ESTIMASI - UM Palangkaraya

Hal-1
Hal-2
Estimasi (Pendugaan)
TOPIK
• Pengertian Estimasi
• Estimasi titik
• Nilai rata-rata populasi
• Nilai proporsi populasi
• Estimasi Interval
• Estimasi interval terhadap
• Estimasi interval terhadap
• Estimasi interval terhadap
• Estimasi interval terhadap
rata-rata populasi
proporsi populasi
perbedaan rata-rata populasi
perbedaan proporsi populasi
Hal-3
Estimasi (Pendugaan)

Statistik Inferensi (Statistik Induktif)


Estimasi (pendugaan)
 pendugaan karakteristik populasi (parameter)
melalui karakteristik sampel (statistik).
Uji hipotesis
 pengujian karakteristik populasi (parameter)
terhadap nilai tertentu atau perbandingan nilai
tertentu melalui karakteristik sampel (statistik).
Hal-4
Estimasi (Pendugaan)

Populasi dan Sampel
Populasi
Sampel
deduktif
Parameter
Statistik
Mean ()
Proporsi (p)
Varians (2)
X
ps
s2
induktif

Central Limit Theorem
Hal-5
Pengertian Estimasi Titik
Parameter Populasi
Mean
Proporsi
Varians
Selisih rata2

p
Statistik Sampel
X
PS

1  2
2
S
2
X1  X 2
Hal-6
Pengertian Estimasi Interval
Distribusi sampling Mean
_
  Z / 2 X
 /2
X
1
  Z / 2 X
 /2
X  
X
100 1    %
interval
memuat
parameter
Interval kepercayaan
Hal-7
Pengetian Estimasi Interval


Dinotasikan dengan 100 1    %
Interpretasi frequensi relatif



Dari 100 kali pengambilan sampel akan diperoleh
sebanyak 100 1    % sampel yang memuat
parameter populasi (µ, p).
90%, 95%, 99% CI (Confidence Interval)
Dalam statistik tidak ada kepercayaan 100%
(Jika mau percaya 100% silakan ukur seluruh populasi /sensus)
Hal-8
Pengertian Estimasi Titik dan Interval
Populasi
Rata Hb Bumil di
Populasi tidak
diketahui
Random Sampel
Rata-rata Hb
Bumil sampel
X =12.0 gr%
Estimasi titik:
Rata-rata Hb Bumil
di Populasi adalah
12.0 gr%
Sampel
Estimasi Interval: Saya
percaya pada tingkat
kepercayaan tertentu
rata-rata Hb Bumil di
populasi berkisar antara
10.0 gr% - 14.0 gr%
Hal-9
Estimasi (Pendugaan)
Data Kuantitatif
Estimasi
Interval
Mean/Rata-rata
Data Kualitatif
Proporsi
..%CI  P  Z ( / 2)
 diketahui
..%CI    Z / 2
 tak diketahui

n
..%CI    t( / 2,df n 1)
p(1  p)
n
S
n
Hal-10
Estimasi (Pendugaan)


Suatu penelitian bertujuan untuk mengestimasi ‘uric acid’ pada
populasi Lansia (umur di atas 65 tahun). Dari 100 orang sampel
Lansia yang diambil secara random dari populasi Lansia tersebut,
peneliti melaporkan bahwa rata-rata ‘uric acid’ pada Lansia adalah
5.9 mg/100 (point estimate) dengan standar deviasi 1.5
mg/100 ml. 95% tingkat kepercayaan peneliti bahwa rata-rata ‘uric
acid’ pada populasi Lansia berkisar antara 5.6-6.2 mg/100 ml
(interval estimate).
Dari 10.000 wanita berusia 50-54 tahun yang diteliti ditemukan
sebanyak 400 menderita kanker payudara. Dari data tersebut,
maka prevalensi kanker payudara pada populasi adalah sebesar
400/10.000=0.04 atau 4% (point estimate) dengan 95% tingkat
kepercayaan peneliti bahwa prevalensi kanker payudara pada
populasi wanita tersebut berkisar antara 3.6%-4.4% (interval
estimate).
Hal-11

