geometri affin dan geometri affin terurut - matreg1pasca

1
GEOMETRI AFFINE
A. PENDAHULUAN
Euclides telah mengumpulkan materinya dari beberapa sumber, maka
tidak mengherankan bahwa geometri Euclides dapat diambil sarinya berupa
dua geometri yang berlainan dalam dasar logikanya, pengertian pangkalnya
dan aksiomanya. Kedua geometri itu adalah Geometri Affine dan Geometri
Absolut atau Geometri Netral.
Pada geometri euclides didasarkan pada 5 kelompok aksioma yaitu:
I.
Kelompok aksioma urutan
II.
Kelompok aksioma kongruensi
III.
Kelompok aksioma insindesi
IV.
Kelompok aksioma kesejajaran euclides
V.
Kelompok aksioma kekontunuan
Yang pertama memperkenalkan Geometri Affine adalah Leonhard Euler
dari Jerman (1707 – 1793). Dalam geometri ini, garis paralel tunggal, sesuai
Postulat Playfair, “ Melalui satu titik yang diketahui, tidak pada suatu garis
yang diketahui, hanya dapat dibuat satu garis yang paralel dengan garis itu”,
memegang peranan yang penting sekali. Karena dalam geometri ini lingkaran
tidak disebut-sebut dan sudut-sudut tidak pernah diukur, maka dapat
dikatakan, bahwa geometri ini mempunyai dasar aksioma I dan II, dari
aksioma Euclides. Aksioma III dan IV tidak berarti sama sekali.
Geometri Absolut pertama kali dikenalkan oleh J. Bolyai dari Hongaria
(1802 – 1860). Geometri ini didasarkan pada 4 aksioma pertama dari Euclides
dan melepaskan aksioma V. Dengan demikian, geometri Affine dan geometri
Absolut mempunyai dasar persekutuan yaitu pada Aksioma I dan Aksioma II.
Ada pula suatu inti dari dalil-dalil yang berlaku untuk keduanya, yaitu
pengertian Keantaraan ( Intermediacy ). Pengertian itu terkandung dalam
definisi keempat dari Eulides.
1
2
Geometri yang menjadi dasar dari geometri Affine dan geometri Absolut
ini disebut Geometi Ordered ( Geometri Terurut ), karena dalam hal ini urutan
memegang peranan penting. Geometri Terurut ini berdasarkan dua aksioma
pertama dari Euclides, tetapi penyajiannya lebih teliti. Jadi Geometi Affine
dan geometri absolut termuat dalam Geometri terurut, sedangkan Geometri
Euclides termuat dalam Geometri Affine dan Geometri absolut.
Geometri Terurut/ Ordered
Geometri Affine
Geometri Absolut
Geometri Euclides
B. PEMBAHASAN
B.1 Aksioma-aksioma Dasar Geometri Affine
Dasar dari geometri affine adalah geometri Terurut. Bidang affine dipandang
sebagai keadaan khusus dari bidang terurut. Pengertian pangkalnya juga sama
yaitu titik dan keantaraan ( Intermediacy ).
Aksioma-aksioma dari geometri terurut yang berlaku adalah :
Aksioma I :
Ada paling sedikit dua titik
2
3
Aksioma VII :
Jika ABC suatu segitiga atau BCD dan CEA maka pada garis DE ada
satu titik F yang memenuhi AFB
D
C
E ▪
A
B
F
Aksioma VIII :
Semua titik ada dalam satu bidang
Aksioma XII :
Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam 2 himpunan yang
tidak kosong sedemikian hingga ada titik dari masing-masing himpunan yang
terletak antara titik dari himpunan lainnya, maka satu titik dari satu himpunan
terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik dari himpunan
lainnya (Aksioma Dedekind).
Aksioma VIII menyatakan bahwa geometri affine merupakan geometri
bidang, dan aksioma XII menyatakan bahwa suatu garis itu kontinu.
Selain itu, geometri affine ini juga didapat dari geometri terurut dengan
menambahkan 2 aksioma lagi, yaitu :
Aksioma 1 :
Untuk sembarang titik A dan sembarang yang tidak melalui A, ada paling
banyak satu garis yang melalui A dalam bidang (A, r), yang tidak memotong r.
3
4
Aksioma 2 :
Jika A, A’, B, B’, C, C’, O adalah 6 buah titik yang berlainan sedemikian
hingga AA’, BB’, CC’ adalah 3 buah garis berlainan melalui O dan jika garis
AB // A’B’ dan BC // B’C’, maka CA // C’A’.
