KAPASITOR : ANTARA MODEL DAN REALITA

Kristal no.11/Desember/1994
1
KAPASITOR : ANTARA MODEL DAN REALITA
oleh : Sugata Pikatan
Kita semua tahu bahwa kapasitor merupakan salah satu piranti elektronika yang
terpenting. Rasanya tak ada untai elektronika dirangkai tanpa menggunakan kapasitor.
Kalaupun secara fisik kapasitor tidak dipakai dalam suatu untai elektronika, watak kapasitas tetap hadir pada piranti-piranti yang lain, baik itu pada resistor, dioda, ataupun transistor. Oleh sebab itu pemahaman watak-watak kapasitas mutlak perlu jika kita ingin menguasai teknologi modern yang boleh dikata hampir selalu berkaitan dengan elektronika.
Dari fisika dasar atau elektronika dasar kita dapatkan definisi kapasitansi (C) sebagai konstanta kesebandingan antara muatan listrik (q) yang dapat ditampung oleh konduktor jika konduktor itu ditempatkan pada suatu beda tegangan listrik (V0).
q = C.V0
(1)
Secara umum kapasitor terdiri dari dua elektroda yang terbuat dari konduktor, dan
bahan dielektrik yang berada di antara kedua elektroda itu. Untuk mempelajari watak
kapasitor tersebut diperlukan model ideal yang sederhana. Di dalam model ini bahan dielektrik dianggap bersifat isolator ideal, yakni tidak memiliki daya hantar listrik sama
sekali. Dalam istilah ilmiahnya konduktivitas listrik suatu isolator ideal sama dengan nol.
Muatan listrik tidak dapat menyeberangi bahan isolator ini.
Bertolak dari anggapan model kapasitor ideal ini kita kemudian menurunkan berbagai watak lain kapasitor dalam sebuah untai listrik. Mari sekarang kita tinjau proses
pengisian muatan listrik ke dalam sebuah kapasitor. Kedua elektrodanya dihubungkan
pada sumber tegangan melalui kawat-kawat konduktor. Pada model yang paling sederhana
kawat-kawat penghubung itu dianggap tidak memiliki resistansi, sehingga muatan listrik
langsung masuk ke dalam kapasitor sesuai dengan fungsi undak seperti pada gambar 1.
Waktu t = 0 adalah waktu saklar S ditutup.
Gambar 1. Pengisian kapasitor ideal
Bila anggapan kawat penghubung tanpa resistansi ini dicabut, katakanlah kawat itu
sekarang memiliki resistansi sebesar R, untai listrik pengisian kapasitor ini menjadi rangkaian seri antara R dan C. Persamaan tegangannya menurut hukum Kirchoff adalah:
i.R + q/C = V0
(2)
Kristal no.11/Desember/1994
2
V0 adalah beda tegangan yang diberikan oleh sumber tegangannya. Arus listrik, i, tidak lain
adalah laju aliiran muatan listrik yang masuk ke dalam kapasitor : i = dq/dt, sehingga persamaan (2) dapat dijadikan persamaan diferensial :
dq/dt + (1/RC)q = V0/R
(3)
Mengingat pada saat awal pengisiannya (t = 0) kapasitor tidak berisi muatan listrik,
penyelesaiannya dapat langsung diperoleh :
q(t) = C.V0.(1-e-t/RC)
(4)
Persamaan (4) ini menunjukkan bahwa pengisian muatan listrik pada suatu kapasitor merupakan proses transien, yang keadaan akhirnya adalah nilai asimtotis yang tidak
lain adalah persamaan (1). Grafik yang analog dengan gambar 1 untuk proses pengisian
kapasitor dengan memperhatikan resistansi kawat penghubungnya dapat dilihat pada gambar 2 di bawah.
