pelatihan osn jakarta 2016 listrik magnet (bagian 1)

PELATIHAN OSN JAKARTA 2016
LISTRIK MAGNET (BAGIAN 1)
1. Partikel deuterium (1 proton, 1 neutron) dan partikel alpha (2 proton, 2 neutron) saling
mendekat dari jarak yang sangat jauh dengan energi kinetik masing-masing partikel adalah
𝐸𝐾0 = 1 MeV (mega elektronvolt). Selama pergerakannya, kedua partikel saling tolak
sehingga mereka akan mencapai jarak minimum tertentu sebelum berbalik arah. Berapa
jarak minimum tersebut?
𝐸𝐾0 𝛼
D 𝐸𝐾0
2. Perhatikan gambar di bawah. Sebuah elektron ditembakkan dari lantai sebuah ruangan
dengan kecepatan 𝑣0 = 106 m⁄s membentuk sudut 𝜃 = 37° terhadap lantai. Langit-langit
ruangan berjarak ℎ = 2 meter dari lantai. Di dalam ruangan, terdapat medan listrik yang
besarnya 1 N⁄C dan mengarah ke atas.
a. Apakah elektron akan manabrak langit-langit?
b. Jika elektron menabrak langit-langit, tentukan kapan hal itu terjadi. Jika tidak, tentukan
kapan elektron menabrak lantai.
Langit-langit
𝑣0
𝐸
ℎ
𝜃
Lantai
3. Pada model atom Bohr, atom hidrogen dianggap terdiri dari satu proton yang dikelilingi
oleh satu elektron dalam orbit lingkaran. Energi atom hidrogen terdiri dari energi kinetik
elektron dalam mengelilingi inti (proton), ditambah dengan energi potensial listrik
elektron-proton. Selain itu, berlaku postulat Bohr: momentum sudut elektron tidak bisa
memiliki sembarang nilai, tetapi terkuantisasi:
ℎ
𝐿𝑛 = 𝑛
; 𝑛 = 1,2,3, …
2𝜋
dimana ℎ adalah konstanta Planck yang bernilai:
ℎ = 6,626 × 10−34 J.s
Dengan menggunakan semua informasi di atas, buktikan bahwa tingkat-tingkat energi atom
hidrogen sama dengan:
𝑚𝑒 𝑒 4
13,6
𝐸𝑛 = − 2 2 2 = − 2 eV ; 𝑛 = 1,2,3, …
𝑛
8ℎ 𝜀0 𝑛
4. Sebuah cakram berjari-jari 𝑅 dan memiliki muatan per satuan luas 𝜎. Buktikan bahwa
medan listrik pada jarak 𝑧 dari pusat cakram adalah:
𝜎
𝑧
𝐸=
(1 −
)
2
2𝜀0
√𝑧 + 𝑅2
Hani Nurbiantoro Santosa, PhD
+62-812-8344-5598
a. Tunjukkan untuk 𝑧 ≪ 𝑅, medan listrik akibat cakram ini mirip dengan medan listrik
akibat pelat infinite.
b. Tunjukkan untuk 𝑧 ≫ 𝑅, medan listriknya mirip akibat muatan titik.
5. Perhatikan gambar di bawah. Sebuah kabel silinder infinite pejal berjari-jari 𝑅 memiliki
rapat muatan konstan 𝜌. Buktikan bahwa besar medan listrik bisa ditulis sebagai:
𝜌𝑟
, untuk 𝑟 ≤ 𝑅 (di dalam kabel)
2𝜀0
𝐸 (𝑟 ) =
𝜌𝑅2
, untuk 𝑟 > 𝑅 (di luar kabel)
{2𝜀0 𝑟
𝑅
6. Perhatikan gambar di atas. Sebuah proton berada pada jarak 𝑑 ⁄2 di atas pusat bujur
sangkar yang panjang sisinya 𝑑. Berapakah fluks medan listrik yang melewati bujur sangkar
tersebut?
7. Sebuah bola pejal berjari-jari 𝑅 memiliki rapat muatan yang tidak konstan:
𝜌 (𝑟 2 ⁄𝑅2 ), untuk 𝑟 ≤ 𝑅
𝜌 (𝑟 ) = { 0
0,
untuk 𝑟 > 𝑅
Hitunglah medan listrik pada jarak 𝑟 dari pusat bola, untuk:
a. 𝑟 ≤ 𝑅 (di dalam bola)
b. 𝑟 > 𝑅 (di luar bola)
8. Sebuah bola konduktor pejal dan netral
diletakkan pada sebuah ruangan yang memiliki
medan listrik konstan (lihat gambar di samping).
