kepler
Jarak rata-rata
Periode
Planet
dari matahari
(Earth Years)
(AU)
Merkurius
0,387
0,241
0,723
1,0
1,523
5,202
9,539
19,18
30,06
adalah absis titik pada garis hampiran tersebut
yang memiliki absis yi+1.
Metode
Euler
digunakan
untuk
menyelesaikan persamaan (1) dan (2), sehingga:
kecepatan dalam arah x,
vix,b1  vxi ,b  (
3
dimana M adalah massa matahari, mm massa
merkurius, mv massa venus, mr massa mars, mj
massa jupiter, ms massa saturnus, mu massa
uranus, mn massa neptunus, sedangkan G adalah
konstanta gravitasi.
Persamaan (1) dan (2) merupakan
persamaan gerak planet bumi dalam komponen
x dan y yang akan diselesaikan secara numerik.
Untuk persamaan gerak planet yang lain,
variabel xb dan yb digantikan dengan variable x
dan y yang bersesuaian. Jarak antara dua planet
dapat dihitung menggunakan persamaan
berikut :
2
2
(3)
r12   x2  x1    y2  y1 
Venus
Bumi
Mars
Jupiter
Saturnus
Uranus
Neptunus
(Gould, 1938)
ISSN : 2337-8204
0,615
1,0
1,88
11,86
29,5
84,0
165
2.2 Metode Euler
Metode euler merupakan metode yang
paling sederhana untuk menyelesaikan masalah
nilai awal (Sahid, 2004). Kondisi atau syarat atau
nilai awal (x0, y0) digunakan untuk menghitung
besarnya slope (atau tangent arah) y(x) pada
x = x0. Prinsip metode euler adalah hampiran
kurva penyelesaian di sekitar yi dengan garis
yang melalui (xi, yi). Hampiran selanjutnya di yi+1


GMxb Gmm  xm  xb 

rb 3
rbm3
Gmv  xv  xb  Gmr  xr  xb 

rbv3
rbr 3
Gm j  x j  xb 
rbj
3

Gms  xs  xb 
rbs 3
Gmu  xu  xb  Gmn  xn  xb 


)
rbu 3
rbn3
(4)
posisi dalam arah x,
xbi 1  xbi  v xi ,b1t
(5)
kecepatan dalam arah y,
GMy Gmm  ym  yb 
vy,i b1  vy,i b  ( 3 b 
rb
rbm3

Gmv  yv  yb  Gmr  yr  xb 

rbv 3
rbr 3

Gm j  y j  yb  Gms  ys  yb 

rbj 3
rbs 3
(6)
Gmu  yu  yb  Gmn  yn  yb 

)
rbu 3
rbn 3
posisi dalam arah y,

ybi 1  ybi  vy,i b1t
(7)
2.3 Metode Leapfrog
Integrator leapfrog merupakan salah satu
contoh integrator symplectic. Dalam integrator
leapfrog terdapat dua operator utama untuk
memisahkan energi potensial dan energi kinetik
pada persamaan Hamiltonian, yaitu operator
drift dan kick (Dehnen dan Read, 2011).
Algoritma Leapfrog yang bersesuaian
dengan persamaan (1) dan (2) dituliskan
sebagai berikut
kecepatan dalam arah x,
 GMxb Gmm  xm  xb 




3
rbm 3
 rb

 Gm  x  x  Gm  x  x  
v
v
b
r
r
b



rbv 3
rbr 3


v ix,b1  vxi ,b  
 2t
Gm
x

x
Gms  xs  xb  
j j
b





rbj 3
rbs 3


 Gmu  xu  xb  Gmn  xn  xb  



rbu 3
rbn 3


posisi dalam arah x,
xbi 1  xbi  vix,b1t
(8)
(9)
75
PRISMA FISIKA, Vol. III, No. 2 (2015), Hal. 69 - 74
kecepatan dalam arah y,
 GMyb Gmm  ym  yb 