Gambar 2. Pengisian kapasitor ideal (C) dengan memperhatikan resistansi kawat
penghubung (R)
Gagasan proses transien adalah diperlukannya waktu untuk mencapai keadaan ajeg
(steady state). Keadaan ajegnya sendiri dicapai pada waktu t = ∞. Tentu saja ini tidak berarti bahwa keadaan ajeg tidak pernah tercapai, karena dalam prakteknya waktu tak hingga
ini hanya menunjukkan waktu yang cukup lama terhitung dari kedaan awal t = 0. Ukuran
lama atau sebentarnya tergantung pada konstanta waktu yang muncul pada eksponensial
dalam persamaan (4) di atas, yaitu R.C, kita lambangkan saja besaran ini τ . Untuk mendapatkan gambaran seberapa jauh pengaruh τ terhadap proses transien ini, ambilah kapasitor 1 µ F dan kawat penghubung 1 Ω , konstanta waktunya τ = 1 µ s. Jadi pengisian kapasitor ini membutuhkan 3 µs untuk mendapatkan muatan listrik sebanyak 95% dari niali
keadaan ajegnya, sehingga praktis dalam 10 µs kapasitor itu sudah penuh. Dalam skala
waktu kita, waktu seperseratusribu detik aamatlah singakat, sehingga keadaan yang
teramati dalam pengukuran adalah keadaan ajegnya. Proses transien baru kentara jika τ
cukup besar, misalnya ke dalam untainya dengan sengaja ditambahkan resistor 1 MΩ
Ω,
orde waktunya menjadi 1 detik. Selang waktu untuk pengisian 95 % menjadi 5 detik, sehingga kita dapat mengamati proses transien ini dengan jelas.
Dalam kenyataannya, bahan dielektrik yang berada dalam kapasitor memiliki konduktivitas, walaupun sangat kecil. Dampaknya, terjadilah aliran arus listrik di antara kedua
elektrodanya. Arus ini disebut arus bocor pada kapasitor. Untuk keperluan perhitungan-
Kristal no.11/Desember/1994
3
nya, kapasitor sejati ini digambarkan sebagai satu kapasitor ideal yang terpasang paralel
dengan sebuah resistor yang besar resistansinya. Melalui hukum Kirchoff untuk arus listrik, persamaan untainya adalah :
i1 = i2 + C.dVc/dt
(5)
Gambar 3. Kapasitor sejati pada proses pengisian
Vc adalah beda tegangan yang diterima oleh kapasitor. Arus i1 dan i2 masingmasing melewati kawat penghubung (R) dan bahan dielektrik dalam kapasitor (r). Besar
arus-arus ini mematuhi hukum Ohm :
i1 = (V0 - Vc)/R
(6)
i2 = Vc/r
(7)
sehingga persamaan (5) dapat ditulis dalam bentuk persamaan diferensial :
dVc/dt + (1/T) Vc = V0/τ
(8)
dimana konstanta waktu yang berlaku sekarang adalah T, yang hubungannya dengan konstanta waktu untuk kapasitor tak-bocor τ dapat ditunjukkan :
1/T = 1/(r.C) + 1/τ
(9)
Tampak bahwa T < τ, artinya dengan adanya arus bocor pengisian kapasitor terjadi lebih
cepat. Bagaimana dengan jumlah muatan yang dapat ditampungnya jika arus bocor ikut
diperhitungkan ? Pertanyaan ini dapat kita jawab dengan mencari penyelesaian persamaan
diferensial (8), yaitu :
Vc(t) = V0(T/τ)(1-e-t/Τ)
(10)
yang jika dikalikan dengan C kita temukan persamaan muatan yang analog dengan persamaan (4) :
q(t) = C.V0(T/τ) (1-e-t/Τ)
(11)
Perbedaannya dengan persamaan (4) terletak pada konstanta waktu yang berlaku (T), dan
faktor T/ττ, yang melalui persamaan (9) dapat ditunjukkan :
T/τ = r/(R+r)
(12)
Kristal no.11/Desember/1994
4
Oleh karena kawat penghubung selalu beresistansi kecil dan bahan dielektrik beresistansi amat besar, faktor ini mendekati nilai satu. Persamaan (11) akan menjadi persamaan (4), sehingga efek arus bocor ini tidak teramati. Seperti halnya pada pengamatan
proses transien kapasitor ideal, pengamatan terhadap efek arus bocor dapat dilakukan
dengan menambahkan resistansi R yang cukup besar sehingga faktor persamaan (12)
bernilai lain daripada satu.
Konsekuensi lain dari faktor ini adalah nilainya yang lebih kecil daripada satu,
membuat niali asimtotik yang dituju lebih kecil nilainya daripada kasus tanpa arus bocor.