Sesaat kemudian, tercapai kesetimbangan dan
tidak ada lagi aliran muatan pada konduktor
tersebut.
a. Tentukan konfigurasi muatan induksi di
permukaan bola.
b. Gambarkan garis medan listrik di sekitar bola.
𝐸
9. Lihat gambar di bawah. Sebuah bola konduktor berongga memiliki jari-jari dalam 𝑎 dan
jari-jari luar 𝑏. Bola tersebut memiliki muatan −3𝑄, dan di tengah rongga terdapat muatan
titik +𝑄.
a. Ketika kesetimbangan sudah tercapai, tentukan distribusi muatan di permukaan dalam
dan luar konduktor.
b. Kemudian, tentukan medan listrik dan potensial sebagai fungsi 𝑟 (jarak dari pusat
rongga).
Hani Nurbiantoro Santosa, PhD
+62-812-8344-5598
𝐴
𝐶2
𝐶1
+𝑄
+
𝑎
𝑉𝑏
𝑏
10. Perhatikan gambar rangkaian listrik di atas! Dua buah kapasitor, 𝐶1 = 40 μF dan 𝐶2 = 60 μF
dihubungkan secara seri, dan kemudian dihubungkan ke baterai dengan tegangan 𝑉𝑏 =
10 volt.
a. Ketika kesetimbangan sudah tercapai, berapa muatan dan tegangan pada masingmasing kapasitor?
b. Kemudian, pada celah kapasitor 𝐶1 disisipkan dielektrik dengan konstanta 𝜅 = 3,5
(dielektrik mengisi penuh celah di antara kedua pelat). Hitunglah muatan dan tegangan
akhir pada masing-masing kapasitor!
c. Berapa banyak elektron yang mengalir melewati titik 𝐴 selama proses penyisipan
dielektrik? Ke arah mana elektron-elektron tersebut mengalir? Muatan satu elektron
sama dengan −1,602 × 10−19 C (ingat muatannya negatif!).
𝑑
𝑚, 𝑞
+
𝑑
+
+𝜎
𝑚, 𝑞
––––––––––––––––
Hani Nurbiantoro Santosa, PhD
++++++++++++++++
11. Perhatikan gambar di samping. Sebuah kapasitor
pelat sejajar memiliki muatan per satuan luas +𝜎
pada pelat positif dan – 𝜎 pada pelat negatif. Jarak
antar kedua pelat adalah 𝑑. Sebuah bola isolator
kecil bermassa 𝑚 dan bermuatan +𝑞 diikat
dengan benang sepanjang 𝑑 ke pelat positif.
Awalnya bola ditahan diam dan tali pada kondisi
lurus vertikal. Pada soal ini, jangan abaikan
gravitasi (jadi ada percepatan gravitasi 𝑔 = 10
m⁄s2 ke bawah).
a. Berapa beda potensial antara pelat positif dan
negatif akibat kedua pelat itu sendiri? (Tidak
usah memperhitungkan beda potensial akibat
bola 𝑞.)
b. Ketika bola dilepaskan, bola akan berayun
menuju pelat negatif. Berapa kecepatan bola
ketika menyentuh pelat negatif?
−𝜎
+62-812-8344-5598
12. Perhatikan gambar di bawah. Sebuah kapasitor pelat sejajar memiliki luas pelat 𝐴 dan lebar
celah 𝑑. Sepotong besi selebar ℓ kemudian disisipkan dalam celah. Berapa kapasitas
kapasitor tersebut?
+++++++++++++++++++++++++
ℓ
besi
𝑑
––––––––––––––––––––––––––
13. Kita akan menurunkan bahwa kapasitas kapasitor 𝐶 yang celahnya diisi penuh dengan
dielektrik berkonstanta 𝜅 akan menjadi 𝐶 ′ = 𝜅𝐶. Sebuah kapasitor pelat sejajar
berkapasitas 𝐶 dihubungkan dengan baterai bertegangan 𝑉𝑏 . Berapa muatan yang ada pada
kapasitor ketika sudah penuh? Kemudian, baterai dilepas, dan bahan dielektrik dengan
konstanta 𝜅 disisipkan pada celah di antara kedua pelat. Tentukan tegangan, muatan, dan
kapasitas akhir pada kapasitor! Buktikan bahwa kapasitas akhir adalah 𝐶 ′ = 𝜅𝐶.
