Kata – kata Motivasi

Mengenal Himpunan |1
Kata – kata Motivasi
“Malas belajar hanya akan membuat
suatu pelajaran semakin sulit dipelajari.
Tidak ada mata pelajaran yang sulit,
kecuali kemalasan akan mempelajari
mata pelajaran tersebut.”
Mengenal Himpunan |2
TUJUAN
Tujuan dari penulisan buku ini adalah, sebagai berikut:
1. Untuk mengetahui definisi himpunan.
2. Untuk mengetahui manfaat himpunan dalam kehidupan
sehari-hari.
3. Untuk mengetahui contoh penerapan soal himpunan dalam
kehidupan sehari-hari.
MANFAAT
Membahas mengenai manfaat himpunan dalam kehidupan
sehari-hari, mengingatkan kita yang mungkin sebagai guru
atau orang tua saat ada pertanyaan yang terlontar dari anak
dengan wajah polosnya. “Apa manfaat himpunan dalam
kehidupan kita sehari-hari?” Mereka belum tahu betapa
pentingnya himpunan yang merupakan dasar dari segala ilmu
Matematika.
Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan
logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita
mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika
Mengenal Himpunan |3
memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal
pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:
1. Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk
berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis
dan koheren.
2. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat,
dan objektif.
3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan
berpikir secara tajam dan mandiri.
4. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri
dengan menggunakan asas-asas sistematis.
5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari
kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.
6. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
Mengenal Himpunan |4
Himpunan (set)
A. Pengertian Himpunan
Himpunan merupakan suatu konsep dasar di matematika.
Teori tentang himpunan dikembangkan pertama kali oleh
ilmuwan George Cantor (1845-1918). Walaupun pada mulanya
teori himpunan dikembangkan secara teoritis, tetapi sekarang
teori himpunan banyak sekali diterapkan baik di matematika
sendiri, cabang-cabang ilmu lain maupun di kehidupan seharihari.
Himpunan (set) adalah kumpulan benda-benda atau hal-hal lain
yang keanggotaannya diterangkan dengan jelas.
Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Perhatikan kumpulan berikut ini:
a. Kumpulan lukisan indah.
b. Kumpulan wanita cantik di Indonesia.
Kumpulan lukisan indah tidak dapat disebut himpunan,
karena lukisan indah menurut seseorang belum tentu indah
menurut orang lain. Dengan kata lain, kumpulan lukisan indah
tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Demikian halnya dengan
kumpulan wanita cantik di Indonesia. Wanita cantik menurut
seseorang belum tentu cantik menurut orang lain. Jadi,
kumpulan wanita cantik bukan termasuk himpunan.
Mengenal Himpunan |5
 Contoh
Kelompok/kumpulan
yang
merupakan
suatu
himpunan:
Kelompok hewan berkaki empat.
Yang merupakan anggota, misalnya : Gajah, sapi, kuda,
kambing
Yang merupakan bukan anggota, misalnya : ayam, bebek,
itik.
 Contoh Kelompok/kumpulan yang bukan merupakan suatu
himpunan:
Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.
Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.
Mengapa disebut begitu??? karena batasan contoh di atas
tidak jelas. Di dalam Matematika kumpulan tidak dapat
disebut himpunan jika batasannya tidak jelas.
B. Cara Penyajian Himpunan
1. Enumerasi
Contoh 1.
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6,
8, 10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
Mengenal Himpunan |6
- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100}
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2,
…}.
Keanggotaan
x  A : x merupakan anggota himpunan A;
x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
K = {{}}
maka
3  A
5  B
{a, b, c}  R
cR
{}  K
{}  R
Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a,b}}},
maka
a  P1
a  P2
Mengenal Himpunan |7
P1  P2
P1  P3
P2  P3
2. Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah
himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x  syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 4.
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari
5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau
Mengenal Himpunan |8
A = { x | x  P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah
IF2151}
4. Diagram Venn
Contoh 5.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5,
6, 8}.
Diagram Venn:
U
A
1
3
B
2
5
7
8
6
4
C. Jenis-jenis Himpunan
1. Himpunan Kosong
 Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong
(null set).
 Notasi :  atau {}
Mengenal Himpunan |9
Contoh 7.
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P)
=0
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 },
n(A) = 0
 himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
 himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {,
{}}
 {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu
elemen yaitu himpunan kosong.
2. Himpunan Bagian (Subset)
 Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B
jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen
dari B.
 Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
 Notasi: A  B
 Diagram Venn:
M e n g e n a l H i m p u n a n | 10
U
A
B
Contoh 8.
(i) { 1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3}  {1, 2, 3}
(iii) N  Z  R  C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y  0 } dan B = {(x, y) |
2x + y < 4, x  0 dan y  0 }, maka B  A.
   A dan A  A, maka  dan A disebut himpunan bagian
tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan  adalah
improper subset dari A.
 A  B berbeda dengan A  B
(i) A  B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A  B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset)
dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1,
2, 3}
M e n g e n a l H i m p u n a n | 11
(ii) A