Estimasi Interval terhadap µ di populasi
bila σ diketahui
Beberapa asumsi




Standard deviation populasi diketahui.
Populasi berdistribusi normal.
Jika populasi tidak normal, gunakan sampel besar
Estimasi Interval terhadap nilai 
X  Z / 2

n
   X  Z / 2

n
• Z/2 pada 90% CI = 1.64 (tabel Z)
• Z/2 pada 95% CI = 1.96 (tabel Z)
• Z/2 pada 99% CI = 2.58 (tabel Z)
Hal-12
Estimasi Interval terhadap µ di populasi
bila σ di populasi diketahui

Data Lansia. Bila standar deviasi ‘urid acid’ di populasi diketahui
sebesar 1.5 mg/100 ml dengan rata-rata dari 100 sampel Lansia
adalah 5.9 mg/100ml. Maka estimasi interval terhadap rata-rata
‘uric acid’ pada populasi Lansia adalah sebagai berikut:



Pada tingkat kepercayaan 90%
5.9 - (1.64)(1.5/100)<  <5.9 + (1.64)(1.5/100)
5.65<  <6.15 mg/100 ml
Pada tingkat kepercayaan 95%
5.9 - (1.96)(1.5/100)<  <5.9 + (1.96)(1.5/100)
5.61<  <6.19 mg/100 ml
Pada tingkat kepercayaan 99%
5.9 - (2.58)(1.5/100)<  <5.9 + (2.58)(1.5/100)
5.51<  <6.29 mg/100 ml
Hal-13
Estimasi Interval terhadap µ di populasi
bila σ di populasi tidak diketahui

Beberapa asumsi



Standart deviasi populasi tidak diketahui
Populasi berdistribusi normal
Jika populasi tidak berdistribusi normal gunakan
sampel besar

Menggunakan distribusi student’s t

Estimasi Interval terhadap nilai 
X  t / 2,n 1
S
S
   X  t / 2,n1
n
n
Hal-14
Estimasi Interval terhadap µ di populasi
bila σ di populasi tidak diketahui

Data Lansia. Bila standar deviasi populasi tidak diketahui maka
digunakan standar deviasi sampel, misalnya 1.5 mg/100 ml
dengan rata-rata dari 100 sampel Lansia adalah 5.9 mg/100ml.
Maka estitmasi interval terhadap rata-rata ‘uric acid’ pada
populasi Lansia adalah sebagai berikut:



Pada tingkat kepercayaan 90%
5.9 - (1.66)(1.5/100)<  <5.9 + (1.66)(1.5/100)
5.65<  <6.15 mg/100 ml
=0.1
Pada tingkat kepercayaan 95%
Tabel t pada /2
5.9 - (1.98)(1.5/100)<  <5.9 + (1.98)(1.5/100)
dan db=100-1=99.
5.60<  <6.20 mg/100 ml
=0.05
=0.01
Pada tingkat kepercayaan 99%
5.9 - (2.63)(1.5/100)<  <5.9 + (2.63)(1.5/100)
5.51<  <6.29 mg/100 ml
Hal-15
Distribusi Student’s t
Normal
Standart
Bell-Shaped
Simetris
‘ekor lebih
gemuk’
t (df = 13)
t (df = 5)
0
Z
t
Hal-16
Tabel Student’s t
Luas ekor kanan
db .05
.025
.01
10 1.812 2.228 2.764
11 1.796 2.201 2.718
Let: n = 12
db = n - 1 = 11
 = .05
/2 =.025
/2 = .025
12 1.782 2.179 2.681
Nilai t
0 2.201
t
Hal-17
Derajat bebas (db)


Jumlah observasi sampel yang bebas linear
terhadap rata-rata sampel
Contoh
degrees of freedom

