160

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
-1-
Satuan Pendidikan : SMA Bhaktiyasa Singaraja
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas / Program
: XI / IPA
Alokasi Waktu
: 2 x 40 Menit
Standar Kompetensi
: Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan
sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar
: Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi
dalam pemecahan masalah
Indikator
: 1. Menyebutkan pengertian kaedah pencacahan
2. Menentukan banyaknya cara dari suatu peristiwa dengan
menggunakan aturan perkalian.
3. Menyebutkan defInisi notasi faktorial.
4. Menentukan nilai bentuk faktorial.
5. Menyelesaikan persamaan bentuk faktorial.
I. TUJUAN PEMBELAJARAN
A. Ranah Kognitif
Melalui pelaksanaan bimbingan individu, diharapkan siswa dapat:
1. Menyebutkan pengertian kaedah pencacahan
2. Menentukan banyaknya cara dari suatu peristiwa dengan menggunakan
aturan perkalian.
3. Menyebutkan defenisi notasi faktorial.
4. Menentukan nilai bentuk faktorial.
5. Menyelesaikan persamaan bentuk faktorial.
B. Ranah afektif/karakter yang dikembangkan:
Terlibat dalam proses pembelajaran yang berpusat pada siswa, dan
siswa diberi kesempatan melakukan penilaian diri terhadap kesadaran dalam
menunjukkan karakter:
1. Dalam proses pembelajaran, siswa dapat dilatihkan karakter disiplin.
Diantaranya siswa jujur, mampu mengikuti komitmen, mencoba
melakukan tugas yang diberikan, menjadi teman yang baik dan
membantu orang lain.
2. Dalam proses pembelajaran, siswa dapat dilatih karakter kerja keras.
Diantaranya, siswa mampu mengerjakan soal/tugas yang diberikan oleh
guru dan mengajukan ide dan pendapat dalam setiap diskusi.
3. Dalam proses pembelajaran, siswa dapat dilatihkan karakter pantang
menyerah.
Diantaranya,
siswa
mampu
melakukan
kegiatan
eksperimen/mengerjakan soal-soal untuk menjawab hipotesis yang
diajukan dalam menjawab permasalahan yang dihadapi.
4. Dalam proses pembelajaran, siswa dapat dilatihkan karakter teliti.
Diantaranya, siswa mampu mengerjakan soal/tugas yang diberikan oleh
guru dengan cermat dan penuh ketelitian.
5. Dalam proses pembelajaran, siswa dapat dilatihkan karakter kreatif.
Diantaranya, siswa mampu mengerjakan soal/tugas yang diberikan oleh
guru atau melakukan eksperimen dengan melakukan inovasi baru yang
kreatif dan inovatif.
II.
MATERI AJAR
A. Kaidah pencacahan
Kaidah pencacahan adalah pelajaran yang berkenaan dengan menentukan banyaknya
cara yang terjadi dari suatu peristiwa dapat ditentukan dengan menghitung susunan
yang mungkin terjadi dengan cara diagram pohon, diagram tabel, dan himpunan
pasangan pasangan berurutan.
Contoh 1:
1. Dina memiliki 3 kemeja masing-masing berwarna putih, hijau dan coklat serta 2
rok, yaitu berwarna abu-abu dan hitam. Berapa pasang warna kemeja dan rok
yang dapat disusun Dina?
a. Diagram pohon
Warna rok
Warna kemeja
Pasangan warna
Putih (p)
(a,p)
Hijau (h)
(a,h)
Coklat (c)
(a,c)
Putih (p)
(h,p)
Abu-abu (a)
Hitam (h)
Hijau (h)
(h,h)
Coklat (c)
(h,c)
Didapatkan 6 pasang warna.
b. Diagram tabel
kemeja
Putih
Biru (b)
Kuning (k)
(
Rok
p
)
Abu-abu (a)
(a,p)
(a,b)
(a,k)
Hitam (h)
(h,p)
(h,b)
(h,k)
Didapat 6 pasang warna.
c. Himpunan Pasangan berurutan
Misal : himpunan warna rok dinyatakan dengan P : { a, h }
himpunan warna kemeja dinyatakan dengan Q : { p, b, k }
Jadi, himpunan pasangan berurutan dari himpunan P dan himpunan Q
ditulis sebagai berikut: {(a, p), (a, b), (a, k), (h, p), (h, b), (h, k)}, maka
terdapat 6 macam pasang warna.
