MODEL VERHULST PADA PERTUMBUHAN POPULASI IKAN LELE

MODEL VERHULST PADA PERTUMBUHAN POPULASI
IKAN LELE TERNAK
(Skripsi)
Oleh:
Sanfernando Napitu
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2017
ABSTRAK
MODEL VERHULST PADA PERTUMBUHAN POPULASI
IKAN LELE TERNAK
Oleh
SANFERNANDO NAPITU
Mengetahui populasi jumlah panen ikan lele ternak menjadi penting karena
dengan diketahuinya hal tersebut dapat membantu peternak ikan dalam hal
memperkirakan hasil panen. Pada penelitian ini membahas jumlah populasi ikan
lele ternak dengan menggunakan model Verhulst. Perhitungan dilakukan dengan
melakukan variasi interval pengambilan data dengan tujuan mencari aproksimasi
yang terbaik yakni dilihat dari galat yang dihasilkan. Galat tersebut diperoleh
menggunakan perhitungan Mean Absolute Percentage Error (MAPE). Interval
yang memiliki galat terkecil dapat digunakan untuk melakukan perhitungan
populasi ikan lele ternak.
Kata Kunci: Model Verhulst, dinamika populasi, ikan lele ternak, Mean
Absolute Percentage Error (MAPE).
ABSTRACT
VERHULST MODEL ON GROWTH POPULATION OF
CATTLE CATFISH
By
SANFERNANDO NAPITU
To know the number of population of cattle catfish is important because this
matter assists the breeder to predict the result of the fish. In this research focuses
on calculating the population of the cattle catfish by using Verhulst model. The
calculation is done by creating variety of data to know the best approximation by
seeing the error value. The error value is produced by calculating Mean Absolute
Percentage Error (MAPE). The interval which has the smallest error value is used
to calculate the population of cattle catfish.
Keywords: Verhulst model, dynamic population, cattle catfish, Mean Absolute
Percentage Error (MAPE).
MODEL VERHULST PADA PERTUMBUHAN POPULASI
IKAN LELE TERNAK
Oleh
Sanfernando Napitu
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2017
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Sanfernando Napitu, anak pertama dari tiga bersaudara
yang dilahirkan di Sidamanaik pada tanggal 01 Desember 1995 oleh pasangan
Bapak Pordinan Napitu, S.H. dan Ibu Santun Siahaan.
Penulis menempuh pendidikan di Taman Kanak-Kanak (TK) Tunas Mekar
Sidamanik pada tahun 2000 – 2001, Sekolah Dasar Negeri (SDN) 5
Sarimatondang pada tahun 2001 – 2007, Sekolah Menengah Pertama Negeri
(SMPN) 1 Sidamanik pada tahun 2007 – 2010, dan Sekolah Menengah Atas
(SMA) Budi Mulia Pematang Siantar pada tahun 2010 – 2013.
Pada tahun 2013 penulis terdaftar sebagai mahasiswa S1 Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur
Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN).
Pengalaman organisasi penulis yaitu pada tahun 2014 - 2015 penulis menjadi
anggota bidang keilmuan dan pada tahun 2015-2016 penulis menjadi anggota
bidang eksternal Himpunan Mahasiswa Matematika Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Lampung.
Pada tahun 2016 penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa
Tempuran, Kecamatan Trimurjo, Kabupaten Lampung tengah, Provinsi Lampung
serta Kerja Praktik (KP) di CV. Zona Multimedia Bandar Lampung.
PERSEMBAHAN
Dalam perlindungan Tuhan Yang Maha Esa
kupersembahkan karya kecil dan sederhana untuk :
Bapak dan Mamak yang membesarkan, memberi semangat,
mendoakan, serta memotivasi
Adek Josua dan Bryan serta semua keluarga besar yang
mendukung dan memotivasi penulis dalam suka dan duka
Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa dan
selalu memotivasi penulis
Para dosen dan staff Jurusan Matematika FMIPA Unila
memberikan ilmu bermanfaat kepada penulis
Yang terkasih Dea Elizabet Sirait yang selalu memotivasi,
mendukung dan memberi semangat kepada penulis.
Para sahabat yang terkasih, terima kasih atas kebersamaan,
suka duka serta doa dan semangat yang diberikan
Para rekan kerja Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA
Universitas Lampung
Almamater Universitas Lampung
KATA INSPIRASI
“Dia memberi kekuatan kepada yang lelah dan menambah semangat kepada yang tiada berdaya.”
(Yesaya 40:29)
“Ada tiga cara untuk mendapatkan kebijaksanaan. Pertama adalah refleksi, yang
merupakan cara tertinggi. Kedua adalah pembatasan, yang merupakan cara termudah.
Ketiga adalah pengalaman, yang merupakan cara terpahit”
Confucius (Kong Hu Chu)
“Bila seorang anak menggendong ayahnya di pundak kiri dan
ibunya di pundak kanan selama seratus tahun, maka anak
tersebut belum cukup membahas jasa kebaikan yang mendalam
dari orang tuanya.”
(Anguttara Nikaya Bab IV ayat 2)
“Melalui pengabdian kita memperoleh kesucian; dengan kesucian kita
memperoleh kemuliaan. Dengan kemuliaan kita mendapat kehormatan dan
dengan kehormatan kira peroleh kebenaran.”
(Yayurveda XIX. 30)
“Apa saja di antara rahmat Allah yang dianugerahkan kepada manusia,
maka tidak ada yang dapat menahannya; dan apa saja yang ditahan-Nya
maka tidak ada yang sanggup untuk melepaskannya setelah itu. Dan
Dialah Yang Mahaperkasa, Mahabijaksana.”
(QS. Fatir : 2)
“Sayangilah setiap cobaan yang dapat membuat Anda berhasil. Hargailah
setiap pandangan dan kritikan dari setiap orang dan juga belajarlah untuk
menerima nasehat dari orang lain dengan hati yang gembira.”
(Wejangan Para Suci 4 : 206)
SANWACANA
Penulis memanjatkan puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia
serta rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
“Model Verhulst Pada Pertumbuhan Populasi Ikan Lele Ternak”. Skripsi ini
disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) di
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung.
Selesainya penulisan skripsi ini adalah berkat motivasi, pengarahan serta
bimbingan dari berbagai pihak. Dengan segala kerendahan dan ketulusan hati
penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada :
1. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing I, terima kasih
untuk bimbingan, arahan, nasehat, motivasi dan kesediaan waktu selama
penyusunan skripsi ini.
