1 Usaha 2 Energi kinetik 3 Energi potensial gravitasi

FI1101 Fisika Dasar IA K-30
Sem. 1 2015-2016
1
Dosen: Agus Suroso
Usaha
Dalam fisika, besar usaha (work /kerja) yang dilakukan suatu gaya F~ untuk memindahkan suatu benda dari posisi
awal i ke posisi akhir f didefinisikan sebagai
Z f
W ≡
F~ · d~s,
(1)
i
dengan d~s adalah suatu vektor perpindahan infinitesimal (kecil) sepanjang lintasan dari i menuju f . Perhatikan
bahwa notasi perkalian titik (dot product) yang digunakan dalam definisi tersebut mengharuskan kita untuk hanya
mengalikan komponen dari gaya F~ yang sejajar dengan arah perpindahan d~s, dengan kata lain hanya komponen
gaya yang sejajar dengan perpindahan yang menghasilkan usaha. Secara umum gaya F~ dapat benilai konstan
maupun bergantung pada posisi, F~ = F~ (~r).
2
Energi kinetik
Tinjau suatu benda bermassa m sedang bergerak dengan kecepatan awal vi di lantai horizontal yang licin kemudian
didorong oleh gaya konstan F~ yang searah dengan kecepatan. Benda mengalami percepatan sebesar ~a = F~ /m.
Setelah berpindah sejauh s, kecepatan benda akan berubah mengikuti salah satu persamaan kinematika vf2 =
vi2 + 2as. Dari persamaan tersebut diperoleh s =
vf2 −vi2
2a .
W = F~ · ~s = F s = (ma)
Besar usaha yang dilakukan oleh gaya F adalah
!
vf2 − vi2
1
1
= mvf2 − mvi2 .
2a
2
2
(2)
Jika mula-mula benda dalam keadaan diam (vi = 0), maka besar usaha yang dilakukan oleh gaya konstan F untuk
menggerakkan hingga mencapai kecepatan vf adalah 12 mvf2 .
Jika gaya F~ tidak konstan, apakah hasilnya tetap W = 12 mv 2 ? Terlebih dahulu kita tuliskan hukum Newton
F~ = m~a = m d~v dan hubungan antara kecepatan dan perpindahan d~s = ~v dt, lalu menerapkan definisi usaha
dt
Z
f
W =
F~ · d~s =
Z
f
m
i
i
Z f
~
dv
~ · ~v = 1 mv 2 − 1 mv 2 .
· ~v dt =
mdv
dt
2 f 2 i
i
(3)
Jika benda mula-mula dalam keadaan diam (vi = 0) maka diperoleh W = 12 mvf2 , sama dengan hasil untuk gaya
konstan.
Selanjutnya, kita mendefinisikan energi kinetik (K) sebagai besarnya usaha untuk menggerakkan benda
diam hingga mencapai kecepatan v,
1
K ≡ mv 2 .
(4)
2
Persamaan (3) dapat juga ditulis sebagai
W = Kf − Ki = ∆K,
(5)
yang berarti bahwa usaha total dilakukan oleh suatu gaya terhadap suatu benda sama besar dengan perubahan
energi kinetik yang dialami oleh benda tersebut. Pernyataan ini disebut teorema usaha-energi kinetik.
3
Energi potensial gravitasi
Kita dapat mendefinisikan energi potensial gravitasi dengan cara yang sama dengan definisi untuk energi kinetik.
Kita definisikan energi potensial gravitasi sebagai besarnya usaha yang dilakukan oleh suatu gaya untuk memindahkan suatu benda pada suatu daerah dengan medan gravitasi. Misal gaya yang digunakan untuk memindahkan
benda adalah F~ dan berarah ke atas. Karena
benda
juga mengalami gaya gravitasi, maka hukum Newton memberi
d~v
d~v
~
~
kita F + m~g = m~a = m dt atau F = m dt − ~g . Besar usaha yang dilakukan oleh gaya F~ adalah
Z
W =
f
F~ · d~s =
i
Z
f
m
i
Z f
Z f
d~v
d~v
− ~g · d~s =
m · d~s −
m~g · d~s = ∆K + ∆U.
dt
dt
| i {z
} | i {z }
∆K
update: 21 September 2015
(6)
∆U
halaman 1
FI1101 Fisika Dasar IA K-30
Sem. 1 2015-2016
Dosen: Agus Suroso
Terlihat bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya F~ digunakan untuk mengubah energi benda, dalam bentuk energi
∆K (yaitu perubahan energi kinetik) dan ∆U . Jika besar gaya F disesuaikan sehingga sama dengan besar gaya
berat mg, maka benda bergerak dengan kecepatan konstan sehingga ∆K = 0 dan W = ∆U . Suku ∆U kita sebut
sebagai perubahan energi potensial gravitasi,
Z f
m~g · d~s.