Di samping itu, kita dapat menggunakan aturan yang lebih praktis, yaitu
Aturan Perkalian atau Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia (Filling Slots)
Jika terdapat k buah tempat yang tersedia dengan:
n1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama
n 2 = banyaknya cara untuk mengisi tempat kedua, setelah tempat pertama terisi
n3 = banyaknya cara untuk mengisi tempat ketiga, setelah tempat pertama dan kedua
terisi
n k = banyaknya cara untuk mengisi tempat ke-k, setelah tempat-tempat sebelumnya
terisi.
Maka
banyaknya
cara
untuk
mengisi
k
tempat
yang
tersedia
adalah
n1  n2  n3    nk . Aturan inilah yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat
yang tersedia atau aturan perkalian.
Contoh 2:
Lia mempunyai 5 buah baju, 2 buah rok, dan 4 buah sepatu. Ada berapa
carakah Lia dapat memadupadankan dengan penampilan yang berbeda?
Penyelesaian:
Baju yang dapat dipilih Lia ada 5 cara, rok 2 cara, dan sepatu 4 cara. Jadi, ada
5  2  4  40 cara Lia dapat berpenampilan lengkap.
Contoh 3:
Tersedia angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5. Berapakah banyaknya bilangan
yang terdiri dari empat angka yang dapat dibuat dari angka-angka tersebut
dengan syarat:
a. tidak boleh ada angka yang berulang
b. boleh ada angka yang berulang
Penyelesaian:
a. tidak boleh ada angka yang berulang
Bilangan 4 angka, buatlah kotak sebanyak 4
6
-
5
4
3
Kotak pertama diisi banyak kemungkinan angka yang bisa
digunakan, yakni 6
-
Karena angka yang sama tidak boleh berulang, maka untuk
kotak selanjutnya berkurang 1 dari kotak sebelumnya.
- Dengan demikian, menggunakan aturan perkalian:
6 × 5 × 4 × 3 = 360
b. boleh ada angka yang berulang
Bilangan 4 angka, buatlah kotak sebanyak 4
6
6
6
6
Karena boleh berulang, maka untuk mengisi keempat kotak tersebut
adalah banyaknya kemungkinan angka yang bisa digunakan. Jika
angka pertamanya adalah 2, maka angka kedua, ketiga, dan keempat
juga kemungkinan muncul angka yang sama, yakni 2. Jadi, untuk
setiap kotak, banyaknya angka yang muncul adalah 6. Dengan
menggunakan aturan perkalian, maka 6 × 6 × 6 × 6 = 1296
B. NOTASI FAKTORIAL
a. Definisi faktorial
Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan
n.
Definisi:
a. n! = n × (n – 1) × (n – 2) ... × 3 × 2 × 1, dengan n bilangan asli,
untuk n ≥ 2.
b.1! = 1 dan
c. 0! = 1
b. Menentukan Nilai Bentuk Faktorial
Nilai bentuk faktorial ditentukan berdasarkan definisi faktorial.
Contoh :
a. 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 5040
b.
7!
3!
=
7×6×5×4×3×2×1
3×2×1
= 7 × 6 × 5 × 4
= 840
7!
c. 7 × 6 × 5 = 3!
d. 2! + 3! = 2! + 3 × 2! = (1 + 3) × 2! = 4 × 2 = 8
e. 2! × 3! = 2 × 6 = 12
f. c! = c × (c – 1) × (c – 2) ... × 3 × 2 × 1, dengan c bilangan Asli
g. (y – 1) = (y – 1) × (y – 2) × (y – 3) ... × 3 × 2 × 1
h.
𝑛!
(𝑛−2)!