2. Bapak Amanto, S.Si., M.Si. selaku dosen Pembimbing II, terima kasih atas
bantuan, kritik dan saran selama penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku Penguji Utama, terima kasih
atas kesediaan untuk menguji, saran dan kritik yang membangun dalam
penyelesaian skripsi ini.
4. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku Pembimbing Akademik, terima
kasih atas bimbingan dan pembelajaran dalam proses perkuliahan.
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas
Lampung.
7. Seluruh Dosen dan Staff Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
8. Bapak, Mamak, adek Josua dan Bryan tercinta yang tak pernah berhenti
memberi semangat, doa, dorongan, nasehat, kasih sayang serta pengorbanan
tak terhingga kepada penulis untuk melalui segala ujian yang dijalani.
9. Kekasih tercinta Dea Elizabet Sirait, terimakasih untuk semua kasih sayang
dan kesetiaan dalam menemani penulis baik dalam suka maupun duka.
10. Sahabat-sahabat Matematika 2013 di antaranya Jefery Handoko, Karina S.D.,
M. Irfan K., Siti N.A., Artha Kurnia Alam, Abdul Haris Siregar serta rekanrekan seperjuangan, terima kasih atas dukungan, dan kebersamaan selama ini.
11. Teman seperjuaangan “SAMPAH KONTRAKAN” diantaranya Young,
Wahid, Naufal, Rio, Fajar, Musa, Afredi, Ayub, Julian, Artha, dan Alfan.
12. Almamater tercinta Universitas Lampung.
13. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan semuanya.
Bandar Lampung, Januari 2017
Penulis
Sanfernando Napitu
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL .......................................................................................... i
DAFTAR GAMBAR...................................................................................... ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang dan Masalah ........................................................ 1
1.2
Batasan masalah............................................................................ 4
1.3
Tujuan Penelitian .......................................................................... 5
1.4
Manfaat Penelitian ........................................................................ 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Ikan Lele Dumbo (Clarias gariepinus) ........................................ 6
2.2
Pemodelan Matematika ................................................................ 8
2.3
Persamaan Diferensial .................................................................. 11
2.4
2.5
2.3.1
Persamaan Diferensial Biasa ........................................... 14
2.3.2
Persamaan Diferensial Parsial ......................................... 15
Model Pertumbuhan Populasi....................................................... 16
2.4.1
Model Eksponensial ........................................................ 16
2.4.2
Model Logistik ................................................................ 20
Solusi Eksplisit Model Verhulst ................................................... 22
2.6
Laju Pertumbuhan dan Carrying Capacity................................... 25
2.7
Mean Absolute Percentage Error (MAPE)................................... 28
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1
Tempat dan Waktu Penelitian....................................................... 29
3.2
Data Penelitian.............................................................................. 29
3.3
Metode Penelitian ......................................................................... 31
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Penurunan Rumus Jumlah Populasi (N), Laju Pertumbuhan (a),
dan Daya Tampung Populasi atau Carrying Capacity
.......... 33
4.2 Pengaproksimasian Sampel Data dengan Interval Panen
yang Berbeda ................................................................................ 38
4.2.1
Aproksimasi Interval Sampel Data 1 Kali Panen ............ 42
4.2.2
Aproksimasi Interval Sampel Data 2 Kali Panen ............ 43
4.2.3
Aproksimasi Interval Sampel Data 3 Kali Panen ............ 44
4.2.4
Aproksimasi Interval Sampel Data 4 Kali Panen ............ 45
4.2.5
Aproksimasi Interval Sampel Data 5 Kali Panen ............ 46
4.2.6
Aproksimasi Interval Sampel Data 6 Kali Panen ............ 47
4.2.7
Aproksimasi Interval Sampel Data 7 Kali Panen ............ 48
4.2.8
Aproksimasi Interval Sampel Data 8 Kali Panen ............ 49
4.2.9
Aproksimasi Interval Sampel Data 9 Kali Panen ............ 50
4.2.10 Aproksimasi Interval Sampel Data 10 Kali Panen .......... 51
4.2.11 Aproksimasi Interval Sampel Data 11 Kali Panen .......... 52
4.3
Penghitungan Prediksi Jumlah Populasi (N), Laju Pertumbuhan (a),
dan Daya Tampung Populasi atau Carrying Capacity
dengan
Menggunakan Model Verhulst .................................................... 53
BAB V KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
1. Data Hasil Panen Lele Ternak .................................................................. 29
2. Data Hasil Panen Lele Ternak .................................................................. 39
3. Hasil Panen Sebenarnya dan Prediksi Hasil Panen Menggunakan
Model Verhulst ......................................................................................... 55
4. Hasil Panen Sebenarnya dan Prediksi Hasil Panen Menggunakan
Model Verhulst ......................................................................................... 59
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1 Grafik Pertumbuhan Eksponensial grafik untuk a>0 ................................ 18
2.2 Grafik Pertumbuhan Eksponensial grafik untuk a<0 ................................ 19
2.3 Grafik Pertumbuhan Logistik Berdasarkan Solusi Model Verhulst ......... 23
2.4 Grafik Pertumbuhan Logistik dengan Nilai Awal diatas
Carrying Capacity..................................................................................... 24
2.5 Grafik Pertumbuhan Logistik dimana a<0................................................ 24
4.1 Grafik Hasil Panen Lele Ternak Pada Panen Pertama Sampai
Panen Ke-24 .............................................................................................. 40
4.2 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst
Untuk Interval Pengambilan Sampel 1 kali Panen.................................... 42
4.3 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst
Untuk Interval Pengambilan Sampel 2 kali Panen.................................... 43
4.4 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst
Untuk Interval Pengambilan Sampel 3 kali Panen.................................... 44
4.5 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst
Untuk Interval Pengambilan Sampel 4 kali Panen.................................... 45
4.6 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst
Untuk Interval Pengambilan Sampel 5 kali Panen.................................... 46
4.7 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst
Untuk Interval Pengambilan Sampel 6 kali Panen.................................. 47
4.8 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst
Untuk Interval Pengambilan Sampel 7 kali Panen.................................. 48
4.9
Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst
Untuk Interval Pengambilan Sampel 8 kali Panen.................................. 49
4.10 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst
Untuk Interval Pengambilan Sampel 9 kali Panen.................................. 50
4.11 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst
Untuk Interval Pengambilan Sampel 10 kali Panen................................ 51
4.12 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst
Untuk Interval Pengambilan Sampel 11 kali Panen................................ 52
4.13 Prediksi Hasil Panen Dengan Menggunakan Model Verhulst ................ 57
I. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang dan Masalah
Ilmu matematika merupakan salah satu ilmu yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan atau persoalan matematika. Berbagai pola ilmu
matematika mempelajari dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang
kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian. Manusia tidak
lepas dari berbagai macam permasalahan dalam kehidupan di dunia. Permasalahan –
permasalahan tersebut menyangkut berbagai aspek, dimana dalam penyelesaiannya
diperlukan sebuah pemahaman melalui suatu metode dan ilmu bantu tertentu.