B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah
himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan
A = B.
3. Himpunan yang Sama
 A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen
B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
 A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah
himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A  B.
 Notasi : A = B  A  B dan B  A
Contoh 9.
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A  B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma
berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C
M e n g e n a l H i m p u n a n | 12
4. Himpunan yang Ekivalen
 Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika
dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut
sama.
 Notasi : A ~ B  A = B
Contoh 10.
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka
A ~ B sebab A = B = 4
5. Himpunan Saling Lepas
 Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint)
jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
 Notasi : A // B
 Diagram Venn:
U
A
B
Contoh 11.
Jika A = { x | x  P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... },
maka A // B.
M e n g e n a l H i m p u n a n | 13
6. Himpunan Semesta
Himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, dan C = {6, 7, 8,
9}. Himpunan yang memuat semua anggota A, B, dan C
dapat dikatakan sebagai himpunan semesta. Secara umum
himpunan semesta didefinisikan sebagai himpunan yang
memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan.
Himpunan semesta disebut juga universum dan biasanya
dinotasikan dengan S.
Himpunan semesta (S) adalah himpunan yang memuat
semua anggota himpunan yang dibicarakan.
Contoh Soal:
Tentukanlah himpunan semesta dari A = {3, 4, 5, 6, 7}.
Penyelesaian:
Semesta untuk himpunan A sangat banyak. Untuk contoh
dapat diambil beberapa himpunan.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
S = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
S = himpunan bilangan asli kurang dari 12
S = himpunan bilangan cacah kurang dari 15
M e n g e n a l H i m p u n a n | 14
7. Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga
 Himpunan Berhingga
Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota
himpunan tertentu atau n(A) = a, a bilangan cacah. Dengan
perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang
banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu
bilangan cacah.
Contoh 6:
a. A = karena n(A) = 0, 0 bilangan cacah.
b. B = n(B) = 75, 75 bilangan cacah.
c. C = n(C) = 7, 7 bilangan cacah.
 Himpunan Tak Berhingga
Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila
tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A
apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses
perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain
himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat
ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.
Contoh 7:
Q= Apabila kita menghitung anggota himpunan Q,
maka proses perhitungan anggota Q tidak akan
M e n g e n a l H i m p u n a n | 15
berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga
dan n(Q) = ~.
D. Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
 Notasi : A  B = { x  x  A dan x  B }
Contoh 14.
(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},
maka A  B = {4, 10}
(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A  B =
. Artinya: A // B
b. Gabungan (union)
 Notasi : A  B = { x  x  A atau x  B }
M e n g e n a l H i m p u n a n | 16
Contoh 15.
(i) Jika A = {2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22}, maka A B = {
2, 5, 7, 8, 22 }
(ii) A   = A
c. Komplemen (complement)
 Notasi : A = { x  x  U, x  A }
Contoh 16.
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i)
jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}
(ii) jika A = { x | x/2  P, x < 9 }, maka A = { 1, 3, 5, 7,
9}
M e n g e n a l H i m p u n a n | 17
Contoh 17.
Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun
1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang
dari Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas
tertentu
(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam
negeri atau diimpor dari luar negeri”  (E  A) 
(E  B) atau E  (A  B)
(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat
sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari
Rp 100 juta”  A  C  D
(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990
mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” 
CDB
M e n g e n a l H i m p u n a n | 18
d. Selisih (difference)
 Notasi : A – B = { x  x  A dan x  B } = A  B
Contoh 18.
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10
}, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = 
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3,
5} = {2}
E. Hukum-hukum Himpunan
1. Hukum komutatif:

AB=BA

AB=BA
2. Hukum asosiatif:

A  (B  C) = (A  B)  C

A  (B  C) = (A  B)  C
M e n g e n a l H i m p u n a n | 19
3. Hukum distributif:

A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
F. Aplikasi Himpunan Dalam Kehidupan Seharihari
Konsep
irisan
himpunan
sering
digunakan
dalam
kehidupan sehari-hari. Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
Misalnya: seorang guru menanyakan kepada siswanya siapa
yang mengikuti ekstrakurikuler sepak bola. Ada 30 orang yang
mengangkat tangan. Untuk ekstrakurikuler basket ternyata ada
20 orang. Guru tersebut terkejut karena di dalam kelas hanya
ada 40 orang, sedangkan menurut hitungannya ada 50 orang
yang ada di dalam kelas, di manakah letak kesalahannya?
Ternyata di dalam kelas itu ada murid yang mengangkat tangan
dua kali karena mereka mengikuti dua ekstrakurikuler, yaitu
basket dan sepak bola. Selain konsep irisan, konsep gabungan
juga banyak penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Agar
kalian lebih paham perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal:
1. Di dalam suatu kelas ada 40 siswa. 25 siswa suka matematika,
20 siswa suka fisika, dan ada 15 siswa suka keduanya.
M e n g e n a l H i m p u n a n | 20
a. Buatlah diagram Venn-nya.
b. Tentukanlah banyak siswa yang tidak suka keduanya.
Penyelesaian:
a. Misalkan:
A = siswa yang suka matematika
B = siswa yang suka fisika
b. Banyak siswa yang tidak suka keduanya adalah
40 – 10 – 15 – 5 = 10
2. Di dalam kelompok ada 40 orang. 30 orang suka warna
merah, 20 orang suka warna biru, dan ada 5 orang yang tidak
suka keduanya. Dengan menggunakan diagram Venn,
tentukanlah jumlah orang yang suka kedua-keduanya.
Penyelesaian:
M = orang yang suka warna merah
N = orang yang suka warna biru
M e n g e n a l H i m p u n a n | 21
Misalnya:
X = banyak orang suka keduanya
40 – 5 = 30 – X + X + 20 – X
35 = 50 – X
X = 15
Jadi, banyak orang yang suka keduanya
= 15 orang.
3. Setelah diadakan pencatatan terhadap 50 anak, terdapat 32
anak gemar voli, 40 anak gemar sepak bola, dan 25 anak
gemar kedua kegiatan tersebut. Buatlah diagram Venn dari
keterangan di atas dan berapa anak yang tidak gemar kedua
kegiatan tersebut ?
M e n g e n a l H i m p u n a n | 22
Jawab :
4. Dalam sebuah kelas terdapat 40 anak, ternyata 25 anak
gemar minum susu, 35 anak gemar minum teh, dan yang
gemar kedua minuman tersebut sebanyak x anak. Buatlah
diagram Venn dari keterangan di atas dan berapa anak yang
gemar kedua minuman tersebut ?
M e n g e n a l H i m p u n a n | 23
Jawab:
M e n g e n a l H i m p u n a n | 24
G. Soal Latihan !!
1. Dari sekelompok anak terdapat 15 anak gemar bulu tangkis, 20
anak gemar tenis meja, dan 12 anak gemar keduanya. Jumlah
anak dalam kelompok tersebut adalah…
A. 17 orang
B. 23 orang
C. 35 orang
D. 47 orang
2. Dalam suatu kelas terdapat 47 siswa, setelah dicatat terdapat 38
anak senang berolahraga, 36 anak senang membaca, dan 5 orang
anak tidak senang berolahraga maupun membaca. Banyak anak
yang senang berolahraga dan senang membaca adalah…
A. 28 anak
B. 32 anak
C. 36 anak
D. 38 anak
3. Diketahui himpunan pasangan berurutan :
(1). {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a) }
(2). {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d) }
(3). {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b) }
