Kajian Gejala Fisika dengan Scratch

Kajian
Gejala Fisika dengan Scratch
Penulis :
Prof. Dr. rer.nat. Wahyu Hardyanto M.Si.
Editor:
Satria Nur Karim Amrullah
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
iii
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
PRAKATA
Gejala fisika yang nyata atau real world physics sebenarnya sangat
kompleks, sehingga diperlukan pendekatan dan pemanfaatan komputer.
Pendekatan untuk hal tersebut adalah pendekatan numerik, sedangkan
implementasinya berupa pemrograman komputer. Dalam hal pemrograman
komputer, biasanya dipilih bahasa pemrograman yang sederhana dan
mudah dipahami. Salah satu bahasa pemrograman yang cukup mudah
untuk membuat program simulasi dan visualisasi gejala fisika adalah
Scratch. Scratch merupakan bahasa pemrograman yang dikembangkan oleh
MIT Media Lab. Amerika Serikat. Yang juga menarik, perangkat lunak ini
dapat digunakan secara gratis oleh siapa saja. Perbedaan yang mendasar
jika dibandingkan dengan program konvensional, kode pada program
Scratch disusun dengan menggunakan gambar. Seperti menyusun puzzle.
Berdasarkan penelitian yang dilakukan penulis terhadap penggunaan
Scratch dan pendekatan numerik dalam mengkaji gejala fisika, penulis
iv
akhirnya mencoba menyusun buku ini. Tujuannya adalah untuk meletakkan
dasar teknik komputasi guna menyelesaikan persoalan-persoalan fisika,
utamanya gejala fisika yang nyata atau real world physics. Gejala fisika
biasanya disederhanakan dengan dengan menghilangkan faktor atau
komponen yang kompleks menjadi rumusan yang ideal sebagaimana
kebanyakan dalam buku teks. Hal tersebut dimaksudkan untuk menghindari
pendekatan numerik atau penggunaan komputer. Namun dengan kemajuan
teknologi
komputer
dan
kemudahan
dalam
memprogram,
akhirnya
komputer akan dapat mengubah peranannya menjadi sesuatu yang sangat
dibutuhkan, utamanya oleh mahasiswa, guru dan dosen fisika. Dengan
demikian komputer akan berfungsi sebagai alat perubahan dan akan
menjadi komponen yang sangat penting pada saat belajar atau memahami
gejala fisika. Hal yang tidak kalah pentingnya adalah mampu memberikan
dorongan kreatifitas. Semoga buku ini bermanfaat.
Semarang, November 2014
Wahyu Hardyanto
v
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
DAFTAR ISI
PRAKATA
iii
DAFTAR ISI
PENGENALAN SCRATCH
1
1.1
Instalasi Scratch
1
1.2
1.3
1.4
Kebutuhan Minimum Instalasi Scratch Offline Editor
Instalasi Adobe Air
Instalasi Scratch Offline Editor
Mengenal IDE (Integrated Development Environment)
Scratch
Belajar Menggunakan Scratch
Sharing Aplikasi berbasis Scratch
2
3
4
10
18
GERAK SATU DIMENSI
21
2.1
Gerak Benda Jatuh
21
2.2
Solusi Numerik
25
BAB 1
1.5
1.6
1.7
BAB 2
vi
v
5
GRAFIK PADA SCRATCH
33
3.1
Grafik Pada Layar Scratch
33
3.2
Garis Sumbu Kartesian pada Scratch
36
3.3
3.4
Grafik Kecepatan dan Percepatan Benda Jatuh
Kode Program
39
41
DINAMIKA SATU DIMENSI
47
4.1
Benda pada Pegas
47
4.2
4.3
4.4
Ruang Phase
Perbaikan Algoritma
Kode Program
53
53
56
DINAMIKA DALAM DUA DIMENSI
65
5.1
Gerak Proyektil
65
5.2
5.3
5.4
5.5
Gerak Proyektil dengan Hambatan Udara
Gerak Satelit
Gerak Orbital Elektron mengitari Proton
Kode Program
67
71
76
78
RANGKAIAN RC, LR, DAN LRC
85
6.1
Rangkaian RC
85
6.2
6.3
6.4
Rangkain LR
Rangkaian LRC
Kode Program
90
93
99
BAB 3
BAB 4
BAB 5
BAB 6
BAB 7
SISTEM TIGA BENDA (Three Body System)
113
7.1
Ion H2
+
113
7.2
Kode Program
122
vii
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
HAMBURAN RUTHERFORD
135
8.1
Tinjauan Fisika dari Eksperimen Hamburan Rutherford
136
8.2
Kode Program
145
BAB 8
BAB 9
DINAMIKA DALAM TIGA DIMENSI
151
9.1
Gerak Muatan dalam medan Magnet
151
9.2
9.3
9.4
Gerak Muatan dalam medan Magnet dan Listrik
Grafik Tiga Dimensi
Kode Program
153
159
160
DAFTAR PUSTAKA
viii
167
BAB
1
PENGENALAN SCRATCH
Pada bab pertama ini diberikan pengenalan mengenai Scratch.
Scratch adalah bahasa pemrograman visual berbasis blok kode yang
didesain oleh Kindergarden Lifelong Learning Group di MIT untuk
memperkenalkan konsep dasar pemrograman dalam bahasan yang interaktif
dan menyenangkan. Dalam bahasa pemrograman Scratch, objek ( sprites)
dimanipulasi dalam background (stage) dengan menggunakan berbagai
script. Setiap sprite memiliki script yang mengontrol interaksinya dengan
sprite yang lain.
Perangkat lunak ini menggunakan lisensi opensource MIT sehingga
dapat digunakan secara gratis dan bebas oleh siapa saja. Perbedaan yang
mendasar jika dibandingkan dengan program konvensional, kode pada
program Scratch disusun dengan menggunakan gambar. Tipe penyusunan
kode yang mirip dengan permainan lego ini diharapkan dapat memudahkan
pembuat aplikasi pemula maupun yang sudah mahir.
1.1
Instalasi Scratch
Scratch dikembangkan sebagai aplikasi berbasis Cloud Computing
yang memungkinkan pengguna dan pembuat aplikasi berbantuan Scractch
dapat membagikan (sharing) ke pengguna lainnya, bahkan melihat kode
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
sumber (source code ) yang dikerjakan oleh pengguna lainnya.
Scratch
secara online dapat anda akses di laman http://scratch.mit.edu/.
Pembuatan aplikasi dengan bantuan Scratch selain dapat dikerjakan
secara online, anda juga dapat mengerjakan secara offline dengan
menginstall aplikasi Scratch Offline Editor yang dapat anda unduh di laman
http://scratch.mit.edu/scratch2download/ namun sebelumnya anda harus
memiliki Adobe Air terlebih dahulu untuk menjalankan aplikasi ini. Scratch
dapat dijalankan di berbagai sistem operasi seperti Mac, Windows dan Linux
1.2
Kebutuhan Minimum Instalasi Scratch Offline Editor
Untuk meng-install atau menjalankan Scratch membutuhkan:
1) Layar (display) : 800 x 480 atau lebih besar (warna 16-bit
atau lebih).
2) Sistem operasi : Windows 2000 atau yang terbaru, Mac OS X
10.4 atau yang terbaru, Linux Ubuntu 9.04 atau yang terbaru.
3) Hard disk 120 MB ruang bebas
4) Sebagian besar komputer memiliki memori yang cukup untuk
menjalankan
tetapi
pada
komputer
yang
sangat
tua
(komputer dengan spesifikasi rendah) Scratch dapat berjalan
lambat.
5) Instalasi Adobe Air
2
BAB 1 Sekilas Tentang Scratch
1.3
Instalasi Adobe Air
Adobe Air ini singkatan dari Adobe Integrated Runtime yang merupakan
Runtime Environment antar platform yang dibangun menggunakan Adobe Flash,
Adobe Flex, HTML, dan Ajax yang dapat dipasang sebagai aplikasi desktop.
Aplikasi Adobe Air dapat anda unduh di laman http://get.adobe.com/air/
, Kemudian jalankan aplikasi Adobe Air dengan klik ganda file tersebut.
Gambar 1. 1 . Jendela instalasi Adobe Air
Setelah sukses Adobe Air sukses terinstal, jalankan aplikasi Scratch.air
yang telah anda unduh di laman :
http://scratch.mit.edu/scratch2download/
3
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
1.4
Instalasi Scratch Offline Editor
Klik ganda file Scratch.air Kemudian tentukan lokasi tempat instalasi,
secara default biasanya terletak di C:\Program Files. Jika ingin mengubah
lokasi install, klik tombol bergambar folder. Setelah itu klik Continue
Kemudian Klik Finish sebagai langkah akhir instalasi
Gambar 1. 2 Jendela Instalasi Scratch Offline
4
BAB 1 Sekilas Tentang Scratch
1.5
Mengenal IDE (Integrated Development Environment)
Scratch
Scratch IDE terdiri dari 3 bagian penting, yakni Code Block Area,
Sprite Area dan Stage. Code Block Area menampilkan blok kode yang dapat
kita masukkan ke dalam script aplikasi yang akan kita buat.Code Block terdiri
dari
beberapa
kategori
seperti
Motion, Looks, Sound, Pen, Data,
Evente,Control, Sensing, Operators, dan More Block. Masing-masing kategori
memiliki warna yang berbeda sehingga mudah ditentukan suatu blok kode
berasal dari kategori yang mana.
Gambar 1. 3 Tampilan IDE Scratch 2 Offline Editor
5
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Di sebelah kanan area blok kode (Code Block Area) adalah area
sprite. Informasi tentang sprite yang dipilih akan ditampilkan di bagian atas
daerah ini. dia area ini tersedia tiga tab yang digunakan untuk mengontrol
akses ke script (Script Tab), tampilan sprite (Custom Tab), dan Suara sprite
(Sound Tab) .
Di sebelah kiri area area blok kode (Code Block Area) adalah Stage,
Stage berfungsi sebagai layar dalam pembuatan aplikasi. di bagian bawah
Stage terdapat daftar sprite (Sprite List) yang menampilkan daftar semua
sprite yang digunakan dalam pembuatan aplikasi.
Tabel 1. 1 Daftar Scratch Block Category
No
1
Block Category
Motion Blocks
6
Keterangan
Blok berwarna biru
medium, digunakan
untuk mengontrol
gerakan sprite
Block
Move () Steps • Turn ()
Degrees • Point in
Direction () • Point
Towards () • Go to X: ()
Y: () • Go to () • Glide ()
Secs to X: () Y:
() • Change X by () • Set
X to () • Change Y by
() • Set Y to () • If on
Edge, Bounce • Set
Rotation Style () • X
Position • Y
Position • Direction
BAB 1 Sekilas Tentang Scratch
2
Looks Blocks
Blok berwarna
ungu , digunakan
untuk mengontrol
penampilan sprite
3
Sound Blocks
Blok berwarna
ungu cerah,
berfungsi untuk
mengontrol suara
dan fungsi MIDI
4
Pen Blocks
Blok berwarna
hijau gelap,
digunakan untuk
mengontrol aspek
pena Program
Scratch
Say () for () Secs • Say
() • Think () for ()
Secs • Think
() • Show • Hide • Switch
Costume to () •Next
Costume • Switch
Backdrop to () • Change
() Effect by () • Set ()
Effect to () • Clear
Graphic Effects • Change
Size by () • Set Size to
()% • Go to Front • Go
Back () Layers •Costume
# • Backdrop
Name • Size
Play Sound () • Play
Sound () Until
Done • Stop All
Sounds • Play Drum ()
for () Beats • Rest for ()
Beats • Play Note () for
() Beats • Set Instrument
to () • Change Volume
by () • Set Volume to ()
% • Volume • Change
Tempo by () • Set
Tempo to ()
bpm • Tempo
Clear • Stamp • Pen
Down • Pen Up • Set Pen
Color to () • Change Pen
Color by () • Change Pen
Shade by () •Set Pen
Shade to () • Change
7
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Pen Size by () • Set Pen
Size to ()
5
Control Blocks
Blok berwarna
emas, digunakan
untuk mengontrol
script
6
Events Blocks
Blok berwarna
coklat, digunakan
untuk memicu
script berjalan,
Events Block sangat
penting untuk
setiap project
aplikasi. Tanpa
kategori ini project
yang dikerjakan
tidak akan bisa
berjalan (running)
8
Wait () Secs • Repeat
() • Forever • If ()
Then • If () Then,
Else • Wait Until
() • Repeat Until
() • Stop () • When I
Start as a Clone • Create
Clone of () • Delete This
Clone
When Green Flag
Clicked • When () Key
Pressed • When This
Sprite Clicked • When
Backdrop Switches to
()• When () > () • When
I Receive () • Broadcast
() • Broadcast () and
Wait
BAB 1 Sekilas Tentang Scratch
7
Sensing Blocks
Blok berwarna biru
muda, digunakan
untuk mendeteksi
faktor yang
berbeda dari
proyek
8
Operators Blocks
Blok berwarna hijau
muda, digunakan
untuk script
persamaan
matematika dan
penanganan string
9
Data Blocks
Blok berwarna
oranye digunakan
untuk mengontrol
variabel
Touching ()? • Touching
Color ()? • Color () is
Touching ()? • Distance
to () • Ask () and
Wait • Answer • Key ()
Pressed? • Mouse
Down? • Mouse
X • Mouse
Y • Loudness • Video ()
on () • Turn Video
() • Set Video
Transparency to
()% • Timer • Reset
Timer • () of () • Current
() • Days Since
2000 • Username • ()
Sensor Value • Sensor
()?