Matematika terapan merupakan cabang ilmu matematika yang melingkupi penerapan
pengetahuan ke bidang-bidang lain. Matematika terapan mengilhami dan membuat
penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan terkadang pada perkembangannya
dapat mengarah pada pengembangan disiplin ilmu lainnya.
Salah satu contohnya adalah persamaan differensial baik biasa maupun parsial.
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memiliki variable terikat dan
variable bebas beserta turunannya.
2
Berikut contoh persamaan differensial :
1.
=
+ sin( )
2. 3
dx + 2ydy = 0
3.
+5 =6
Persamaan diatas merupakan persamaan diferensial biasa orde 1 berderajat 1.
Tingkat persamaan diferensial dapat di lihat dari turunan tertinggi dari persamaan
tersebut.
Misalkan y = A sin x +B cos x, dengan A dan B konstanta sebarang.
Jika diferensialkan kita peroleh :
=
−
,
= −
−
Yang tepat sama dengan semula kecuali tandanya berlawanan yaitu :
=−
Jadi :
Ini adalah persamaan orde dua.
+
=0
Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan dengan n variabel. Dengan
demikian perbedaan persamaan diferensial biasa dengan persamaan diferensial parsial
terletak pada peubah bebasnya contoh :
1)
+
= x2 + y
3
( z peubah tak bebas, x dan y peubah bebas dan persamaan diferensial parsial.)
2)
+
= 0
( u peubah tak bebas, s dan t peubah bebas dan persamaan diferensial parsial.)
Jika terdapat peubah bebas yang tunggal (single independent variable),
persamaannya di sebut persamaan differensial biasa (ordinay differential equation).
Apabila terdapat dua atau lebih peubah bebas, persamaannya di sebut persamaan
diferensial parsial (partial differential equation).
Salah satu model matematika untuk pertumbuhan populasi adalah model logistik
pertumbuhan populasi (model Verhults). Model ini memasukkan batas untuk
populasinya sehingga jumlah populasi dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak
terhingga. Laju pertumbuhan populasi akan terbatas akan ketersediaan makanan,
Kondisi tempat peternakan, dan sumber hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut,
jumlah populasi dengan model ini akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu.
Pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan
(equilibrium). Pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama. Laju
pertumbuhan, yaitu nilai yang menggambarkan daya tumbuh suatu populasi
diasumsikan positif, karena mengingat setiap populasi memiliki potensi untuk
berkembang biak.
4
Pada skripsi ini penulis akan membahas laju pertumbuhan populasi ikan lele ternak
menggunakan model Verhulst. Ikan lele merupakan salah satu jenis ikan air tawar
yang sudah dibudidayakan secara menyeluruh dan komersial oleh masyarakat
Indonesia. Ikan lele dapat hidup dalam kepadatan tebar tinggi dan rasio terhadap
pertumbuhan yang baik. Budidaya ikan lele memang sangat unik dan banyak orang
yang tertarik mencobanya. Salah satu persoalan paling penting dalam budidaya ikan
lele adalah proyeksi populasi ikan tersebut. Ukuran dan pertumbuhan populasi ikan
secara langsung mempengaruhi keuntungan yang akan diperoleh nantinya. Dengan
dibentuknya sebuah model matematika, proyeksi populasi tiap panen ikan dapat
dilakukan berdasar data panen ikan yang sudah ada.
Berdasarkan dari latar belakang masalah yang telah diuaraikan tersebut, penulis
tertarik untuk melakukan penelitian tentang ”Model Verhulst Pada Pertumbuhan
Populasi Ikan Lele Ternak.”
1.2
Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah lebih ditekankan pada menghitung laju
pertumbuhan populasi ikan lele ternak dengan menggunakan fungsi logistik atau
model Verhulst dengan memanfaatkan data panen ikan yang sudah ada sebelumnya.
5
1.3
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian tugas akhir ini adalah
1. Menghitung laju pertumbuhan dari suatu populasi ikan lele ternak menggunakan
model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults).
2. Memprediksi jumlah populasi ikan lele ternak untuk panen berikutnya.
3. Membandingkan hasil panen yang sebenarnya dengan hasil prediksi populasi ikan
lele ternak yang diperoleh dengan menggunakan model logistik pertumbuhan
populasi (model Verhults).
1.4
Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah
1. Menambah pengetahuan dan pengalaman penulis agar dapat mengembangkan ilmu
yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan di Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
2. Upaya untuk mempelajari lebih dalam lagi tentang penerapan model verhulst pada
pertumbuhan populasi ikan lele ternak.
3. Menambah wawasan tentang model logistik pertumbuhan populasi (model
Verhults).
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Ikan Lele Dumbo (Clarias gariepinus)
Ikan Lele memiliki kandungan gizi yang penting bagi tubuh kita, sehingga
dapat dijadikan sebagai sumber pangan dan sebagai komoditi rumah tangga
dalam meningkatkan perekonomian keluarga. Ikan lele kemudian
dibudidayakan oleh manusia. Melihat kandungan gizi yang terdapat didalam
ikan lele, maka peminat ikan lele pun sangat banyak. Hampir semua lapisan
masyarakat dapat merasakan nikmatnya ikan lele sebagai pelengkap hidangan
(Saparinto, 2013).
Ikan lele terdapat di perairan umum, seperti sungai, rawa, waduk, dan
genangan air lainnya. Tubuh lele berbentuk gilig memanjang, kepala gepeng,
dan meruncing. Di dekat mulutnya ditumbuhi empat pasang kumis yang kaku
memanjang. Kulit tubuh lele licin tidak bersisik dan berwarna kehitaman. Lele
dapat hidup di daerah hingga ketinggian >1.000 m dpl egn –uu2 ,0–8, H dan
kandungan oksigen 3 ppm. Lele dapat hidup di perairan kotor dan lumpur
karena memiliki alat bantu pernapasan yang terletak di atas rongga insang
(arborescent atau labyrinth) sehingga mampu mengambil oksigen langsung dari
udara (Fauzi, 2013).