14. Kita akan menurunkan bahwa kapasitas kapasitor 𝐶 yang celahnya diisi penuh dengan
dielektrik berkonstanta 𝜅 akan menjadi 𝐶 ′ = 𝜅𝐶. Sebuah kapasitor pelat sejajar
berkapasitas 𝐶 dihubungkan dengan baterai bertegangan 𝑉𝑏 . Berapa muatan yang ada pada
kapasitor ketika sudah penuh? Kemudian, tanpa melepas baterai, bahan dielektrik
dengan konstanta 𝜅 disisipkan pada celah di antara kedua pelat. Tentukan tegangan,
muatan, dan kapasitas akhir pada kapasitor! Buktikan bahwa kapasitas akhir adalah 𝐶 ′ =
𝜅𝐶.
15. Sebuah kapasitor pelat sejajar memiliki rapat muatan ±𝜎, luas pelat 𝐴, dan jarak antar pelat
𝑑. Berapa gaya tarik antar pelat? Berapa usaha yang diperlukan untuk menjauhkan kedua
pelat sampai jaraknya menjadi 2𝑑?
16. Sebuah kapasitor pelat sejajar memiliki rapat muatan ±𝜎, luas pelat 𝐴, dan jarak antar pelat
𝑑. Celah di antara kedua pelat terisi penuh dengan dielektrik berkonstanta 𝜅. Berapa usaha
yang diperlukan untuk mengeluarkan dielektrik tersebut dari celah?
17. Perhatikan rangkaian resistor infinite pada gambar di bawah. Berapa hambatan pengganti
antara titik A dan D?
18. Perhatikan rangkaian di kiri bawah. Carilah tegangan yang ada pada tiap resistor. Selain itu,
berapa beda potensial antara titik A dan B? Titik mana yang lebih tinggi potensialnya?
Hani Nurbiantoro Santosa, PhD
+62-812-8344-5598
A
H
E
G
F
D
A
C
B
B
19. Perhatikan rangkaian resistor berbentuk kubus di kanan atas. Semua resistor memiliki
hambatan yang sama, yaitu 𝑅. Berapa hambatan pengganti:
a. antara tititk A dan C?
b. antara titik A dan B?
c. antara titik A dan G?
20. Perhatikan gambar di samping. Ketiga resistor tersebut
merupakan bagian dari rangkaian lain yang lebih besar.
Potensial ketiga titik ujung adalah: 𝑉𝐴 = 10 volt, 𝑉𝐵 = 3 volt,
dan 𝑉𝐶 = 6 volt. Hambatan ketiga resistor adalah: 𝑅𝐴 = 1 Ω,
𝑅𝐵 = 2 Ω, dan 𝑅𝐶 = 1 Ω.
a. Tentukan besar dan arah arus yang mengalir pada
masing-masing resistor. Contoh cara menjawab: Arus yang
mengalir pada 𝑅𝐴 adalah 1 ampere dan mengalir dari titik
𝐴 ke 𝐷.
b. Tentukan potensial titik 𝐷.
21. Perhatikan gambar di samping. Sebuah kapasitor 𝐶
bermuatan 𝑄0 dihubungkan dengan resistor 𝑅. Pada saat
𝑡 = 0, saklar 𝑆 ditutup dan arus mulai mengalir pada
rangkaian.
a. Turunkan muatan pada kapasitor sebagai fungsi
waktu, 𝑄(𝑡).
b. Berapa lama waktu yang diperlukan sampai muatan
kapasitor menjadi 0,5𝑄0 ?
c. Turunkan arus listrik yang mengalir pada rangkaian
sebagai fungsi waktu, 𝐼(𝑡).
d. Turunkan daya panas di resistor sebagai fungsi
waktu, 𝑃𝑅 (𝑡).
𝐴
𝑅𝐴
𝐷
𝑅𝐶
𝐶
𝑅𝐵
𝐵
𝑆
𝑄0
++++
− − − −𝐶
𝑅
22. Perhatikan gambar di kiri bawah. Sebuah partikel bermassa 𝑚 dan bermuatan 𝑞 memasuki
daerah bermedan magnet konstan 𝐵. Kecepatan partikel tersebut adalah 𝑣, dan membentuk
sudut 𝜙 terhadap medan magnet. Berapakah jari-jari spiral 𝑟? Berapakah jarak 𝑝 antara dua
spiral berurutan?