() + () • () - () • () *
() • () / () • Pick Random
() to () • () < () • () =
() • () > () • () and
() • () or () • Not
() • Join ()() •Letter () of
() • Length of () • () Mod
() • Round () • () of ()
() • Set () To () • Change
() by () • Show Variable
() • Hide Variable
() • Add () to () • Delete
() of () • Insert () at () of
() • Replace Item () of ()
with () • Item () of
() •Length of () • ()
9
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Contains () • Show List
() • Hide List ()
10
More Blocks
1.6
Belajar Menggunakan Scratch
Blok berwarna
ungu, digunakan
untuk membuat
Blok
Define () • () (Custom
block)
Scratch merupakan salah satu bahasa yang cukup baru dalam
pengembangannya. Cara tercepat dalam mempelajari Scratch adalah melalui
percobaan. Dengan melakukan percobaan dengan kode blok yang tersedia
anda akan semakin mahir dalam menyusun aplikasi berbasis Scratch yang
anda inginkan.
1.6.1
Menulis Script Sederhana
Untuk menyusun script, klik dan drag blok kode yang anda inginkan
ke Sprite Area, pada langkah kali ini kita menggunakan sprite kucing
yang secara default disediakan oleh scratch. Pilih kategori Motion
kemudian klik dan drag kode blok
. Untuk menguji
dampak dari kode blok tersebut klik ganda pada kode block
10
BAB 1 Sekilas Tentang Scratch
tersebut.
Setelah
mencoba
memasukkan
script
tersebut,
Selanjutnya
tambahkan pemicu (trigger) untuk melakukan perintah tersebut
dengan memilih kategori Events kemudian pilih
.
Kita telah menambahkan triger jika bendera hujau di klik maka
aplikasi akan menjalankan perintah Sprite1 (kucing) bergerak sejauh
10 gerakan.
Gambar 1. 4 Contoh Script dengan trigger
1.6.1
Penambahan Variabel
Variabel dalam dunia pemrograman sering disebut sebagai
identifier. Variabel adalah suatu peubah yang digunakan untuk
menampung nilai yang dinamis (nilainya berubah) selama program
berjalan (running).
Penambahan variabel pada Scratch dapat dilakukan dengan
memilih kategori blok kode Data kemudian Make a Variable,
masukkan nama variabel dan status variabel, untuk pemilihan status
variabel anda dapat memilih For all Sprites jika variabel yang anda
11
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
buat adalah variabel publik yang dapat diakses di seluruh sprite,
atau For this sprite only jika variabel khusus hanya dibutuhkan di
sprite yang sedang aktif saja.
Gambar 1. 5 Membuat Variabel Baru di Scratch
Penggunaan Operator pada Scratch
1.6.2
Operator merupakan simbol yang menunjukkan suatu operasi
yang dikenakan terhadap variabel. Operator terdiri dari Operator
aritmatika, operator assignment, operator relasi, dan operator
logika.
Operator Aritmatik
Operator aritmatik adalah operator digunakan untuk mendukung
operasi aritmatika.
Tabel 1. 2 Operator Aritmatik
Operator
+
Operasi
penambahan
12
Tipe Data
Tipe hasil
integer, real
integer, real
Contoh
X+Y
BAB 1 Sekilas Tentang Scratch
–
pengurangan
integer, real
integer, real
Result - 1
*
Perkalian
integer, real
integer, real
P*Q
/
pembagian
integer, real
Real
X/2
Sisa
Integer
Integer
Y mod 6
mod
Operator Relasi
Operator relasi berfungsi untuk membandingkan suatu nilai
dengan nilai lain. Ekspresi yang menggunakan operator
perbandingan akan selalu menghasilkan nilai boolean ( true dan
false)
Tabel 1. 3 Operator Relasi
Tipe
hasil
Contoh
simple, class,
class reference,
interface, string,
packed string
Boolean
I = Max
Lebih kecil
dari
simple, string,
packed string,
Pchar
Boolean
X<Y
Lebih besar
dari
simple, string,
packed string,
Pchar
Boolean
Len > 0
Operator
Operasi
=
Sama dengan
<
>
Tipe Data
13
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Operator Logika
Operator logika digunakan untuk mengkombinasikan kondisi,
sehingga beberapa kondisi dapat dievaluasi atau diperiksa dalam
sebuah ekspresi. Sebagai contoh logika AND akan bernilai true jika
semua kondisi benar.
Tabel 1. 4 Operator Logika
Operator
Operasi
Tipe Data
Tipe
hasil
Contoh
not
Tidak
Integer
integer
not X
and
Dan
Integer
integer
X and Y
or
Atau
Integer
integer
X or Y
Penggunaan Operator di Scratch dapat dilakukan dengan memilih
menu operators. Misal dalam percobaan kali ini kita menggunakan
operator aritmatika sederhana.
Gambar 1. 6 Script Contoh Penggunaan Operator
1.6.3
14
Perulangan / Looping
BAB 1 Sekilas Tentang Scratch
Perulangan adalah bagian program yang bertugas mengulang
statemen-statemen tertentu. Pada Scratch, Statement dapat berupa
single code block maupun multiple code block, untuk memasukkan
perintah perulangan / looping, pilih kategori blok kode Control. Pada
kategori ini ada beberapa perintah perulangan di antaranya
,
, dan
. Pada
percobaan ini kita akan menggunakan blok kode
untuk melakukan pengulangan statement
,
ketika
bendera hijau di klik.
Gambar 1. 7 Contoh Script dengan perulangan repeat sebanyak 20 kali
1.6.4
Percabangan / Flow Control
Percabangan yang dimaksud disini adalah suatu pemilihan
yang didasarkan atas suatu kondisi tertentu. Suatu aksi akan akan
dipilih jika kondisi yang didefinisikan telah dipenuhi. Pada Scratch
blok kode untuk percabangan terdapat di kategori Control dengan
15
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
perintah blok kode if .. then dan if .. else serta blok kode yang
mewakili percabangan dan perulangan yakni repeat .. until. Pada
contoh kali ini kita akan menggunakan perpaduan perulangan,
percabangan, operator dan sensing.
Perhatikan script berikut :
Gambar 1. 8 Script Contoh Perulangan, Percabangan, Operator, dan Sensing
Berikut Penjelasan dari Gambar 1.8, Ketika bendera hijau di
klik nilai variabel n akan diatur sama dengan 0, kemudian dilakukan
perulangan yang akan berakhir jika kondisi nilai variabel n = 20 atau
sprite1 (kucing) menyentuh dinding stage. Selama perulangan
terjadi increment (penambahan berulang) nilai n sebanyak 1
sehingga perulangan ini akan memiliki nilai terbatas. Ketika nilai
batas n = 30 terpenuhi atau sprite menyentuh sisi stage maka
perulangan akan berhenti. Ingat bahwa dalam pemrograman,
penggunaan
16
perulangan
(looping)
yang
tidak
memiliki akhir
BAB 1 Sekilas Tentang Scratch
merupakan suatu kesalahan fatal.
Untuk contoh lain penggunaan sensing dapat dilihat di kategori blok
kode Sensing. Silakan mengeksplorasi dan bereksperimen dengan
blok kode yang terdapat di kategori tersebut.
1.6.5
Interaksi Sprite
Interaksi Sprite hanya dapat terjadi jika sebuah sprite atau
trigger menyampaikan sesuatu yang dapat dimengerti oleh sprite
yang lain. Pada Scratch, kita dapat memerintahkan sprite untuk
menyampaikan pesan perintah melalui blok kode
dan blok kode
sebagai penerima pesan perintah tersebut.
Pada langkah ini kita menggunakan 2 sprite, sprite1(kucing)
dan sprite start. Sprite start akan melakukan broadcast perintah
“start” yang kemudian diterima sprite1 (kucing), perintah ini yang
akan dijadikan trigger untuk memulai perintah selanjutnya
17
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 1. 9 (a) Script pada sprite start memberikan broadcast start (b)
Script pada Sprite1 menerima trigger dari broadcast sprite start
1.7
Sharing Aplikasi berbasis Scratch
Setelah aplikasi berbasis Scratch yang kita buat telah selesai kita
dapat membagikannya ke forum Scratch Online. Sharing hanya dapat
dilakukan
jika
anda
memiliki
akun
Scratch
yang
terdaftar
di
http://scratch.mit.edu/. Sharing dapat dilakukan dengan 2 cara yakni
dengan
mengunjungi
laman
http://scratch.mit.edu/
dan
dengan
memanfaatkan fitur pada Scratch Offline Editor yang telah terinstal.
Sharing dengan mengunjungi laman Scratch
Proses sharing dengan mengunjungi laman Scratch diawali
dengan proses login ke laman Scratch. Setelah anda dapat menuju
laman My Stuff untuk upload proyek Scratch yang anda kerjakan.
18
BAB 1 Sekilas Tentang Scratch
Gambar 1. 10 Tombol menuju laman My Stuff
Setelah memasuki laman My Stuff, Klik tombol New Project
kemudian pada menu File pilih Upload From Your Computer.
Kemudian Browse file yang ingin anda upload kemudian klik Open.
Jika muncul kotak dialog Replace Content, klik OK
Gambar 1. 11 Tombol Upload from your computer
19
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Sharing dengan fitur pada Scratch Offline Editor
Sharing dengan fitur pada aplikasi Scratch Offline Editor dapat
dilakukan
dengan klik pada menu File kemudian pilih Share to
Website. Kemudian akan muncul kotak dialog yang berisikan Project
name, Your Scratch name, dan Password.
Gambar 1. 12 Kotak Dialog Share to Scratch Website
Pada isian Your Scratch name dan Password diisi dengan
username dan password yang anda gunakan untuk login ke laman
Scratch. Setelah proses sukses maka anda dapat melihat proyek
yang anda share di laman My Stuff pada laman Scratch Online.
20
BAB
GERAK SATU DIMENSI
2
Dalam bab ke dua ini, akan dibahas fenomena fisika yang sederhana,
yaitu mengenai geraksatu dimensi. Dalam beberapa buku teks di sekolah
menengah, biasanya dalam buku teks fisika persoalan gerak satu dimensi
hanya di bahas secara ideal. Dalam hal ini tidak diperhitungkan aspek nyata
yang ada, misalnya hambatan udara.
Pada bab ini persoalan gerak satu dimensi tidak hanya dibahas secara
analitik, melainkan juga menggunakan solusi numerik dengan komputer.
2.1 Gerak Benda Jatuh
Bagaimanakah kecepatan dan percepatan dari sebuah benda berubah
saat dijatuhkan?. Jika benda bermassa m dijatuhkan, percepatan benda
tanpa gesekan udara adalah:
a
g
(2.1)
dimana g = 9.8 ms-2. Hal ini disebabkan karena satu-satunya gaya yang
bekerja
pada
benda
tersebut
adalah
gaya
berat
mg.
Dengan
mengaplikasikan Hukum Newton kedua F = ma, diperoleh
ma
mg
(2.2)
Dengan membagi m persamaan di atas diperoleh a = g (persamaan
2.1) Jika a adalah konstan dalam hal ini adalah nilai g dianggap tidak
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
mengalami perubahan, dengan perhitungan matematis dapat dibuktikan
bahwa kecepatan untuk tiap-tiap waktu t adalah
v(t )
v0
(2.3)
gt
dimana diasumsikan bahwa nilai arah gerak positif adalah arah gerak ke
bawah dan benda mempunyai kecepatan awal
v0 . Rumus ini dapat
digunakan untuk mendapatkan nilai v pada tiap waktu t setelah benda
dijatuhkan
(dan
sebelum
mensubstitusikan 9.8 ms
-2
benda
menyentuh
tanah).
Dengan
untuk g dan waktu tertentu pada t , semua
masalah fisika seperti di atas, dimana percepatan adalah konstan dapat
diselesaikan dengan menggunakan matematika konvensional yaitu aljabar,
trigonometri dan kalkulus.
Dalam masalah di atas sebenarnya terdapat kompleksitas yang telah
diketahui banyak orang. Rumus untuk
v(t ) pada persamaan 2.3 diatas
hanya berlaku jika tidak ada hambatan udara. Dari eksperimen dapat
ditunjukkan bahwa sebuah benda yang jatuh (dengan memperhitungkan
hambatan
udara)
akan
mendapatkan
gaya
hambat
yang
besarnya
bergantung pada kecepatan dari benda tersebut, sedemikian hingga
percepatannya tidak konstan. Gaya tersebut diekspresikan sebagai:
Fa
22
1 C Av2
2 d
(2.4)
BAB 2 Gerak Satu Dimensi
di mana Cd adalah faktor koefisien hambatan udara yang tak
bersatuan. A adalah cross section (penampang lintang) dari benda,
adalah
-3
kerapatan udara (sekitar 1.2 kgm ) dan v adalah kecepatan benda. Arah
gaya berlawanan dengan kecepatan benda. Cd sangat berhubungan dengan
bentuk dari benda, misalnya ada tidaknya stream line.
Seperti terlihat dalam gambar 2.1, tampak bahwa jika benda berupa
plat bergerak ke kanan, maka benda tersebut akan memiliki koefisien
hambatan sekitar 1,28. Sedangkan untuk benda berbentuk bola, maka nilai
koefisien hambatan memiliki rentang antara 0,07 sampai dengan 0,5. Jika
benda memiliki bentuk yang lain maka benda tersebut akan memiliki
koefisien hambatan tertentu, seperti benda berbentuk prisma akan memiliki
koefisien hambatan 1,14, kapsul dengan koefisien 0,295 dan lain-lain.