7
Di Indonesia dikenal banyak jenis lele, di antaranya lele lokal, lele dumbo,
lele phiton dan lele babon (lele Kalimantan). Namun, yang dibudidayakan
hanya lele lokal (Clarias batrachus) dan lele dumbo (Clarias gaeriepinus).
Jenis yang kedua lebih banyak dikembangkan karena pertumbuhannya lebih
cepat dan ukurannya lebih besar daripada lele lokal.
Lele dumbo pertama kali didatangkan ke Indonesia tahun 1986. Ikan lele
dumbo merupakan salah satu komoditas unggulan, sangat populer, serta
memiliki pasar yang baik. Kandungan telur lele dumbo bisa mencapai 30.00040.000 butir per kg induk betina, dibandingkan induk lokal yang hanya 1.0004.000 butir per kg induk. Beberapa kelebihan lainnya yaitu pertumbuhan lebih
celat, dapat mencapai ukuran yang lebih besar, serta pemeliharaan dan
pemberian pakan lebih mudah. Pada tahun 2009 jumlah produksi ikan lele
dumbo di Indonesia mencapai 175.000 ton. Sementara kebutuhan benih lele di
akhir tahun 2009 mencapai 1,95 miliar ekor. Usaha pembesaran ikan lele adalah
kegiatan pemeliharaan ikan dari ukuran benih untuk dibesarkan menjadi ukuran
konsumsi. Ukuran yang dikehendaki yaitu 8 –12 ekor/kg. Usaha pembesaran
secara intensif dilakukan dengan teknik yang modern dan memerlukan masukan
(input) biaya yang besar. Ciri khas teknik budidaya ikan lele secara intensif
yaitu padat penebaran benih sangat tinggi, yaitu 200 –400 ekor/m2.
Pakan sepenuhnya tergantung dari buatan pabrik (pelet). Biaya untuk pakan
sangat tinggi karena untuk menghasilkan 450 kg lele, diperlukan pakan pelet
450 kg dengan harga pakan Rp. 5.300/kg pada Januari 2008. Ciri lain usaha
pembesaran secara intensif adalah dilakukan pergantian air. Tujuannya agar air
8
tetap bersih dan tidak kotor oleh sisa-sisa pakan dan kotoran lele dumbo
(Mahyuddin, 2008).
Habitat atau tempat hidup lele dumbo adalah air tawar. Air yang baik untuk
pertumbuhan lele dumbo adalah air sungai, air sumur, air tanah, dan mata air.
Namun, lele dumbo juga dapat hidup dalam kondisi air yang kurang baik
seperti di dalam lumpur atau air yang memiiliki kadar oksigen rendah. Hal
tersebut sangat dimungkinkan karena lele dumbo memiliki insang tambahan
yaitu arborescent yang terletak di bagian atas lengkung insang kedua dan ketiga
terdapat kantung insang tambahan yang berbentuk seperti pohon, karenanya
dinamakan arborescent organ. Organ ini dipergunakan untuk pernafasan udara
sehingga memungkinkan lele dumbo untuk mengambil napas langsung dari
udara dan dapat hidup di tempat beroksigen rendah. Alat ini juga
memungkinkan lele dumbo untuk hidup di darat, asalkan udara di sekitarnya
memiliki kelembapan yang tinggi (Bachtiar, 2006).
2.2. Pemodelan Matematika
Pemodelan matematika adalah penyusunan suatu deskripsi dari beberapa
perilaku dunia nyata (fenomena alam) ke dalam bagian matematika yang disebut
dunia matematika (Giordano dan Weir, 2002). Pemodelan matematika
merupakan proses dalam menurunkan model matematika dari suatu fenomena
berdasarkan asumsi-asumsi yang digunakan. Proses ini merupakan langkah
awal yang tak terpisahkan dalam menerapkan matematika untuk mempelajari
fenomena-fenomena alam, ekonomi, sosial maupun fenomena-fenomena
9
lainnya. Secara umum dalam menerapkan matematika untuk mempelajari suatu
fenomena meliputi 3 langkah, yaitu :
1.
Pemodelan matematika suatu fenomena, perumusan masalah. Langkah ini
untuk menterjemahkan data maupun informasi yang diperoleh tentang suatu
fenomena dari masalah nyata menjadi model matematika. Data maupun
informasi tentang suatu fenomena dapat diperoleh melalui eksperimen di
laboratorium, pengamatan di industri ataupun dalam kehidupan sehari-hari.
Dalam model matematika, suatu fenomena dapat dipelajari secara lebih
terukur (kuantitatif) dalam bentuk (sistem) persamaan/pertidaksamaan
matematika maupun ekspresi matematika. Namun demikian karena
asumsi-asumsi yang digunakan dalam prosesnya, model matematika juga
mempunyai kelemahan-kelemahan dibandingkan dengan fenomena
sebenarnya, yaitu keterbatasan dalam generalisasi interpretasinya.
2.
Pencarian solusi/kesimpulan matematika. Setelah model matematika
diperoleh, solusi atas model tersebut dicari dengan menggunakan metodemetode matematika yang sesuai. Ada kalanya belum terdapat metode
matematika pencarian solusi yang sesuai dengan permasalahan yang
dihadapi. Hal ini sering menjadi motivasi para ahli matematika terapan
untuk menciptakan metode matematika baru. Solusi matematika ini sering
dinyatakan dalam fungsi-fungsi matematika, angka-angka maupun grafik.
3.
Interpretasi solusi/kesimpulan matematika pada fenomena yang dipelajari.
Dalam matematika terapan, solusi yang berupa fungsi, angka-angka
maupun grafik tidak berarti banyak apabila solusi tersebut tidak
menjelaskan permasalahan awalnya. Oleh karena itu, interpretasi solusi
10
penting untuk mengerti arti dan implikasi solusi tersebut terhadap fenomena
awal dari mana masalahnya berasal (Cahyono, 2013).
Model adalah representasi penyederhanaan dari sebuah realita yang kompleks
(biasanya bertujuan untuk memahami realita tersebut) dan mempunyai feature
yang sama dengan tiruannya dalam melakukan task atau menyelesaikan
permasalahan. Model adalah karakteristik umum yang mewakili sekelompok
bentuk yang ada, atau representasi suatu masalah dalam bentuk yang lebih
sederhana dan mudah dikerjakan. Dalam matematika, teori model adalah ilmu
yang menyajikan konsep-konsep matematis melalui konsep himpunan, atau ilmu
tentang model-model yang mendukung suatu sistem matematis. Teori model
diawali dengan asumsi keberadaan obyek-obyek matematika (misalnya
keberadaan semua bilangan) dan kemudian mencari dan menganalisis
keberadaan operasi-operasi, relasi-relasi, atau aksioma-aksioma yang melekat
pada masing-masing obyek atau pada obyek-obyek tersebut. Indenpensi dua
hukum matematis yang lebih dikenal dengan nama axiom of choice, dan
contnuum hypothesis dari aksioma-aksioma teori himpunan (dibuktikan oleh
Paul Cohen dan Kurt Godel) adalah dua hasil terkenal yang diperoleh dari teori
model.