(7)
∆U ≡ −
i
Karena ~g konstan dan arahnya ke bawah sedangkan d~s ke atas, maka ~g · d~s akan bertanda negatif dan akan
menghilangkan tanda negatif di depan integral. Jika arah vertikal ke atas kita nyatakan sebagai sumbu-y positif,
maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai
Z f
mgdy = mgyf − mgyi = mg∆y,
(8)
∆U ≡
i
dan ungkapan untuk energi potensial gravitasi dapat dituliskan sebagai
U = mgy.
4
(9)
Energi potensial pegas
Tinjau sebuah pegas yang salah satu ujungnya dibuat diam dan ujung lain terikat pada partikel titik (misalnya
balok) bermassa m yang bebas bergerak. Besar gaya yang dialami oleh balok bergantung pada seberapa jauh
pegas tertekan atau teregang dari posisi setimbangnya. Hukum Hooke menyatakan besar gaya pegas sebagai
F~p = −k~x,
(10)
dengan k adalah konstanta pegas dan vektor posisi ~x ditinjau dari posisi setimbang pegas. Jika mula-mula sistem
pegas berada dalam posisi xi kemudian gaya F~ = −F~p diterapkan untuk menarik (atau mendorong) balok sehingga
pegas bergerak dengan kecepatan konstan dan bergeser sejauh xf , maka besar usaha yang dilakukan oleh gaya F~
adalah
Z f
Z f
1
k~x · d~x = k x2f − x2i .
W =
F~ · d~x =
(11)
2
i
i
Dari sini, kita dapat mendefinisikan energi potensial pegas sebagai
1
Up = kx2 .
2
5
(12)
Gaya konservatif
Tinjau suatu benda yang mula-mula berada di titik O(0,0) kemudian berpindah dari titik O ke titik A. Untuk
menuju A, benda dapat melalui lintasan O-B-A atau langsung melalui lintasai O-A. Gambar (1) memberikan
gambaran untuk situasi tersebut, dengan bidang x − y digambar pada bidang vertikal. Jika benda berpindah
melalui lintasan O-B-A, maka usaha total yang dilakukan oleh gaya gravitasi adalah
Z B
Z A
WOBA = WO→B + WB→A =
mg(−ĵ) · dx î +
mg(−ĵ) · dy ĵ = 0 − mg(4 − 0) = −4mg.
(13)
O
B
Sedangkan jika benda berpindah melalui lintasan O-A, maka besar usaha yang dilakukan adalah
Z A
Z A
Z A
WOA =
m~g · d~s =
mg ds cos(π + θ) = −
mg sin θ ds.
O
O
(14)
O
Perhatikan bahwa kita telah
hubungan cos(π+θ) = − sin θ. Dari hubungan d~s = dxî+dy ĵ, diperoleh
r menggunakan
2
p
√
dy
ds2 = dx2 + dy 2 = dx 1 + dx
. Dari gambar, terlihat bahwa dy/dx = tan θ, sehingga ds = dx 1 + tan2 θ =
dx sec θ. Sehingga,
Z
A
WOA = −
Z
3
mg sin θ dx sec θ = −mg sin θ sec θ
O
update: 21 September 2015
x=0
4
5
dx = −mg
3 = −4mg.
5
3
(15)
halaman 2
FI1101 Fisika Dasar IA K-30
Sem. 1 2015-2016
Dosen: Agus Suroso
y
y
A (3, 4)
A (3, 4)
⃗g
⃗g

x
O
B (3, 0)
O
x
B (3, 0)
Gambar 1: Usaha oleh gaya gravitasi untuk memindahkan benda dari titik O ke titik A melalui dua lintasan:
lintasan O-B-A (kiri) atau O-A (kanan).