Gambar 2. 1 Nilai Cd dari berbagai bentuk permukaan benda dengan nilai
penampang lintang yang sama
23
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Dari eksperimen menunjukkan bahwa benda yang smooth (seperti
bola kasti) dengan cross section berupa lingkaran (A =
r2) didapat C
sekitar 0.46.
Dengan demikian, untuk mendapatkan percepatan pada arah ke
bawah dari bola dengan jari-jari r digunakan hukum Newton kedua.
ma
(2.5)
mg Fa
dengan mensubstitusikan persamaan (4) dan A =
r2 serta membagi
dengan m maka di dapatkan:
a
g
1 C
2 d
.r 2 2
v
m
(2.6)
di mana m adalah massa benda.
Hal yang paling penting adalah fakta bahwa bila hambatan udara
dimasukkan dalam perhitungan percepatan, maka akan sangat sulit
mendapatkan
solusi
analitik
eksak
dari
kecepatan
v(t )
dengan
menggunakan aljabar dan kalkulus.
Hal inilah yang tidak pernah tampak dalam buku teks fisika.
Untungnya komputer memberikan kemungkinan untuk memperkirakan
solusi dari masalah ini. Garis besar pendekatan pemecahan masalah ini akan
dibahas lebih lanjut pada subbab berikutnya.
24
BAB 2 Gerak Satu Dimensi
2.2 Solusi Numerik
Percepatan dari benda dapat didefinisikan sebagai:
a(t )
lim
h
v(t
0
h) v(t )
h
(2.7)
v(t h) v(t ) adalah perubahan kecepatan selama
di mana kuantitas
interval waktu h. Jika interval waktu h cukup kecil (tetapi tidak nol) maka
a(t ) dapat diaproksimasikan:
v(t
a(t )
h) v(t )
h
(2.8)
v(t ) ha(t )
(2.9)
atau
v(t
h)
Jika a(t) adalah konstan selama interval waktu h, maka ekspansi ini
adalah eksak, bukan suatu aproksimasi.
Kita asumsikan benda mulai dilepaskan saat t = 0 sehingga v = v0
dan a = a0. Dengan inisial kecepatan v0, percepatan a0 dapat dihitung
dengan menggunakan rumus yang diperoleh dari hukum Newton kedua.
Dari persamaan 2.6 diperoleh:
a0
g
1 C
2
.r 2 2
v0
m
(2.10)
25
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Pada kasus ini v0 = 0. Selanjutnya kita gunakan pendekatan untuk
menghitung kecepatan pad akhir dari interval waktu kecil h.
v1
v0
(2.11)
a0 h
Dengan nilai kecepatan yang baru ini, percepatan saat t1 = h dapat
diekspresikan:
a1
1 C
2 d
g
.r 2 2
v1
m
(2.12)
Dengan percepatan yang baru ini didapatkan pendekatan:
v2
v1
(2.13)
a1h
Dari sini persamaan umum untuk mencari kecepatan dan percapatan
pada suatu saat adalah:
an
1 C
2 d
g
.r 2 2
vn
m
(2.14)
dan
vn
1
vn
(2.15)
an h
Cara penyelesaian masalah di atas disebut dengan penyelesaian
numerik karena solusi diperoleh dengan sejumlah perhitungan angka, bukan
dengan persamaan analitik. Misalnya persamaan
penyelesaian analitik.
26
v(t )
v0
gt adalah
BAB 2 Gerak Satu Dimensi
Sebagai catatan di sini pada permulaan perhitungan diperlukan v0
atau v(0) sebagai kecepatan pada saat t = 0. Hal ini sering disebut sebagai
nilai kondisi awal. Pada soal selanjutnya diasumsikan v0 = 0.
Gambar 2.2 menunjukkan ilustrasi grafik dari satu step dalam solusi
numerik yaitu dari v(t) ke v(t+h). Anggap v(t) sebenarnya adalah kurva
tebal yang diberi label v(t). Kita perkirakan solusi pada t+h diperoleh
dengan mengalikan slope dari kurva pada t dengan interval waktu h dan
menjumlahkannya dengan nilai kecepatan pada saat t. Pada Gambar 2.1
nampak bahwa kesalahan (error) adalah jarak antara garis tangen dengan
kurva. Pada gambar memang nilai h tidak cukup kecil, tetapi dapat dilihat
bahwa dengan mengambil nilai h yang lebih kecil akan menambah ketelitian
dari perkiraan. Tentu saja dengan memperkecil nilai h akan menghasilkan
step yang lebih banyak dan perhitungan yang lebih banyak dalam mencari
solusi.
27
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
v
Garis slope = a(t)
v(t) sebenarnya
ha(t)
v(t)
t
v(t+h) = v(t) + ha(t)
t+h
t
Gambar 2. 2 Representasi Grafik dari teknik untuk mencari solusi numerik v(t)
Gambar 2.2 mengilustrasikan prosedur atau flow chart untuk
menghitung solusi numerik dari kecepatan benda jatuh sebagai fungsi dari
waktu. Adapun algoritmanya dapat dituliskan sebagaimana ditunjukkan pada
Algoritma 2.1.
28
BAB 2 Gerak Satu Dimensi
Algoritma 2.1 Kecepatan sebuah benda jatuh
STEP 1
STEP 2
STEP 3
STEP 4
Pilih nilai h
Pilih kondisi awal, v0
Mulai Loop
Hitung a
STEP 5 Cetak t dan v
STEP 6 Update v:
v v+ha
STEP 7 Increment t
t t+h
STEP 8
Loop hingga t > t max
STEP 9
Selesai
29
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
mulai
Inisialisasi awal
h dan v(0)
Hitung
F
m
a
Cetak
V(t)
v(t+h) = v(t) + h a(t)
t=t+h
Tidak
t >= tmax ?
Ya
Selesai
Gambar 2. 3 Flowchart Program menghitung kecepatan benda jatuh
30
BAB 2 Gerak Satu Dimensi
Soal 2.1 Implementasikan Algoritma 2.1 dalam sebuah program
komputer dengan bantuan aplikasi Spreadsheet untuk menghitung
kecepatan
sebagai
fungsi
waktu.
Asumsikan
bahwa
benda
mempunyai radius 7.5 mm dan massa 3.9 g. Gunakan h = 0.01 s
dan loop akan terhenti jika t > 15 s. Gambar 2.3 adalah hasil output
dari program. Dengan hasil program tersebut jawablah pertanyaanpertanyaan berikut:
(1) Bagaimana kecepatan berubah terhadap waktu? Mengapa?
(2) Apakah yang dimaksud dengan kecepatan terminal? Kapan
benda tersebut dapat mencapai kecepatan terminal?
Soal 2.2 Buktikan bahwa secara analitik, kecepatan benda yang
bergerak dalam suatu fluida dengan kecepatan awal 0 adalah
v
g Cd A
2 gm
tanh t
AC d
2m
(tanda negatif menunjukkan arah
gerak ke bawah)
Soal 2.3 Pelajari efek dari hambatan udara terhadap benda yang
bergerak vertikal ke atas dengan kecepatan awal tertentu.
Bandingkan lintasannya dengan gerakan benda pada vakum.
31
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 2. 4 Tampilan hasil solusi numerik dari v(t). Parameter: h = 0.01 s,
g = 9.8 ms-1, C = 0.46, r = 0.01 m, m = 0.01 kg dan v0 = 0
32
BAB
3
GRAFIK PADA SCRATCH
Dalam bab ini akan dibahas tentang bagaimana komputer dapat
digunakan untuk menggambarkan grafik atau kurva. Dengan cara tersebut
diharapkan dapat diperoleh gambaran yang lebih jelas mengenai arti fisis
sebuah persamaan matematis. Persamaan matematis tersebut muncul
sebagai akibat adanya fenomena fisika yang nyata atau sering diamati
setiap hari (real world).
3.1 Grafik Pada Layar Scratch
Stage (layar pada Scratch) menggunakan rentang nilai sumbu X antara 240 s/d. 240 dan sumbu Y -180 s/d. 180 Sehingga untuk penggambaran
koordinat kartesian yang akan digunakan dalam pembuatan model
(memerlukan
nilai
domain
dan
range
tertentu)
harus
dipetakan
(ditransformasikan) terlebih dahulu pada koordinat Scratch.
Untuk mengkonversikan koordinat kartesian ke dalam koordinat layar
Scratch, kita asumsikan bahwa ada transformasi linier antara koordinat
Scratch (Px, Py) dari titik P, dan koordinat kartesian (x, y) dari titik P sebagai
berikut:
Px = k1 x + k2
dan
(3.1)
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Py = k3 y + k4
(3.2)
Yang disebut dengan transformasi linier adalah tidak adanya faktor
eksponensial pada variabel Px, Py, x, dan y. Ini berarti garis lurus pada
koordinat kartesian digrafikkan juga sebagai garis lurus pada koordinat
Scratch, grafik lingkaran ke lingkaran, dll. Jadi secara umum fungsi grafik
pada koordinat Scratch sama dengan fungsi grafik pada koordinat kartesian.
Berapakah nilai dari konstanta k1, k2, k3, dan k4? Dengan adanya
konstanta-konstanta tersebut, maka dapat digunakan untuk menghtung Px,
Py, bila nilai x, dan y diketahui.
Agar lebih jelas, kita asumsikan bahwa grafik pada sumbu x akan diplot
pada interval [xmin, xmax] dan sumbu y terletak pada interval [ymin, ymax].
Pada Scratch sumbu horizontal diberi nomor dari -240 s/d. 240 , sedangkan
untuk sumbu vertikal diberi nomor -180 s/d. 180.
34
BAB 3 Grafik dengan Scratch
Gambar 3. 1 Koordinat Scratch dan koordinat kartesian, Koordinat Scratch memiliki
rentang sumbu X antara -240 s/d. 240 dan sumbu Y antara -180 s/d. 180
Berikut adalah beberapa kemungkinan untuk memperoleh solusi
konstanta k:
•
Jika x = xmin, maka Px = -240
•
Jika x = xmax, maka Px = 240
•
Jika y = ymin, maka Py = -180
•
Jika y = ymax, maka Py = 180
35
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Kemudian kita substitusikan 4 kemungkinan di atas pada persamaan
transformasi 3.1 dan 3.2, sehingga akan didapatkan solusi untuk k1, k2, k3,
dan k4 masing-masing adalah sebagai berikut:
k1 =
480
x max − x min
(3.3)
⎛ 2x
⎞
min
k2 = −240 ⎜⎜
+1⎟⎟
⎝ ( xmax − xmin ) ⎠
k3 =
(3.4)
360
y max − y min
(3.5)
" 2y
%
min
k4 = −180 $$
+1''
# ( ymax − ymin ) &
(3.6)
Pada program komputer, perhitungan k dapat diselesaikan dalam satu
kali urutan, tetapi tiap titik memerlukan transformasi linier seperti tersebut
di atas.
3.2
Garis Sumbu Kartesian pada Scratch
Pembuatan
garis
sumbu
pada
Scratch
dapat
dilakukan
dengan
menggunakan 2 sprite, sprite pertama untuk membuat sumbu x dan sprite
kedua untuk membuat sumbu y. Sebelum mem-plot garis sumbu terlebih
dahulu kita tentukan kontrol sprite yang akan kita gunakan.
36
BAB 3 Grafik dengan Scratch
Pada contoh ini digunakan broadcast reset untuk membuat garis sumbu dan
memasukkan nilai-nilai (inisiasi) variabel yang digunakan . Misalnya kita
ingin membuat layar dengan dom=[-2,15] dan ran=[-20,50] , disarankan
menaruh perintah inisiasi di stage backdrop
agar tidak memperbanyak
script pada sprite dan semua variabel pada akan selalu di set untuk seluruh
sprite (public variable).
Gambar 3. 2 Memasukkan nilai variabel yang akan digunakan di stage backdrop
Selanjutnya pada sprite yang bertugas membuat garis sumbu y, tarik garis
pada saat x =0 dari y = ymax sampai y = ymin
37
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 3. 3 Script pembuatan sumbu y
Selanjutnya pada sprite yang bertugas membuat garis sumbu y, tarik garis
pada saat x =0 dari y = ymax sampai y = ymin
Gambar 3. 4 Script Pembuatan sumbu X
38
BAB 3 Grafik dengan Scratch
3.3
Grafik Kecepatan dan Percepatan Benda Jatuh
Berikut ini adalah penerapan dari transformasi sistem koordinat untuk
menggambarkan grafik. Dalam pembahasan selanjutnya, perlu kiranya
dibuat konvensi notasi. Grafik v(t) berarti sebuah grafik dari v vs t, dimana v
disepanjang sumbu y dan t disepanjang sumbu x. Sebagaimana telah
dijelaskan di atas bahwa label untuk nilai ekstrem adalah xmin, xmax, ymin dan
ymax. Untuk lebih singkatnya dalam penulisan akan digunakan domain dan
range untuk notasi interval. Jadi penulisan dom = [-1, 1] m berarti sumbu x
dieksistensikan dari -1 ke 1 dan unitnya meter. Demikian juga ran = [0, 50]
ms-1 berarti sumbu y dieksistensikan dari 0 ke 50 dalam satuan kecepatan.