Telah dibuktikan bahwa axiom of choice dan negasinya konsisten dengan
aksioma-aksioma Zermelo- Fraenkel dalam teori himpunan dan hasil yang sama
juga dipenuhi oleh contnuum hypothesis. Model matematika yang diperoleh
dari suatu masalah matematika yangdiberikan, selanjutnya diselesaikan dengan
aturan-aturan yang ada. Penyelesaian yang diperoleh, perlu diuji untuk
11
mengetahui apakah penyelesaian tersebut valid atau tidak. Hasil yang valid
akan menjawab secara tepat model matematikanya dan disebut solusi
matematika. Jika penyelesaian tidak valid atau tidak memenuhi model
matematika maka solusi masalah belum ditemukan, dan perlu dilakukan
pemecahan ulang atas model matematikanya (Frederich H. Bell, 1978).
2.3 Persamaan Diferensial
Banyak hukum-hukum alam yang mendasari perubahan-perubahan di alam ini
dinyatakan dalam bentuk persamaan yang memuat laju perubahan dari suatu
kuantitas, yang tak lain adalah berupa persamaan diferensial. Persaman
diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau beberapa turunan
dari suatu fungsi, dengan satu atau lebih peubah yang tak diketahui. Jika fungsi
yang tidak diketahui itu hanya bergantung pada satu peubah saja, maka
persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial biasa.
Sedangkan jika fungsinya bergantung pada dua atau lebih peubah, maka
persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial parsial.
Orde dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai orde turunan tertinggi
yang terkandung pada persamaan tersebut. Persamaan diferensial orde pertama
hanya mengandung ′. bentuk umum dari persamaan diferensial pertama
dapatdituliskan sebagai
( , , ′) = 0, atau biasa di tulis ′= ( , ). Arti fisis
diferensial adalah, laju perubahan sebuah peubah terhadap peubah lain.
Banyak kegunaan praktis persamaan diferensial biasa dapat diturunkan kedalam
bentuk :
12
( ) ′=( )
(2.1)
dengan manipulasi aljabar murni maka dapat diintegralkan kedua sisi terhadap
, diperoleh :
∫ (y)y′
=∫ ( )
+
(2.2)
Dikiri dapat dapat diubah kepada
Dengan kalkulus,
∫ ( )
Jika
′
=∫f( )
dan
=
sebagai variabel dari pengintegralan.
, maka
+
(2.3)
adalah fungsi kontinu, integral di (2.3) ada, dan dengan
mengevaluasinya diperoleh solusi umum dari (2.1). Metode penyelesaian
persamaan direfensial biasa ini disebut metode variabel terpisah , dan (2.1)
disebut persamaan terpisah, karena di (2.3) variabel sekarang terpisah :
muncul dikanan dan
hanya
hanya dikiri.
Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi.
Bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara
kontinu (dimodelkan oleh fungsi matematika) dan laju perubahannya
(dinyatakan sebagai turunan) diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya
pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan
kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan kita mengetahui
hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak
terhadap benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial
13
posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini
dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.
Contoh pemodelan masalah dunia nyata menggunakan persamaan diferensial
adalah penentuan kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan
memperhitungkan gravitasi dan tahanan udara. Percepatan bola tersebut ke arah
tanah adalah percepatan karena gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena
gesekan udara. Mencari kecepatan sebagai fungsi waktu mensyaratkan
pemecahan sebuah persamaan diferensial.
Persamaan diferensial dikatakan linier, Jika fungsi F linier terhadap y,y2,…,y(n),
namun fungsi F terhadap variable x tak perlu limier. Jika y = f(x) memenuhi
persamaan diferensial maka f(x) dikatakan solusi dari persamaan diferensial
tersebut.solusi umum suatu persamaan diferensial adalah bentuk umum solusi
persamaan diferensial tersebut suatu solusi umum bisa menjadi solusi khusus
dengan adanya informasi/ syarat tambahan disebut sarat awal / syarat batas.
Berikut ini adalah contoh persamaan diferensial :
1.
2. 3
=
+ sin( )
dx + 2ydy = 0
3. y’ + xy = 3
4. y’’ – 5y’ + 6y = cos x
(Kartono, 1994).
14
2.3.1 Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan meliputi derivatif biasa dari
unknown function. Di dalam persamaan diferensial biasa, unknown function
bergantung pada satu variabel bebas Solusi umum dari persamaan diferensial
biasa memuat satu konstanta sembarang. Solusi umum dapat diinterpretasikan
secara geometri dengan bidang ruang berdimensi dua, yaitu memiliki nilai yang
berbeda dari sembarang konstanta. Keunikan solusi memuat nilai awal y  y0
ketika x  x0 .
Contoh :
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut.
dy
 (tan x ) y  sin x
dx
Penyelesaian:
Persamaan diferensial linear orde 1 dengan
a ( x )  tan x dan b( x )  sin x
 
Keduanya kontinu pada interval  0,  . Kalikan kedua sisi dengan
 2
e
tan xdx
 e  ln cos x 
1
cos x
maka didapat :
'
1  sin x

y
 
 cos x  cos x
15
Integralkan kedua ruas, maka didapat :
y
Membagi kedua sisi dengan
1
 c  ln cos x
cos x
1
(mengalikan kedua sisi dengan cos x ), maka
cos x
solusi adalah
y ( x)   cos x  c  ln cos x  , 0  x 

2
(Finizio dan Ladas, 1982).
2.3.2 Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan meliputi derivatif parsial
dari unknown function. Di dalam persamaan diferensial parsial, unknown
function bergantung pada dua aau lebih variabel bebas Misal variabel bebas x
dan variabel tak bebas y serta unknown function adalah u . Secara geometri
solusi umum persamaan digambarkan sebagai bidang ruang berdimensi tiga.
Kondisi yang tidak sederhana membuat bidang kurva tidak spesifik.