Ternyata, usaha untuk kedua lintasan bernilai sama. Kita menyebut gaya-gaya yang usahanya sama untuk lintasan
yang berbeda-beda sebagai gaya konservatif. Nilai usaha oleh gaya konservatif hanya bergantung pada kondisi
awal dan akhirnya. Dalam kasus gaya gravitasi pada contoh di atas, nilai usaha oleh gaya graviasi sama dengan
perubahan energi potensial gravitasinya. Jelas bahwa jika benda menempuh suatu lintasan tertutup (misalnya
O-B-A-O), maka usaha total oleh gaya gravitasi bernilai nol. Gaya konservatif juga dicirikan dengan adanya energi
potensial yang terkait dengan gaya tersebut dan nilai usaha oleh gaya konservatif sama dengan perubahan energi
potensial terkait.
Contoh gaya yang tidak konservatif adalah gaya gesek. Mengapa? Jawabannya bisa dua: (1) karena gaya
gesek tidak memiliki energi potensial terkait (kita tidak pernah mengenal energi potensial gesek) atau (2) nilai
usaha oleh gaya gesek untuk memindahkan benda dari suatu titik ke titik lain bergantung pada lintasan yang
benda. Jelas bahwa usaha oleh gaya gesek untuk suatu lintasan tertutup tidaklah bernilai nol.
6
Konservasi energi
Tinjau suatu benda yang mula-mula bergerak dengan kecepatan v0 di atas bidang datar yang kasar. Setelah
menempuh jarak s, kecepatan benda akan berkurang menjadi vt dan memenuhi
vt2 = v02 + 2as.
(16)
Nilai percepatan a diperoleh dari hukum II Newon, a = ΣF
m = −fg /m, dengan fg adalah gaya gesek. Sehingga
diperoleh
vt2 = v02 − 2fg s/m.
(17)
Dari persamaan tersebut dapat juga diperoleh hubungan
1
m vt2 − v02 = −fg s ⇔ ∆K = Wf .
2
(18)
Persamaan terakhir menunjukkan kesamaan antara perubahan energi kinetik benda dengan usaha yang dilakukan
oleh gaya gesek.
Sekarang, mari kita tinjau sistem yang lain berupa benda yang berada pada bidang miring yang kasar, dengan
kemiringan θ dan koefisien gesek µ. Mula-mula benda berada pada titik A dengan kecepatan v0 dan turun hingga
mencapai titik B yang berjarak s. Kecepatan saat di B adalah vt . Penerapan hukum-hukum Newton akan
menghasilkan percepatan benda
a = g(sin θ − µ cos θ).
(19)
Kinematika memberikan hubungan antara kecepatan di dua titik tersebut
vt2 = v02 + 2as = v02 + 2g(sin θ − µ cos θ)s,
update: 21 September 2015
(20)
halaman 3
FI1101 Fisika Dasar IA K-30
Sem. 1 2015-2016
Dosen: Agus Suroso
atau
1
1
mvt2 − mv02 = mgs sin θ −µmg cos θs
{z
}
|2
{z 2 } | {z } |
−∆U
∆K
Wf
⇔ ∆K + ∆U = Wf .
(21)
Perhatikan bahwa kita telah menggunakan hubungan s sin θ = h dan mgh = −∆U (tanda negatif terjadi karena
karena energi potensial gravitasi benda berkurang). Sekali lagi, diperoleh kesamaan antara jumlah perubahan
energi kinetik dan perubahan energi potensial benda dengan usaha oleh gaya gesek yang tak konservatif.
Secara umum, benda yang mengalami gesekan akan naik suhunya dan besarnya perubahan energi termal benda
(∆Eth ) sama dengan usaha yang dilakukan oleh gaya gesek. Dapat dituliskan,
Wf = −∆Eth .
(22)
Dengan menuliskan jumlahan antara energi kinetik dan energi potensial sebagai energi mekanik,
Em = K + U ⇔ ∆Em = ∆K + ∆U,
(23)
persamaan (21) dapat dituliskan sebagai
∆Em + ∆Eth = 0,
(24)
yang merupakan ungkapan untuk konservasi energi.
update: 21 September 2015
halaman 4