Bab IV Simulasi Metode Monte Carlo Mengatasi Masalah dalam

24
Bab IV Simulasi Metode Monte Carlo Mengatasi Masalah dalam
Distribusi Data
IV.1 Mengenal Metode Monte Carlo
Distribusi probabilitas digunakan dalam menganalisis sampel data. Sebagaimana kita
ketahui, distribusi probabilitas biasanya dilakukan dengan menggunakan integral atau
jumlah suatu distribusi probabilitas pada rentang tertentu. Walaupun seharusnya dalam
sebuah percobaan sampel data, kita hanya menggunakan sebuah fungsi distribusi
probabilitas, tetapi terkadang kita bisa melibatkan kombinasi beberapa fungsi distribusi
probabilitas yang berbeda. Sebagai contoh, sebuah percobaan hamburan sederhana untuk
menentukan distribusi sudut partikel yang dihamburkan dari proton menuju sasaran
tertentu. Besar dan arah vektor momentum partikel, probabilitas partikel yang akan
bertumbukan dengan proton, serta hasil vektor momentum partikel yang dihamburkan,
semuanya dapat digambarkan dalam distribusi probabilitas. Hasil percobaan akhir
didapatkan melalui integrasi multipel pada semua distribusi.
Evaluasi secara analitik pada sebuah integral tidak memungkinkan, maka kite harus
menggunakan metode numerik. Terdapat sebuah metode yang digunakan dalam
mengevaluasi integrasi multipel. Metode yang akan kita gunakan adalah metode Monte
Carlo. Metode Monte Carlo adalah salah satu cara yang digunakan orang dalam
mengevaluasi integrasi multipel berdasarkan kepada percobaan acak yang berasal dari
distribusi kerapatan probabilitas. Dengan menggunakan metode Monte Carlo, kita dapat
melakukan pengujian signifikansi statistik terhadap data, dengan perhitungan yang relatif
sederhana serta tidak membutuhkan pemahaman yang mendalam dalam analisis statistik
dan juga tidak membutuhkan teknik pemrograman yang tinggi.
Inti dari metode Monte Carlo adalah metode analisis distribusi data, yang mengikuti
fungsi distribusi tertentu dengan menggunakan percobaan acak. Metode Monte Carlo
dapat memecahkan masalah rumit saintifik dan matematika dengan sangat mudah dan
presisi. Metode Monte Carlo digunakan dalam banyak keperluan, diantaranya :
a. Image Processing
25
b. Fisika statistik
c. Persamaan linear dengan jumlah yang besar
d. Integrasi numeric
e. Fisika nuklir
IV.2 Mengenal Angka Random
Kesuksesan perhitungan menggunakan metode Monte Carlo membutuhkan sejumlah
besar angka random. Akan tetapi angka random yang sebenarnya sulit untuk didapatkan.
Hal ini dikarenakan, kita tidak dapat memprediksi nilai angka selanjutnya dari nilai
sebelumnya.
Dalam perhitungan, kita menggunakan angka random yang dihasilkan oleh algoritma
computer. Algoritma komputer didesain untuk menghasilkan angka-angka yang tidak
saling berhubungan, tetapi terditribusi secara uniform pada rentang tertentu. Angka
random yang dihasilkan dari algoritma komputer dinamakan pseudorandom numbers.
Metode Monte Carlo menggunakan angka random yang sangat banyak dan cara
perhitungan pada program bergantung pada angka-angka yang dipilih dalam setiap
eksekusi. Dengan angka random yang sebenarnnya, setiap eksekusi perhitungan Monte
Carlo, akan mengikuti jalan yang berbeda dan akan menghasilkan hasil yang berbeda
pula. Program akan sangat sulit untuk dieksekusi. Akan tetapi dengan angka
pseudorandom, kita dapat mengulang perhitungan dengan barisan bilangan yang sama
dan juga dapat mencari masalah yang tersembunyi dalam kode program.
Terdapat keuntungan lainnya juga, yaitu ketika kita mempelajari sensitivitas perhitungan
variasi parameter yang telah dipilih, dengan pseudorandom kita dapat mengurangi
variansi perbedaan antara hasil yang telah dihitung menggunakan dua nilai parameter
percobaan dengan menggunakan barisan angka random yang sama. Angka random
tersebut independen terhadap parameter. Pseudorandom, yang menghasilkan angka
random, berbentuk sebagai suatu program, dapat dijalankan di komputer manapun
26
dengan hasil yang sama, tanpa berkaitan dengan perangkat keras dan bahasa dari
komputer yang digunakan.
Secara umum, dalam menghasilkan angka random harus memenuhi criteria di bawah ini :
a. Distribusi angka haruslah uniform dalam rentang tertentu, dan harus memenuhi
tes statistik untuk ke-random-an, yaitu :
(i) ketiadaan prediktabilitas
(ii) ketiadaan korelasi di antara angka-angka yang berdekatan
b. perhitungan harus menghasilkan sejumlah besar angka yang unik sebelum
pengulangan siklus
c. perhitungan harus sangat cepat
IV.3 Metode Transformasi
Sebagian besar angka random yang dihasilkan terdistribusi secara uniform antara 0 dan 1.
Secara umum, kita membutuhkan angka random yang dihasilkan dari distribusi
probabilitas khusus. Kita definisikan sebuah fungsi uniform antara r = 0 dan r = 1, yang
berasal dari distribusi kerapatan probabilitas standar.