Contoh :
Tentukan solusi u  u ( x, y ) dari persamaan diferensial parsial
ux  x  y
Penyelesaian:
Dengan mengintegralkan persamaan diferensial parsial terhadap x, dengan
variable y konstan, maka diperoleh
u
1 2
x  xy  c
2
16
Untuk menunjukkan nilai u , maka substitusikan persamaan di u ke persamaan
diketahui. Walaupun c bukan konstanta tetapi fungsi dari variabel y , seperti
f ( y ) , maka u dengan c diganti dengan f ( y ) , merupkan solusi persamaan
diferensial parsial dengan
f ( y )
 0 . Solusi umum dari persamaan diferensial
x
parsial ini adalah
u
1 2
x  xy  f ( y )
2
dimana f adalah fungsi sebarang terhadap y (Finizio dan Ladas, 1982).
2.4 Model Pertumbuhan Populasi
Kedua kekuatan utama yang mempengaruhi pertumbuhan populasi, yaitu angka
kelahiran dan angka kematian, dapat diukur dan digunakan untuk memprediksi
bagaimana ukuran populasi akan berubah menurut waktu.
2.4.1 Model Eksponensial
Model eksponensial merupakan model pertumbuhan yang sangat sederhana.
Model eksponensial pertumbuhan populasi menjelaskan suatu populasi ideal
dalam lingkungan yang tidak terbatas. Pada model ini individu berkembang
tidak dibatasi oleh lingkungan seperti kompetisi dan keterbatasan akan suplai
makanan. Laju perubahan populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran,
kematian dan migrasi diketahui.
17
Mengasumsikan bahwa laju pertumbuhan populasi terhadap waktu berbanding
lurus dengan jumlah populasi yang ada. Misalkan ( ) menyatakan jumlah
populasi pada saat dan diketahui bahwa jumlah populasi saat = 0=
0
0
adalah
, maka model matematikanya dapat dituliskan :
= aN ; dimana
konstan
(2.4)
Berikut ini adalah solusi jumlah populasi
pada saat atau ( ) berdasarkan
(2.4) :
=
ln = +
( )=
+
( )=
.
( )=
Karena N(t0) =
( )=
0
0= 1
(0)
=
1
1
, maka :
(− )
(2.5)
dimana daya tumbuh suatu populasi (intrinsic growth rate) / perbedaan antara
angka kelahiran dan kematian per kapita ( = angka kelahiran tahunan perkapita
– angka kematian tahunan per kapita) / laju pertumbuhan populasi per kapita.
Persamaan (2.5) dikenal sebagai Model Eksponensial pertumbuhan populasi /
Model pertumbuhan populasi Malthus.
Dari (2.5) dapat diperoleh :
18
(− )
Ln ( −
=
)
=(
( )
= Ln
( )
Ln
( )
)
(2.6)
Jika solusi (2.5) ditampilkan dalam bentuk grafik, maka didapatkan dua grafik
berikut :
Gambar.2.1
Grafik Pertumbuhan Eksponensial
Grafik untuk a > 0
19
Gambar.2.2
Grafik Pertumbuhan Eksponensial
Grafik untuk a < 0
Dari Gambar.2.1 jelas bahwa untuk >0 diperoleh lim →∞ ( ) = ∞. Jika hasil ini
dikaitkan dengan jumlah suatu populasi, maka akan menimbulkan pertanyaan
apakah suatu populasi dapat berkembang sampai pada jumlah tak-hingga?
Gambar.2.2, untuk <0 akan didapatkan lim →∞ ( ) = 0, yang mana jika
dikaitkan dengan jumlah populasi nampaknya hasil ini cukup logis. Suatu
populasi akan mendekati kepunahan (akan habis) jika laju pertumbuhannya
negatif.
Model ini memprediksi bahwa semakin besar suatu populasi akan semakin cepat
populasi tersebut tumbuh (Banks, 1994).
20
2.4.2 Model Logistik
Model ini merupakan penyempurnaan dari model eksponensial dan pertama kali
diperkenalkan oleh Pierre Verhulst pada tahun 1838. Model pertumbuhan
eksponensial mengasumsikan sumberdaya yang tidak terbatas, model ini
merupakan kasus yang tidak pernah ditemukan di dunia nyata ini. Karena setiap
populasi tumbuh dan tumbuh sehingga jumlahnya semakin besar, peningkatan
kepadatan populasi bisa mempengaruhi kemampuan individu untuk mengambil
sumberdaya yang mencukupi untuk pemeliharaan, pertumbuhan, dan
reproduksi. Populasi hidup dari jumlah sumberdaya yang terbatas, dan ketika
populasi menjadi semakin padat, masing-masing individu mendapat bagian
sumberdaya yang semakin kecil. Akhirnya, terdapat suatu batas dari jumlah
individu yang dapat menempati suatu habitat.
Para ahli ekologi mendefinisikan daya tampung (carrying capacity) sebagai
ukuran populasi maksimum yang dapat ditampung oleh suatu lingkungan
tertentu tanpa ada pertambahan atau penurunan ukuran populasi selama periode
waktu yang relatif lama. Daya tampung yang disimbolkan dengan adalah ciri
lingkungan, dengan demikian daya tampung bervariasi terhadap waktu dan
ruang dengan keberlimpahan sumberdaya yang terbatas.
Kepadatan dan keterbatasan sumberdaya dapat mempunyai dampak yang besar
pada laju pertumbuhan populasi. Jika individu tidak mendapatkan sumberdaya
yang mencukupi untuk bereproduksi, angka kelahiran per kapita akan menurun.
Jika mereka tidak memperoleh cukup energi untuk mempertahankan diri mereka
sendiri, angka kematian per kapita akan meningkat. Suatu penurunan dalam
21
angka kelahiran tahunan per kapita atau suatu peningkatan dalam angka
kematian tahunan per kapita akan mengakibatkan laju pertumbuhan populasi
yang lebih kecil.
Model ini memasukkan batas untuk populasinya sehingga jumlah populasi
dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak terhingga. Laju pertumbuhan
populasi akan terbatas akan ketersediaan makanan, tempat tinggal, dan sumber
hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut, jumlah populasi dengan model ini akan
selalu terbatas pada suatu nilai tertentu. Pada masa tertentu jumlah populasi
akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium), pada titik ini jumlah
kelahiran dan kematian dianggap sama.
Verhulst menunjukkan bahwa pertumbuhan populasi tidak hanya bergantung
pada ukuran populasi tetapi juga pada sejauh mana ukuran ini dari batas atasnya
seperti daya tampung. Dia memodifikasi model Malthus (eksponensial) untuk
membuat ukuran populasi sesuai baik untuk populasi sebelumnya dengan syarat
, dimana
dan
disebut koefisien vital dari populasi.