Dalam Gambar 3.2, skala dan unit dari sumbu vertikal sebagai grafik dari
v(t). Sedangkan grafik y(t)
dan a(t) ditumpangkan pada kurva v(t)
sedemikian rupa kita dapat mempelajari ketiganya sekaligus. Nampak jelas
pada gambar bahwa hanya diperlukan waktu beberapa detik saja sebelum
percepatan benda berbeda secara signifikan terhadap
g. Beberapa
pertanyaan akan timbul misalnya: Kapan benda mempunyai kecepatan
kurang dari 10% terhadap kecepatan terminal?
Bagaimana grafik y(t) dan a(t) berubah saat mendekati kecepatan
terminal?
39
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
v(t)
s(t)
a(t)
Gambar 3. 5 Kecepatan dan percepatan sebuah benda jatuh sebagai fungsi dari
waktu. Parameter: r = 0.075 m, m = 0.39 kg, h = 0.02 s, C = 0.46, dom = [-2, 15] s
dan ran = [-20, 50] ms-1. Grafik a(t) dikalikan dengan faktor 3 dan y(t) dibagi
dengan faktor 10.
40
BAB 3 Grafik dengan Scratch
3.4
Kode Program
Kode program atau unit berikut dimaksudkan untuk mem-plot grafik
sebagai solusi numerik dari benda yang jatuh dengan skala yang
disesuaikan, dalam hal ini semua kuantitas a(t), v(t) dan y(t) digambarkan
dalam grafik pada sistem koordinat sama (lihat Gambar 3.5).
Pada Stage Backdrop
Gambar 3. 6 (a) Script pada Tombol Clear (b) Script pada tombol Reset (c) Script
pada tombol Start. Tombol-tombol tersebut berfungsi sebagai trigger dari suatu
perintah
41
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 3. 7 Script pada Stage Backdrop (bagian1)
42
BAB 3 Grafik dengan Scratch
Gambar 3. 8 Script pada Stage Backdrop (bagian2)
43
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 3. 9 Script pada Sprite yang berfungsi menampilkan grafik kecepatan
44
BAB 3 Grafik dengan Scratch
Gambar 3. 10 Script pada Sprite yang berfungsi menampilkan grafik percepatan. Pada
script ini grafik menampilkan nilai a dengan dikalikan faktor 3 agar menampilkan
gambar paduan grafik yang menarik
45
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 3. 11 Script pada Sprite yang berfungsi menampilkan grafik percepatan.
Pada script ini grafik menampilkan nilai y dengan dibagikan faktor 10 agar
menampilkan gambar paduan grafik yang menarik
46
BAB
4
DINAMIKA SATU DIMENSI
Pada bab ini akan diungkap bagaimana komputer dapat digunakan
untuk memperoleh solusi numerik dari masalah-masalah sederhana dan
nyata dengan mengilustrasikannya dalam bentuk grafik. Masalah yang
dimaksud adalah tentang solusi numerik dari konsep gerak benda pada
pegas. Dalam hal ini, pembahasan dibatasi tentang gerak benda pada pegas
dalam satu dimensi.
4.1
Benda pada Pegas
y
a
n
m
F
O
F
mg
Gambar 4. 1 Benda pada pegas yang tertekan
Gambar 4.1 mengilustrasikan benda bermassa m yang diam pada
permukaan yang ideal tanpa gesekan dan dihubungkan dengan pegas yang
mempunyai kontanta pegas k. Selanjutnya bila benda ditekan ke kiri gaya
pegas menentang ke arah kanan dan ini membesar sesuai dengan besarnya
perpindahan x dari benda dari posisi setimbang pada x = 0, sebaliknya jika
x
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
benda ditarik ke kanan maka gaya pegas tersebut berarah ke kiri hal ini
diekspresikan sebagai hukum Hookes:
F
(4.1)
kx
dimana tanda minus berarti gaya pegas berlawanan dengan pepindahan.
Jika kita aplikasikan hukum kedua Newton pada sistem tersebut, maka akan
diperoleh:
kx
(4.2)
ma
Percepatan a dapat ditulis sebagai
k
xt
m
a(t )
(4.3)
dimana kita gunakan notasi fungsi yang bergantung pada waktu. Tugas
selanjutnya adalah mencari x(t) dan v(t) pada semua waktu setelah pegas
dimampatkan kemudian benda dilepaskan.
Dengan mengaplikasikan cara yang sama, definisi percepatan menjadi:
a(t )
v(t
h) v(t )
h
(4.4)
v(t ) ha(t )
(4.5)
atau
v(t
h)
Dengan kata lain kecepatan pada t+h adalah kecepatan v pada waktu
sebelumnya t ditambah percepatan dikalikan dengan beda waktu h. Untuk
itu mula-mula kita harus tahu kondisi awal dari sistem benda pegas. Kondisi
48
BAB 4 Dinamika Satu Dimensi
awal pada saat t = 0 , v = v0 dan x = x0, sedangkan percepatan awal adalah
–kx0/m sehingga kita tahu kecepatan pada beda waktu h berikutnya.
Prosedur untuk menyelesaikan persoalan benda-pegas ditunjukkan
dalam Algoritma 4.1. Dalam hal ini sistem mendapat hambatan udara atau
gesekan yang proporsional dengan negatif dari kecepatan, sesuai dengan
hukum Newton kedua:
F
ma
kx cv
(4.6)
yang dapat ditulis menjadi
a
k
x
m
c
v
m
(4.7)
yaitu sebagai percepatan benda yang berosilasi. Persamaan tersebut
tidak lain adalah persamaan osilasi dengan bagian redaman cv.
49
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Algoritma 4.1 Gerak sebuah benda pada pegas
STEP 1 Pilih nilai k dan m
Untuk hal yang sederhana k = 1 dan m = 1
STEP 2 Pilih harga interval waktu h
STEP 3 Beri harga kondisi awal, misalnya v0 = 0 dan x0 = 1 m
STEP 4 Mulai loop hingga t > t max
STEP 5
Hitung percepatan:
STEP 6
STEP 7
Plot t, x, v dan a
Update v:
v v+ha
STEP 8
Update x:
x x+hv
STEP 9
Increment t
t t+h
STEP 10 Akhir Loop dari STEP 4
STEP 11 Selesai
Soal 4.1 Buktikan bahwa solusi analitik dari persamaan (4.3) adalah
x A sin( .t ) B cos( .t ) dimana A dan B ditentukan dengan
kondisi awal dan
50
k
!
m
BAB 4 Dinamika Satu Dimensi
Soal 4.2 Getaran teredam.Ubahlah program benda-pegas dengan
memasukan bagian –cv/m. Pilih parameter k = 1 Nm-1, m = 1 kg dan
c = 0.1 kgs-1 untuk nilai awalnya dan cobalah untuk harga-harga c
dan k yang berlainan.
Soal 4.3 Ayunan sederhana. Turunkan persamaan sebuah benda
bermassa m yang digantungkan pada tali sepanjang L berikut:
mL2
mgL sin
dengan
(4.8)
adalah simpangan tali, g adalah percepatan gravitasi dan
adalah percepatan angular.
Soal 4.3 Buatlah program dengan menggunakan algoritma solusi
numerik persamaan 4.8. Gunakan parameter g = 9.8 ms-2, L = 1m, h
= 0.1 s,
0
= 0.1 radian dan kecepatan angular
0
= 0 dom = [0, 4] s
dan ran = [-0.1, 0.1] radian.
Soal 4.4
Ayunan
teredam.
Dengan
adanya
faktor
redaman
persamaan ayunan sederhana menjadi
mL2
mgL sin
c
(4.9)
dimana c adalah koefisien redaman. Buatlah program dengan
menggunakan parameter pada soal 4.3 dan c = 0.1 kgm2s-1.
51
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 4. 2 Osilasi teredam pada benda-pegas. Parameter: k = 1
Nm-1, m = 1 kg, c = 0.2 kgs-1, x0 = 1 m, v0 = 0, dom = [-π, 10π] s
dan
ran = [-1.5, 1.5] m
4.2
Ruang Phase
Kadang-kadang perangai sistem, sebagaimana sistem benda-pegas
mungkin
lebih
mudah
dipahami
dengan
grafik
kecepatan
versus
perpindahan v(x), dibanding grafik perpindahan versus waktu, v(t). Sistem
koordinat x-v ini disebut sebagai ruang phase (Phase Space). Lintasan dalam
ruang phase dengan mudah dapat memberikan persfektif yang lain terhadap
permasalahan. Kadang-kadang hal ini menjadi lebih berarti daripada sekedar
lintasan x(t) dalam ruang waktu. Grafik lintasan sistem benda pegas
teredam dalam ruang phase ditunjukkan oleh Gambar 4.3, dimana kondisi
52
BAB 4 Dinamika Satu Dimensi
awal x0 = 1 dan v0 = 0. Lintasan akan berbentuk spiral dalam ruang phase,
sebagaimana sistem yang kehilangan energi ke udara di sekitarnya. Pada
sistem benda pegas ini titik (0, 0) disebut Stable attractor. Berapapun
kondisi awal sistem, tidak akan menjadi masalah, osilasi tetap akan menuju
ke titik yang sama dalam ruang phase yaitu titik (0, 0).
Gambar 4. 3 Lintasan sistem benda-pegas dalam ruang phase dengan attractor pada
(0, 0). Semua parameter yang digunakan sama dengan parameter pada Gambar 4.2
4.3
Perbaikan Algoritma Numerik
Sebagaimana nampak pada Algoritma 4.1 mula-mula kita gunakan
interval h untuk mendapatkan v di akhir interval h kemudian kita gunakan v
di akhir interval h untuk mendapatkan x pada akhir interval h. Kita dapat
53
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
meningkatkan akurasi dengan menghitung x di akhir interval dengan
menggunakan v di tengah-tengah dari interval h. Secara simbolik adalah:
xn
1
xn
2
hvn
1
2
(4.10)
Dimana vn+1/2 adalah kecepatan setengah jalan pada interval h.
Bagaimana
vn+1/2? Jawabnya sederhana yaitu dengan
mendapatkan
ekspresi:
vn
1
vn
2
1
2
han
(4.11)
Bila perhitungan dimulai dari t = 0, maka persamaan di atas menjadi :
v 12
v
1
2
ha0
(4.10)
yang berarti kita harus mengetahui v jika t = -h/2 dari pada saat t = 0.
Untuk memecahkan persoalan ini kita akan gunakan kasus khusus untuk
memulai perhitungan:
v 12
v0
h
a0
2
(4.11)
Jadi Algoritma secara lengkapnya diberikan pada Algoritma 4.2 metode
ini disebut metode Feyman–Newton. Juga disebut sebagai metode Half–
step.
54
BAB 4 Dinamika Satu Dimensi
Algoritma 4.2 Penggunaan metode Feynman-Newton
pada penyelesaian dinamika
STEP 1
STEP 2
STEP 3
STEP 4
Cari total gaya yang bekerja pada benda lalu
tentukan percepatan a = F/m
Pilih harga interval waktu h dan kondisi awal v0
dan x0
Dengan menggunakan kondisi awal hitung
percepatan pada t =0
Hitung
STEP 5 Mulai loop.hingga t > tmax
STEP 6
Plot x(t), v(t) dan a(t)
STEP 7
Update nilai x:
x x+hv
STEP 8
Dengan menggunakan nilai-nialai x dan v,
hitung a dari hukum Newton kedua
STEP 9
Update nilai v:
v v+ha
STEP 10 Increment t
t t+h
STEP 11 Akhir loop (STEP 5)
STEP 12 Selesai
55
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
4.4
Kode Program
Di bawah ini adalah kode program yang digunakan untuk mem-plot
grafik solusi persoalan benda pegas. Program masih ditulis dengan metode
Euler (Algoritma 4.1) untuk mem-plot x(t) dan v(t) (lihat Gambar 4.2).
Gambar 4. 4 (a) Script pada Tombol Clear (b) Script pada tombol reset (c) Script
pada tombol start. Tombol-tombol tersebut berfungsi sebagai trigger dari suatu
perintah
56
BAB 4 Dinamika Satu Dimensi
Gambar 4. 5 Script pada Stage Backdrop (bagian 1)
57
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 4. 6 Script pada Stage Backdrop (bagian 2)
58
BAB 4 Dinamika Satu Dimensi
Gambar 4. 7 Script pada Sprite yang berfungsi menampilkan grafik (x vs t )
59
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Kode program berikut ini ditulis dengan memodifikasi kode program di
atas dengan mengimplementasikan metode Feynman-Newton (Algoritma
4.2) untuk mem-plot grafik ruang phase (phase-space). Agar dapat
memperlihatkan lintasan pada ruang phase, domain diubah menjadi [-1.5,
1.5] m (lihat Gambar 4.3).
(a) Script pada Tombol Clear (b) Script pada tombol reset (c) Script pada tombol
start. Tombol-tombol tersebut berfungsi sebagai trigger dari suatu perintah
60
BAB 4 Dinamika Satu Dimensi
Gambar 4. 8 Script pada Stage Backdrop. Perbaikan metode dengan menggunakan
Metode Feynmann-Newton (bagian 1)
61
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 4. 9 Script pada Stage Backdrop. Perbaikan metode dengan menggunakan
Metode Feynmann-Newton (bagian 1)
62
BAB 4 Dinamika Satu Dimensi
Gambar 4. 10 Script pada Sprite yang berfungsi menampilkan grafik fase (x vs v)
63
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
64
BAB
5
DINAMIKA DALAM
DUA DIMENSI
Pada bab ini akan dibahas tentang digunakannya komputer untuk
memperoleh solusi numerik dari masalah-masalah nyata namun lebih
kompleks. Agar mudah dipahami tetap akan digunakan ilustrasi atau
gambaran grafik. Masalah yang dibahas masih terbatas pada penggunaan
solusi numerik sederhana untuk mendapatkan solusi gerak sebuah benda.
