Matematika Teknik I

Matematika Teknik I
Kode Mata Kuliah : TE 3218
SKS
: 3
Prasyarat
: Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks
Tujuan
: Mahasiswa memahami permasalahan teknik dalam bentuk
PD atau integral, serta dapat menerapkan metode
penyelesaiannya
Pokok Bahasan
: PD orde satu, PD separable, PD eksak, PD linier homogen
dan non-homogen, sistem persamaan diferensial.
Integral garis riil, teorema Green, integral permukaan,
teorema Stokes, teorema Gauss, integral garis kompleks,
deret Laurent, metode integral residu.
Kepustakaan
: 1. Kreyzig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, 8th
Edition, John Wiley & Sons Inc.,1999.
2. Pipes,L.A, Applied Mathematic for Engineer and Physicis,
McGraw-Hill,1976
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
1
Matematika Teknik I
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
2
Persamaan Diferensial Biasa dan
Ordenya
z
z
Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu
persamaan yang melibatkan turunan pertama atau
lebih dari fungsi sembarang y terhadap variabel x.
Contoh :
• y’ = cos x
dy
y' =
• y” + 4y = 0
dx
2
x
2
2
• x y’’’y’ + 2e y” = (x + 2)y
Orde suatu persamaan diferensial ditentukan dari turunan
tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut.
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
3
Istilah biasa membedakan dengan persamaan
diferensial parsial
Contoh :
2
u
∂
∂ 2u
2
=c
2
∂x 2
∂t
2
∂u
∂
u
= c2 2
∂t
∂x
∂ 2u ∂ 2u
+ 2 =0
2
∂y
∂x
Persamaan Gelombang Dimensi Satu
Persamaan Aliran Panas Dimensi Satu
Persamaan Laplace Dimensi Satu
∂ 2u ∂ 2u
+ 2 = f ( x, y )
2
∂x
∂y
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
+ 2 + 2 =0
2
∂x
∂y
∂z
09/10/2007
Persamaan Poisson Dimensi Dua
Persamaan Laplace Dimensi Tiga
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
4
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
5
Konsep Penyelesaian
z
Suatu fungsi y = g(x) dikatakan suatu penyelesaian
persamaan diferensial orde pertama yang diberikan pada
interval a<x<b, jika g(x) didefinisikan dan dapat
dideferensiasikan seluruhnya pada selang tersebut
sehingga persamaan tersebut menjadi suatu identitas,jika
y dan y’ masing-masing digantikan dengan g dan g’
Contoh :
Buktikan bahwa fungsi y = g(x) = x2 merupakan penyelesaian
persamaan diferensial orde pertama xy’ = 2y
g’ = 2x
Sekarang subtitusikan g dan g’ ke persamaan diferensial
x(2x) = 2x2
(terbukti)
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
6
Penyelesaian Implisit
z
Kadang-kadang
suatu
penyelesaian
persamaan diferensial muncul sebagai fungsi
implisit, yaitu secara implisit diberikan dalam
bentuk
G(x,y) = 0
z
z
Contoh
Fungsi terhadap x secara implisit diberikan
oleh : x2 + y2 – 1 = 0 merupakan penyelesaian
implisit dari persamaan diferensial yy’ = -x
pada selang -1 < x < 1
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
7
Penyelesaian Umum dan Penyelesaian
Khusus
Contoh :
y’ = cos x
Dengan mengintegralkan maka didapat penyelesaiannya :
y = sin x + c (c = konstanta sembarang)
Bila c = 0 maka penyelesaiannya adalah y = sin x
Bila c = 1,5 maka penyelesaiannya adalah y = sin x + 1,5 dan
sebagainya
Bila c belum diketahui/ditentukan disebut Penyelesaian Umum
Bila c sudah diketahui/ditentukan disebut Penyelesaian
Khusus
z
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
8
Suatu persamaan diferensial orde pertama dapat
mempunyai lebih dari satu penyelesaian
z
Penyelesaian y’ = cos x
y = sin x + c
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
9
Penyelesaian Singular
z
z
Dalam beberapa kasus terdapat penyelesaian lain
dari persamaan yang diberikan oleh penyelesaian
tersebut ternyata tidak dapat diperoleh dengan
memberikan nilai tertentu pada sembarang
konstanta dari penyelesaian umum, penyelesaian
yang demikian disebut penyelesaian singular dari
persamaan tersebut.
Contoh :
y’2 – xy + y = 0
mempunyai penyelesaian umum
y = cx - c2
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
10
Penyelesaian singular
z
Setiap penyelesaian khusus menggambarkan
suatu garis singgung pada parabola yang
digambarkan oleh penyelesaian singular
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
11
Persamaan Diferensial Terpisah
Beberapa persamaan diferensial dapat dirubah ke
dalam bentuk :
dy
y'=
g(y)y’ = f(x)
dx
g(y)dy = f(x)dx
Persaman ini disebut persamaan diferensial terpisah
Dengan mengintegralkan maka didapat
z
∫ g ( y)dy = ∫ f ( x)dx + c
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
12
Contoh :
Selesaikan persamaan diferensial
y ' = −2 xy
Penyelesaian :
dy
dy
= −2 xy
= −2 xdx
dx
y
Dengan integrasi didapat :
ln y = − x 2 + c
y =e
− x2 +c
y = Ae
09/10/2007
− x2
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
A=e
c
13
Persamaan Diferensial Eksak
z
z
Suatu persamaan diferensial orde pertama
berbentuk :
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Dikatakan eksak jika ruas kiri persamaan
tersebut merupakan diferensial total atau
eksak
∂u
∂u
du =
dx + dy
∂y
∂x
dari suatu fungsi u(x,y)
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
14
∂u
∂u
dx + dy
du =
∂x
∂y
Syarat Eksak
∂u
=M
∂x
∂u
=N
∂y
∂M
∂u
=
∂y ∂y∂x
Syarat eksak
2
∂N
∂u
=
∂x ∂x∂y
2
∂M ∂N
=
∂y
∂x
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
15
Contoh :
a. y dx + 2 xydy = 0
2
b. (4 x + 3 y 2 )dx + 2 xydy = 0
Apakah
eksak ?
∂N
a. ∂M = 2 y
= 2y
∂x
∂y
∂M ∂N
=
Karena
, maka persamaan tersebut eksak
∂y
∂x
b.
M = 4x + 3y2,
N = 2 xy
∂M
∂N
= 6y2
= 2y
∂y
∂x
∂M
∂N
≠
Karena
, maka persamaan tersebut tidak eksak
∂y
∂x
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
16