Suatu model logistik diawali dengan model pertumbuhan eksponensial dan
menciptakan suatu ekspresi yang mengurangi nilai
ketika
meningkat. Jika
ukuran populasi maksimum yang dapat dipertahankan adalah , maka ( − )
akan memberikan petunjuk berapa banyak individu tambahan yang dapat
ditampung oleh lingkungan tersebut, dan
=
memberikan
petunjuk berapa fraksi yang masih tersedia untuk pertumbuhan populasi.
Persamaan yang telah dimodifikasi menggunakan syarat baru adalah :
22
=
=
=
−
(2.7)
Dengan :
a : Laju pertumbuhan intrinsik
b : Pengaruh dari peningkatan kepadatan populasi
N : Jumlah populasi
: Carrying capacity
(Bacaer, 2011).
2.5 Solusi Eksplisit Model Verhulst
Solusi eksplisit persamaan logistik Verhulst dapat diperoleh jika model
persamaan tersebut merupakan persamaan terpisah. Jadi dari persamaan (2.7)
dapat dilakukan pemisahan variabel menjadi :
∫
= ∫
−
+
−
Diperoleh :
N(t) =
Jika persamaan dilimitkan
→ ∞ , didapatkan (untuk
Nmax = lim →∞
=
(2.8)
> 0) :
(2.9)
23
Ketika ukuran suatu populasi berada dibawah daya tampungnya, pertumbuhan
populasi akan berjalan cepat menurut model logistik, akan tetapi ketika
mendekati , pertumbuhan populasi akan menjadi lambat.
Untuk a>0 berlaku lim →∞
= , sehingga dapat disimpulkan bahwa grafik dari
(2.8) mempunyai asimtot mendatar N(t) =
Gambar 2.3.
Grafik Pertumbuhan Logistik berdasarkan
solusi model verhulst
Dapat dilihat bahwa kurva logistik adalah S-shaped dan mempunyai titik
infleksi ketika N =
. Untuk < N0 , a>0 grafik solusinya ditunjukkan oleh
gambar 2.4. Sedangkan untuk kasus a<0 didapatkan solusi yang tidak stabil,
yaitu tidak mengarah pada titik kesetimbangan tertentu.
24
Gambar 2.4.
Grafik Pertumbuhan Logistik dengan nilai awal
diatas carrying capacity
Gambar 2.5.
Grafik Pertumbuhan Logistik dimana a<0
25
∗
Dari persamaan (2.8) dapat diperoleh nilat
yaitu waktu ketika mencapai
setengah dari titik ekuilibriumnya, yakni dengan cara sebagai berikut :
( )=
+
−
=
−at =
∗
(Zulkarnaen, 2014).
=
−
2.6 Laju Pertumbuhan dan Carrying Capacity
Verhulst menjelaskan parameter a (laju pertumbuhan) dan (carrying capacity)
Dapat diperoleh dari jumlah populasi untuk tiga waktu yang berbeda akan tetapi
dalam rentang waktu pengambilan data sama. Jika No adalah populasi saat t = 0,
maka N1 pada saat waktu t = T dan N2 pada saat waktu t = 2, maka dari
persamaan (2.8) dapat diperoleh :
=
=
+
−
(
+
( )
−
)
26
+
=
(2. 10)
=
+
=
( −
( −
−
−
)+
)=
−
Untuk t = 2, dengan cara yang sama diperoleh :
(2.11)
( −
)=
−
Lakukan pembagian (2.11) dengan (2.10) untuk mengeleminasi , diperoleh :
( −
( −
+
)=
−
)=
=
−
−
−
27
−
−
=
−
−
−
(
(
=
−
−
)
)
Jadi tingkat pertumbuhan populasinya adalah :
(
(
=−
(2.12)
−
−
)
)
Subtitusikan persamaan (2.12) ke (2.10), maka :
(
(
−
−
−
(
(
−
−
)
=
)
)
−
)
(
(
−
−
)
=
)
=
=
(
(
(
(
(
−
(
−
)− ( −
( − )
− )− ( −
( − )
−
−
−
+
−
−
)− ( −
( − )
)
)
)
Sehingga carriying capacity dapat dituliskan menjadi :
(2.13)
=
(
−
−
+
)
)
)
)
28
Berdasarkan penjelasan Verhulst ini, laju pertumbuhan dan carriying capacity
dapat diperkirakan dengan rentang waktu pengambilan data yang diinginkan.
Dengan mensubtitusikan (2.13) ke (2.9), diperoleh :
Nmax = lim →∞
= =
(
)
(2.14)
Ketika ukuran suatu populasi berada dibawah daya tampungnya, pertumbuhan
populasi akan berjalan cepat menurut model logistik, akan tetapi ketika N
mendekati , pertumbuhan populasi akan menjadi lambat. Model Verhulst atau
model pertumbuhan logistik memberikan pengertian akan jumlah populasi
maksimum atau minimum sebagai titik jenuh pertumbuhannya (Zulkarnaen,
2014).
2.7 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
Persentase kesalahan absolute rata-rata memberikan petunjuk seberapa besar
kesalahan hasil persamaan dengan nilai sebenarnya. Hal ini dinyatakan sebagai
berikut:
MAPE =
dengan
1993).
∑
adalah nilai yang sebenarnya dan
× 100%
adalah nilai dugaan (Makridakis,
29
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Waktu penelitian dilakukan pada semester
ganjil 2016-2017
3.2
Data Penelitian
Data yang digunakan pada penelelitian ini adalah data hasil panen lele ternak yang
diambil dari peternakan lele ibu Lusi yang beralamat di Jl. Perwira Gang Praja No. 07
Rajabasa, Bandar Lampung seperti yang tertera pada tabel berikut :
No.
Periode Panen
Jumlah Hasil Panen (Kg)
1.
Panen ke-1
2.267 Kg
2.
Panen ke-2
2.249 Kg
3.
Panen ke-3
2.278 Kg
4.
Panen ke-4
2.294 Kg
30
5.
Panen ke-5
2.337 Kg
6.
Panen ke-6
2.366 Kg
7.
Panen ke-7
2.250 Kg
8.
Panen ke-8
2.316 Kg
9.
Panen ke-9
2.441 Kg
10.
Panen ke-10
2.488 Kg
11.
Panen ke-11
2.512 Kg
12.
Panen ke-12
2.514 Kg
13.
Panen ke-13
2.475 Kg
14.
Panen ke-14
2.663 Kg
15.