A’
A
O
B’
B
C’
C
Akibat dalil 20 mengatakan :
Untuk sembarang titik A dan sembarang garis r yang tidak melalui A ada
paling banyak 1 garis yang melalui A dalam bidang (A,r) yang memotong r.
Mengingat dalil 20 dan aksioma 1 ini, maka dapat disimpulkan bahwa
sembarang titik A dan sembarang garis r ada tepat satu garis yang melalui A
dalam bidang (A,r) yang tidak memotong r. Keadaan ini hampir sama dengan
keadaan pada geometri Euclides.
r
A
Kesejajaran dalam geometri Affine ini adalah suatu relasi Ekuivalensi, jadi
memenuhi sifat-sifat :
a) Refleksif, yaitu setiap garis g sejajar dengan g sendiri
b) Simetris, yaitu jika g sejajar h, maka h sejajar g
c) Transitif, yaitu jika g sejajar h dan h sejajar k, maka g sejajar k
4
5
Aksioma 2 ini merupakan kebalikan dari separuh dalil berikut :
Dalil 1:
Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan titik-titik sudut yang
berlainan, diletakkan sedemikian hingga BC // B’C’, CA // C’A’, dan AB //
A’B’, maka ketiga garis AA’, BB’, dan CC’ adalah berpotongan pada satu
titik (konkruen) atau sejajar.
Bukti :
Diketahui : BC // B’C’, CA // C’A’, dan AB // A’B’.
Adb. : AA’, BB’, CC’ berpotongan atau sejajar
Jika AA’, BB’, dan CC’ ketiganya tidak berpotongan, maka berarti dua dari
tiga garis tersebut berpotongan.
Misalkan AA’ dan BB’ berpotongan di titik O, dan OC memotong B’C’ dititik
C1 .
Karena AB // A’B’ dan BC // B’C1, maka CA // C1A’.
Karena CA // C’A’ dan CA // C1A’, maka C’A’ // C1A’ berarti C1 pada C’A’.
Karena C1 pada C’A’ dan C1 juga pada B’C’, padahal A’B’C’ suatu segitiga,
maka haruslah C’ dan C1 berimpit.
Jadi AA’, BB’, dan CC’ berpotongan di titik O jika ketiganya tidak semuanya
sejajar.
Dalil 2 berikut ini juga merupakan kebalikan separoh yang lain dari dalil 1.
Dalil 2 :
Jika A, A’, B, B’, C, C’ adalah 6 buah titik yang berlainan pada 3 garis yang
berbeda AA’, BB’, dan CC’ diletakkan sedemikian hingga garis AB // A’B’,
BC // B’C’, maka CA // C’A’.
5
6
A
C
B
A’
C’
B’
B.2 Transformasi dalam Geometri Affine
Dalam geometri Affine, kita juga mengenal beberapa transformasi. Untuk
membicarakan ini, perlu didefinisikan dulu tentang Jajaran Genjang.
Empat titik A, B, C, dan D yang tidak segaris dikatakan membentuk suatu
jajaran genjang BCD jika AB // DC dan BC // AD.
D
A
C
B
1. Dilatasi
Definisi :
Suatu
dilatasi
(suatu
perbanyakan)
ialah
mentransformir setiap garis ke garis yang sejajar.
6
suatu
transformasi
yang
7
Dalil 3 :
Dua segmen yang diketahui AB dan A’B’ pada garis-garis yang sejajar
menentukan dengan tunggal suatu dilatasi AB  A’B’.
P’
P
A
C’
C
B
A’
B’
Beberapa hal penting
 Invers dari dilatasi AB  A’B’ adalah A’B’ AB .
 Dilatasi mempertahankan urutan, tetapi tidak mempertahankan ukuran.
 Hasil kali dilatasi ialah dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain.
Berarti, hasil kali dua dilatasi AB  A’B’ dan A’B’  A”B” adalah
dilatasi
AB  A”B”.
 Jadi hasil kali dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB  AB.
 Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya disebut
garis-garis invariant. Garis-garis itu berpotongan pada satu titik atau
sejajar (Aksioma 2).
 Jika garis-garis yang menghubungkan titik dan banyangannya (yaitu yang
menghubungkan dua titik berkorespondensi), berpotongan pada satu titik,
maka dilatasi disebut dilatasi sentral. Titik potong garis-garis itu disebut
titik pusat dilatasi O dan titik pusat tersebut tunggal.
7
8
 Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar,
maka dilatasi itu suatu translasi.
Dilatasi Sentral
Translasi
A’
A
A’
A
O
C
C’
B
B
B’
B’
2. Translasi
Definisi :
Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar,
maka dilatasi itu suatu translasi. Jadi suatu dilatasi adalah suatu translasi bila
dan hanya bila tidak memiliki titik invarian (tapi garis invarian).