Dalam hal ini hanya akan dibahas tentang gerak benda dalam dua dimensi.
5.1
Gerak Proyektil
Pada bab yang terdahulu telah dibahas penggunaan metode Euler atau
metode Feynman-Newton dalam teknik numerik untuk persoalan yang
meliputi hukum Newton kedua. Pada bab ini akan diperluas untuk masalah
dua dimensi, yaitu tentang gerak proyektil dengan hambatan udara dan
gerak orbital.
Gambar 5.1 menunjukan kuantitas yang penting yang diasosiasikan
sebagai gerak dalam dimensi dua. Sebuah benda dengan massa m, dengan
perpindahan r, yang mungkin saja bervariasi terhadap waktu dan dikenai
gaya eksternal F. Vector r mempunyai komponen x dan y, yaitu koordinat
dari massa m. Vektor F mempunyai komponen Fx dan
Fy . Kita tahu bahwa
Mengungkap Fenomena Fisika dengan Scratch
Fx menghasilkan percepatan arah x, ax dan Fy menghasilkan percepatan
arah y,
a y . Jadi:
ax =
Fx
m
dan
ay =
Fy
(5.1)
m
dengan kata lain, kita dapat menyelesaikan masalah gerak dalam dua
dimensi dengan menggunakan metode yang sama sebagaimana telah
dijelaskan pada bab 2 dan 3. Namun demikian kita harus mempunyai satu
set persamaan pada masing-masing koordinat.
Gaya ini bekerja pada proyektil dapat ditunjukkan dari gambar berikut:
y
F=Fx i + Fy j
(x,y)
r=xi+yj
x
Gambar 5. 1 Gaya dan vektor perpindahan dalam dua dimensi
66
BAB 5 Dinamika dalam Dua Dimensi
5.2 Gerak Proyektil dengan Hambatan Udara
Sebagaimana telah dijelaskan pada bab 1 bahwa besar gaya hambatan
udara adalah:
Fa =
1
cAρv 2
2
(5.2)
Dari Gambar 5.2 diketahui bahwa:
cosθ =
vx
v
dan
sin θ =
vy
v
(5.3)
sedangkan v dapat dihitung dengan:
v = vx2 + v y2
(5.4)
Dengan mengikuti hokum Newton kedua,
1
A
ax = − cρ v 2 cosθ
2 m
(5.5)
1
A
a y = − g − cρ v 2 sin θ
2 m
(5.6)
dan
67
Mengungkap Fenomena Fisika dengan Scratch
vy
v
θ
vx
Fa
Gambar 5. 2 Hubungan antara Fa dan v
Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:
ax = −kvvx
(5.7)
a y = − g − kvvy
(5.8)
1
A
cρ
2 m
(5.9)
dan
dimana:
k=
Algoritma 5.1 merupakan solusi numerik persamaan-persamaan di atas.
Soal 5.1 Buatlah program yang dapat menghasilkan grafik ketinggian
y dan jarak x untuk proyektil. Anggap benda dengan diameter 6 cm
dan massa 100 gram dilemparkan dengan kecepatan awal 25 ms-1
pada sudut elevasi 370. gunakan domain = [-5, 50], dan range = [-3,
15] m.
68
BAB 5 Dinamika dalam Dua Dimensi
Algoritma 5.1 Solusi numerik dari persoalan dinamika 2D
STEP 1 Tentukan interval h
STEP 2 Berikan koordinat awal untuk
,
dan
elevasi.
STEP 3 hitung
,
, dimana
,
adalah sudut
Tentukan pula sumua parameter gerak, koefisien gesekan
udara, massa, percepatan gravitasi dll.
dan
di mana
STEP 4 hitung half-interval kecepatan untuk setiap komponen.
dan
STEP 5 Mulai loop untuk y < 0
STEP 6
plot posisi (x, y)
STEP 7
update koordinat x dan y
dan
STEP 8
hitung percepatan
dan
dengan rumus di atas
69
Mengungkap Fenomena Fisika dengan Scratch
STEP 9
update komponen-komponen kecepatan
dan
STEP 10
increament waktu
STEP 11 Akhir loop dari STEP 5.
STEP 12 Selesai
Gambar 5. 3 Lintasan proyektil dengan hambatan udara. Parameter: h = 0.01 s, g =
9.8 ms-1, C = 0.46, r = 6 cm, m = 0.19 kg dan v0 = 25 ms-1, sudut elevasi 370, dom
=[0, 40] m, dan ran = [0, 10] m
70
BAB 5 Dinamika dalam Dua Dimensi
5.3 Gerak Satelit
Sebagaimana ditunjukkan pada gambar 5.4 kita ganti permukaan datar
bumi dengan planet bola dengan sistem koordinat baru.
Gambar 5. 4 Penembakan proyektil dari puncak gunung pada sebuah planet
Kita asumsikan planet kita tidak berotasi dan massanya M sedemikian
hingga GM = 1. dari puncak gunung pada planet tersebut kita tembakan
meriam secara harisontal dengan kecepatan awal v0. gaya gravitasi F yang
bekerja pada proyektil mengarah ke pusat planet. Jika massa gunung kita
abaikan dan jarak proyektil dari pusat planet r serta massa proyektil m,
maka gaya yang bekerja adalah
71
Mengungkap Fenomena Fisika dengan Scratch
F=−
bagian r̂
GMm
rˆ
r2
adalah
vektor
(5.10)
satuan
sepanjang
r
dan
tanda
minus
memperlihatkan gaya F berarah ke pusat planet. Menurut hukum Newton
kedua kita dapatkan:
a=
F
GM
= − 2 rˆ
m
r
(5.11)
Percepatan relatif dari proyektil dengan massa m terhadap bumi dengan
massa M, jika m<< M dapat dihitung sebagai berikut:
Dengan asumsi GM = 1 dan komponen komponen dalam arah x dan y
dari percepatan adalah
ax = −
cosθ
r2
(5.12)
ay = −
sin θ
r2
(5.13)
di mana:
cosθ =
sin θ =
72
x
2
x + y2
y
2
x + y2
(5.14)
(5.15)
BAB 5 Dinamika dalam Dua Dimensi
atau ditulis juga bahwa:
r 2 = x2 + y 2
(5.16)
jadi kita peroleh:
ax = −
x
( x2 + y 2 )
3
3
(5.17)
2
dan
ay = −
y
2
2
(x + y )
3
(5.18)
2
di mana ax dan ay adalah percepatan proyektil yang mengelilingi planet yang
lebih kompleks dibanding bumi yang datar.
Sebagai contoh adalah gerak satelit semacam gerak bumi mengitari
matahari atau gerak elektron mengitari proton. Berikut ini adalah data yang
diperoleh untuk mem-“plot“ orbit dari bumi: G = 6.672 × 10-11 Nm2kg-2, M =
1.99 × 1030 kg, x = 1.496 × 1011 m, y = 0 dan vx = 0, vy = 2.94 × 104 ms-1.
Kita gunakan h = 86400 s (satu hari), sedangkan domain dan range-nya
adalah [-2.25, 2.25]x 1011 m dan [-1.5, 1.5]x 1011 m. Gambar 5.5 adalah
lintasan gerak bumi yang mengitari matahari.
73
Mengungkap Fenomena Fisika dengan Scratch
Algoritma 5.2 Model gerakan bumi mengitari matahari
STEP 1 Tentukan h = 864000 s
STEP 2 Pilih kondisi awal seperti contoh
STEP 3 Hitungn p = GM = 1.328 x 1020 Nm2kg-1
dan
STEP 4 Hitung half step velocity komponen dengan rumus:
dan
STEP 5 Mulai loop hingga koordinat y berganti dari – ke +
STEP 6
Plot (x,y)
STEP 7
Hitung koordinat baru dengan rumus:
dan
STEP 8
74
Hitung komponen x dan y dari percepatan dengan
persamaan yang diberikan di atas (STEP 3).
BAB 5 Dinamika dalam Dua Dimensi
STEP 9 Update komponen-komponen kecepatan:
dan
STEP 10 Increment waktu:
STEP 11 Akhir loop dari STEP 5
STEP 12 Selesai
Selain itu dengan adanya variasi kecepatan satelit akan menempuh
lintasan yang berbeda-beda memperlihatkan bahwa lintasan dapat berupa
orbit terbuka berupa parabola dan hiperbola atau orbit tertutup yaitu elips
dan lingkaran. Lintasan orbit lingkaran adalah kasus paling sederhana dari
gerak satelit, namun hal ini merupakan kasus penting. Bila sebuah gaya
bekerja pada satelit dalam orbit lingkaran mengelilingi bumi dalam gaya
tarik bumi, yang mana arah gaya tersebut ke pusat bumi sebagai pusat
orbit. Ini berarti bahwa satelit bergerak melingkar beraturan dengan
kecepatan konstan.
Soal 5.2 Untuk mendapatkan gambaran yang lengkap tentang
bentuk lintasan berbagai orbit satelit, ubahlah program lintasan
bumi yang mengitari matahari dengan memberikan kondisi awal
yang berbeda-beda. Ambil GM = 1, x0 = 25, y0 = 0 dan vx = 0
dengan vy yang divariasi. Hasilnya seperti nampak pada Gambar
5.6, dimana vy berubah mulai 0.04 hingga 0.32 dengan perubahan
75
Mengungkap Fenomena Fisika dengan Scratch
0.04. Grafik mempunyai dom = [-75, 75] dan ran = [-50, 50],
sedangkan h = 0.05.
Gambar 5. 5 Lintasan gerak bumi yang mengitari matahari. Parameter: G = 6.672 ×
10-11 Nm2kg-2,, M = 1.99 × 1030 kg, x = 1.496 × 1011 m, y = 0 dan vx = 0, vy = 2.94 ×
104 ms-1, h = 86400 s (satu hari), dom = [-2.5, 2.5] × 1011 m dan ran = [-2.5, 2.5] ×
1011 m
5.4
Gerak Orbital Elektron mengitari Proton
Menurut model atom Bohr, atom hidrogen terdiri dari orbit elektron yang
mengelilingi proton dalam bentuk lingkaran. Untuk mem-plot orbit dari
elektron dalam atom hidrogen, kita gunakan hukum Coulomb
F =k
76
Q1Q2
r2
(5.19)
BAB 5 Dinamika dalam Dua Dimensi
Gaya tersebu adalah gaya atraksi diantara proton dan elektron dalam
orbit pada jarak r dari proton. Kuantitas k = 8.99 × 109 Nm2C-2. Untuk lebih
sederhanya kita asumsikan orbit lingkaran dengan proton pada titik pusat
koordinat.
Gaya
coulomb
menghasilkan
gaya
sentripetal
yang
mempertahankan elektron dalam orbit lingkaran. Elektron dalam atom
hidrogen mengitari sebuah proton sebagai inti, keduanya bermuatan
sebesar 1.602 × 10-19 C. Dengan demikian menurut hukum Newton kedua
akan diperoleh
a=−
ke 2 1
m r2
(5.20)
dengan mengganti parameter p dalam Algoritma 5.2 menjadi
ke 2
p=
m
(5.21)
Dalam program selengkapnya diperlukan informasi berikut: Q1 = Q2 = e
= 1.6 × 10-19 C, k = 8.99 × 109 Nm2C-2, m = 9.11 × 10-31 kg, x0 = 5.3 ×
10-11 m, y0 = 0 dan vx0 = 0, vy0 = 2.19 × 109 ms-1. Gantilah semua nilai yang
digunakan untuk mem-plot orbit bumi dengan nilai-nilai tersebut di atas,
kemudian jalankan program untuk mem-plot lintasan elektron. Agar
diperoleh gambar yang baik gunakan domain dan range untuk persoalan ini
adalah [-9, 9] × 10-11 m dan [-6, 6] × 10-11 m, dengan interval h = 10-19 s.
77
Mengungkap Fenomena Fisika dengan Scratch
5.5 Kode Program
Berikut ini adalah kode program yang digunakan untuk mem-plot
lintasan proyektil dengan hambatan udara. Program masih ditulis dengan
metoda
Feynman-Newton
(Algoritma
5.1),
adapun
parameter
yang
digunakan dan hasil atau output dari program adalah sebagaimana nampak
pada Gambar 5.3.
Gambar 5. 6 Script pada Stage Backdrop (bagian 1)
78
BAB 5 Dinamika dalam Dua Dimensi
Gambar 5. 7 Script pada Stage Backdrop (bagian 2)
79
Mengungkap Fenomena Fisika dengan Scratch
Gambar 5. 8 Script pada sprite yang menjalankan grafik gerak parabola dengan
hambatan udara
80
BAB 5 Dinamika dalam Dua Dimensi
Kode program berikut ini ditulis dengan mengimplementasikan Algoritma
5.2 tentang model orbit bumi mengitari matahari. Metode yang dipakai
masih Feynman-Newton, sedangkan parameter yang digunakan dan hasil
atau output dari program diperlihatkan pada Gambar 5.5.