 3 

rbm3
 rb

 Gm  y  y  Gm  y  x  
v
v
b
r
r
b



rbv 3
rbr 3


vy,i b1  vy,i b  
 2 t
Gm
y

y


Gm
y

y


j
j
b

s
s
b 



rbj 3
rbs 3


 Gmu  yu  yb  Gmn  yn  yb  



rbu 3
rbn3


posisi dalam arah y,
ybi 1  ybi  vy,i b1t
x
6
1
b.
10)
3
k1  

rbj 3

Gmu  xu  xb  Gmn  xn  xb 

)   0.5k1t 
rbu3
rbn3

GMxb Gmm  xm  xb  Gmv  xv  xb 


rb 3
rbm3
rbv 3

Gmr  xr  xb  Gm j  x j  xb  Gms  xs  xb 


rbr 3
rbj 3
rbs 3
Gmu  xu  xb 
rbu
k4  (
d.
(13)
3

Gmn  xn  xb 
rbn 3
)   0.5k2 t 
GMxb Gmm  xm  xb  Gmv  xv  xb 


rb 3
rbm3
rbv 3

Gmr  xr  xb  Gm j  x j  xb  Gms  xs  xb 


rbr 3
rbj 3
rbs3

Gmu  xu  xb  Gmn  xn  xb 

)   k3 t 
rbu 3
rbn3
kecepatan dalam arah y,
v iy1  v iy 
(14)
1
 k1  2 k2  2 k3  k 4  t
6
posisi dalam arah y,
(15)
y i 1  y i  viy1t
Dengan
Gmm  ym  yb  Gmv  yv  yb  Gmr  y r  yb 
b
a. k1   GMy



3
3
3
3
rb

Gm j  y j  yb 
rbj 3
k2  (
b.




d.

rbv
rbs 3

rbr
Gmu  yu  yb 
rbu 3

Gmn  yn  yb 
rbn 3
GMyb Gmm  ym  yb  Gmv  yv  yb 


rb 3
rbm 3
rbv3
rbr 3
Gmu  yu  yb 
rbu3
k 3  (
c.
rbm
Gms  ys  yb 
Gmr  yr  yb 


Gm j  y j  yb 
rbj 3
Gmn  yn  yb 
rbn3

Gms  ys  yb 
rbs 3
)   0.5k1t 
GMyb Gmm  ym  yb  Gmv  yv  yb 


rb3
rbm 3
rbv3
Gmr  yr  yb  Gm j  y j  yb  Gms  ys  yb 


rbr 3
rbj 3
rbs 3
Gmu  yu  yb 
rbu3
k 4  (
GMxb Gmm  xm  xb  Gmv  xv  xb  Gmr  xr  xb 



rb3
rbm 3
rbv 3
rbr 3
Gm j  x j  xb 

4
dengan
a.
Gmr  xr  xb  Gm j  x j  xb  Gms  xs  xb 


rbr 3
rbj 3
rbs 3
c.
posisi dalam arah x,
x i 1  x i  v ix1t

k3  (
(11)
2
GMxb Gmm  xm  xb  Gmv  xv  xb 


rb3
rbm 3
rbv3
k 2  (
2.4 Metode Runge-Kutta
Metode Runge Kutta merupakan suatu
metode yang digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial secara numerik atau
pendekatan
sehingga
mendapatkan
penyelesaian yang lebih signifikan daripada
penyelesaian secara analitik. Metode Runge
Kutta merupakan salah satu algoritma
pemecahan diferensial dengan prinsip deret
Taylor. Metode ini mencapai keakuratan dari
suatu pendekatan Taylor tanpa memerlukan
turunan-turunan tingkat tinggi (Matthew dan
Fink, 2004).
Metode
Runge-Kutta
dibuat
untuk
mendapatkan ketelitian yang lebih tinggi dan
kelebihan dari metode ini adalah bahwa untuk
memperoleh
hasil-hasil
tersebut
hanya
diperlukan nilai-nilai fungsi di titik-titik
sembarang yang dipilih pada suatu interval
bagian (Wahyudin, 1987). Pada metode Runge
Kutta, semakin tinggi ordenya semakin tinggi
pula tingkat ketelitian yang akan didapatkan. Di
sisi lain, parameter yang diperlukan juga akan
lebih banyak. Pada umumnya, penyelesaian
persamaan diferensial biasa akan menggunakan
metode Runge Kutta orde-4. Runge Kutta orde-4
membutuhkan
satu
nilai
awal
untuk
memulainya (y0) dan potongan dari empat
perhitungan deret Taylor (Suparno, 2008).
Metode Runge Kutta orde 4 juga digunakan
untuk menyelesaikan persamaan (1) dan (2),
sehingga
kecepatan dalam arah x,
1
(12)
v i 1  v i   k  2 k  2 k  k  t
x
ISSN : 2337-8204