=
𝑛 × (𝑛 – 1) × (𝑛 – 2) ...× 3 × 2 × 1
(𝑛 – 2) × (𝑛 – 3) × ...× 3 × 2 × 1
= 𝑛 × (𝑛 – 1)
c. Menyelesaikan Persamaan Bentuk Faktorial
Menyelesaikan persamaan bentuk faktorial ditentukan berdasarkan
definisi faktorial dan operasi aljabar.
Contoh :
Tentukan nilai n dari (n + 3)! = 10(n + 2)!
Jawab.
(n + 3)! = 10(n + 2)!
(n +3)(n + 2)! = 10(n + 2)!
n+3
n
III.
= 10
=7
METODE PEMBELAJARAN
Diskusi dalam kerja kooperatif, tanya jawab dan pemberian tugas
IV.
LANGKAH PEMBELAJARAN
TAHAPAN
KEGIATAN GURU
- Menghaturkan
KEGIATAN AWAL
- Panganjali umat
KEGIATAN SISWA
- Bersama siswa
menghaturkan
memberi salam
Tuhan yang
Maha Esa
- Menyampaikan
pada hari tersebut
- Motivasi
- Santun,
kehadiran kelas
kehadiran siswa
- Memotivasi siswa
terkait kegunaan
materi dalam
- Sujud bhakti
terhadap
memberi salam
- Mengabsen siswa
KARAKTER
panganjali umat dan
panganjali umat dan
- Mengecek
PENDIDIKAN
- Memperhatikan
guru
peduli, empati
WAKTU
5 menit
kehidupan sehari-hari
dan melakukan
pendekatan
- Menyampaikan tujuan
pembelajaran
- Apersepsi
- Mengingatkan
- Fokus dan bersiap-
kembali materi
siap untuk
pengenalan awal
mengikuti pelajaran
peluang di tingkat
- Santun,
5 menit
peduli, empati
- Kreatif,
percaya diri
SMP
KEGIATAN INTI
- Mengarahkan siswa
membentuk kelompok
- Membagikan LKS
- Memposisikan diri
- Disiplin,
dalam masing-
tanggung
masing kelompok
jawab,
kepada masing-masing
5 menit
perhatian
kelompok
Eksplorasi
- Mengarahkan setiap
- Mengerjakan LKS
- Kerja sama,
kelompok untuk
dengan disiplin dan
tanggung
mengerjakan LKS,
bertanya kepada
jawab
berdiskusi dalam
guru jika ada
kelompoknya untuk
masalah
menemukan konsep
35 menit
- percaya diri,
pantang
menyerah
dan rumus
- Memantau aktifitas
siswa dalam masingmasing kelompok
Elaborasi
- Meminta salah satu
- mempresentasikan
- Percaya diri,
15 menit
anggota kelompok
hasil diskusi
tanggung
untuk
kelompoknya ke
jawab
mempresentasikan
depan kelas
hasil diskusinya
- Memberikan
kesempatan pada
- Kelompok lain
menanggapi hasil
- Rasa ingin
tahu, disiplin,
mandiri
presentasi
kelompok lain untuk
menanggapi
Konfirmasi
- Memberikan
- Memperhatikan
- Perhatian,
penegasan pada
penjelasan guru
disiplin,
kelompok yang
untuk selanjutnya
menghargai
mempresentasikan
diterapkan
hasil diskusinya
10 menit
- Kreatif,
tanggung
- Membimbing siswa
jawab,
yang mengalami
kemandirian
kesulitan
- Membantu
merumuskan konsep
dan jawaban yang
benar
PENUTUP
- Mengarahkan siswa
untuk mampu
- Menyimpulkan
materi pembelajaran
- Perhatian,
jujur,
menyimpulkan materi
- Mengerjakan kuis
tanggung
yang telah dibahas
- Mencatat pekerjaan
jawab
- Bersama siswa
membuat kesimpulan
- Memberi penilaian
berupa kuis
rumah
5 menit
- Memberikan pekerjaan
rumah
Total
80 menit
V. ALAT DAN SUMBER BELAJAR
a. Alat/Bahan Belajar
- Papan Tulis
- Penghapus
- Spidol
- Kapur
b. Sumber Belajar
-
Wardono, Agus. 2009. LKS Kreatif untuk Kelas XI IA. Jawa Tengah: Viva
Pakarindo
VI.
