TTG3B3 - Sistem Komunikasi 2 Random Process

TTG3B3 - Sistem Komunikasi 2
Random Process
S1 Teknik Telekomunikasi
Fakultas Teknik Elektro
Universitas Telkom
Oleh:
Linda Meylani
Agus D. Prasetyo
Tujuan Pembelajaran
•
Memahami arti random process
•
Mengetahui sifat dan parameter random process
•
Mengetahui sifat random process pada besaran sistem Komunikasi
2
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Outline
•
Definisi Random Process dan Random Variabel
•
Karakteristik Random Process
•
Jenis Stationery Process
•
Mean
•
AutoKorelasi dan Sifatnya
•
Ergodic Process
•
Power Spectral Density dan Sifatnya
•
Gaussian Process dan Noise
3
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Definisi Random Process
Random process X(t), dapat didefinisikan sebagai suatu kumpulan
fungsi waktu dan probabilitas dari suatu event yang berhubungan
dengan sample tertentu.
Random process merupakan kumpulan dari random variabel.
4
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Random Process & Random Variable
f(t,yn)
Random variable, merupakan
output dari suatu percobaan
random yang di-mapping ke suatu
nilai tertentu
Random
variable
f(t,y3)
t
f(t,y2)
Random process, merupakan
output dari suatu percobaan
random yang di-mapping-kan pada
fungsi waktu tertentu.
t
t=ti
5
f(t,y1)
t
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Contoh Kasus
•
Pengukuran kepadatan kendaraan bermotor di Jalan Tol Pasteur
setiap jam
•
F(t) dinyatakan sebagai random proceess untuk pengukuran
kepadatan kendaraan bermotor
•
f(t,y) menyatakan fungsi sampel untuk pengukuran kepadatan
kendaraan bermotor pada jam ke t, pada hari ke y
6
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Contoh Kasus
Fungsi sampel pengukuran kepadatan
kendaraan pada hari senin (dari jam
00.00- 24.00)
Fungsi sampel pengukuran kepadatan
kendaraan pada hari selasa (dari jam
00.00- 24.00)
Fungsi sampel pengukuran kepadatan
kendaraan pada hari minggu (dari jam
00.00- 24.00)
7
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Karakteristik Random Process
•
•
Stationary process,
•
berhubungan dengan dengan fenomena fisik yang stabil yang dikembangkan
dari sifat steady state,
•
Suatu random process dikatakan stationer, jika nilai dari random process tidak
dipengaruhi oleh nilai sebelumnya
Nonstationary process
•
berhubungan dengan fenomena yang bersifat tidak stabil.
•
Dikatakan non stationer jika nilai random process pada suatu waktu
dipengaruhi oleh nilai sebelumnya
8
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Stationary Process
Strictly Stationary
•
Suatu random process, dikatakan strictly stationary jika tidak ada satupun dari sifat statistic random process yang
dipengaruhi oleh pergeseran waktu
Wide Sense Stationary
•
Suatu random process dikatakan WSS, bila sifat statistiknya untuk nilai mean dan fungsi autokorelasi tidak berubah
oleh pergeseran waktu.
Cyclostationary
•
Suatu random process, dikatakan memiliki sifat cyclostationary jika nilai mean dan fungsi autokorelasinya bersifat
berulang (periodic)
Ergodic Process
•
Suatu random process dikatakan memiliki sifat ergodik dalam mean jika nilai meannya bisa didekati dari nilai ratarata fungsi waktunya dan
•
dikatakan ergodik dalam autukorelasinya jika nilai autokorelasi random process akan sama dengan nilai ekspektasi
dari fungsi waktu autokorelasinya.
9
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Mean
Mean dari random process X(t) dinyatakan sebagai nilai ekspektasi dari
variable random yang didapat pada saat observasi process random
pada waktu t , ditunjukkan oleh persamaan berikut ini:
Dengan fX(t)(x) adalah probability density function (pdf) dari random
process. Untuk strictly stationary maka :
10
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Autokorelasi
Fungsi Autokorelasi dari random process dapat didefinisikan sebagai nilai
ekspektasi dari hasil dua buah variable random, X(t1) dan X(t2) yang didapat pada
saat observasi random process pada waktu t1 dan t2. Fungsi autokorelasi dapat
dituliskan sebagai berikut:
Untuk random process yang bersifat strictly stationary,
hanya
dipengaruhi oleh selisi waktu antara t1 dan t2, sehingga fungsi autokorelasi dapat
dinyatakan dengan:
11
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Sifat Fungsi Autokorelasi
Nilai mean square value dari random process merupakan nilai dari RX(𝜏) pada saat 𝜏 =
0.
Fungsi autokorelasi merupakan fungsi genap
Fungsi autokorelasi memiliki nilai maksimum pada saat =0.