Jika pada translasi AB  A’B’, AA’, BB’ tidak berupa jajaran genjang, maka
dapat ditunjukkan jajaran genjang lainnya . Misalkan AC  A’C’, AA’C’C
dapat berupa jajaran genjang.
Jika AA’B’A suatu jajaran genjang, maka translasi A  A’ sama dengan
B  B’
Jika A, A’, dan B diketahui, maka letak titik B’ tidak tergantung dari
pemilihan C atau D, sehingga terdapat dalil berikut :
Dalil 4 :
Sembarang dua titik A dan A’ menentukan dengan tunggal translasi A  A’.
Suatu dilatasi adalah suatu transformasi terurut, hal ini dapat dibuktikan
dengan dalil-dalil berikut :
Dalil 5 :
Dilatasi AB  A’B’mentransformir setiap titik.
8
9
Dalil 6 :
Hasil kali dua translasi A  B dan B  C adalah tanslasi A  C.
3. Setengah Putaran
Definisi :
Jika dua titik berlainan, misalkan A dan B ditukar oleh suatu dilatasi tunggal
AB  BA atau A  B, maka transformasi itu disebut setengah putaran (half
turn)
C
B
A
D
Jika C sembarang titik diluar garis AB, maka untuk mencari bayanganya kita
hubungkan C dengan A dan B, maka titik potong garis yang melaui B sejajar
AC dan BC adalah titik D, dan D bayangan dari C.
Dalil 7 :
Hasil kali dua setengah putaran A  B dan B  C adalah translasi A  C.
Bukti :
Jika A  B tidak sama dengan B  C, maka (A  B) (B  C) tidak
mempunyai titik invarian, jadi berupa translasi.
Jika ADBC suatu jajaran genjang, maka A  B sama dengan B  C dan
A  D sama dengan C  B.
Hubungan ini tetap berlaku jika jajaran genjang berubah menjadi segmen garis
dengan 4 titik letaknya teratur simetrik.
A
C
D
B
Dalil 8 :
Setengah putaran A  B dan C  D saa, jika dan hanya jika translasi A  D
dan C  B sama.
9
10
Dalil 9 :
Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi suatu segitiga adalah
sejajar dengan sisi ketiga dan suatu garis yang melalui titik tengah suatu sisi
dan sejajar sisi yang lain akan melalui titik tengah sisi yang ketiga.
C
C
B’
A
A’
B
C’
4. Transformasi Affiine
Suatu transformasi affine atau affinity pada Rn adalah sebuah rumus Ta o L
dengan Ta suatu translasi dan L
GL(n, R).
Grup pada semua transformasi ini disebut grup Affine dan ditulis A(Rn).
Contoh :
1. (x, y)
(1 + 2x, 1 + 2y)
2. (x, y)
(1 + x + y, 2 + y)
Perlu dicatat bahwa transformasi affin tidak mempertahankan jarak dan
sudut. Luas dan volum tidak dipertahankan juga.
Transformasi affine mempertahankan beberapa sifat geometri
a. Collinearity (kesegarisan)
Jika A,B, dan C kolinear, sehingga bayangan mereka berada pada peta affine.
Lebih umum kita mempunyai :
Definisi
Suatu translasi pada subruang linear pada Rn disebut subruang affine
Contoh, gari-garis dan bidang pada R3 adalah subruang affine
10
11
Theorem
Transformasi affine subruang peta affine untuk subruang affine
Proof
Berikut ini fakta bahwa peta-peta linear subruang peta linear untuk subruang
linear
b. Parallelism (kesejajaran)
Teorema
Kesejajaran garis dipetakan pada kesejajaran garis.
Bukti
Dua garis sejajar adalah garis-garis padal bidang affine yang tidak bertemu.
Karena transformasi affine mempertahankan bidang dang keterletakkan,
bayangan garisnya dalam suatu bidang affine dan tidak bertemu. Oleh karena
itu garis-garis itu sejajar.
c. Ratios (perbandingan)
Teorema
Perbandingan panjang interval-interval pada garis dipertahankan.
Bukti
Berikut ini karena perbandingan dipertahankan oleh peta linear dan oleh
translasi.
Kenyataannya
perbandingan
panjang
pada
pasangan
garis
parallel
dipertahankan. Sifat keantaraan (satu titik terletak diantara dua titik yang lain)
juga dipertahankan.
B.3 Transformasi Affine di R2
Misalkan T subset, R2 f : T  T transformasi affine pada T . Maka f dapat
berbentuk
11
12
 x   a 0  x   e 
f  
     .
 y   c d  y   w 
Transformasi affine tidak mengawetkan kesebangunan. Hal ini dikarenakan
factor pengali pada x tidak sama dengan pengali pada y. Perhatikan peta dari
beberapa bangun oleh transformasi affine berikut.