(4). {{1, a), (2, b), (1, c), (2, d) }
Himpunan pasangan berurutan yang merupakan
pemetaan/fungsi adalah ....
A. (1) dan (2)
M e n g e n a l H i m p u n a n | 25
B. (1) dan (3)
C. (2) dan (3)
D. (2) dan (4)
4. Dari suatu kelas terdapat 25 siswa suka membaca dan 30 siswa
suka mengarang. Jika12 orang siswa suka membaca dan
mengarang, banyak siswa dalam kelas tersebut adalah ....
A. 67 orang
C. 43 orang
B. 55 orang
D. 37 orang
5. Diketahui : P = { 6 bilangan ganjil yang pertama }
`
Q = { 5 bilangan prima yang pertama}
P-Q =…..
A. {1,9}
C. {1,2,11}
B. {1,9,11}
D. {1,2,9,11}
6. Banyaknya himpunan bagian dari A = { bilangan prima kurang
dari 15} adalah…
A. 32
C. 18
B. 4
D. 6
7. Jika A = {0,1} maka n(A) =...
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
M e n g e n a l H i m p u n a n | 26
8.Jika K = {a,b,c} dan R = {1,2,3,4} maka n(R) - n(K) + 2 =...
A. 2
C. 3
B. 5
D. 4
9.Diberikan {15,4,7,6,2} ∩ {2,4,6,8} = {4,x,6}, maka x adalah
A. 6
B. 4
C. 8
D. 2
10. Diketahui K = {a,b,c,d,e} dan L = {b,d,p}, maka K – L
adalah....
A. {a,b,c}
B. {a,d,p}
C. {a,c,d}
D. {a,c,e}
M e n g e n a l H i m p u n a n | 27
Kunci Jawaban Latihan
1. B
2. B
3. B
4. C
5. A
6. D
7. C
8. C
9. D
10. D
M e n g e n a l H i m p u n a n | 28
DAFTAR PUSTAKA
http://inilycca.blogspot.com/2011/09/soal-soal-dan-pembahasanmateri.html
http://best-profesi.blogspot.com/2011/12/ujian-nasional-contoh-soaldan.html
http://smpmuh2depok.net/slamet/wpcontent/uploads/2013/03/BINTEK-UN-2013-PAKET-21.pdf
http://www.plengdut.com/2013/03/aplikasi-himpunan-dalamkehidupan.html
http://chusnulmuali.wordpress.com/tag/himpunan-dalam-kehidupansehari-hari/
M e n g e n a l H i m p u n a n | 29
Petunjuk Penggunaan Quis Maker
1. Buka folder yang bernama .... lalu akan muncul
tampilan seperti berikut
2. Masukan Pasword yang kami beri yaitu: “rimaade”
kemudian klik oke
M e n g e n a l H i m p u n a n | 30
3. Selanjutnya akan muncul gambar
kemudian klik star untuk mulai
4. Kemudian akan muncul soal latihan seperti berikut
M e n g e n a l H i m p u n a n | 31
jawab soal-soal tersebut kemudian klik icon submit
untuk mengetahui jawaban anda benar atau salah
5. Setelah anda menyelesaikan semua soal anda akan
mengetahui anda lulus atau gagal dalam tes tersebut
karena dengan sendirinya akan muncul halaman yang
memuat hasil skor yang anda peroleh seperti berikut
M e n g e n a l H i m p u n a n | 32
kemudian klik finish
6. Sekian petunjuk penggunaan Quis Maker yang dapat
kami sampaikan dan selamat mencoba teman-teman

M e n g e n a l H i m p u n a n | 33
Tentang Penyusun
Halo guys,,, saya RIMA AMALIA saya yang bertugas
menyusun buku ini, tidak terdapat banyak kesulitan dalam
penyusunan buku ini saya mengucapkan banyak terima
kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam
penyusunan
buku
ini.
Semoga
buku
“MENGENAL
HIMPUNAN” yang kami susun dapat membantu belajar
kalian guys. Thank You 
Saya ADE ISTIANA sebagai penyusun Quis makker
di dalam menyusun quis makker saya tidak terlalu
mengalami kendala, tetapi sesuatu hal itu pasti ada
kekurangannya, jika di dalam quis makker terdapat
kekurangan saya minta maaf dan mohon kritik yang
membangun , terimakasih untuk semua teman-teman yang
telah memberikan semangat dan bantuannya.
Mohon maaf atas kekurangan buku dan Quis makker
yang kami susun semoga dapat bermanfaat untuk kalian
semua.. 