Gambar 5. 9 Script pada Stage Backdrop (bagian 1)
81
Mengungkap Fenomena Fisika dengan Scratch
Gambar 5. 10 Script pada Stage Backdrop (bagian 2)
Gambar 5. 11 Script pada sprite yang menjalankan grafik gerak planet mengelilingi
matahari (bagian 1)
82
BAB 5 Dinamika dalam Dua Dimensi
Gambar 5. 12 Script pada sprite yang menjalankan grafik gerak planet
mengelilingi matahari (bagian 2)
83
Mengungkap Fenomena Fisika dengan Scratch
84
BAB
6
RANGKAIAN RC, LR,
DAN RLC
Pada bab berikut ini kembali akan dibahas tentang peranan komputer
dalam menjelaskan masalah-masalah nyata dan sederhana khususnya pada
topik rangkaian listrik. Pembahasan rangkaian listrik dalam hal ini terbatas
pada rangkaian RC, RL dan RLC dalam arus searah. Untuk mempermudah
pembahasan, dalam hal mencari solusi numerik masih digunakan metode
numerik sederhana dengan dilengkapi ilustrasi grafik.
6.1
Rangkaian RC
R
a
b
i
V
C
S
Gambar 6. 1 Rangkaian RC
c
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Rangkaian RC terdiri dari baterai dengan beda potensial V yang
diserikan dengan resistor dengan resistansi R dan kapasitor dengan
kapasitansi C. Rangkaian tersebut diperlihatkan pada Gambar 6.1 Pada saat
t = 0 saklar ditutup. Arus pada rangkaian i(t) dan muatan pada kapasitor
q(t). Bagaimana arus pada rangkaian berubah terhadap waktu setelah itu?
Bagaimana muatan pada C berubah terhadap waktu?
Sesuai dengan hukum Kirchoff pada suatu rangkaian tertutup, jumlah
potensialnya adalah nol.
V − iR −
q
=0
C
(6.1)
Tegangan pada resistor menurun sesuai dengan hukum Ohm iR dan
tegangan yang turun pada kapasitor adalah q/C.
Muatan q(t) dan arus i(t) saling berhubungan. Muatan pada kapasitor
naik sebab ada muatan yang mengalir melalui kawat ke C.
dq
=i
dt
Jadi
semakin
(6.2)
besar
arus,
maka
semakin
cepat
kenaikan
q.
Substitusikan hubungan ini pada persamaan pertama hingga diperoleh
dq V
q
= −
dt
R RC
(6.3)
Kita asumsikan bahwa tidak ada muatan saat t = 0, jadi kondisi
awalnya t = 0, q = 0 dan i = V/R.
86
BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC
Jika kita cari kesamaannya dengan apa yang telah kita pelajari pada
Bab 2, Tabel 6.1 menunjukkan adanya analogi antara i dengan a dan q
dengan v.
Tabel 6. 1 Perbandingan antara masalah benda jatuh dan rangkaian RC
Arus pada rangkaian RC
Percepatan pada benda jatuh
Definisi percepatan
a(t ) =
dv
v(t + h) − v(t )
= lim
h
→
0
dt
h
Diselesaikan dengan hukum Newton
II, sehingga:
1
A
a = g − cρ v 2
2 m
Kita gunakan definisi turunan untuk
aproksimasi percepatan (Metoda Euler)
a(t ) ≅
v(t + h) − v(t )
h
Definisi Arus
i(t ) =
dq
q(t + h) − q(t )
= lim
h
→
0
dt
h
Diselesaikan dengan hukum
Kirchoff pada rangkaian tertutup,
sehingga:
i=
V
q
−
R RC
Kita gunakan definisi turunan untuk
aproksimasi arus listrik (Metoda Euler)
i (t ) ≅
q(t + h) − q(t )
h
dan
dan
v(t + h) ≅ v(t ) + ha (t )
q(t + h) ≅ q(t ) + hi (t )
Kondisi awalnya: t = 0, v = 0 dan a = g
Kondisi awalnya: t = 0, q = 0 dan i = V/R
87
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Algoritma 6.1 adalah tahapan atau prosedur dalam menyelesaikan
persamaan di atas secara numerik dengan metoda Euler.
Algoritma 6.1 Muatan pada kapasitor dalam rangkaian RC
STEP 1
STEP 2
STEP 3
Tentukan R, C dan interval waktu h
Pilih kondisi awal q0 = 0 dan i0 = V/R
Mulai loop hingga t > tmax
STEP 4
Hitung i(t) dengan rumus:
STEP 5
STEP 6
Plot q(t) dan i(t)
Update muatan
STEP 7
Increment waktu:
STEP 8 Akhir dari loop STEP 3
STEP 9 Selesai
Soal 6.1 Buatlah program dengan mengimplementasikan Algoritma 6.1
untuk mem-plot grafik q(t). Pilih V = 10 Volt, R = 1000 Ω, C = 100 µF, h =
0.5 ms, i0 = q0 = 0, dom = [-0.1, 2.5] s dan ran = [-0.0001, 0.0015] C.
Modifikasi juga program tersebut dengan nilai R yang berbeda-beda.
Hasilnya akan nampak sebagaimana Gambar 6.2
88
BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC
Gambar 6. 2 Grafik q(t) untuk beragam nilai R (1 KΩ , 4 KΩ , 6 KΩ) . Parameter
lainnya adalah V = 10 Volt, C = 100 µF, h = 0.05 ms, i0 = q0 = 0, dom = [-0.1, 2.5] s
dan ran= [-0.0001, 0.0015] C
Soal 6.2 Bandingkan solusi numerik untuk q(t) dengan solusi analitik
t ⎤
⎡
−
RC
q(t) = VC ⎢1− e ⎥
⎣
⎦
89
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
6.2
Rangkaian LR
R
b
a
i
V
L
S
c
Gambar 6. 3 Rangkaian LR
Nampak pada Gambar 6.3, rangkaian LR terdiri dari baterai, resistor
dan induktor. Tujuan kita adalah mencari perubahan arus terhadap waktu
setelah saklar ditutup. Kita asumsikan beda potensial dari baterai adalah V,
resistansi R dan induksi diri dari kumparan adalah L. Tegangan VL yang
melalui induktor dapat diekspresikan sebagai:
VL = − L
di
dt
(6.4)
Hubungan di atas memperlihatkan bahwa arus akan naik secara
perlahan-lahan dari nilai awal nol.
90
BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC
Kemudian kita aplikasikan aturan Kirchoff untuk rangkaian tertutup
saklar ditutup akan diperoleh
V − iR − L
di
=0
dt
(6.5)
atau
di V
R
= −i
dt L
L
(6.6)
Untuk mendapatkan solusi numerik i(t). Analog dengan rangkaian RC
diperoleh rumus iterasi sebagai
in+1 = in + hi''n
(6.7)
V R
− in
L L
(6.8)
dimana
i''n =
Soal 6.2 Ubahlah Algoritma 6.1 untuk dapat digunakan mencari
solusi pada rangkaian RL. Gunakan algoritma tersebut untuk
mendapatkan solusi numerik i(t). Buat grafik i(t) dengan parameter:
L = 100 mH, R = 200 Ω , V = 10 V. Pilih h = 0.009 ms, dom = [0.00005, 0.005] s dan ran = [-0.001, 0.06] A.
Soal
6.3
Tegangan
yang
lewat
induktor
VL diberikan
persamaan 6.4. Buatlah grafik tegangan sebagai fungsi waktu.
91
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gunakan semua parameter pada soal 6.2. Anda tinggal
mengubah ran menjadi [0, 10] V.
Soal 6.4 Bandingkan solusi numerik dari soal 6.2 dengan
solusi analitik untuk rangkaian RL berikut:
R
i(t ) =
− t ⎞
V⎛
⎜1 − e L ⎟
⎟
R ⎜⎝
⎠
(6.9)
Buatlah grafik dari persamaan di atas dan bandingkan dengan
grafik pada soal 6.2.
Gambar 6. 4 Grafik i(t) untuk beragam nilai R (2 KΩ, 3 KΩ dan 4KΩ). Parameter
lainnya adalah V = 10 Volt, L = 100 mH,. h = 0.01 ms. Sedangkan dom = [0, 0.005]
s dan ran = [0, 0.05] A
92
BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC
93
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
6.3
Rangkaian LRC
Anggaplah saklar dalam rangkaian LR terhubung dan arus dapat
mengalir. Apa yang terjadi bila saklar dibuka? Membuka saklar akan
menimbulkan di/dt yang sangat besar, berarti akan menghasilkan beda
potensial yang sangat besar yang melalui induktor. Hal ini akan sering
menimbulkan
percikan
api pada
saklar. Ada
beberapa
cara
untuk
menghindarkan hal tersebut. Cara pertama, dengan menaruh kapasitor
diantara terminal saklar. Cara ini akan menjadikan induktor diusahakan
dialiri arus listrik yang konstan. Akan tetapi sebaliknya percikan api pada
saklar sekarang akan mengisi kapasitor.
Marilah kita lihat prosesnya secara lebih rinci. Rangkaian tersebut
ditunjukkan pada Gambar 6.5 Sebelum t = 0, saklar tertutup dan arus i
=V/R mengalir dalam rangkaian. Saat t = 0, saklar dibuka. Dengan
menerapkan hukum Kirchoff pada rangkaian tersebut akan diperoleh
persamaan
94
BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC
R
b
a
i
V
L
C
c
S
Gambar 6. 5 Rangkaian LRC
V −L
di q
− − Ri = 0
dt C
(6.10)
95
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Pada kasus dimana kondisi awal t = 0 dan q = 0, akan terdapat arus
yang mengalir dalam rangkaian bila saklar telah dibuka. Kita tahu bahwa
dq
= q' (t )
dt
(6.11)
di d 2 q
=
= q' ' (t )
dt dt 2
(6.12)
i=
dan
Dengan mensubstitusikan kedua persamaan di atas ke persamaan
(6.10) akan diperoleh
q' ' (t ) = −
1 ⎡q
⎤
+ R q' (t ) − V ⎥
⎢
L ⎣C
⎦
(6.13)
Sebagaimana kasus pada hukum Newton kedua, rumus yang
diturunkan dari loop Kirchoff akan dapat dicari solusi numeriknya baik untuk
q(t) maupun i(t). Dari diskusi di atas dianggap V = 0, sehingga solusi
numeriknya dapat dituliskan seperti Algoritma 6.2 .
Jika kita bandingkan dengan hukum Newton kedua untuk sistem
benda pegas pada bab 3, maka terdapat analogi seperti nampak pada Tabel
6.2. Pada Tabel 6.2 ditunjukkan perbandingan antara hukum Newton kedua
dengan solusi numerik tentang rangkaian LRC.
96
BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC
Algoritma 6.2 Solusi numerik rangkaian
menggunakan metoda Feynman-Newton.
LRC
dengan
STEP 1
Tentukan R, L, C dan V. Berikan nilai interval waktu h dan
kondisi awal q0 dan t0.
STEP 2
Hitung turunan kedua saat t = 0
STEP 3
Dari turunan kedua, dapatkan nilai turunan pertamanya
saat t = h/2
STEP 4
STEP 8
STEP 9
Mulai loop hingga t > tmax
STEP 5
Plot q(t) dan/atau i(t)
STEP 6
Update muatan
STEP 7
Hitung harga baru untuk turunan kedua q
dimana
STEP 8
Update turunan dari muatan
STEP 9
Increment waktu:
Akhir dari loop STEP 4
Selesai
97
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Tabel 6. 2 Perbandingan antara solusi rangkaian LRC dan hukumNewton kedua
Rumus loop Kirchoff
q' ' (t ) = −
1 ⎡q
⎤
+ R q' (t )⎥
⎢
L ⎣C
⎦
Dengan kondisi awal q0 dan
q 0' (i0 )
dapat ditulis:
q '12 = i 12 = i0 +
Hukum Newton kedua
x' ' (t ) = −
1
[kx + c x' (t )]
m
Dengan kondisi awal x0 dan
x 0' (v 0 )
dapat ditulis:
h ''
q0
2
Mulai loop:
h ''
x0
2
Mulai loop:
q ← q + hi atau
q ← q + hq
x '12 = v 12 = v0 +
'
x ← x + hv atau
x ← x + hx '
hitung q” dari rumus loop
Kirchoff
hitung x” dari rumus hukum
Newton kedua
i ← i + hq ''
v ← v + hx ''
t ←t+h
t ←t+h
Akhir loop
Akhir loop
Soal berikut tentang sebuah model dengan kondisi sebagaimana
dijelaskan di atas. Kita ingin mengetahui bagaimana arus listrik melalui
rangkaian yang divariasi dan bagaimana tegangan yang melewati induktor
berubah terhadap waktu. Motivasi kita tidak hanya sekedar mempelajari
98
BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC
perangai rangkaian LRC. Rangkaian ini telah banyak diaplikasikan dalam
berbagai hal antara lain: radio, stereo, pemancar, telepon dan lain-lain.
Anda juga pasti akan mempelajari osilasi LRC jika anda mempelajari
gelombang elektromagnetik.
Soal 6.5 Tulislah program yang mengimplentasikan Algoritma 6.2.
Pilih parameter-parameter berikut: L = 1 mH, R = 5 Ω , C = 1 µF, V
= 10 V, h = 5 × 10-7 s, dom = [0, 0.001] s dan ran = [-10, 10] V.
Sebagai kondisi awal pilih q0 = 0 dan i0 = 0.2 A. Gambarkan grafik
VL sebagai fungsi waktu dan arus dalam rangkaian sebagai fungsi
waktu. Agar dapat di-plot dalam domain
dan range yang sama,
kalikan arus dengan faktor skala 20. Hasilnya akan nampak seperti
Gambar 6.6.