Pada gambar 3 kasus tanpa arus bocor diwakili oleh kurva putus-putus, kurva penuh mewakili kasus dengan arus bocor. Adanya arus bocor pada kapasitor menyebabkan daya
tampungnya menurun. Dikatakan, bahwa kapasitansi efektifnya adalah :
Cef = (T/τ)C = rC /(r+R)
(13)
Watak kapasitor sejati ini membuka peluang bagi kita untuk melakukan pengukuran terhadap konduktivitas berbagai jenis bahan dielektrik. Pengukuran langsung dengan
menggunakan hukum Ohm sulit dilakukan karen arus listrik yang terjadi amat kecil. Cara
pengukurannya akan kita bahas kemudian.
Sebagai contoh konkrit, ambillah bahan dielektrik berupa mika yang memiliki konstanta dielektrik εr = 6, dan konduktivitas σ berorde 10-11 mho/meter. Kapasitansi C
ditentukan oleh watak bahan dielektrik dan bentuk geometrinya, demikian pula resistansi r
tergantung pada watak konduksi bahan dan bentuk geometrinya(1). Dengan demikian suku
pertama di ruas kanan pada persamaan (9) dapat ditunjukkan sama dengan nisbah :
1/(r.C) = σ/ε
(14)
di mana ε adalah permitivitas listrik bahan dielektriknya, ε = εr.ε0 (ε0 = 8,84.10-12 F/m).
Suku persamaan (14) ini jika dihitung besarnya berorde 0,2 untuk mika, sehingga untuk τ
= 1 µs penyimpangan konstanta waktu yang disebabkan adanya arus bocor ini hanyalah 5.
10-5 %, sebuah nilai penyimpangan yang amat kecil. Resistansi arus bocor kapasitor 1 µF
dapat kita peroleh melalui persamaan (14) : r = 5 MΩ. Apabila resistor R yang kita tambahkan memiliki orde yang sama dengan r ini, misalnya kita memakai hambatan geser,
pada saat hambatan geser bernilai sama dengan r tegangan pada kapasitor menunjukkan
nilai separo dari sumber tegangannya. Cara inilah yang kemudian kita gunakan untuk mengukur konduktivitas bahan dielektrik.
C1
C2
S
Vo
Gambar 4. Kapasitor ideal terpasang seri
Akibat lebih jauh dari adanya arus bocor ini dapat kita amati pada rangkaian kapasitor. Yang sangat menarik adalah efeknya pada rangkaian seri kapasitor yang dipakai
Kristal no.11/Desember/1994
5
kapasitor ideal dua kapasitor seri akan memiliki muatan listrik yang sama banyak. Logikanya dapat diruntut dari elektroda kedua kapasitor yang terhubung oleh penghantar,
yakni yang berada pada kotak bergaris putus-putus dalam gambar 4.
Sebelum saklar ditutup konduktor yang berada dalam kotak putus-putus ini berada
dalam keadaan netral, tak bermuatan listrik. Saat saklar ditutup, terjadilah induksi, akibatnya terjadi polarisasi muatan listrik dalam jumlah yang sama dengan muatan listrik yang
berada di seberangnya. Konduktor dalam kotak putus-putus ini harus memiliki muatan
positif dan negatif yang sama dalam keadaan terpolarisasi, karena berlakunya kekekalan
muatan listrik.
Adanya kebocoran arus pada masing-masing kapasitor mengubah pengertian dasar
ini. Pada keadaan ajeg banyaknya muatan listrik pada kapasitor akan dikendalikan oleh resistansi bahan dielektrik pada masing-masing kapasitor. Analisanya dapat dimulai dari
bentuk untai listrik kapasitor sejati, seperti yang ada pada gambar 5. Resistansi kawatkawat penghubung kita abaikan agar gagasan perbedaan antara kasus ideal dan sejati lebih
mudah teramati.