LKS Terstruktur Kelas XI
PENILAIAN
A. Penilaian Proses
Afektif:
1. Dengan pengamatan langsung di kelas, guru mengamati aktivitas dan
keaktifan siswa dalam Tanya jawab.
2. Dengan menilai keaktifan siswa dalam menjawab pertanyaan yang
diajukan, serta keaktifan pada saat mengerjakan soal-soal latihan yang
diberikan guru.
Format Penilaian Sikap (pengamatan)
No.
Nama Siswa
Aspek yang Dinilai
A
1
2
…
Dst.
B
C
D
Skor
Nilai
Keterangan:
Rentang Skor 1- 4 dengan kriteria:
A : Kehadiran di sekolah
Tidak pernah
=1
B : Keaktifan tanya jawab
Kadang – kadang
=2
C : Ketertiban di kelas
Sering
=3
D : Keantusiasan
Selalu
=4
Kognitif
Dengan menilai kemampuan siswa dalam menyampaikan idenya dalam pembelajaran
B. Penilaian Produk
Kuis (terlampir)
Tugas rumah (PR)
Guru Pamong
Singaraja, Oktober 2013
Mahasiswa PPL
I Made Parma, S.Pd
NIP 19641231 198411 1 078
I Putu Ade Andre Payadnya
NIM 1013011065
Dosen Pembimbing
Dra. Ni Nyoman Parwati, M.Pd.
NIP 19651229 199003 2 002
LEMBAR KERJA SISWA
Waktu: 35 Menit
Petunjuk:
a. Cermati dan kerjakan apa yang diperintahkan oleh setiap soal secara
berpasangan
b. Buatlah kesimpulan dari hasil diskusi kelompok tersebut
c. Waktu pengerjaan LKS selama 35 menit
Identitas:
a. Aturan Pengisian Tempat (Aturan Perkalian)
I.
PENGGALIAN
Cermatilah hal-hal berikut:
2. Dino memiliki empat buah baju kaos dan dua
1. Ina hendak bepergian dari kota A ke
buah celana. Ia senantiasa menggunakannya
kota C dan harus melalui kota B. Dari
secara bergantan. Banyaknya alternatif yang
kota A ke kota B terdapat dua alternatif
bisa dipilih Dino dalam menggunakan baju
jalan yang bisa dilalui, sedangkan dari
kaos dan celana tersebut dapat ditentukan
kota B ke kota C terdapat 3 alternatif
dengan cara berikut:
jalan yang bisa dilalui. Banyaknya
alternatif jalan yang bisa dilalui Ina
dapat ditentukan dengan cara berikut
A
B
C
Baju
Baju 1
Baju 2
Baju 3
Baju 4
Celana 1
....
....
....
....
Celana 2
....
....
....
....
Celana
Ada berapa alternatif jalan yang bisa
dilalui Ina dari kota A ke kota C
melalui kota B?
Cobalah nyatakan sebagai berikut:
2
3
Jadi, ada sebanyak ….. alternatif jalan
yang bisa dilalui Ina.
Coba nyatakan sebagai berikut:
….
….
Jadi, ada sebanyak …. alternatif yang bisa dipilih
Dino dalam menggunakan pakaian tersebut.
II.
PENYIMPULAN
Berdasarkan hasil eksplorasi tersebut dapat disimpulkan bahwa:
a. Jika suatu peristiwa terdiri dari 2 tahap kejadian yang berurutan dimana tahap
pertama dapat terjadi dengan a cara berbeda dan tahap kedua dapat terjadi dengan
b cara yang berbeda, maka banyaknya cara peristiwa tersebut dapat terjadi
   cara.
b. Jika suatu peristiwa terdiri dari 3 tahap kejadian yang berurutan dimana tahap
pertama dapat terjadi dengan a cara berbeda, tahap kedua dapat terjadi dengan b
cara berbeda, dan tahap ketiga dapat terjadi dengan c cara berbeda, maka
banyaknya cara peristiwa tersebut dapat terjadi adalah      cara.