Mean dari 3 angka adalah 2 = n -1
X 1 = 1 ; X 2 = 2 ; X3 = 3
= 3 -1
=2
Hal-18
Estimasi Interval terhadap proporsi di
populasi

Beberapa asumsi


Data berupa dua kategori
Populasi mengikuti distribusi binomial




Rata-rata p
SD  p (1- p)
SE  p (1- p)/n
Pendekatan Distribusi Normal dapat digunakan jika
np  5 dan n 1  p  5


Hal-19
Estimasi Interval terhadap proporsi di
populasi

Estimasi Interval Proporsi

ps adalah proporsi sampel
pS  Z / 2
pS 1  pS 
n
 p  p S  Z / 2
pS 1  pS 
n
Hal-20
Estimasi Interval terhadap proporsi di populasi

Data Kanker Payudara. ps=0.04, qs=1-ps=1-0.04=0.96,
n=10.000. Maka estitmasi interval terhadap proporsi kanker
payudara pada populasi adalah sebagai berikut:


Pada tingkat kepercayaan 90%
0.04-1.64 (0.04)(0.96)/10.000 < p <0.04+1.64  (0.04)(0.96)/10.000
0.037 < p < 0.043
Pada tingkat kepercayaan 95%
0.04-1.96 (0.04)(0.96)/10.000< p <0.04+1.96  (0.04)(0.96)/10.000
0.036 < p < 0.044
Hal-21
ESTIMASI Perbedaan dua mean

Estimasi perbedaan dua mean (1- 2 ) independen
 Estimasi Interval ( di populasi diketahui)
(X1- X 2)  z1-/2 (12)/n1 +(22) /n2


Estimasi Interval ( pop tdk diketahui dan var sampel
sama)
(X1- X 2)  t1-/2,n1+n2-2 sp1/n1 +1/n2
sp=[(n1-1)s12+(n2-1)s22 ]/(n1+n2-2)
Estimasi perbedaan dua mean (1- 2 ) dependen (pairs)
 Estimasi Interval: d  t1-/2, sd / n
Hal-22
ESTIMASI Perbedaan dua Proporsi



Ada dua proporsi yang dibandingkan p1
dan p2
Menggunakan distribusi normal bila
 ns1ps1 dan ns2ps2 > 5
SE


(p1- p2)
= p(1-p)(1/ns1+1/ns2)
p=(ns1ps1+ns2ps2)/(ns1+ns2)
Estimasi Perbedaan dua proprosi
(p1- p2) ± Z/2 SE
(p1- p2)
Hal-23
ESTIMASI Perbedaan dua mean


Data Lansia. Diketahui bahwa rata-rata ‘uric acid’ pada 50 orang Lansia
laki-laki adalah 4.5 mg/100 ml dengan standar deviasi ‘uric acid’
populasi laki-laki adalah 1.0 mg/100 ml. Sedangkan pada 50 orang
Lansia perempuan rata-rata ‘uric acid’ adalah 5.9 mg/100 ml dengan
standar deviasi ‘uric acid’ populasi perempuan adalah 1.2 mg/100 ml.
Maka hitunglah estimasi interval perbedaan rata-rata ‘uric acid’ antara
laki-laki dan perempuan dengan tingkat kepercayaan sebesar 95%.
Diketahui:
Laki-laki
Perempuan

n
50
50
Mean
4.5 mg/100 ml
5.9 mg/100 ml

1.0 mg/100 ml
1.2 mg/100 ml
Estimasi interval perbedaan rata-rata ‘urid acid’ antara laki-laki dan
perempuan dengan asumsi  populasi diketahui adalah sbb:
(5.9-4.5)  1.96 ((1.0)2)/50 +(1.2)2) /50= [0.97 - 1.83]
Hal-24
ESTIMASI Perbedaan dua mean