Gmn  yn  yb 
rbn3
)   0.5k2 t 
GMyb Gmm  ym  yb  Gmv  yv  yb 


rb 3
rbm3
rbv 3

Gmr  yr  yb  Gm j  y j  yb  Gms  ys  yb 


rbr 3
rbj 3
rbs 3

Gmu  yu  yb  Gmn  yn  yb 

)   k 3 t 
rbu 3
rbn 3
Gms  xs  xb  Gmu  xu  xb  Gmn  xn  xb 


rbs 3
rbu 3
rbn 3
76
PRISMA FISIKA, Vol. III, No. 2 (2015), Hal. 69 - 74
2.5 Energi Total Planet
Pada simulasi gerak planet ini juga akan
dibandingkan nilai galat (eror) energi total
planet ketika mengelilingi matahari yang
dihasilkan oleh metode Euler, Leapfrog dan
Runge-Kutta orde 4. Energi total planet dapat
diperoleh dengan menjumlahkan energi
potensial dan energi kenetik delapan planet
secara analitik dan numerik. Selisih hasil analitik
dan numerik akan mengahasilkan nilai galat
(eror). Perhitungan energi total planet
dirumuskan dalam perhitungan berikut.
energi potensial delapan planet,
Ep  

GMmm GMmv GMmb GMmr



rm
rv
rb
rr
GMm j
rj

(16)
GMms GMmu GMmn


rs
ru
rn
energi kinetik delapan planet,
1
1
1
1
mm vm 2  mv vv 2  mb vb 2  mr vr 2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
 m j v j  ms vs  mu vu  mn vn 2
2
2
2
2
Ek 
(17)
Untuk perhitungan energi kinetik secara analitik
menggunakan nilai kecepatan awal setiap
planet. Sedangkan perhitungan energi kinetik
secara numerik menggunakan nilai kecepatan
akhir yang diperoleh dari hasil simulasi. Adapun
energi total planet dan nilai erornya diperoleh
melalui perhitungan berikut.
(18)
E  E p  Ek
e
Enumerik  Eanalitik
Eanalitik
(19)
2.6 Diagram Alir Penelitian
Alur pada penelitian ini disajikan pada
diagram berikut.
ISSN : 2337-8204
3.
Hasil Dan Pembahasan
Penggambaran mengenai gerak planet
sebagaimana yang telah diungkapkan oleh
Kepler tidak memperhatikan adanya efek planet
lain di sekitarnya. Atau dengan kata lain masalah
hanya dibatasi pada two body problems. Hal ini
tentunya kurang tepat, mengingat dalam
kenyataannya tata surya kita terdiri dari
delapan planet yang mengitari matahari.
Masalah dua benda yang berinteraksi seperti
digambarkan oleh hukum kuadrat terbalik dapat
diselesaikan secara eksak. Akan tetapi, jika
ditambahkan lagi satu planet saja (selanjutnya
dikenal dengan three body problems) maka akan
sangat sulit diselesaikan secara analitik. Dalam
penelitian ini diambil kasus few body problems
yaitu matahari dan delapan planet yang saling
berinteraksi satu sama lain. Persamaan
matematis yang digunakan dalam penelitian ini
didapatkan dari persaman (1) dan (2) yang
menghasilkan grafik profil gerak planet pada
bidang x dan y, serta nilai eror energi total
masing-masing metode.
Untuk
mempermudah
dalam
menggambarkan model gerak planet digunakan
suatu satuan universal yang dikenal sebagai
satuan astronomi (astronomical unit atau AU).
Satuan universal ini digunakan untuk
mengantisipasi perhitungan numerik yang
sangat besar. Satuan astronomi (AU) digunakan
sebagai satuan jarak rata-rata planet ke
matahari (1 AU = 1,496 x 1011 m). Sedangkan
satuan waktu yang digunakan dalam penelitian