Panen ke-15
2.689 Kg
16.
Panen ke-16
2.693 Kg
17.
Panen ke-17
2.732 Kg
18.
Panen ke-18
2.766 Kg
19.
Panen ke-19
2.698 Kg
20.
Panen ke-20
2.791 Kg
21.
Panen ke-21
2.793 Kg
22.
Panen ke-22
2.688 Kg
23.
Panen ke-23
2.802 Kg
24.
Panen ke-24
2.832 Kg
Tabel. 1
Data hasil panen lele ternak
Data hasil panen lele ternak tersebut diperoleh dengan asumsi tingkat kehidupan
benih sampai panen (survival rate) = 80% , luas kolam = 200 m2, padat tebar =
150 ekor/ m2, total benih ikan yang ditebar = 30.000 ekor.
31
3.3
Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian literatur yaitu buku-buku
dan jurnal online matematika sebagai penunjang berkaitan dengan persamaan logistik
pertumbuhan populasi (model Verhulst).
Dalam menyelesaikan tugas akhir ini, dilakukan dengan beberapa langkah. Langkalangkah yang digunakan dalam menyelesaikan tugas akhir ini adalah:
1. Mengumpulkan data jumlah panen ikan yang diperoleh dari peternakan lele ibu
Lusi yang beralamat di Jl. Perwira Gang Praja No. 07 Rajabasa, Bandar
Lampung.
2. Melakukan penurunan rumus sehingga diperoleh rumus untuk melakukan
penghitungan jumlah populasi (N), laju pertumbuhan (a), dan daya tampung
populasi atau carrying capacity
.
3. Mengaproksimasikan sampel data dengan interval panen yang berbeda sehingga
akan diperoleh sampel data dengan Mape (Mean Absolute Percentage Error)
yang paling kecil.
4. Melakukan penghitungan prediksi populasi ikan lele ternak dengan
menggunakan sampel data dengan Mape (Mean Absolute Percentage Error) yang
paling kecil dengan menggunakan model logistik pertumbuhan populasi (model
Verhulst).
5. Membandingkan hasil prediksi dengan hasil panen sebenarnya.
V.
KESIMPULAN
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan maka diperoleh kesimpulan sebagai
berikut :
1. Laju pertumbuhan populasi atau hasil panen ikan lele ternak berdasarkan model
logistik pertumbuhan populasi atau model Verhulst diperoleh a = 0,0586 =
5,86% . Hal ini berarti laju pertumbuhan hasil panen ikan lele ternak diperkirakan
sebesar 5,86% perpanen.
2. Pada panen ke-41 berdasarkan model logistik pertumbuhan populasi atau model
Verhulst diperkirakan hasil panen ikan lele ternak adalah 3.085,47 Kg.
3. Perbandingan antara hasil panen sebenarnya dengan prediksi hasil panen
menggunakan model logistik pertumbuhan populasi atau model Verhulst disajikan
dalam tabel 4 berikut :
No.
Periode Panen
1.
Panen ke-1
Hasil Panen
Sebenarnya (Kg)
2.267 Kg
Prediksi Hasil
Panen (Kg)
2.267 Kg
2.
Panen ke-2
2.249 Kg
2.302 Kg
3.
Panen ke-3
2.278 Kg
2.335 Kg
4.
Panen ke-4
2.294 Kg
2.369 Kg
60
5.
Panen ke-5
2.337 Kg
2.401 Kg
6.
Panen ke-6
2.366 Kg
2431 Kg
7.
Panen ke-7
2.250 Kg
2.462 Kg
8.
Panen ke-8
2.316 Kg
2.490 Kg
9.
Panen ke-9
2.441 Kg
2.518 Kg
10. Panen ke-10
2.488 Kg
2.545 Kg
11. Panen ke-11
2.512 Kg
2.571 Kg
12. Panen ke-12
2.514 Kg
2.595 Kg
13. Panen ke-13
2.475 Kg
2.619 Kg
14. Panen ke-14
2.663 Kg
2.641 Kg
15. Panen ke-15
2.689 Kg
2.664 Kg
16. Panen ke-16
2.693 Kg
2.685 Kg
17. Panen ke-17
2.732 Kg
2.704 Kg
18. Panen ke-18
2.766 Kg
2.723 Kg
19. Panen ke-19
2.698 Kg
2.742 Kg
20. Panen ke-20
2.791 Kg
2.759 Kg
21. Panen ke-21
2.793 Kg
2.777 Kg
22. Panen ke-22
2.688 Kg
2.792 Kg
23. Panen ke-23
2.802 Kg
2.802 Kg
24. Panen ke-24
2.832 Kg
2.822 Kg
Tabel. 4
Hasil panen sebenarnya dan prediksi hasil panen menggunakan model Verhulst
DAFTAR PUSTAKA
Bacaer, N. 1977. A Short History of Mathematical Population Dynamics.
Springer- Verlag, London.
Bachtiar, Y. 2002. Pembesaran Ikan Mas di Kolam Pekarangan. Agromedia
Pustaka, Depok.
Banks, R.B. 1994. Growth and Diffusion Phenomena: Mathematical
Frameworks and Applications. Springer, Berlin.
Cahyono. 2013. Pemodelan Matematika. Graha Ilmu, Bandung.
Fauzi, N. 2013. Pasti ! Panen Lele. Sahabat, Klaten.
Finizio, N. and Ladas, G. 1982. An Introduction to Differential Equation.
Wadsworth, California.
Frederich, H.B. 1978. Teaching and Learning Mathematic. University of
Pittsburgh, Pittsburgh.
Giordano, F., Weir, M., and Foox, W. 1977. A First Course in Mathematical
Modelling. Thomson Brooks/Cole, Belmont.
Kartono. 1994. Penuntun Belajar Persamaan Diferensial. Andi Offset,
Yogyakarta.
Mahyuddin, K. 2008. Panduan Lengkap Agribisnis Lele. Penebar Swadaya,
Depok.
Makridakis, S. dan Wheelright,S.C. 1994. Metode-Metode Peramalan untuk
Manejemen. Ahli bahasa : Wiraraja, binarupaaksara, Jakarta.
Saparinto, C. 2013. Bisnis Ikan Konsumsi di Lahan Sempit. Penebar Swadaya,
Depok.
Zulkarnaen, D. 2014. Proyeksi Populasi Penduduk Kota Bandung Menggunakan
Model Pertumbuhan Populasi Verhulst dengan Memvariasikan Interval
Pengambilan Sampel. Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Jati,
Bandung. Volume VIII No. 1.