Data fiktif Lansia. Rata-rata ‘uric acid’ pada 50 orang Lansia laki-laki

Diketahui:
adalah 4.5 mg/100 ml dengan standar deviasi sampel sebesar 1.0 mg/100
ml. Sedangkan pada 50 orang Lansia perempuan rata-rata ‘uric acid’
adalah 5.9 mg/100 ml dengan standar deviasi sampel sebesar 1.2 mg/100
ml. Maka hitunglah estimasi perbedaan rata-rata ‘uirc acid’ antara lakilaki dan perempuan pada tingkat kepercayaan 95%
Laki-laki
Perempuan

n
50
50
4.5 mg/100 ml
5.9 mg/100 ml
S
1.0 mg/100 ml
1.2 mg/100 ml
Standar deviasi gabungan (Sp)
Sp=[(n1-1)s12+(n2-1)s22

Mean
]/(n1+n2-2) = [(49)(1.0)2+(49)(1.2)2]/98=1.10
Tingkat kepercayaan 95% dan  populasi tidak diketahui
(5.9-4.5)  (1.98)(1.10)(1/50 +1/50)= [0.96 - 1.84]
Hal-25
ESTIMASI Interval Perbedaan Dua Sampel
(Mean) yang Dependen/Berpasangan (Pairs)
Data
Statistik Deskriptif
Hb1
Hb2
Dev
10
11
-1
12
12
0
11
12
-1
10
11
-1
12
13
-1
14
14
0
15
14
1
12
14
-2
10
12
-2
10
12
-2
9
11
-2
8
10
-2
9
10
-1
10
11
-1
12
13
-1
13
13
0
14
14
0
13
14
-1
14
15
-1
13
14
-1
Mean Hb1=11.55, SD=1.9861, n=20
Mean Hb2=12.50, SD=1.5044, n=20
Mean Dev = - 0.95
SDDev= 0.8256
SEDev= 0.1846
Estimasi Interval 95% thdp perbedaan Hb
Mean Dev ± t/2 SEDev
-0.95 ± (2.093)(0.1846)
-0.95 ± 0.386
95% CI [-1.336 s/d -0.564]=[0.564 s/d 1.336]
Hal-26
ESTIMASI Interval Perbedaan Dua Proporsi
Data
Dari 500 wanita berumur 50-54 tahun di daerah perkotaan ditemukan ada
sebanyak 50 wanita yang menderita kanker payu dara. Sedangkan d daerah
pedesaan dengan umur yang sama ditemukan 25 dari 500 wanita menderita
kanker payudara. Hitunglah estimasi interval perbedaan proporsi kejadian kanker
payudara diantara kedua daerah tersebut pada interval kepercayaan 95%?
Jawaban
• pk=50/500=0.1, pd=25/500=0.05
• p=(50+25)/(500+500)=75/1000=0.075
• SE
(pk-pd)=
[(0.075)(1-0.075)][(1/500+1/500)]=0.0167
• 95% CI pk-pd = (0.1-0.05) ± (1.96)(0.0167)= 0.05 ± 0.033
•
[0.017 s/d 0.083]
Perbedaan proprosi kejadian kanker payudara wanita 50-54 antara wanita yag tinggal di
perkotaan dan wanita yang tinggal di pedesaan adalah 5% dengan interval kepercayaan 95%
perbedaan tersebut berkisar antara 1.7 % sampai dengan 8.3%
Hal-27
Faktor yang Berpengaruh
Terhadap Lebar Interval

Variasi data



Ukuran sampel


Diukur dengan
X 
Interval konfidensi
X - Z
x
to X + Z 
x

n
Tingkat kepercayaan

100 1    %
© 1984-1994 T/Maker Co.
Hal-28
ESTIMASI (Pendugaan)

Ciri-ciri Estimator yang Baik



Tidak Bias: hasil estimasinya mengandung nilai
parameter yang diestimasi
Efisien: dalam rentang (interval) yang kecil atau
sempit saja sudah mengandung nilai parameter
yang diestimasi
Konsisten: berapapun besarnya sampel pada
rentangnya (interval) mengandung nilai
parameter yang diestimasi
Hal-29