c. Jika suatu peristiwa terdiri dari n tahap kejadian yang berurutan dimana tahap
pertama dapat terjadi dengan a1 yang berbeda dan tahap kedua terjadi dengan a 2
cara yang berbeda, demikian seterusnya sampai a n cara yang berbeda, maka
banyaknya cara peristiwa tersebut dapat terjadi adalah … . .× … . .× … … … … × …
cara.
b. Penerapan
A. Pecahkanlah permasalahan-permasalahan berikut!
1. Dari kota A ke kota B terdapat 3 alternatif jalan, dari kota B ke kota C
terdapat 5 alternatif jalan, dari kota C ke kota D terdapat 4 alternatif jalan.
Ada berapa alternatif jalan yang bisa dilalui dari kota A ke kota D melalui
kota B dan kota C?
1. ……………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………..…
…………………………………………………………………………..
2. Nomor telepon di suatu daerah terdiri dari 5 angka tanpa diawali dengan
angka nol. Ada berapa kemungkinan nomor telepon yang dapat beredar di
daerah tersebut?
Penyelesaian
2. ……………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………..…
…………………………………………………………………………..
c. Notasi Faktorial
I. PENGGALIAN
II. PENYIMPULAN
Definisi faktorial
Berdasarkan definisi notasi faktorial,
Faktorial adalah hasil kali bilangan asli
apakah hal-hal berikut bernilai benar
berurutan dari 1 sampai dengan n.
atau salah?
Definisi:
a. n! = n × (n – 1) × (n – 2) ... × 3 × 2
1)
6!  6 
  !
3!  3 
× 1, dengan n bilangan asli, untuk n 2) 3! 4! 3.4!
≥ 2.
b. 1! = 1 dan
c. 0! = 1
Contoh:
3! 3.2.1  6
Lengkapilah titik-titik berikut!
3)
4) 5.6.7.8.9 
5)
1) 6! 6.5............
2)
5!.8!
 5!.2!
4!
9!
4!
n  2!  n  2
(n  3)!
6! .............................

3! ..............................
3) 3! 4! ..........................
4)
n!
 ........................
(n  3)!
A. Tuliskan dengan notasi faktorial
a) 6.5.4.3 = ……….
b) 9.8 = ……………
B. Sederhanakanlah!
a)
n!
 .....
n!
b)
n  2!  .....
n  4!
RANGKUMAN
Buatlah rangkuman tentang konsep, prinsip dan prosedur mengenai kaidah
pencacahan dan notasi faktorial!
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
KUIS
No
No
Soal
Penyelesaian
Skor
Indikator
1.
3.2
Disediakan angka-angka 0, 1, 2, …, 9 . Akan disusun bilangan yang
Tentukan banyak hasil yang mungkin jika terdiri dari 3 angka, maka:
dari angka-angka tersebut disusun sebuah
9
bilangan yang terdiri dari 3 angka yang
10
4n = 3
1
0
berbeda (0 tidak boleh sebagai angka yang
pertama)
dengan ketentuan bilangan 
tersebut merupakan bilangan genap dan
n1  angka pertama dapat
dipilih
angka boleh berulang.
9
cara
( n1  9),
angka 1 sampai 9

n3  angka
ketiga
dapat
dipilih 4 cara ( n3  4 ),
angka 2, 4, 6, 8

n2  angka
kedua
dapat
dipilih 10 cara ( n2  10 ),
angka 0 sampai 9 dengan
menggunakan
aturan
perkalian, maka:
9 10  4  360
2
3.4
Nyatakan dengan notasi faktorial
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
3𝑥2𝑥1
3
3.4
Hitunglah nilai n dari persamaan berikut
(𝑛 + 2)!
=5
(𝑛 + 1)!
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
𝑛!
=
(𝑛 − 3)! 3!
3𝑥2𝑥1
10
(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)!
=5
(𝑛 + 1)!
10
𝑛+2=5
𝑛=3
Skor Maksimal
30