1
untuk 0 ≤ r < 1
0
batas nilai lain
p(r)=
Distribusi ini ternomalisasi, maka akan menjadi :
∞
-∞
1
∫p(r)dr = ∫1 dr = 1
0
p(r) sebagai distribusi uniform
Andaikan kita membutuhkan angka random dari distribusi kerapatan probabilitas yang
berbeda P(r) yang terdistribusi secara uniform antara x = -1 dan 1, maka distribusinya
adalah :
½
untuk -1 ≤ x < 1
0
batas nilai lain
P(x) =
27
Jika kita memilih angka random r antara 0 dan 1 dari distribusi uniform p(r), sangat jelas
bahwa, kita dapat menghitung angka random lainnya x sebagai fungsi r
x = f(r) = 2r-1
yang akan terdistribusi secara uniform antara -1 dan 1. ini adalah contoh transformasi
linear sederhana.
Untuk mendapatkan sample random x dari distribusi P(x), kita mulai dengan angka
random r yang didapatkan dari distribusi p(r), dan temukan fungsi f(r). fungsi f(r)
memberikan relasi yang dibutuhkan antara x dan r. Kita harus menemukan relasi umum
untuk mendapatkan angka random x dari distribusi kerapatan probabilitas P(x) yang
berhubungan dengan r, berasal dari distribusi probabilitas uniform p(r).
Untuk mencari ҳ, dipilih secara random dari distribusi probabilitas P(x). Kita dapatkan
angka random r dari distribusi uniform dan mencari nilai pendekatan ҳ yang memenuhi
persamaan integral
Prosedur yang dijelaskan di atas adalah metode transformasi, menghasilkan angka
random dari distribusi probabilitas. Langkah-langkah metode transformasi dengan
integrasi numerik untuk menghasilkan angka random dari distribusi probabilitas khusus
adalah sebagai berikut :
a. tentukan rentang nilai x. Beberapa fungsi kerapatan probabilitas
didefinisikan dalam rentang terbatas. Fungsi yang lain seperti fungsi
Gaussian yang rentang nilainya tak terbatas. Untuk perhitungan numeric
memungkinkan pendekatan nilai terbatas harus di-set pada rentang
variable.
b. Normalisasikan fungsi probabilitas. Jika membutuhkan untuk menentukan
pendekatan
pada
rentang
variable
x,
fungsi
harus
kembali
dinormalisasikan untuk meyakinkan bahwa integral adalah kesatuan pada
rentang yang baru didefinisikan. Integral normalisasi harus dihitung secara
28
numeric, dengan routine yang sama dengan yang digunakan untuk
mencari nilai ҳ
c. Carilah nilai random variable r yang berasal dari distribusi uniform p(r).
d. Integrasikan fungsi probabilitas P(x) ternormalisasi dari negative tak
terhingga sampai nilai x = ҳ, dimana ҳ memenuhi persamaan
Metode Monte Carlo biasanya membutuhkan sejumlah besar angka random pada suatu
event. Oleh karena itu, interpolasi numerik yang cepat dan routine integrasi menjadi
penting. Cara yang cukup efisien untuk mengurangi computing time adalah dengan menset table yang merupakan solusi dalam bagian inisialisasi pada program Monte Carlo.
IV.4 Metode Rejeksi
Metode Rejeksi adalah metode menghasilkan angka random secara uniform pada
permukaan sebuah lingkaran dan membuang semua kecuali yang berada dalam area luas.
Keuntungan metode rejeksi dibandingkan dengan metode transformasi adalah lebih
sederhana. Integrasi tidak dibutuhkan, hanya fungsi probabilitasnya saja yang harus
dihitung. Sedangkan kelemahannya adalah efisiensi yang rendah. Dalam sebuah program
Monte Carlo yang rumit hanya fraksi kecil saja yang digunakan pada events, sehingga
mendapatkan perhitungan yang lengkap dan berhasil. Terlalu banyak menggunakan
angka random, memungkinkan running time yang lama. Untuk mengatasi masalah ini,
tempatkanlah pendekatan kemungkinan uji yang tepat ke dalam koordinat random,
digunakan untuk memetakan fungsi distribusi ketika menggunakan metode rejeksi.
IV.5 Memilih Metode Terbaik
Ketika kita mengaplikasikan metode transformasi dan metode rejeksi terhadap suatu
fungsi distribusi, metode manakah yang terbaik dalam menghasilkan sample dari fungsi
distribusi yang dimaksud. Memilih metode yang mana yang terbaik dalam menghasilkan
sample dari fungsi distribusi tertentu bergantung pada kebutuhan dan keadaan masalah
yang harus diselesaikan. Untuk presisi yang tinggi, kita harus mengetahui korelasi yang
dekat antara titik distribusi uniform yang berdekatan, sehingga angka-angka yang
dihasilkan membentuk distribusi tertentu.
29
Jika kita membutuhkan kecepatan yang sangat tinggi, maka metode transformasi menjadi
pilihan, dengan perhitungan table integral sebelumnya dan beberapa titik untuk akses
cepat kepada tabel. Akan tetapi metode ini membutuhkan penentuan rentang dan resolusi
variabel. Selain itu metode ini juga membutuhkan pemrograman tambahan, untuk
membuat dan mengakses tabel integral. Dalam hal ini metode rejeksi digunakan karena
dapat menghasilkan sampel dengan sangat cepat.
Dalam tugas akhir ini, kita akan menggunakan metode Monte Carlo-transformasi untuk
membuat model simulasi fungsi Gaussian dua dimensi serta aplikasi terhadap model
pendekatan diagram HR.