Secara umum transformasi linier T pada R n , dinyatakan oleh T x  A x  b ,
dengan A adalah matriks nxn yang determinannya tidak nol dan b adalah
vector di R n . Sebuah transformasi ditentukan oleh matriks A dan vector b .
B.4 Teorema-teorema Affine
Kenyataan, banyak teoreme-teorema geometri Euclidean adalah teoremateorema Affine. Itu berarti pernyataan dan bukti juga melibatkan konsep yang
dipertahan kan oleh transformasi affine.
Secara kasar, teorema-teorema affine dapat dibuktikan dengan metode vektor
tanpa menggunakan norm atau dot atau hasil kali vektor.
12
13
Contoh :
1. Tengah-tengah dari suatu segitiga bertemu pada sebuah titik (coincident)
Bukti
Jika sebuah segitia mempunyai garis-garis a, b and c maka mudah
diperiksa bahwa garis tengahnya akan bertemu pada suatu titik (a + b + c)
/3
2. Teorema Ceva
Jika sisi-sisi BC, CA, AB pada suatu segitiga dibagi oleh titik-titik L, M, N
dengan perbandingan 1 :
,1:
,1:
maka ketiga garis AL, BM, CN
setitik (konkurent) jika dan hanya jika hasil kali
= 1.
Bukti
Dalam kenyataan, kita akan membuktikan ini tidak dengan menggunakan
metode affine..
= CL/LB =
CLA/
Dengan cara yang sama
BCP/
LBA =
CLP/
= AM/MC =
LBP =
ABP/
CAP dan diperoleh hasil tersebut.
13
CAP/
BCP and
ABP.
= BN/NA =
14
3. Teorema Menelaus
Jika sisi-sisi segitiga dibagi oleh titik-titik L, M, N dalam perbandingan 1 :
,1:
,1:
maka ketiga titik L, M, N adalah segaris jika dan hanya
jika hasil kali
= -1.
Bukti
Perlu dicatat bahwa perbandingan dimana titik L membagi sebuah interval
AB adalah negatif jika L berada diluar sisi AB (perpanjangan AB).
Garis AP sejajar ML. Maka 1/
= CM/MA = CL/LP dan 1/
= AN/NB =
PL/LB.
Maka 1/(
) = CL/LP . PL/LB = -CL/LB = -
dan diperoleh hasil
tersebut.
Simpulan
1. Seperti dalam kasus isometric, sebuah transformasi affine ditentuka oleh
bayangan dari n + 1 titik-titik independent (sesuatu yang tidak segaris
dalam sebuah (n - 1)-dimensional subruang affine).
Dalam kasus transformasi affine, sebanyak n + 1 titik independent dapat
dipetakan pada sebanyak n + 1 titik-titik independent.
Secara khusus, dalam R2 ada suatu transformasi affine tunggal yang
menyebabkan segitiga ABC menjadi A'B'C'.
2. Umumnya tiga cara mengklasifikasi pada irisan kerucut ellips, hyperbola
dan parabola adalah suatu klasifikasi affine.
Contoh, dua ellips direlasikan oleh sebuah transformasi affine.
14
15
C. PENUTUP
Dasar dari geometri Affine adalah geometri Terurut, sehingga aksiomaaksioma dan dalil-dalil utama dari geometri terurut berlaku dalam geometri
Affine. Kemudian ditambah dua aksioma lagi.
Seperti halnya geometri Euclides, dalam geometri Affine pun terdapat
transformasi, diantaranya dilatasi, translasi, dan setengah putaran. Karena
dalam geometri Affine sudut-sudut tidak pernah diukur, maka transformasinya
diterangkan tanpa menggunakan ukuran sudut.
Transformasi affin tidak mempertahankan jarak dan sudut. Luas dan volum
tidak dipertahankan juga. Namun transformasi affine mempertahankan
kesegarisan, kesejajaran, dan perbandingan.
15
16
Referensi
Moeharti, Prof. Dra. 1986. Sistem – sistem Geometri. Jakarta : Karunika
Univeristas Terbuka
Ismaliani. ............... Rangkuman Geometri .http://ismalianibaru.wordpress.com di
download Jum’at 12 juni 2009 pukul 6.15. Kata kunci : Gometri Affine
............................... Affine Geometry. http://www.gap-system.org/̴
john/geometry/Lecture/L13.html didownload Senin, 22 Juni 2009 pukul
18.30. Kata kunci : Affine Geometry
16