ini adalah tahun (1 tahun = 3,15 x 107 s).
Dalam simulasi ini lintasan orbit planet
dibuat dalam dua grafik yaitu grafik lintasan
planet dalam dan planet luar. Hal ini
dikarenakan jarak antara planet Merkurius dan
Neptunus sangat jauh sehingga simulasi ini tidak
dapat menghasilkan lintasan delapan planet
dalam satu grafik. Hasil simulasi program profil
gerak planet Merkurius, Venus, Bumi dan Mars
dengan metode Euler, Leapfrog dan RungeKuttaa orde 4 dapat dilihat pada gambar
berikut.
Profil Gerak Planet
2
1.5
1
y(AU)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x(AU)
Gambar 1. Grafik lintasan planet Merkurius,
Venus, Bumi dan Mars dengan metode Euler
Gambar 3. Tahapan-tahapan penelitian
77
PRISMA FISIKA, Vol. III, No. 2 (2015), Hal. 69 - 74
ISSN : 2337-8204
Profil Gerak Planet
Profil Gerak Planet
2
30
1.5
20
1
10
y(AU)
y(AU)
0.5
0
0
-0.5
-10
-1
-20
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-30
2
-30
x(AU)
Gambar 2. Grafik lintasan planet Merkurius,
Venus, Bumi dan Mars dengan metode Leapfrog
Profil Gerak Planet
-20
-10
0
10
20
30
x(AU)
Gambar 5. Grafik lintasan planet Jupiter,
Saturnus, Uranus dan Neptunus dengan metode
Leapfrog
2
Profil Gerak Planet
1.5
30
1
20
y(AU)
0.5
0
10
y(AU)
-0.5
-1
-2
-2
0
-10
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-20
x(AU)
Gambar 3. Grafik lintasan planet Merkurius,
Venus, Bumi dan Mars dengan metode RK4
Gambar 1, 2 dan 3 merupakan hasil simulasi
lintasan orbit planet Merkurius, Venus, Bumi
dan Mars dengan. Warna hitam pada ketiga
gambar di atas merupakan lintasan planet
Merkurius, warna merah merupakan lintasan
planet Venus, warna biru merupakan lintasan
planet Bumi, dan warna hijau merupakan
lintasan planet Mars. Dari ketiga gambar
tersebut terlihat bahwa bahwa planet Merkurius
mengalami pergeseran paling besar diantara
planet Venus, Bumi dan Mars. Hal ini disebabkan
karena Merkurius merupakan planet yang paling
dekat dengan Matahari. Dalam eksperimennya,
Clemence menemukan bahwa presesi planet
Merkurius dalam jangka waktu satu abad adalah
sebesar 43,11  0,45 .
Untuk hasil simulasi program profil gerak
planet Jupiter, Saturnus, Uranus dan Neptunus
dapat dilihat pada gambar berikut.
Profil Gerak Planet
30
20
y(AU)
10
0
-10
-20
-30
-30
-20
-10
0
10
20
30
x(AU)
Gambar 4. Grafik lintasan planet Jupiter,
Saturnus, Uranus dan Neptunus dengan metode
Euler
-30
-30
-20
-10
0
10
20
30
x(AU)
Gambar 6. Grafik lintasan planet Jupiter,
Saturnus, Uranus dan Neptunus dengan metode
RK4
Gambar 4, 5 dan 6 merupakan hasil simulasi
lintasan orbit planet Jupiter, Saturnus, Uranus
dan Neptunus. Warna merah pada ketiga
gambar di atas merupakan lintasan planet
Jupiter, warna hijau merupakan lintasan planet
Saturnus, warna hitam merupakan lintasan
planet Uranus, dan warna biju merupakan
lintasan planet Neptunus.
Hasil simulasi profil gerak planet
menunjukkan bahwa terdapat perbedaan antara
simulasi dengan metode Euler, Leapfrog dan
metode Runge Kutta orde 4. Perbedaan tersebut