12
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Contoh Kasus
Suatu random process
merupakan random
variable yang terdistribusi uniform pada interval [-π,π] di mana:
Tentukan nilai mean dan autokorelasi dari X(t),
13
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Ergodic Process
Suatu proses random dikatakan ergodik pada mean bila nilai ekspektasi dari
random proses sama dengan nilai rata-rata waktunya,
Jika sample function x(t) merupakan stationary process pada interval -T≤ t ≤ T.
Maka nilai rata-rata waktu x(t) dapat dinyatakan :
bila random process x(t) dikatakan ergodik pada mean maka:
14
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Ergodic Process
Suatu proses random dikatakan ergodik pada fungsi autokorelasi jika
nilai fungsi waktu autokorelasinya untuk T menuju tak berhingga
merupakan ekspektasi dari dua buah variable random, X(t1) dan X(t2)
yang didapat pada saat observasi random process pada waktu t1 dan t2
Fungsi waktu autokorelasi x(t) saat interval -T≤ t≤ T adalah:
Jika x(t) dikatakan ergodik pda fungsi autokorelasinya maka:
15
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Power Spectral Density (PSD)
Power Spectral Density Sx(f) menyatakan kepadatan frekuensi dari
daya rata-rata pada suatu random process X(t) yang ditinjau pada
frekuensi f.
Power Spectral Density Sx(f) dan fungsi autokorelasi Rx(τ) dari suatu
stationary process X(t) merupakan pasangan Transformasi Fourier,
dimana:
16
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Sifat PSD
Nilai PSD dari suatu stationary process pada saat f=0 sama dengan luas daerah dari fungsi aotukorelasi.
NIlai mean square dari stationary process sama dengan luas total daerah PSD
NIlai PSD dari suatu stationary process selalu positif
Fungsi PSD merupakan fungsi genap
Probability density function merupakan nilai normalisasi dari nilai PSD
17
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Tugas
s(t) adalah sinyal data digital acak murni dengan bit rate Rb yang
direpresentasikan dengan NRZ bipolar ±V volt.
•
Tentukan RSS(τ) fungsi autokorelasi dari sinyal s(t) tersebut dan
gambarkan!
•
Tentukan SS(f) Power Spectral Density dari sinyal s(t) tersebut dan
gambarkan! Berapakah FNBW (First Null Band Width)!
18
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Gaussian Process
Suatu variable random Y dikatakan terdistribusi Gaussian jika
probability density functionnya:
Kasus khusus untuk Gaussian random variable Y yang ternormalisasi
dengan mean
dan varian
, maka:
19
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Sifat Gaussian Process
•
Jika Gaussian process X(t) adalah input suatu filter LTI maka output filter
adalah random process Y(t) yang juga terdistribusi Gaussian.
•
Suatu set random variable X(t1), X(t2),…, X(tn) didapat dari suatu random
process X(t) pada waktu t1, t2,…, tn. Jika X(t) merupakan Gaussian
Process maka set dari random variable ini juga merupakan jointy
Gaussian untuk setiap n.
•
Jika Suatu Gaussian process merupakan stationary process maka sifat
stationary adalah strictly stationary.
•
Jika random variable X(t1), X(t2),…X(tn) didapat dari proses sampling
Gaussian process X(t) pada waktu t1, t2, …,tn tidak saling berkorelasi,
maka random variable ini akan statistically independent.
20
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Noise
•
Noise didefinisikan sebagai sinyal yang tidak diinginkan, dan mengganggu proses
transmisi dan pemprosesan sinyal pada system komunikasi.
•
Sumber noise bisa berada diluar sistem ataupun dalam system.
•
Thermal noise merupakan proses random yang terdistrbusi Gaussian.
•
Kasus khusus untuk Gaussian random variable Y yang ternormalisasi dengan mean =
0 dan varian =1 maka:
21
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Noise
Analisa noise pada system komunikasi, didasarkan pada bentuk ideal noise
yang disebut dengan white noise. Power spectral density dari white noise
adalah:
Dimensi dari 𝜂 adalah Watt/ Hertz. Parameter 𝜂 dinyatakan dengan: 𝜂 = kTe
22
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Sistem Linear
•
Sistem dapat diartikan sebagai suatu benda fisik yang memiliki output sinyal
sebagai respon dari sinyal input.
•
Sistem dapat dikarakteristikkan sebagai system linear atau system non
linear, system time invariant atau time variant.
•
Suatu system dikatakan linear, jika pada system berlaku sifat superposisi,
dimana respon dari system linier jika dieksitasi dengan sejumlah proses
secara bersamaan akan menghasilkan output yang sama dengan
penjumlahan dari respon system jika dieksitasi secara individual.
•
Dan suatu system dikatakan sebagai system time invariant (tak ubah waktu)
jika pergeseran waktu pada proses eksitasi system akan menghasilkan
respon system yang sama namun bergeser sesuai dengan pergeseran
waktunya.
23
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Transmisi Random Proses
pada Sistem linear time invariant
Hubungan sinyal output dan input pada sistem LTI dinyatakan dengan:
Sinyal deterministic
Random process
24
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II
Terima kasih
dan selamat belajar.
25
TTG3B3 - Sistem Komunikasi II