Gambar 5. Kapasitor sejati terpasang seri
Hukum Kirchoff untuk arus listriknya :
C1dV1/dt + i1 = C2dV2/dt + i2
(15)
Mengingat i1 = V1/r1, i2 = V2/r2, dan V1 = V0 - V2, persamaan (15) menghasilkan persamaan diferensial :
dV2/dt + (1/T0)V2 = V0/r1(C1+C2)
(16)
di mana konstanta waktunya sekarang :
T0 = (C1+C2)(1/r1 + 1/r2)-1
(17)
Penyelesaian persamaan diferensial (16) dapat kita tunjukkan(2) :
V2(t) =
V0
r1 + r2
[ r2 +
( C1r1 − C 2 r2 ) −t / T
0]
e
C1 + C 2
(18)
sehingga muatan listrik yang dikandung oleh masing-masing kapasitor adalah :
q1(t) =
C1 V0
r1 + r2
[r1-
( C1r1 − C 2 r2 ) −t / T
0]
e
C1 + C 2
(19)
Kristal no.11/Desember/1994
q2(t) =
C 2 V0
r1 + r2
[r2 +
6
( C1r1 − C 2 r2 ) −t / T
0]
e
C1 + C 2
(20)
Untuk menberi arti pada persamaan (19) dan (20) sebaiknya kita mengingat kembali persamaan (14). Hasil kali r dan C hanya bergantung pada watak elektrostatik dan
konduktivitas listrik bahan dielektrik yang berada dalam kapasitor itu. Jadi apabila kedua
kapasitor yang kita pasang seri itu menggunakan bahan dieklektrik yang sama, r1C1 = r2C2
= ε/σ, sehingga akibatnya dapat kita tunjukkan melalui persamaan (19) dan (20) bahwa
muatan listrik kedua kapasitor itu sama banyak, q1 = q2, tetap seperti yang terjadi pada
kapasitor ideal. Penyimpangan dari kondisi ideal dengan demikian hanya terjadi jika bahan
dielektrik kedua kapasitor itu berbeda. Pada kasus ini nisbah muatan listrik kedua kapasitor itu dalam keadaan ajeg adalah :
q1/q2 = r1C1/r2C2 = (ε1/ε2)(σ2/σ1)
(21)
Misal bahan dielektrik yang dipakai adalah mika dan kaca. Konstanta dielektrik dan
konduktivitas listrik kaca berturut-turut 4,5 dan 10-10 mho/meter. Nisbah muatan listrik
yang dikandung kedua kapasitor yang terpasang seri itu : (6/4,5)(10-10/10-11) = 40/3, kapasitor mika akan bermuatan listrik 13 kali lebih banyak daripada kapasitor berbahan dielektrik kaca.
Untuk memperoleh gagasan kapan keadaan ajeg ini tercapai, kita ambil kapasitansi
kedua kapasitor itu sama besar, 1 µF. Kapasitor mika sudah kita hitung sebelumnya memiliki hambatan dalam 5 MΩ. Kapasitor kaca dengan cara yang sama kita dapatkan hambatan dalamnya 400 kΩ. Harga-harga ini memberikan konstanta waktu T0 = 0,74 detik.
Jadi keadaan ajeg baru dicapai setelah saklar ditutup sekitar 7 detik.
Tampak jelas sekarang bahwa kapasitor sejati memiliki watak-watak berbeda dengan kapasitor ideal. Lebih jauh, dari tulisan ini kita dapat mengambil kesimpulan bahwa
keadaan ideal suatu model dapat berbeda sekali dengan keadaan sesungguhnya. Tetapi
dalam batas-batas tertentu, keadaan ideal masih dapat digunakan untuk mempermudah
masalah. Bagaimanapun juga, model ideal masih kita perlukan untuk memulai belajar tentang suatu gejala, karena sifatnya yang sederhana dan mudah dicerna penalarannya. Tentang nanti akan diperluas ke keadaan sebenarnya, penguasaan model ideal akan sangat
membantu perluasan pengertian seperti itu. Hal ini tampak sangat jelas pada ulasan dalam
tulisan ini yang memperluas pengertian model ideal kapasitor ke kondisi sejati yang sebenarnya terjadi di lapangan. Permodelan kapasitor sejati dapat dibangun di atas dasar
yang berupa model kapasitor ideal.
Daftar Pustaka :
1. Sugata Pikatan, Fisika II, diktat fisika fakultas Teknik Universitas Surabaya, 1994.
2. A.P. French, “Are the Textbook Writes Wrong about Capacitors?”, The Physics
Teacher, vol.31, Maret 1993.
********************