99
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 6. 6 Osilasi teredam dalam rangkaian LRC. Parameter L = 1 mH, R = 5 Ω, V
= 0 Volt, C = 1 µF, h = 1 × 10-5 s, dom = [-0.0001, 0.001] s dan ran = [-0.4, 0.4] A.
i0 = 0.2 A, dan q0 = 0.
Sistem sebagaimana dilukiskan pada Gambar 6.5 adalah sistem
dibawah dalam kondisi teredam (under damped). Anda dapat mengeceknya
pada situasi teredam kritis (critically damped). Dengan R yang besar sistem
akan menjadi sangat teredam (over damped).
6.4
Kode Program
Kode program sebagai implementasi dari Algoritma 6.1 dengan
paramater, kondisi awal dan hasil berupa grafik q(t) untuk berbagai nilai R
seperti nampak pada Gambar 6.2, adalah sebagai berikut:
100
BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC
Gambar 6. 7 Script pada Stage Backdrop (bagian 1)
101
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 6. 8 Script pada Stage Backdrop (bagian 2)
102
BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC
Gambar 6. 9 Script pada Stage Backdrop (bagian 3)
103
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 6. 10 Script pada sprite yang menampilkan grafik dengan nilai R = 1kW
104
BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC
Gambar 6. 11 Script pada sprite yang menampilkan hasil dengan nilai R = 4kW
105
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 6. 12 Script pada sprite yang menampilkan hasil dengan nilai R = 6kW
106
BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC
Berikut ini kode program hasil modifikasi dari kode program tersebut
di atas untuk mem-plot 3 buah grafik i(t), masing-masing dengan nilai R = 2
KΩ, R = 4 KΩ dan R = 6 KΩ. Adapun paramater, kondisi awal dan hasilnya
nampak pada Gambar 6.4.
Gambar 6. 13 Script pada Stage Backdrop (bagian 1)
107
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 6. 14 Script pada Stage Backdrop (bagian 2)
108
BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC
Gambar 6. 15 Script pada sprite yang menampilkan grafik dengan nilai R = 2 kW
109
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 6. 16 Script pada sprite yang menampilkan grafik dengan nilai R = 4 kW
110
BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC
Gambar 6. 17 Script pada sprite yang menampilkan grafik dengan nilai R = 6 kW
111
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Berikut ini kode program untuk mem-plot 3 buah grafik i(t). Adapun
paramater, kondisi awal yang digunakan dan hasilnya seperti ditunjukan
pada Gambar 6.6.
Gambar 6. 18 Script pada Stage Backdrop (bagian 1)
112
BAB 6 Rangkaian RC, LR, dan LRC
Gambar 6. 19 Script pada Stage Backdrop (bagian 2)
113
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 6. 20 Script pada sprite yang menampilkan grafik RLC
114
BAB
7
SISTEM TIGA BENDA
(Three Body System)
Pada bab terdahulu telah dibahas lintasan gerak partikel dalam sistem
fisika yang terdiri satu atau dua benda. Pada kasus tertentu sistem tersebut
mempunyai solusi analitik, tetapi kasus yang lain tidak ada. Pada bab ini
akan dipelajari sistem dengan banyak benda, sebutlah three-body problem.
Sistem
yang
demikian
tidak
mempunyai
solusi
analitik,
sehingga
penggunaan komputer menjadi mutlak esensial.
7.1
Ion H2+
Dalam bab ini akan digunakan teknik yang telah dijelaskan pada bab
sebelumnya untuk menguji sistem tiga benda (three-body sytem) yaitu
molekul hidrogen yang terionisasi, ion H 2+. Di akhir bab ini metoda
Feynman-Newton digunakan untuk menyelesaikan persamaan deferensial
orde dua.
Molekul Hidrogen yang telah kehilangan satu elektronnya, disebut
molekul hidrogen yang terionisasi dan diberi simbol H2+. Ion ini terdiri dari
dua proton dan satu elektron, sebagaimana molekul Hidrogen. Ion H 2+
adalah sistem fisika yang stabil. Karena kompleksitas sistem, kita ambil
penyederhanaan dengan mengasumsikan kedua proton tidak bergerak,
sedangkan elektron mengorbit pada kedua proton. Untuk tujuan yang
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
praktis sifat-sifat alami proton dapat diabaikan karena massa proton kira-kira
2000 kali dari massa elektron, sehingga pusat massa dari kedua proton
berada pada titik nol pada sistem koordinat.
Hukum Coulomb dan hukum Newton kedua mendasari gerak elektron
pada ion H2. Hukum Coulomb adalah
F
k
Q1Q2
rˆ
r2
(7.1)
dimana k = 8.99 × 109 Nm2C-2. Semua muatan di dalam ion H2 mempunyai
nilai yang sama (kecuali tandanya). Jadi Q1 = Q2 = e =1.6 x 10-19 C dan m =
9.11× 10-31 kg.
Geometri dari sistem diilustrasikan pada gambar 7.1 yang sangat
mirip dengan geometri yang digunakan pada gerak proyektil dan gerak
satelit, tetapi di sini terdapat dua gaya yang bekerja pada orbit. Dengan
demikian metoda Feynman-Newton akan digunakan pada banyak bagian.
Gambar 7. 1 Geometri dari posisi dan vektor gaya pada ion H2.
114
BAB 7 Sistem Tiga Benda
Kedua proton terletak pada titik (d, 0) dan (-d, 0) pada jarak 2d.
Percepatan ax dari elektron karena adanya proton pada (d, 0) adalah
ax
F1 cos
m
1
k
e 2 cos
mx d
1
2
y2
(7.2)
e2 x d
k
m x d
2
y2
3
2
Untuk mendapatkan percepatan karena gaya oleh proton pada ( -d, 0),
persamaan di atas diganti bagian (x-d) dengan (x+d):
ax
F2 cos
m
2
k
k
e 2 cos
2
mx d
2
y2
(7.3)
e2 x d
m x d
2
3
y2
2
Dengan demikian resultan percepatan dalam arah sumbu x adalah
ax
a1x
(7.4)
a2 x
sehingga
ax
x d
C
dimana C
x d
k
e2
m
2
x d
y2
3
2
x d
2
y2
3
2
(7.5)
115
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Ekspresi yang sama untuk ay akan diperoleh dengan mengganti
pembilang (x ± d) dengan numerator y.Algoritma selengkapnya adalah
sebagai berikut:
Algoritma 7.1 Orbit elektron pada H2
STEP 1 Tentukan nilai-nilai parameter berikut:
- muatan masing-masing partikel Q1, Q2 dan e
- massa elektron
- konstante k pada hokum Coulomb
- jarak 2d antar proton dalam molekul
- step-size h
STEP 2 Pilih kondisi awal untuk x, y, vx dan vy
STEP 3 Hitung komponen percepatan ax dan ay
dan
dengan
STEP 4 Hitung nilai half-step untuk vxdan vy
dan
116
BAB 7 Sistem Tiga Benda
STEP 5 Mulai loop hingga t > tmax
STEP 6
Plot (x,y) dari elektron
STEP 6
Plot (x,y) dari elektron
STEP 7
Update posisi
STEP 8
STEP 9
Hitung
komponen-komponen
dengan rumus pada STEP 3
Update kecepatan
STEP 10
Increment waktu:
STEP 8
STEP 9
Akhir dari loop STEP 5
Selesai
percepatan
Soal 7.1 Buat program untuk mem-plot lintasan dari elektron
pada ion H2. Gunakan nilai-nilai parameter berikut: d = 5.35 ×
10-12 m, x0 = -y0 = -2.4 × 10-10 m, vx0 = vy0 = -2.8 × 104 ms-1,
h = 5 × 10-19 s, dom = [-4.5, 4.5] × 10-10 m dan ran = [-3, 3]
× 10-10 m. Hasilnya akan nampak seperti gambar 7.2.
117
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 7. 2 Lintasan elektron dalam molekul Hidrogen yang
terionisasi. Parameter: d = 5.35 × 10-12 m, x0 = -y0 = -2.4 × 10-10
m, vx0, vy0 = -2.8 × 104 ms-1, h = 5 × 10-19 s, dom = [-6, 6] × 10-10
m dan ran = [-4, 4] × 10-10 m
Soal 7.2 Modifikasi soal 7.1 untuk menggambarkan lintasan
lain dari elektron pada ion H 2. Cobalah dengan parameter
berikut: x0 = 0, y0 = 2 × 10-10 m, vx0 = 1.725 × 105 ms-1, vy0 =
0 , h = 1 × 10-19 s, dom = [-3, 3] ×10-10 m dan ran = [-2.1,
2.1] × 10-10 m. Perhatikan, apakah bedanya dengan lintasan
pada gambar 7.2?
Soal 7.3 Untuk menggambarkan lintasan elektron berikutnya
ambil: d = 5.35 × 10-11 m, x0 = 0, y0 = 0, vx0 = vy0 = -1.5 ×
106 ms-1, h = 0.2 × 10-19s , dom = [-9, 9] ×10-11 m dan ran =
118
BAB 7 Sistem Tiga Benda
[-6, 6] × 10-11 m. Dari ketiga lintasan elektron yang telah
berhasil dibuat grafiknya, manakah yang anda anggap sebagai
ion H2 paling stabil?
Gambar 7. 3 Lintasan lain dari elektron dalam molekul Hidrogen
yang terionisasi. Parameter: d = 5.35 × 10-11 m, x0 = -y0 = 0,
vx0 = vy0 = 1.5 × 104 ms-1, h = 1× 10-20 s, dom = [-7, 7] × 10-11
m dan ran = [-4.67, 4.67] × 10-11 m.
Gambar 7.3 memperlihatkan lintasan yang sangat berbeda
dengan Gambar 7.2 sebagai solusi dari soal 7.1. Hal ini dapat
dipahami bahwa terdapat dua perbedaan yang esensial pada lintasan
yang dihasilkan dari soal 7.3. Pertama, lintasan pada Gambar 7.3
lebih padat dan raping dalam mengitari proton dibanding lintasan
119
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
pada Gambar 7.2. Kedua, energi elektron pada Gambar 7.2 adalah 10.1 elektron volt, sementara energi dari elektron pada Gambar 7.3
adalah -41 eV. Energi ini dihitung dari persamaan berikut:
U
1
ke2
x d
1
2
y2
x d
2
y2
(7.4)
K
1 2
mv
2
(7.5)
E
K U
1.6 10 19
(7.5)
dan
Pada rumus di atas U adalah energi potensial listrik, K adalah energi
kinetik dan E adalah energi total dari elektron. Jika K dan U dalam joule,
maka pada persamaan 7.5 E dalam elektron volt. Ingat bahwa bagian e2
adalah
perkalian
antara
muatan
negatif
(elektron)
dan
muatan
positif(proton). Sehingga dalam kasus ini U < 0.
Dengan menambahkan kode program untuk menghitung E, tentunya
akan diperoleh hasil bahwa nilai E adalah kekal, sementara elektron
mengorbit pada proton. Hasil ini selanjutnya dapat dipakai untuk mengecek
validitas dari program yang bersangkutan.
120
BAB 7 Sistem Tiga Benda
Gambar 7. 4 Lintasan lain dari elektron dalam molekul Hidrogen
yang terionisasi. Parameter: d = 5.35 × 10-11 m, x0 =0, y0 = 2 x
10-10 m, vx0 =1.725 x 105 ms-1, vy0 = 0, h = 1× 10-19 s, dom = [3, 3] × 10-11 m dan ran = [-2.1, 2.1] × 10-11 m.
121
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
7.2
Kode Program
Kode Program untuk kasus seperti Gambar 7.2
Gambar 7. 5 Script pada Stage Backdrop (bagian 1)
122
BAB 7 Sistem Tiga Benda
Gambar 7. 6 Script pada Stage Backdrop (bagian 2)
123
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 7. 7 Script pada sprite yang berfungsi membuat grafik Lintasan
lain dari elektron dalam molekul Hidrogen yang terionisasi (bagian 1)
124
BAB 7 Sistem Tiga Benda
Gambar 7. 8 Script pada sprite yang berfungsi membuat grafik Lintasan
lain dari elektron dalam molekul Hidrogen yang terionisasi (bagian 2)
125
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Kode Program untuk kasus seperti Gambar 7.3
Gambar 7. 9 Script pada Stage Backdrop (bagian 1)
126
BAB 7 Sistem Tiga Benda
Gambar 7. 10 Script pada Stage Backdrop (bagian 2)
127
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 7. 11 Script pada sprite yang berfungsi membuat grafik Lintasan
lain dari elektron dalam molekul Hidrogen yang terionisasi (bagian 1)
128
BAB 7 Sistem Tiga Benda
Gambar 7. 12 Script pada sprite yang berfungsi membuat grafik Lintasan
lain dari elektron dalam molekul Hidrogen yang terionisasi (bagian 2)
129
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Kode Program untuk kasus seperti Gambar 7.4
Gambar 7. 13 Script pada Stage Backdrop (bagian 1)
130
BAB 7 Sistem Tiga Benda
Gambar 7. 14 Script pada Stage Backdrop (bagian 1)
131
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 7. 15 Script pada sprite yang berfungsi membuat grafik Lintasan
lain dari elektron dalam molekul Hidrogen yang terionisasi (bagian 1)
132
BAB 7 Sistem Tiga Benda
Gambar 7. 16 Script pada sprite yang berfungsi membuat grafik Lintasan
lain dari elektron dalam molekul Hidrogen yang terionisasi (bagian 2)
133
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
134
BAB
12
DINAMIKA DALAM TIGA
DIMENSI
Dalam bab ini kita akan mempelajari fenomena fisika yang cukup
kompleks, yaitu tentang dinamika klasik dari partikel bermuatan yang
terisolasi di dalam medan listrik dan magnet. Untuk memvisualisaikan
perangai gerak partikel tersebut dan kaitanya dengan gaya Lorentz,
beberapa konsep dan pengertian penting yang harus dipahami yaitu:
perkalian vektor, gerak heliks dan sikloid sebagai superposisi dari gerak
melingkar dan translasi dalam ruang (sistem koordinat 3D).