Hani Nurbiantoro Santosa, PhD
+62-812-8344-5598
Δ𝑉𝐻
𝐵
𝐵
𝑡
𝐼
𝑙
𝑤
23. Perhatikan gambar di kanan atas. Sebuah pelat tembaga dengan tebal 𝑡, lebar 𝑤, dan
panjang 𝑙 dialiri arus 𝐼 (ingat, dalam tembaga, yang mengalir adalah elektron yang
bermuatan negatif). Banyaknya elektron bebas per satuan volume dalam tembaga sama
dengan 𝑛. Medan magnet dengan besar 𝐵 mengarah tegak lurus pelat tersebut.
a. Berapa besar kecepatan hanyut (drift velocity) elektron-elektron dalam tembaga?
b. Berapa tegangan Hall Δ𝑉𝐻 antara sisi kiri dan kanan pelat tersebut? Sisi mana yang
potensialnya lebih tinggi: kiri atau kanan?
24. Perhatikan gambar di samping. Turunkan rumus
medan magnet di tengah solenoida berjari-jari 𝑅,
panjang 𝐿, dan berarus listrik 𝐼. Banyak lilitan per
satuan panjang adalah 𝑛. Buktikan juga untuk 𝐿 →
∞ (solenoida infinite), medan magnetnya menjadi
𝐵 = 𝜇0 𝑛𝐼, seperti yang sudah diturunkan di kelas
menggunakan Hukum Ampere.
25. Gambar di samping menunjukkan penampang melintang
kabel panjang infinite berongga dengan jari-jari luar 𝜌 =
𝑏 dan jari-jari dalam 𝜌 = 𝑎. Kabel tersebut memiliki rapat
arus konstan 𝐽 (keluar bidang gambar) pada jari-jari 𝑎 ≤
𝜌 ≤ 𝑏.
a. Tentukan 𝐼𝑖𝑛 (𝜌) (arus total yang terdapat di dalam
loop Ampere berjari-jari 𝜌); untuk 𝜌 < 𝑎 (di dalam
rongga), 𝑎 ≤ 𝜌 ≤ 𝑏 (di dalam kabel), dan 𝜌 > 𝑏 (di
luar kabel).
b. Sesudah Anda mendapatkan rumus 𝐼𝑖𝑛 (𝜌) dari bagian
a, tentukan medan magnet sebagai fungsi 𝜌 di semua
daerah.
𝐿
𝑅
𝐼
𝐽
𝑎
𝑏
26. Sebuah kawat infinite berjari-jari 𝑅 membawa rapat arus yang tidak konstan:
𝜌
𝐽(𝜌) = 𝐽0
𝑅
dengan 𝜌 adalah jarak dari sumbu pusat kawat.
Hani Nurbiantoro Santosa, PhD
+62-812-8344-5598
a. Untuk suatu loop Ampere dengan jari-jari 𝜌, carilah 𝐼𝑖𝑛 sebagai fungsi 𝜌, dimana 𝐼𝑖𝑛
adalah arus yang terlingkupi oleh loop tersebut.
b. Carilah medan magnet sebagai fungsi 𝜌, untuk 𝜌 ≤ 𝑅 (di dalam kawat) dan 𝜌 > 𝑅 (di
luar kawat).
27. Perhatikan gambar di bawah. Sebuah toroida yang terdiri dari 𝑁 lilitan dialiri arus listrik 𝐼.
Tunjukkan bahwa medan magnet dalam toroida tersebut sama dengan:
𝜇0 𝐼𝑁
𝐵 (𝑟 ) =
2𝜋𝑟
dimana 𝑟 adalah jarak dari pusat toroida.
𝑰
28. Partikel-partikel 𝛼 (terdiri dari 2 proton dan 2 neutron) ditembakkan dengan kecepatan
berbeda-beda secara horisontal di sebuah ruangan yang memiliki medan listrik ke bawah
sebesar 𝐸 = 106 N/C dan medan magnet masuk bidang gambar sebesar 𝐵 = 1 tesla. Dalam
soal ini, abaikan efek gravitasi.
𝛼
𝑣
𝐵










𝐸





𝐵
celah
dinding
a. Partikel-partikel 𝛼 dengan kecepatan tertentu bisa berjalan lurus (tidak dilengkungkan
oleh medan listrik atau magnet) sehingga bisa keluar dari celah sempit di dinding.
Berapakah kecepatan itu?
b. Sesudah keluar dari celah, partikel-partikel tersebut tidak merasakan medan listrik lagi.
Di mana partikel-partikel tersebut menabrak dinding?
Hani Nurbiantoro Santosa, PhD
+62-812-8344-5598