dapat dilihat dari posisi matahari sebagai pusat
tata surya. Dari hasil simulasi dengan metode
Leapfrog terlihat bahwa lintasan planet
mengelilingi matahari berbentuk elips dan
matahari berada pada salah satu titik fokus. Hal
ini sesuai dengan hukum Kepler pertama. Akan
tetapi hasil simulasi dengan metode Euler dan
Leapfrog sangat menyimpang dari hukum
Kepler pertama karena posisi matahari berada
di pusat lingkaran bukan disalah satu titik fokus
elips.
Selain grafik lintasan orbit setiap planet
terhadap matahari, dalam pemodelan ini juga
dihasilkan nilai eror dari energi total planet
ketika mengelilingi matahari. Dari simulasi
program metode Euler dengan interval waktu
dt  0,0001 didapatkan nilai energi total planet
ketika
mengelilingi
matahari
sebesar
78
PRISMA FISIKA, Vol. III, No. 2 (2015), Hal. 69 - 74
-7,6831 x 1027 dan galatnya sebesar -0,1429.
Untuk nilai energi total metode Leapfrog dengan
imterval waktu yang sama adalah sebesar 7,7353 x 1027 dan galatnya -0,1371. Sedangkan
nilai energi total planet dengan metode RungeKutta orde 4 untuk interval waktu yang sama
adalah sebesar -7,6712 x 1027 dan galatnya 0,1442. terlihat bahwa nilai galat energi total
yang dihasilkan oleh metode Leapfrog lebih kecil
daripada metode Euler dan Runge Kutta orde 4
untuk interval waktu yang sama.
Hasil simulasi dengan ketiga metode
tersebut menunjukkan bahwa energi yang
dimiliki oleh planet yaitu energi karena
gerakannya (EK) dan energi yang dimiliki
karena posisinya (EP) besarnya adalah konstan.
Kekekalan energi inilah yang menyebabkan
planet bergerak dalam lintasan yang sama pada
setiap tahunnya. Tanda negatif pada nilai energi
total yang dihasilkan dari ketiga metode
tersebut mengisyaratkan bahwa planet terikat
kuat oleh matahari dan tidak akan keluar dari
lintasan orbit apabila tidak ada energi luar yang
masuk ke planet.
4.
Kesimpulan
Dari penelitian ini dapat disimpulkan
bahwa solusi gerak planet yang dihasilkan
ISSN : 2337-8204
metode Leapfrog lebih presisi dan lebih sesuai
dengan hukum Kepler pertama dibandingkan
solusi gerak planet yang dihasilkan oleh metode
Euler dan Runge Kutta orde 4. Hal ini diperkuat
dengan galat (error) energi total hasil simulasi
metode Leapfrog lebih kecil daripada metode
Euler dan Runge Kutta orde 4.
DAFTAR PUSTAKA
Dehnen, W., dan J.I. Read. 2011. N-body
Simulations of Gravitational Dynamics.
European Physics Journal Plus. Vol. 126.
No. 55.
Gould, H. 1938. An Introduction to Computer
Simulation Methods : Applications to
Physical Systems. Clark University.
Matthew, J.H., dan Fink, K.K. 2004. Numerical
Methods Using Matlab. 4th Edition.
Prentice-Hall Inc.
Sahid. 2004. Pengantar Komputasi Numerik
dengan MATLAB. Yogyakarta : Andi.
Suparno, S. 2008. Komputasi untuk Sains dan
Teknik : Dalam Matlab. Edisi III. Jakarta :
Univeristas Indonesia.
Tipler, P.A. 1998. Fisika untuk Sains dan Teknik.
Jakarta : Erlangga.
Wahyudin. 1987. Metode Analisis Numerik.
Bandung : Tarsito.
79