9.1 Gerak Muatan dalam Medan Magnet
Medan magnet adalah medan vektor, karena besaran medan adalah
suatu besaran vektor yang mempunyai harga pada tiap titik dalam ruang.
Vektor medan magnet B, dinamakan induksi magnet. Vektor medan magnet
dihubungkan dengan garis induksi dengan cara: jika garis-garis berdekatan
satu sama lain maka B adalah besar dan di tempat dimana garis-garis
berjauhan maka B adalah kecil. Dalam hal ini garis-garis induksi hanyalah
sekedar memberikan sebuah representasi grafik mengenai cara B berubah
di seluruh ruang tertentu. Singkatnya B disebut medan magnet.
Bila muatan q yang diam pada sebuah titik di dekat sebuah magnet
permanen, ternyata tidak ada gaya yang bekerja pada q atau tidak ada gaya
yang diakibatkan ada/tidak adanya medan magnet. Namun bila q
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
ditembakkan dengan kecepatan v ke kanan, maka muatan positif q akan
mendapatkan sebuah gaya yang mengarah ke bawah sebesar Fmag (lihat
Gambar 9.1). Gaya tersebut akan memenuhi hubungan:
Fmag
q ( v B)
(9.1)
Nampak bahwa gaya magnet ini selain terkait langsung dengan
kecepatan dan jenis muatan, juga tidak melakukan kerja.
y
q
v
Fmag
x
z
B
Gambar 9. 1 Muatan positif q bergerak dalam medan magnet serba sama B.
Lintasan muatan terbut akan berupa lingkaran
Kenyataan bahwa gaya magnet selalu tegak lurus pada arah gerakan
partikel, hal ini berarti bahwa (setidak-tidaknya untuk medan magnet yang
tetap) kerja yang dilakukan oleh gaya ini pada partikel tersebut adalah nol.
Jadi, untuk sebuah partikel yang bergerak dengan lintasan atau mempunyai
elemen perpindahan sepanjang dl, maka kerja dWmag adalah
152
BAB 9 Dinamika dalam Tiga Dimensi
dWmag
Fmag dl
q ( v B) v dt
0
(9.2)
Dari persamaan 9.2 jelas bahwa dWmag akan sama dengan nol, karena
Fmag dan dl saling tegak lurus. Dengan kata lain sebuah medan magnet
statik tidak dapat mengubah tenaga kinetik sebuah muatan yang bergerak;
medan magnet statik tersebut hanya dapat membelokan muatan ke arah
samping.
9.2 Gerak Muatan dalam Medan Magnet dan Listrik
Definisi medan listrik E secara operasional dapat diilustrasikan sebagai
berikut: jika ditempatkan sebuah muatan uji q positif pada titik tertentu di
dalam medan listrik E serba sama (uniform), maka padanya akan bekerja
sebuah gaya listrik F. Gaya listrik tersebut adalah vektor yang memenuhi
hubungan:
F
(9.3)
qE
Dalam hal ini q dan E adalah kuantitas yang dapat di ukur.
Selanjutnya jika sebuah muatan bergerak melalui sebuah daerah
dimana terdapat kedua medan tersebut secara bersamaan yaitu medan
listrik dan magnet, maka gaya resultannya merupakan kombinasi dari
persamaan gaya magnet (persamaan 9.1) dan gaya listrik (persamaan 9.3):
F
qE
v B
(9.4)
Persamaan di atas sering disebut persamaan Lorentz.
153
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Misalnya terdapat sebuah kasus dimana sebuah partikel bermuatan
bergerak di dalam ruang yang terdapat medan listrik dan magnet yang
serba sama. Secara vektoris, medan magnet serba sama tersebut hanya
mempunyai komponen yang searah dengan sumbu z yaitu
B
Bz k ,
sedangkan vektor medan listriknya juga serba sama dengan mempunyai tiga
komponen, masing-masing dalam arah sumbu x, y dan z. Medan listrik
tersebut adalah E
E x i E y j E z k . Menurut hukum Newton kedua,
dapat dituliskan persamaan gerak dari partikel bermuatan tersebut sebagai
m
dv
dt
qE
v B
(9.5)
Bila persamaan 9.5 diuraikan dalam tiga komponen dalam sistem
koordinat kartesian, akan diperoleh persamaan-persamaan sebagai berikut
d3 x
dt
3
d3 y
dt 3
154
2
2
Ey
Bz
dx
dt
(9.6a)
Ex
Bz
dy
dt
(9.6b)
BAB 9 Dinamika dalam Tiga Dimensi
dan
d2 z
dt 2
dimana
Ez
Bz
(9.6c)
qB z
.
m
Persamaan-persamaan 9.6a, 9.6b dan 9.6c tidak lain adalah
persamaan differensial orde-3 tentang gerak partikel dalam medan listrik
dan magnetik. Persamaan-persamaan tersebut akan diselesaikan atau dicari
solusinya secara numerik secara simultan dengan menggunakan metode
yang paling sederhana yaitu metode Euler.
Dengan
Euler
metode
persamaan-persamaan
tersebut
dapat
dituliskan
an
1
an
san h
vn
1
vn
an h
xn
1
xn
vn 1h
(9.7)
dimana n adalah indeks iterasi pada increment waktu h sehingga xn+1, vn+1
dan an+1 masing-masing secara berurutan adalah harga posisi, kecepatan
dan percepatan pada iterasi ke n+1, sedangkan san merupakan syarat awal
di setiap iterasi ke n yang dihitung berdasarkan persamaan
2
san
E
B
2
vn
(9.7)
155
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
dengan B dan E adalah besarnya medan magnetik dan listrik. Sedangkan
sering disebut Gyrofrequency dari partikel. Persamaan di atas memerlukan
harga-harga awal, misalnya
x0
k1
v0
k2
a0
q
E
m
(9.8)
k2
dimana k1 dan k2 adalah suatu konstanta. Adapun algoritma selengkapnya
adalah sebagai berikut
Algoritma 9.1 Gerak Muatan dalam Medan Listrik dan Medan
Magnet
STEP 1
STEP 2
STEP 3
156
Tentukan nilai-nilai parameter berikut:
- massa elektron m
- muatan partikel elektron e
- Selang waktu dt
- Waktu maksimum tmax
Pilih kondisi awal untuk x, y, z, vx, vy, vz, Bz, Ex, Ey, Ez,
Hitung komponen , percepatan ax, ay, dan az
BAB 9 Dinamika dalam Tiga Dimensi
an
STEP 4
Mulai loop hingga t > tmax
STEP 5
Hitung Sax, dan Say
STEP 6
STEP 7
Update Percepatan
STEP 8
Update kecepatan
STEP 9
Update Posisi
STEP 10
Plot (x,y,z) dari partikel
Increment waktu:
STEP 8 Akhir dari loop STEP 4
STEP 9 Selesai
157
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Soal 9.1 Buatlah program yang dapat menghasilkan grafik posisi x,
y, dan z untuk gerak muatan yang berada dalam pengaruh medan
magnet dalam arah sumbu z yang besarnya Bz = 0.005 Wm-2.
Anggap tidak ada medan listrik yang mempengaruhi gerak muatan
tersebut. Anggap pula muatan berupa elektron yang diberi
kecepatan awal searah sumbu x (vx) dan sumbu z (vz) masingmasing vx=1
107 ms-1, vz=1
106 ms-1, sudut antara sumbu x dan
z dalam penggambaran di layar 300. Gunakan h = 2
10-11 s, tmax
= 3.35 10-8 s, domain = [-0.05, 0.05], dan range = [-0.05, 0.05] m.
Gambar 9. 2 Lintasan gerak muatan elektron dalam medan listrik dan medan
magnet. Parameter: vx=1 107 ms-1, vy=0 ms-1, vz=1 106 ms-1, Bz=0.005 Wm2
, Ex=0, Ey=0, Ez=0 , h=2x10-11 s,
q=-1.6x10-11 C, m=9.1 10-31 kg,
tetha=300, dom =[-0.05, 0.05] m dan ran = [-0.005, 0.005] m
158
BAB 9 Dinamika dalam Tiga Dimensi
9.3 Grafik Tiga Dimensi
Untuk mem-plot sebuah titik dalam bidang cukup menggunakan
sistem koordinat kartesian 2D, dengan sumbu x dan sumbu y. Akan tetapi
lokasi sebuah titik dalam ruang diperlukan sistem koordinat kartesian 3-D
dengan menambah satu sumbu z. Penggambaran hal tersebut biasanya
menggunakan aturan tangan kanan. Aturan ini selanjutnya disebut sebagai
sistem koordinat tangan kanan saja. Transformasi untuk mendapatkan posisi
pada layar, lokasi titik pada sistem koordinat tagan kanan digunakan cara
proyeksi langsung pada sumbu vertikal dan horizontal. Persamaan untuk
mendapatkan titik proyeksi itu adalah:
px
x cos
y cos
z cos ,
py
x sin
y sin
z sin
(9.9)
dimana x, y dan z adalah koordinat pada sistem koordinat tangan kanan.
dan
,
berturut- turut adalah sudut antara sumbu x, y dan z dengan bidang
datar dalam arah putar berlawanan jarum jam, biasanya diambil 0 o, 90o dan
225o sedangkan px dan py adalah hasil proyeksi titik pada sumbu x dan y.
159
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
9.4 Kode Program
Gambar 9. 3 Script pada stage backdrop ( bagian 1 )
160
BAB 9 Dinamika dalam Tiga Dimensi
Gambar 9. 4 Script pada stage backdrop ( bagian 2 )
161
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 9. 5 Script pada stage backdrop ( bagian 3 )
162
BAB 9 Dinamika dalam Tiga Dimensi
Gambar 9. 6 Script pada sprite muatan yang bergerak (bagian 1)
163
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Gambar 9. 7 Script pada sprite muatan yang bergerak (bagian 2)
164
BAB 9 Dinamika dalam Tiga Dimensi
Gambar 9. 8 Script pada sprite muatan yang bergerak (bagian 3)
165
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
166
DAFTAR PUSTAKA
Alberty, R.A.. 1987. Physical Chemistry. New York: John Wiley
& sons
Arya, Atam Parkash.Introduction to Classical Mechanics—2nd
ed.New Jersey: Prentice-Hall. Inc
De Jong, M.L. 1991. Introduction to Computational Physics.
Massachusetts: Addison-Wesley Pub. Company
Durran, Dale R.1998.Numerical Methods for Wave Equations in
Geophysical Fluid Dynamics.NewYork: Springer
French, A. P.. 1971. Newtonian Mechanics. New York: W.W.
Norton & Co. Inc.
Ford, Fr. Jerry Lee. 2008. Scratch Programming for Teens.
Kentucky: course Technology PTR
Gibbs, William R.1999.Computation in Modern
Physics.Singapore: World Scientific Publishing Co.
Pte. Ltd.
Gould, H. and Tobochnik. J.. 1988. Computer Simulation
Methods.Massachusetts: Reading MA. AddisonWesley
Kajian Gejala Fisika dengan Scratch
Griffiths, David. J. 1989. Introduction to Electrodynamics. New
Delhi: Prentice-Hall of India
Hardyanto, W. 2005. Mengungkap Fenomena Fisika dengan
Delphi. Unnes Press.
Kadir, Abdul & Nurcito, Lukman Arif. 2011. Bahasa
Pemrograman Scratch. Yogyakarta: Mediakom.
Law, Averill M.2000. Simulation Modeling and
Analysis.Singapore: McGraw-Hill
Maloney, J., Peppler, K., Kafai, Y.B., Resnick, M., Rusk, N.
2008. Programming by Choise: Urban Youth
Learning Programming with Scratch. SIGCSE,
Oregon, USA, pp 367-371
Osgood, T.H.. 1985. Rutherford and his Alpha Particles.
Physics History from AAPT journals M. N. Phillips.
American Association of Physics Teachers.
Osier, Dan, Steve G., and Steve B.. 1996. Teach Yourself
Delphi 2 in 21 days. Indianapolis. Sams Publishing
Sears. F. W, Zemansky, M. W., Young. H.D.. 1987. University
Physics seventh Edition. Massachusetts: AddisonWesley Pub.
Thijssen, J.M.1999.Computational Physics.Cambridge:
Cambridge University Press
Watts, R.G.. and Baroni. S.. 1989. Base ball-Bat Collisions and
Resulting Trajectories of Spring Balls. J. Physics.
168
Daftar Pustaka
-------.1963. Some reader will recognize my indebtedness to
Feynman lectures on physics Vol.1.
Reading.Massachusetts: Addison-Wesley.
Young, H.D., and Freedman. R.A.. 1996. University Physics 9th
Edition. Massachusetts: Addison-Wesley Pub.
169